高考导数大题汇编理科答案

高考导数大题汇编理科

答案

YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020

一、解答题

1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'

112()e ln e e e .x

x x x a b b f x a x x x x

--=+-+ 由题意可得'

(1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知12e ()e ln ,x x

f x x x -=+从而()1f x >等价于2

ln e .e

x x x x ->- 设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，所以当1

(0,)e

x ∈时，'

()0g x <; 当1(,)e

x ∈+∞时，'

()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e

+∞单调递增， 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为11().e e

g =-. 设函数2

()e

e

x

h x x -=-，则'()e (1)x h x x -=-，所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >； 当(1,)x ∈+∞时，'

()0h x <，故()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e

h =-

. 综上，当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >.

2. 解题指南（1）根据导数公式求出函数的导数，利用分类讨论思想求解；（2）根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点，代入函数中求解.

解析（1）2/

2

2

2(2)24(1)

()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ （*） 当1a ≥时，/

()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，由/

()0f x =

得1

x =

，（2x =-舍去）．

当1(0,)x x ∈时，/()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，/

()0f x >． 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减，在区间1(,)x +∞上单调递增． 综上所述，当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，()f x

在区间(0,

上单调递减，在区间)+∞上单调递增． 由（*）式知，当1a ≥时，/

()0f x >，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点， 必有01a <<．又()f x

的极值点只可能是1

x =

2x =-，且由定义可知，1

x a >-

且2x ≠-

，所以1a ->-

且2-≠-，解得1

2

a ≠- 此时，由（*）式易知，12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点，而

令2a -

01x <<．

记(g x

（Ⅰ）当1

- 因此，g

1()(

f x f +（Ⅱ）当0

因此，(g x

1()(

f x f + 综上所

3. (1)证明函数．

(2)解：由条

令t =

因为

当且

因此

(3)解：令函

当x ≥1时，

因此g (x )在

由于存在x 0故1

e+e

2

--令函数()

h x

当(0,e 1)x ∈-时，h ′(x )<0，故h (x )是(0,e 1)-上的单调减函数．

当x ∈(e – 1，+∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e – 1，+∞)上的单调增函数． 所以h (x )在(0，+∞)上的最小值是(e 1)h -．

注意到h (1) = h (e) = 0，所以当(1,e 1)x ∈- ⊆(0,e 1)-时，(e 1)h -)≤h (x )

①当a ∈1

e e ,e 2-⎛⎫

+

⎪⎝⎭

⊆(1，e)时，h (a )<0，即1(e 1)ln a a -<-，从而1e 1e a a --<； ②当a = e 时，1

e 1e

a a --<；

③当(e,)(e 1,)a ∈+∞⊆-+∞时，h (a )>h (e) = 0，即1(e 1)ln a a ->-，故1

e 1e a a -->．

综上所述，当a ∈1e e ,e 2-⎛⎫

+

⎪⎝⎭

时，1e 1e a a --<，当a = e 时，1e 1e a a --=，当(e,)a ∈+∞ 时，1

e 1e

a a -->．

4. 解题指南：（I ）利用'()f x 为偶函数和()y

f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -建立关于,a b 的方程

求解. （II ）利用基本不等式求解.(III)需对c 进行分类，讨论方程'()0f x =是否有实根，从而确定极值.

解析：（I ）对()f x 求导得'

22()22x

x

f x ae

be

c -=+-，由()f x '为偶函数，知'

()'()f x f x -=，

即222()()0x x a b e e --+=，因220x x e e -+>，所以a b =. 又'(0)224f a b c c =+-=-，故1,1a b ==. （II ）当3c =时，22()3x

x

f x e e

x -=--，那么

故()f x 在R 上为增函数.

(III)由（Ⅰ）知'22()22x x f x e e c -=+-，而2222222224,x x x x e e e e --+≥⋅=当0x =时等号成立. 下面分三种情况进行讨论.

当4c <时，对任意22,()220x x x R f x e e c -'∈=+->，此时()f x 无极值； 当4c =时，对任意220,()220x x x f x e e c -'≠=+->，此时()f x 无极值；

当4c >时，令2x e t =，注意到方程2

20t c t

+

-=有两根2

1,2160c c t ±-=

>， 即'()0f x =有两根112211

ln ln 22

x t x t ==或.

当12x x x <<时，'()0f x <；又当2x x >时，'()0f x >，从而'()f x 在2x x =处取得极小值；

综上，若'()f x 有极值，则c 取值范围为()4,+∞.

5. 解题指南（1）先求导数，结合解不等式求解函数的单调区间；（2）利用单调性与导数

的关系求解字母的取值范围.

解析⑴当b

()(2f x '=令()0

f x '=当2x <-或

减；

在(2,0)-上

(0)4f =.

⑵因为

()(2f x '=得253

(

x

b -≤6. 解析：（

因为

当a

(1)f ）处的

（Ⅱ

令

由 当1

x x < 当

当

由