三角形重心
三角形的重心的性质(一)
三角形的重心的性质（一）引言：三角形是几何学中非常重要的一个形状，而重心则是三角形的一个重要特征。
本文将深入探讨三角形重心的性质，包括定义、重心的位置与性质、与其他特殊点的关系以及相关的定理。
正文：一、三角形重心的定义1. 定义：三角形的重心是三条中线的交点，即三边中点连线的交点。
二、重心的位置与性质1. 重心的位置：重心位于三角形中线上的2:1处，离每条中线的起点的距离是中线长度的2/3。
2. 重心的坐标：根据三角形顶点的坐标可以求得重心的坐标，即三个顶点的坐标的均值。
3. 重心的性质：重心将三角形分成六个小三角形，其中三个小三角形的面积相等。
4. 重心与几何中心的关系：重心也是三角形的质心、内心和外心的连线的交点。
三、重心与其他特殊点的关系1. 重心与垂心的关系：重心是垂心到三顶点连线的中点。
2. 重心与重心连线：三角形的重心之间连成一线段，这条线段称为重心连线，且重心连线与垂心连线垂直。
四、重心相关的定理1. 重心定理：三角形的三个顶点与重心的距离之和等于三角形边长之和的三分之一。
2. 已知重心求顶点坐标：已知三角形重心的坐标，可以求得顶点的坐标，通过重心的定义和坐标计算可得。
五、总结通过以上的探讨，我们得出了以下关于三角形重心的性质：1. 重心是三角形中线的交点，位于中线上的2:1处。
2. 重心将三角形分为六个面积相等的小三角形。
3. 重心是三角形的质心、内心和外心连线的交点。
4. 重心与垂心连线垂直，是垂心到三顶点连线的中点。
5. 已知重心的坐标可以求得三角形顶点的坐标。
6. 重心定理给出了重心与三角形顶点之间距离的关系。
本文仅对三角形重心性质进行了初步介绍，未来的研究中还有更多的性质和定理值得深入探索。
三角形的重心外心和内心
三角形的重心外心和内心在几何学中，三角形是最基本且最常见的几何形状之一。
三角形的重心、外心和内心是三角形内部特殊点的代称。
它们具有重要的几何性质和应用价值。
本文将会详细介绍三角形的重心、外心和内心的概念、性质以及相关应用。
重心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母G表示。
重心是三条中线的交点，其中中线是连接三角形各顶点与对应中点的线段。
重心在中线上的位置为距离两个端点的距离与中点距离的比例为2:1。
由于三角形的三条中线都经过重心，因此重心是三角形的一个几何中心。
在重心处，三角形被等分为六个面积相等的三角形。
此外，重心的几何位置使得重心到三个顶点的距离之和最小，即满足最小总距离条件。
外心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母O表示。
外心位于三角形的外部，且与三个顶点都相切。
外接圆是以三角形的三个顶点为切点的圆，外心就是外接圆的圆心。
外心到三个顶点的距离都相等，而且外心到三边的距离也相等。
三角形的三条中垂线都经过外心，因此外心也是三角形的一个几何中心。
外心是三角形内接圆和外接圆的交点之一。
内心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母I表示。
内心位于三角形的内部，且与三条边都相切。
内接圆是以三角形的三边为切线的圆，内心就是内接圆的圆心。
内心到三条边的距离都相等，而且内心到三个顶点的距离之和最小。
三角形的三条角平分线都经过内心，因此内心也是三角形的一个几何中心。
三角形的重心、外心和内心在实际生活中有着广泛的应用。
在建筑和工程领域，三角形的重心可以用于确定建筑物的结构平衡。
在航空航天领域，外心可以用于确定飞机或者火箭的重心和稳定性。
在地理测量和导航领域，内心可以用于计算地图上各个地点的方向和距离。
总结起来，三角形的重心、外心和内心是三角形内部特殊点的代称，它们具有重要的几何性质和应用价值。
重心是三条中线的交点，外心是外接圆的圆心，内心是内接圆的圆心。
它们在解决实际问题中起着重要的作用。
通过研究和理解三角形的重心、外心和内心，可以帮助我们更好地认识和应用几何学知识。
三角形的重心
三角形的重心在我们的数学世界中，三角形是一个极其基础且重要的图形。
而三角形的重心，作为三角形的一个重要特性，有着独特的性质和广泛的应用。
首先，让我们来明确一下，什么是三角形的重心。
简单来说，三角形的重心就是三角形三条中线的交点。
那什么又是中线呢？连接三角形顶点和它对边中点的线段就叫做中线。
为了更直观地理解三角形的重心，我们不妨动手做一个小实验。
拿一张稍硬的纸，画出一个三角形，然后找出三条边的中点，连接顶点和中点画出中线。
这时，你会发现这三条中线相交于一点，这个点就是三角形的重心。
三角形的重心有一些非常有趣的性质。
其中一个重要的性质是，重心到三角形顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这意味着，如果我们把重心和顶点相连，并延长这条线，使其与对边相交，那么重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的两倍。
比如说，在三角形 ABC 中，G 是重心，连接 AG 并延长交 BC 于 D。
那么就有 AG ＝ 2GD。
同样的道理，BG ＝ 2GE，CG ＝ 2GF，其中 E、F 分别是 AC、AB 的中点。
