2019届全国100所名校最新高考冲刺卷(三)高三数学(理)试题(解析版)

A．20B．60C．120D．240
【答案】D
【解析】当 或 时，圆面被分成2块，当 或 时，圆面被分成3块，当 时，圆面被分成4块，分别求出涂色的种数，再求和.
【详解】
当 或 时，圆面 被分成2块，
此时不同的涂色方法有 种，
当 或 时，圆面 被分成3块，
此时不同的涂色方法有 种，
当 时，圆面 被分成4块，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据 ，利用复数的乘除法得到 的形式，再利用共轭复数的概念求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以复数 的共轭复数是 ．
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数的概念和运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．5B． C． D．
【答案】A
【答案】C
【解析】先判断命题P，Q的真假，再利用复合命题的真假结论求解.
【详解】
只有当函数 在 上存在定义时，才有 ，故命题 为假命题．则 为真命题；
因为过点 作圆 的切线有且只有一条，所以点 在圆上，故可得圆的方程为 ，圆心坐标为 ， ，所以过点 的切线方程为 ，化简可得 ．故命题 为真命题.
故选：C
又因为 ，所以 ，
即 周长的取值范围是 ．
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．如图所示，在三棱柱 中， 为棱 的中点．
（1）求证： 平面 ．
（2）若 平面 ， ， ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2） .
【解析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，则 为 的中点， 为棱 的中点，根据三角形中位线得到 ，再利用线面平行的判定定理证明.
①甲、乙的中位数之和为159；
②甲的平均成绩较低，方差较小；
③甲的平均成绩较低，方差较大；
④乙的平均成绩较高，方差较小；
⑤乙的平均成绩较高，方差较大．
A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤
【答案】B
【解析】根据中位数，平均数，方差的公式，算出结果，逐项验证.
【详解】
由茎叶图可得甲、乙两组数据的中位数分别为76，79，故甲、乙的中位数之和为155．
（2）取 的中点 ，连接 ，过 作 交 于点 ，根据 平面 ， ，得到 ， ， 两两垂直，以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系．分别求得平面 和平面 的一个法向量，代入公式 求解.
【详解】
（1）如图所示：
连接 交 于点 ，连接 ，则 为 的中点，
因为 为棱 的中点，所以 ．
（参考公式 ）
A．4927B．4957C．4967D．5127
【答案】B
【解析】根据锯齿形”数列 ：1，3，3，4，6，5，10， ，的规律，当 为偶数时，满足 ， 是等差数列，用通项公式求得 ；当 为奇数时，满足 ，即 ，用累加法求得 ，然后用分组求和法求解.
【详解】
由锯齿形”数列 ：1，3，3，4，6，5，10， ，可知：
设平面 的一个法向量为 ，
，
即
令 可得 ，
设二面角 的大小为 ，
则 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.
19．随着经济的不断发展和人们消费观念的不断提升，越来越多的人日益喜爱旅游观光．某人想在2019年5月到某景区 旅游观光，为了避开旅游高峰拥挤，方便出行，他收集了最近5个月该景区的观光人数数据见下表：
（2）根据 外接圆的半径为 ，由正弦定理可得 ，再由余弦定理得到 ，再利用基本不等式求解.
【详解】
（1）因为角 ， ， 成等差数列，得 ，
根据余弦定理可得
，
解得 ，
所以 ．
（2）由正弦定理可得 ，
所以 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，因为 ，
所以 （当且仅当 时取等号），
所以 ，
即 ，所以 （当且仅当 时取等号，
甲 ， 乙 ．
甲 ，
乙 ．
所以正确的说法是①③④．
故选：B
【点睛】
本题主要考查茎叶图、平均数和方差，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．执行如图所示的程序框图，要使输出的结果为 ，则①中应填的条件可以为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】执行几次次循环，找出规律，验证即可.
【详解】
执行第一次循环， ， ；
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题
17．已知在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，角 ， ， 成等差数列．
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）若 外接圆的半径为 ，求 周长的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由角 ， ， 成等差数列，得 ，根据 ， ，由余弦定理可求得 ，再由正弦定理求解.．
此时不同的涂色方法有 种，
所有可能的涂色种数是240．
故选：D
【点睛】
本题主要考查排列，组合及简单计数问题，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.
11．我们把有两个侧面是直角三角形的四棱锥称为“直角四棱锥”，如图所示是某直角四棱锥的三视图，则该直角四棱锥的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据三视图，该直角四棱锥来自于正方体，画出直观图再求解.
15．如图所示，在三棱锥 中，侧面 底面 ，底面 是边长为 的等边三角形，且 ，则三棱锥 的外接球的表面积为________．
【答案】
【解析】根据题意，易得 的中心即为三棱锥 外接球的球心，求得球的半径，代入球的表面积公式求解.
【详解】
因为 ，所以截面圆 的外心是AC的中点，
因为底面 是边长为 的等边三角形，
2019届全国100所名校最新高考冲刺卷（
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据集合的交集运算直接求解.
【详解】
因为 ， ，
所以 ．
故选：A
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.
2．已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则 （）
【解析】由已知等式求出 ，再根据模的坐标运算计算出模．
【详解】
由 得 ，解得 ．
∴ ， ， ．
故选：A．
【点睛】
本题考查求向量的模，考查向量的数量积，及模的坐标运算．掌握数量积和模的坐标表示是解题基础．
4．已知双曲线 的离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据双曲线 的离心率为 ，由 求解.
【点睛】
本题主要考查复合命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
6．对任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据不等式的结构，分 ， 两种情况讨论求解，当 时．根据二次函数的性质，利用判别式法求解.
【详解】
当 时， ，不等式成立；
当 为偶数时， ，所以 是以3为首项，1为公差的等差数列，
所以 ；
当 为奇数时， ，即 ，所以 ， ，…， ，
将上述各式两边分别相加可得 ，
而 满足该式，故当 为奇数时， ，
所以 ，
．
故选：B
【点睛】
本题主要考查数列的应用，还考查了分类讨论，转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题
13．已知等差数列 满足： ， ，则公差 ________．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将 代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案。
【详解】
由柯西不等式可知：
所以 ，当且仅当 即x＝ 时取等号，
故函数 的最大值及取得最大值时 的值分别为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题。
10．直线 ， 将圆面 分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是（）
月份
2018.12
2019.1
2019.2
2019.3
2019.4
月份编号
1
2
3
4
5
旅游观光人数 （百万人）
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合旅游观光人数少 （百万人）与月份编号 之间的相关关系，请用最小二乘法求 关于 的线性回归方程 ，并预测2019年5月景区 的旅游观光人数．
【答案】
【解析】易得抛物线的方程为 ，设直线 的方程为 ，联立方程 ，由抛物线的定义得到 ，再结合韦达定理利用基本不等式求解.
【详解】
因为点 在抛物线 上
所以
所以抛物线的方程为 ，
设 ， ．
直线 的方程为 ，联立方程
解得 ，
，
由抛物线的定义可知： ，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
所以其外接圆的圆心为其中心，又因为侧面 底面 ，
由截面圆的性质可知： 的中心即为三棱锥 外接球的球心，
设外接球的半径为 ，由正弦定理知 ，解得 ，
故三棱锥 的外接球的表面积为 ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查球的组合体问题，还考查了空间想象的能力，属于基础题.
16．已知点 在抛物线 上，过抛物线的焦点 作直线 （ 的斜率存在）交抛物线于 ， 两点，则 的最小值为________．
【详解】