第讲余数问题
数学秋季教案 四年级-8 余数问题
4.总结交流。
答案：
235÷18=13……1
1×1×1×1×1=1
答：被除数是395，除数是17。
三、巩固应用、尝试成功。
（一）拓展问题4
4.在一道除法算式中，被除数比除数的25倍多3。被除数、除数、商、余数的和是369，除数是多少？
1.学生读题，分析题目。
2.师生合作，教师提示。
师：分析这道题目，与我们之前做的例4，例5有什么不同之处呢？
生：之前的题目告诉了四个量之间的和，还已知了商和余数具体是多少，但这道题目没有给出来。
1.学生读题，明确题意。
2.教师引导。
师：在一道除法算式中，被除数，除数与商有什么关系呢？大家列举出来。
生：被除数÷除数=商；
被除数÷商=除数；
商×除数=被除数。
师：根据这些关系，结合题目中的数目，你能得出什么？
生1：已知被除数，除数和商的和，还知道了商，所以被除数+除数=674-26。
生2：因为被除数=商×除数，也就是被除数=26×除数。
3.学生独立完成，同桌之间相互交流。
4.总结交流。
答案：
现除数：(1039-7-4×5-4×5)÷（7+1）=124
原除数：124÷4=31
原被除数：31×7+5=222
答：原来的被除数是222，原来的除数是31。
四、拓展视野
5个235相乘，再来除以18，余数是多少？
1.学生读题，寻找思路。
2.师生合作。
答案：
35÷11=3（箱）……2（箱）
答：分完后还剩2箱矿泉水没人搬。
(35×3)÷(11×3)=3（箱）……6（箱）
答：每人搬运一次后，地上还剩6箱“芬达”。
余数问题
余数问题“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。
所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。
1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。
例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、，下同】2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。
例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。
例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。
一.求被除数类 1. 同余加余，同差减差例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和3的最小数，一.求被除数类1. 同余加余，同差减差例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和3的最小数，[5、3]=15，15+3=18，18÷7=2……4不余6，（不对）15×2=30（30+3）÷7=4……5不余6（不对）（15×3+3）÷7=6……6（对）所以满足条件的最小数是48。
数学运算余数问题
数学运算余数问题
在数学运算中，余数问题是一个常见的问题类型。
余数是指在整数除法中，被除数减去除数与商的乘积后得到的剩余部分。
例如，在计算 10 ÷ 3 时，商是 3，除数是 3，被除数是 10。
根据余数的定义，我们可以计算得到余数为 1，因为 10 - 3 × 3 = 1。
在解决余数问题时，我们需要掌握几个关键点：
余数必须是一个非负整数，即余数大于等于0。
如果被除数小于除数，那么余数为0。
余数是除法的结果的一部分，它反映了被除数未被完全除尽的部分。
余数有特定的性质，如余数的和等于两个被除数的和除以除数的余数，余数的乘积等于两个被除数的乘积除以除数的余数等。
这些性质在解决复杂数学问题时非常有用。
在解决具体问题时，我们需要根据题目的要求和条件来选择合适的方法。
例如，我们可以通过整除的性质来确定余数的范围，或者通过循环计算来找到满足条件的余数。
同时，我们还需要注意运算的顺序和精度，以避免出现错误的结果。
总之，余数问题是一个重要的数学概念，它涉及到整数除法、模运算等多个方面。
通过掌握余数的定义、性质和解题技巧，我们可以更好地解决各种数学问题。
二年级下册数学课件(数学思维)-第8讲 余数问题｜全国通用 (21页)PPT
答：李老师原来有26张画片。
举一反三
莉莉和5名小朋友一共要做32朵花，平均每名小朋友做几朵花？ 莉莉需要多做几朵，才能完成任务？
32 ÷ 6 = 5（朵）……2（朵）
答：平均每名小朋友做5朵花，莉莉 需要多做2朵，才能完成任务。
举一反三
一个游乐项目玩一次需5元，李老师带了43元，可供几人玩？
摆一摆 用火柴棒摆正方形。
（3）用15根摆
除数大于余数法！
列式：15÷4=3（个）……3（根）
列一列 看图填空。
（19 ）÷（ 5 ）=（ 3 ）……（ 4 ） 想一想：可以互换吗？ 除数大于余数法！
19÷5=3……4
练一练
巧算余数，再填空。
（1）48÷（ 5 ）=9……3 （2）（ 35 ）÷（ 9 ）=3……8 （3）（26 ）÷6=4……2 （4）67÷（ 9 ）=7……4 （5）在算式（ ）÷8=6……（
15 ÷ 4 = 3（张）……3（人）
3 + 1 = 4（张） 答：不够，需要4张桌子。
余数不能舍， 添份才oK!