为什么会有这样的比例关系呢？我们可以通过一些简单的几何证明来理解。
以证明 AG ＝ 2GD 为例。
连接 BE，因为 E 是 AC 的中点，所以三角形 ABE 和三角形 CBE 的面积相等。
又因为三角形 AGB 和三角形 BGD 分别以 AG 和 GD 为底时，高相同，且三角形 ABE 的面积是三角形 AGB 面积的两倍，三角形 CBE 的面积是三角形 BGD 面积的两倍，所以 AG ＝ 2GD。
三角形重心的另一个重要性质是，它是三角形的几何中心。
这意味着，如果我们把三角形看成是一块均匀的薄板，那么重心就是薄板的平衡点。
也就是说，如果用一个支点支撑在重心的位置，三角形薄板能够保持平衡。
这个性质在实际生活中有很多应用。
比如在建筑设计中，为了保证建筑物的结构稳定，工程师们需要考虑重心的位置。
如果建筑物的重心不在合理的位置，就可能会出现倾斜、倒塌等危险情况。
三角形重心位置的确定方法
三角形重心是三角形三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形)
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]; 空间直角坐标系--X坐标:(X1+X2+X3)/3，Y坐标:(Y1+Y2+Y3)/3，Z坐标:(Z1+Z2+Z3)/3.
5.三角形的重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6：重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.
三角形重心公式推导：
△ABC中:AD是BC的中线,BE是AC的中线,AD,BE交于O,连CO延长交AB 于F,请证明:F是AB的中点.
设△BOD=△COD=x(都是面积,下同)△COE=△AOE=y,△AOF=m,△BOF=n,
设△ABC面积为1,由D是BC的中点,E是AC的中点,
∴2x+y=1/2(1)x+2y=1/2(2)∴x=y=1/6.由△ACF=1/2,∴m+2y=1/2m=1/2-1/3=1/6.同理:n=m=1/6.∴AF=BF,即CF也是AB的中线,∴O是△ABC的重心.。
三角形重心的坐标公式
三角形重心的坐标公式
三角形重心坐标公式：x=（x1+x2+x3）/3，y=（y1+y2+y3）/3。
重心是指地球对物体中每一微小部分引力的合力作用点。
物体的每一微小部分都受地心引力作用（见万有引力），这些引力可近似地看成为相交于地心的汇交力系。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）。
直角三角形的重心
直角三角形的重心
三角形重心是三角形三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
直角三角形的重心在斜边中点，等腰三角形的重心是三条高的交点(所有的都是),它和它的中心、内心、外心在同一条直线上,也叫心连心。
扩展资料：
1、内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
2、外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
3、重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
4、垂心是三条高的点，它能构成很多直角三角形相似。
5、旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心扫三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。
三角形重心是什么
三角形重心是什么
三角形重心是三角形三条中线的交点，有且只有一个交点，说明每个三角形只有一个重心。
且三角形的重心只能在三角形的内部。
三角形分为直角三角形、锐角三角形与钝角三角形，他们的重心位置不同。
下面为大家分享这三类三角形重心的画法。
一、直角三角形
分别找到各个边的中点，依次与对角相连，最终得到的交点即为直角三角形的重心
二、锐角三角形
锐角三角形以等边三角形为例，等边三角形的重心亦为垂心，即三角形三条高连线的交点。
只有等边三角形的重心与垂心重合，其他三角形无此类情况。
三、钝角三角形
钝角三角形重心的画法与其他三角形一样，先找到各个边的中心，然后连接所对的角即可得到交点。
最后希望对你有所帮助。
三角形重心定理
一、三角形重心定理 二、三角形外心定理 三、三角形垂心定理 四、三角形内心定理 五、三角形旁心定理 三角形五心定理二、三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等 三、三角形垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3 ）。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的重心与垂心
三角形的重心与垂心三角形是解析几何学中一个重要的概念，它由三个点组成，而在三角形中，有两个特殊的点，一个是重心，另一个是垂心。
本文将就三角形的重心与垂心展开探讨并说明它们的性质和作用。
