圣维南原理的概念及应用

x
MyPxy
I
I
xyQ IBS2PIh42
y2
（a）
代入平衡微分方程：
y 0
式（a）满足平衡方程和相容方程？
式（a）是否满足边界条件？
x Py,
x I
xy
y
P y, I
xy 0,
x
y y
0,
x
x
xy
y
X
0
yx y Y0
x y
（2-2）
P I yP I y00
0000
XY0
显然，平衡微分方程满足。
q1
q1
q1
q1
x
x
q2 y
y
HPU
q2
x
q2 y
（4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用 q2
q1
q1
q1
q1
x
x
q2
x
q2 y
y
q2 y
叠加后的应力：
r q 1 2 q 2(1 a r2 2) q 1 2 q 2(1 a r2 2)1 (3 r a 2 2)c2 os
d 4 d f( 4 r) r 2 rd 3 d f( 3 r) r r 9 2d 2 d f( 2 r) r r 9 3d d (r) fr 0 与前面类似， 令： ret(或 tlnr) 有
d4 d f4 (tt) 4d3 d f3 (t) t 4d2 d f2 (tt) 1d 6 d (tf)t0
该方程的特征方程：
4 43 42 16 0
特征根为： 1 4, 2 2, 3 0, 4 2
方程的解为： f(t)A4te B2te C D 2te
HPU
f(rA )4rA B 4r 2rB C 2r C D r12D c r12o2sf(r)co2s
A4rB2rCDr12co2s 问题2
高等岩石力学
第二讲：特殊边界处理与网格划分问题
平面问题的基本方程
1. 平衡微分方程
x x
yx y
fx
0
xy x
y y
fy 0
（2-2）
2. 几何方程
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
（2-9）
3. 物理方程
x E1(x y) y E1(y x) （2-15）
xy2(1E)（平xy面应力问题）
4
r
q cos2
2
r
qsin2
2
代入应力分量式（e）, 有
r q 2(1a r2 2)1(3ra22)co2s
HPU r q2r 1 3q 2ar(1 44 ca r2 2 o)2s1 (3 ra 22)si2 n （f）
将问题1和问题2的解相加, 得全解：
rq 2(1a r2 2)q 2(1a r2 2)1 (3 ra 2 2)co 2 s
应力集中系数： K max
与孔的形状有关，是局部现象； （圆孔为最小，其它形状较大）
与孔的大小几乎无关。
2. 孔边应力集中问题的求解
（1）问题：
带有圆孔的无限大板（B >>a），圆 孔半径为 a，在无限远处受有均匀拉应力 q 作用。
求：孔边附近的应力。
HPU
max
（2）问题的求解
问题分析 坐标系： 就外边界（直线），宜用直角坐标；
P
P
P/2
P/2
P A
P
P A
P A
3.、圣维南原理的应用
(1) 对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
注意事项：
(1) 必须满足静力等效条件；
(2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。
如：
主要边界
A
B
P
P A
代入相容方程：
x22 y22(xy)0
x22 y22P I xy0 0
式（a）满足相容方程。
再验证，式（a）是否满足边界条件？
上、下侧边界：
yy h 0 , yx y h 0
2
2 ——
满足
左侧边界：
xx00
——满足
h
2 h xy
dyP ——近似满足
2
x0
右侧边界：
h
2 h xy
力作用。即
fx fy 0
AB 边界： l1co1,sm sin 1
由应力边界条件公式，有
l(x)s m(xy)s fx
m(y)s l(xy)s fy
cos1x sin1xy0（1） sin1y cos1xy0
AC 边界：
l2 cos2
m2 sin1
代入应力边界条件公式，有
cos2x sin2xy0（2） sin2y cos2xy0
HPU
r
rb
qcos2
2
r
ra
qsin
2
（c）
2B4C6Dq b2 b4 2
问题2 a
6A2b2B2 bC 2 6 bD 4 q 2
4C 6D 2Ba2 a4 0
求解A、B、C、D，然后令
b
r
r
6A2a2B2aC 2 6aD 4 0a A0, B q , C qa2,
/
b=
D
0，得
q
a
4
4
就内边界（圆孔），宜用极坐标。
取一半径为 r =b (b>>a），在其上取一 点 A 的应力：
由应力转换公式：
O
rx 2 y x 2 yco 2 sxs y i2 n
q qcos2
y
22
rx 2ysi2 nx y co2s
q sin2
2
原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。
HPU
b
h
(
y
)
dx
y0
Psin
必须按正向假设！
上端面：（方法2） 取图示微元体， 由微元体的平衡求得，
Fy 0
h
h y
dxPsin0
y0
h h y
d xPsi n
y0
MO0
h h
y
xdxP hsin0
y0
2
h h
(
y
) y0
xdx
P
h 2
sin
h
Fx 0
h
yx
dx Pco s0
x xh 0
xy
xh
0
右侧面： l1,m0 fx y, fy 0 代入应力边界条件公式，有
对O点的力矩等效：
h h
(
y
)
y0
xdx
P
h 2
sin
x xh y
xy xh 0
x方向力等效：
h
h
(
yx
)
d
y0
x
Pcos
, 上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。 h
注意：
y xy
y方向力等效：
a
相应的应力分量：
r
1 1
r r r2
2 2
(2B4rC 2 6rD 4)co2s
2
r 2
(1A 22r2B6rD 4)co2s
（e）
r
b
r
r
q cos2
2
r
r
1r
(6A2r2B2 rC 26 rD 4)si2 n r
qsin2
2
对上述应力分量应用边界条件（c）, 有
内边界
r ra 0 外边界 r ra 0
a2 r2
q 2
r 0
（d）
HPU
问题2的解：（非轴对称问题）
内边界
r ra 0 外边界 r ra 0
r r
rb rb
qcos2问题2
2
qsin2
2
（c）
由边界条件（c），可假设： r 为 r 的某一函数乘
以
cos2；
为r
r
的某一函数乘以
sin2。
又由极坐标下的应力分量表达式：
r
1rr r12
y( s i)n xy ( c o ) s y s in
右侧面： lco ,smsin xytan
co sxsi nxy 0
fx fy 0
sin yx co sxy 0
例4 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，