练一练
有22名小朋友要过河，每条船上最多可以坐6名小朋友， 至少需要几条船才可以把所有小朋友送过河？
22 ÷ 6 = 3（条）……4（名） 3+1=4（条）
答：最少需要4条船。
拿一拿
最大时，被除数是（ 55 ）。
）中，余数
练一练
从1~90的自然数中找符合条件的数填在下面的横线上。 （1）除以9没有余数的有：
9、18、27、36、45、54、63、72、81、90 （2）除以9余4的有：
13、22、31、40、49、58、67、76、85
余数问题教案2(教师版)
课题：余数问题班级姓名还是有两个机会有个年轻人，届逢兵役年龄，抽签的结果，正好抽中下下签，最艰苦的兵种－－海军陆战队。
年轻人为此镇日忧心重重，几乎已到了茶不思、饭不想的地步。
年轻人深具智慧的祖父，见到自己的孙子这付模样，便寻思要好好开导他。
老祖父：“孩子啊，没什么好担心的。
当了海军陆战队，到部队中，还有两个机会，一个是内勤职务，另一个是外勤职务。
如果你分发到内勤单位，也就什么好担心的了！”年轻人问道：“那，若是被分发到外勤单位呢？”老祖父：“那还有两个机会，一个是留在本岛，另一个是分发外岛。
如果你分发在本岛，也不用担心呀！”年轻人又问：“那，若是分发到外岛呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是后方，另一个是分发到最前线。
如果你留在外岛的后方单位，也是很轻松的！”年轻人再问：“那，若是分发到最前线呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是站站卫兵，平安退伍；另一个是会遇上意外事故。
如果你能平安退伍，又有什么好怕的！”年轻人问：“那么，若是遇上意外事故呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是受轻伤，可能送回本岛；另一个是受了重伤，可能不治。
如果你受了轻伤，送回本岛，也不用担心呀！”年轻人最恐惧的部分来了，他颤声问：“那……若是遇上后者呢？”老祖父大笑：“若是遇上那种情况，你人都死了，还有什么好担心的？倒是我要担心，那种白发人送黑发人的痛苦场面，可不是好玩的喔！”人生拥有的，是不断的抉择，端看您是用什么态度，去看待这些有赖您决定的无数机会。
能够综观每件事情、每个问题的正反两面，您将发现，内心最深沉的恐惧，也在所有状况明朗了解之后，将会自行化为乌有。
感悟：【运河通道1】a是自然数，除数b是自然数（a＞b），商也是自然数时，出现的余数是小于除数的自然数的除法，叫做带余除法。
并且余数小于除数。
当余数不为零时，商叫做不完全商。
【运河通道2】余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
余数问题定义性质
余数问题
余数定义：
如果a是整数，b是整数（b≠0）,若a÷b=q……r,a=q×b＋r，0≤r＜b;
(1) r=0时，我们称a能被b整除；
（2）r≠0时，r为a除以b的余数，qa除以b的商。
余数的性质：
（1）．被除数=除数×商＋余数；除数=（被除数－余数）÷商；商=（被除数－余数）÷除数
（2）余数小于除数
同余定理（一）
如果a和b除以c余数相同，就称a和b对于除数c来说同余，且有a 与b的差能被c整除，（a、b、c均为自然数）
同余定理（二）
a与b的和除以c余数，等于a、b分别除以c的余数之和（或者这个和除以c的余数）。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23＋16）除以5的余数等于3＋1=4注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23＋19）除以5的余数等于（3＋4）除以5的余数。
同余定理（三）
a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积，（或这个积再除以c的余数）
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
五年级奥数：第14讲 余数问题