一、三角形的重心重心是指三角形三条中线的交点，它被平分为三个部分。
设三角形的三个顶点分别为A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)，则重心G(x, y)的坐标可以通过以下公式求得：x = (x₁ + x₂ + x₃) / 3y = (y₁ + y₂ + y₃) / 3重心是三角形内部的一个点，在几何形状的分析中具有重要的作用，它具有以下几个性质：1. 重心位于三角形三条中线的交点，且到三角形的三个顶点距离相等，这意味着重心到三个顶点的距离相等，体现了平衡的概念。
2. 重心将三角形分为三个相等的小三角形，每个小三角形的面积相等。
3. 当三角形的形状改变时，重心的位置也会相应改变，但仍然位于三角形内部。
4. 如果将三角形看作是一个物体，则该物体在重心处具有平衡的作用，即当物体在重心处支点转动时，平衡不会被破坏。
重心在实际应用中也有广泛的用途，比如在建筑、航空航天、机械设计等领域，经常需要考虑到物体的平衡性，而重心的概念可以帮助工程师进行结构设计和分析。
二、三角形的垂心垂心是指三角形三条高的交点，它的坐标称为H(x, y)。
对于任意一个三角形ABC，垂心的坐标可以通过以下公式求得：x = (a²x₁ + b²x₂ + c²x₃) / (a² + b² + c²)y = (a²y₁ + b²y₂ + c²y₃) / (a² + b² + c²)其中，a、b、c分别为三角形的边长，(x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)分别为三角形的三个顶点坐标。
垂心也是三角形中的一个重要点，它具有以下几个性质：1. 垂心是三条高的交点，即从垂心到三角形的三个顶点的线段互相垂直。
三角形的重心
三角形的重心三角形几心R：实数集Q：有理数集Z：整数集N：自然数集在这些字母后面加+的表示正的部分N+：正自然数集即正整数集Z+：正整数集R+：正实数集在字母右面加*的表示除0以外的部分N*：除了0的自然数集即正整数集Z*：非零整数集R*：非零实数集集合通常表示为大写字母A，B，C……。
而元素通常表示为小写字母a,b,c……。
重心、垂心、内心和外心。
正心是只有等边三角形才具有的，此时这四心合一。
一、重心是三角形三边中线的交点重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
证明：刚才证明三线交一时已证。
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
二、垂心是三角形的三条高的交点垂心的性质：设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
三角形的重心是哪三条线的交点
三角形的重心是三条中线的交点，垂心是三条高线的交点，外心是三边中垂线的交点，内心是内角平分线的交点。
三角形的三条中线必相交，交点命名为“重心”，重心分割中线段，线段之比二比一。
任何三角形都有五心，分别是重心、垂心、外心、内心、旁心。
重心：三角形三边中线的交点，为三角形的重心；在三角形的内部；重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。
垂心：三角形三边高线的交点，为三角形的垂心；锐角三角形垂心在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部。
外心：三角形三边垂直平分线的交点，为三角形的外心；锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部；此点为三角形外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，这个距离叫外接圆半径R。
内心：三角形三内角平分线的交点，为三角形的内心；在三角形的内部，此点为三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等，此距离为内切圆半径r。
旁心：三角形相邻二外角的平分线的交点，为三角形的旁心。
任何三角形都有三颗旁心，且不相邻的内角平分线过旁心，旁心到三边的距离相等。
三角形的重心
法A：
1.相似三角形面积之比
等于相似比的平方；
E G
2.等底或同底的两个三 F 角形面积之比等于高之
比；
B
D
3.等高或同高的两个三 角形面积之比等于底之 比.
C
小结 A
1.三角形的重心定理:
三角形的重心与顶点的距离 等于它与对边中点的距离的 两倍。
E
F
G
B
D
C
2.掌握常用的数学解 题方法。如利用比例 线段证线段相等以及 有关面积的解题方法
A
A
E
F
G
E
F
G
B
D
CB
C
现在，轮到我 来考你们了！
A
D
E
G
M
N
B
C
这节课就上 到这，回去 后好好复习！
E
F
G
B
D
C
A
E G
B
?
D
C
Hale Waihona Puke 判断题1、等边三角形三条高的交点 就是它的重心.
2、三角形的重心到一边的距 离等于这边上中线长的三分之 一.
A
G
B
C DEF
三角形的重心到一 边中点的距离等于这边 上中线长的三分之一.
三角形的重心到一 边的距离等于这边上高 的三分之一.