证明在板中间突出部分的尖点A处无应
力存在。
解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面
y
问题1
a
问题2
a
HPU
b
r q
b
r
qsin2
2
r
q cos2
2
问题1的解：
问题1
内边界
r
ra
0
外边界
r ra 0
该问题为轴对称问题，其解为
r
r b
q 2
（b）
r rb 0
r
1
1
a2
r2 a2
b2
q 2
1
1
a2
r2 a2
b2
q 2
r 0
a
b
r
q 2
当 b>>a 时，有
r
1
a2 r2
q 2
1
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
问题的提出：
求解弹性力学问题时，使应力分量、
P
P
形变分量、位移分量完全满足8个基本方程
相对容易，但要使边界条件完全满足，往往
很困难。
P
如图所示，其力的作用点处的边界条 件无法列写。
1. 、静力等效的概念
两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系
A (r, )
r A
x
A x q
A
r r
b
r r
新问题的边界条件可表示为：
内边界 r ra 0
r ra 0
外边界
r
rb
qqco2s
22
r
rb
qs 2
in2
（a）
将外边界条件（a）分解为两部分：
r
r b
q 2
r rb 0
（b）
r r
rb rb
qcos2
2 qs
（c）
in2
2
a
x
b
r r
4. 边界条件
位移： 应力：
u v
s s
u v
（2-17）
l(x)s m(xy)s fx
m(y)s l(xy)s fy
（2-18）
例1 如图所示，试写出其边界条件。
q
(1)
x 0,
u v
s s
0 0
u 0, v 0 y x
h
hx
(2) xa, l 1,m0 fx 0, fy 0
l(x)s m(xy)s fx
为静力等效力系。
R F i
M O m O(Fi)
这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正 确，但对变形体而言一般是不等效的。
2.、圣维南原理 (Saint-Venant Principle)
原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布 不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有 显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。
0
q
2q
3q
（2） 沿 y 轴，θ =90°，环向正应力：
q(112ar2223ar44)
r
HPU
a
2a
3a
4a
3q
1.22q
1.07q
1.04q
（3） 沿 x 轴，θ =0°，环向正应力：
qa2 2r2
3a2 (2r2
1)
ra, q;
r 3a, 0
（4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用 q2
2 2
r r1r
可假设应力函数为：
f(r)co2s
a
b
r
r
r
q cos2
2
r
qsin2
2
将其代入相容方程：
HPU
r22 1rrr12 2220
d 4 d f( 4 r) r 2 rd 3 d f( 3 r) r r 9 2d 2 d f( 2 r) r r 9 3d d (r) f rc2 o s 0
y0
P
x
yx
y
h
h
(
yx
)
dx
y0
Pcos
y
注意： y , xy
可见，与前面结果相同。
必须按正向假设！
例9
图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据
材 压料 应力 力学公y式=，0，写然出后弯说曲明应这力些 表x 达和式剪是应否力代表xy 正的确表解达。式，并取挤
解 材料力学解答：
dy P
2
xl
h
2 h x
dy 0
2
xl
h
2 h x
ydyPl
2
xl
近似满足
结论：式（a）为正确解
§4-9 圆孔的孔边应力集中
圆孔 应力集中：应力集中程度
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
03.06.2020
ZS
1. 孔边应力集中概念
由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力， 也远大于距孔稍远处的应力。 称为孔边的应力集中。
∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界，∴ 满足式（1）和（2），解得
x y xy0
∴ A 点处无应力作用
§2-8 圣维南原理
1. 静力等效 2. 圣维南原理及其应用
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
03.06.2020
ZS
1. 为什么要用圣维南原理？ 2. 如何应用圣维南原理？ 3. 圣维南原理中主矩的方向是如何定义的？ 4. 圣维南原理中主矩是对那个点取矩？ 5. 圣维南原理中边界的面力和应力的关系？ 6. 什么是主要边界？什么是次要边界？ 7. 为什么正应力对中心点取矩不为零？
说明：
x = 0 的边界条件，是有矛 盾的。由此只能求出结果：
ys q ,xy s 0
u0,v0.
例3 图示水坝，试写出其边界条件。
左侧面： lco ,m ssin
xytan
fx ycos fy ysin
由应力边界条件公式，有
l(x)s m(xy)s f x
m(y)s l(xy)s fy
x( c o ) s xy ( s i)n y c os
b
q 21a r2 2q 213a r4 4co2s （4-17）
A(r, )
rrq 2(1a r2 2)1 (3 ra 22)si2n—— 齐尔西（G. Kirsch）解
讨论：（1） 沿孔边，r = a，环向正应力： q(12co2s) （4-18）
0°
30° 45° 60° 90°
－q
m(y)s l(xy)s fy
xs0 ,Biblioteka Baiduxy s0
(3) y h, l0,m1 fx 0, fy q
a y
(4) y h, l0,m1 fx 0, fy 0
xs0xys(1)0 y s(1)xys00
ys0 ,xy s0
xs0xys(1)0 y s(1)xys0q
次要边界
课堂练习与讨论
例7
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
03.06.2020
ZS
例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出
y
yx
水坝的应力边界条件。
左侧面： l 1,m0 fx fy 0
代入应力边界条件公式
l(x)s m(xy)s fx m(y)s l(xy)s fy