91知识讲解_复数(基础)

高考总复习：复数

编稿：孙永钊 审稿：张林娟

【考纲要求】

1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；

2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。

3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、复数的有关概念

1.虚数单位i :

（1）它的平方等于1-，即2

1i =-；

（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；

（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；

（4）i 的周期性：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）.

2. 概念

形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。

说明：这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。

3.复数集

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C

4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：

对于复数z a bi =+（,a b R ∈），

当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；

当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；

当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数；

当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0.

所以复数的分类如下: z a bi =+（,a b R ∈）⇒(0)(0)00b b a b =⎧⎨≠⇒=≠⎩

实数；虚数当且时为纯虚数 5.复数相等的充要条件

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即： 如果,,,a b c d R ∈，那么a bi c di a c b d +=+⇔==且.

特别地: 00a bi a b +=⇔==.

应当理解:

（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.

（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

6.共轭复数：

两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：

复数z a bi =+和z a bi a bi =+=-（,a b R ∈）互为共轭复数。

考点二：复数的代数表示法及其四则运算

1.复数的代数形式:

复数通常用字母z 表示，即a bi +（,a b R ∈），把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式。

2.四则运算

()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±；

()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++； 复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：

2222

()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d c d ++-+-===+++-++。 考点三：复数的几何意义

1. 复平面、实轴、虚轴：

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z a bi =+（,a b R ∈）可用点(,)Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数。

对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是000z i =+=表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−

→一一对应

复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

2.复数的几何表示

（1）坐标表示:在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）；

（2）向量表示:以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+.

向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模，记作||a bi +.即22||||0z OZ a b ==+≥.

要点诠释:

（1）向量OZ 与点(,)Z a b 以及复数z a bi =+有一一对应；

（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。

3.复数加法的几何意义： 如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP 、2OP ，那么以

1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS 就是12z z +的和所对应的向量。

4.复数减法的几何意义：

两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。

要点诠释:

1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；

2.求解计算时，要充分利用i 的性质计算问题；

3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；

4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。

【典型例题】

类型一：复数的有关概念

【例1】设复数22

lg(22)(32)z m m m m i =--+++，试求实数m 取何值时，复数z 分别满足：

(1)z 是纯虚数； (2)z 对应的点位于复平面的第二象限。

【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。

【答案】

(1)当22lg(22)0320

m m m m ⎧--=⎪⎨++≠⎪⎩即3m =时，复数z 是纯虚数；

(2)当22lg(22)0320m m m m ⎧--<⎪⎨++>⎪⎩即11m -<<-13m <<时，复数z 对应的点位于复平面的第二象限.【总结升华】

复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：z a bi R =+∈⇔0b =⇔z z =⇔

20z ≥(,a b R ∈)；z a bi =+是纯虚数⇔00a b =≠且⇔0z z +=（0z ≠）⇔20z <； 举一反三：

【变式1高清视频例题1】复数12ai i

+-为纯虚数，则实数a 为( )． A ．2 B ．－2 C ．－

12 D. 12 【答案】A 【解析】1(1)(2)2212(2)(2)55

ai ai i a a i i i i +++-+==+--+， 由纯虚数的概念知：25

a -＝0，∴a ＝2.