练一练:
1.如图5，△ABC中，AD是BC边上 的中线，G是重心，如果AG=6， 那么线段DG= 3 。
练一练:
2、 在△ABC中，中线AD、BE相交于点O， 若△BOD的面积等于5，则△ABC的面积
为 30 。
练一练:
3、 如图，在Rt△ABC中，∠A=30°， 点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC 的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，
三角形的重心、垂心、内心、外心
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
（三条中垂线的交点）外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
(即三条角平分线的交点) 内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC4、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
三角形重心知识点总结
三角形重心知识点总结三角形是初中数学中重点学习的内容之一，其中三角形的重心也是一个非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将对三角形重心的相关知识进行总结。
一、什么是三角形重心三角形是由三条边和三个角组成的图形，它是几何学中最基本的概念之一。
而三角形的重心则是三角形内部的一个点，它被三条中线所交叉的点。
三角形的中线分别是连接每个角的对边中点的线段，它们交于三角形的一个点，这个点就是三角形的重心。
重心通常用字母G 表示。
二、三角形重心的特点1. 重心是三条中线交点三角形的重心是三条中线的交点，即三个中点所构成的点。
2. 重心到顶点的距离比相等三角形三个顶点到重心所连的线段长度相等。
也就是说，重心到每个顶点的距离是相等的。
3. 重心所在直线是中位线连接重心和中点的线段就是三角形的中位线。
4. 重心将中线按比例分割以重心为顶点的三角形，与原三角形的各个边成比例。
三、三角形重心的性质1. 重心位于三角形重心所在直线上三角形三条中线的交点即为三角形的重心。
这个交点所在的直线被称为三角形重心所在直线。
2. 重心到三角形各顶点距离之和最小重心到三角形各顶点的距离之和最小，且一定小于任何一个三角形内部的点到三角形各顶点距离之和。
3. 重心分离定理在三角形内，以重心为圆心、以重心到任一顶点长度为半径所画的圆，与三角形外接圆相内切。
4. 重心定理重心所在直线把三角形面积分为 $2:1$。
5. 等腰三角形的重心落在中线交点处在等腰三角形中，重心与垂足重合，也就是重心位于中线交点处。
四、三角形重心相关例题1. 如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接AF交DE于K，连接BE交CD于L，连接AC交DE 于M，求KLM三角形的重心。
解：首先我们需要确定三角形ABC的重心G，它是三条中线的交点。
然后根据重心的性质，我们可以得知重心到三角形各顶点的距离一定相等。
因此，在三角形ABC中，AG=BG=CG。
我们知道，三角形的中线将对边分成两段相等的部分，因此AE=EC，BE=BD，CF=FA。
第三节三角形的重心
§3 三角形的重心基础知识性质1 三角形的重心是三角形三条中线的交点.性质2 设G 为ABC ∆的重心，连AG 并延长交BC 于D ， 则D 为BC 的中点，AG ：GD 2=：1， 且()22224121BC AC AB AD -+=. 性质3 设G 为ABC ∆的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ， 交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ， 过G 作KH ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则 （1）32===AB KH CA FP BC DE ； （2）2=++ABKH CA FP BC DE . 性质4 设G 为ABC ∆的重心，P 为ABC ∆内任一点，则 （1）22222223PG CG BG AG CP BP AP +++=++； （2）()22222231CA BC AB GC GB GA ++=++. 注 三角形中的莱布尼兹公式：()2222222313CA BC AB PG CP BP AP +++=++ 性质5 设G 为ABC ∆内一点，G 为ABC ∆的重心的充要条件是下列条件之一：（了解必要性即可） （1）ABC GAB GCA GBC S S S S ∆∆∆∆===31； （2）当点G 在三边BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F 时，GF GE GD ⋅⋅值最大； （3）当AG 、BG 、CG 的延长线交三边于D 、E 、F 时，CEG BDG AFG S S S ∆∆∆==； （4）过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，3=+AQACAP AB ； （5）222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+.性质6 设P 是锐角ABC ∆内一点，射线AP 、BP 、CP 分别交边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则P 为ABC ∆重心的 充分必要条件是DEF ∆∽ABC ∆.例题讲解例1 过ABC ∆的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分.试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的91.例2 在ABC ∆中，G 为重心，P 为形内一点，直线PG. 求证：3=''+''+''GC PC G B P B G A P A .例3 如图，M 、N 、P 分别为正ABC ∆、正DCE ∆、正BEF ∆的重心.求证：MNP ∆为正三角形.例4 设O 为ABC ∆的外心，AC AB=，D 是AB 的中点，G 是ACD ∆的重心.求证：CD OG ⊥.ABCBCBCEBF例1 过ABC 的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分.试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的91. 证明：如图，作三角形三边的两个三等分点，过三等分点作边的平行线，分该三角形为9个等面积的小三角形。
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