五年级奥数：第14讲余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c 的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
第6课 余数问题
第4课余数问题设n是一个正整数，我们知道，任何一个整数被n除的的余数必然为0，1，2，…，n-1中的一个.因此，按照被n除得的余数，可以将所有的整数分成n类：余数为0、余数为1、余数为2、…、余数为n-1.例如，当n=2时，整数分为2类：奇数和偶数.如果两个数a和b被n除所得的余数相同，我们称a和b关于模n同余，记作a≡b(mod n).根据定义，a和b关于模n同余也可以用下面两种方式叙述：(1)若n|(a-b)，则a、b对模n同余；(2)若a=b+nk(k是整数)，则a、b对模n同余.同余具有以下性质：(1)反身性：a≡a(mod n).;(2)对称性：若a≡b(mod n),则b≡a (mod n)；(3)传递性：若a≡b(mod n), b≡c (mod n)；则a≡c(mod n)(4)可加性：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a±c≡b±d(mod n); ac≡bd(mod n);(5)可乘性：若a≡b(mod n)，c是整数，则ac≡bc(mod n)，a n≡b n(mod n)根据(5), 若a≡b(mod n)，c≡d(mod n),则ac≡bd(mod n).反过来未必成立，即若ac≡bc(mod n)，不一定有a≡b(mod n)，但是有下面的：(6)若ac≡bc(mod n)，且(c,n)=1，则a≡b(mod n).例1、已知a、b是整数，a除以7余3，b除以7余5，当a2>4b时，求a2-4b除以7的余数是多少？(92年，天津)例2、一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，求N的最小值.(91年，北京)例3、证明：任意三个连续自然数的两两之积的和不可能等于30000.(95年，俄罗斯)例4、任意给出n+1个整数，证明：其中必有2个的差被n整除.例5、证明：连续的n个整数中必有一个是n的倍数.例6、设a是整数，求证：5|a5-a.例7、设p 以及2p +1都是素数，且p >3，证明：4p +1是合数.练习：证明以下结论：(1)完全平方数被3除，余数是0或者1；(2) 完全平方数被5除，余数是0，1或4；(3) 完全平方数被4除，余数是0或者1；(4) 完全平方数被8除，余数是0，1或4.例8、求证：(1)8|(551999+17); (2) 8|(32n +7) ; (3)17|(191000-1)例9、m 、n 是正整数，证明：3m +3n +1不可能是完全平方数.例10、今天是星期二，明天起算第一天，则第333200921+++ 天是星期几？例11、n>1且为整数，由n 个1组成的正整数称为“重1数”，如11，111，1111，等等.求证：重1数中没有完全平方数.练习：1、已知2222222101100994321+-++-+-= S ，S 被103除的余数是_______.2、(1)20082009+20092008的末位数字是______;(2)19492009的末两位数是_______.3、证明：连续2个整数的积被3除，余数是0或者2.4、a除以5余1，b除以5余4，如果3a>b，那么3a-b除以5的倍数是_____.5、1+22+33+44+…+99≡_____(mod3)6、一个数除以3余2，除以4与1，这个数除以12的余数为______.7、整数11…1(1000个1)被6除的余数为________.8、273747被7除的余数是______.9、一枚棋子放在五边形的0位上，现沿顺时针方向按照下面的规律移动：第一次移动1格，第二次移动2格,…,第n次移动n格.求证：无论移动多少次，棋子总不可能停在第2、第4格上.432110、20082009表示成7进制数的个位数字是多少？11、是否存在这样的正整数n，使得3n2+7n-1能整除n3+n2+n+1?请说明理由.12、求证：任意11个整数中，一定有6个数的和被6整除.13、任给7个不同的整数，证明：其中必有2个数，其和或差是10的倍数.14、黑板上有1，2，…，1987这些数，作这样的变换：将黑板上的数擦去一些，并添上被擦去的数的和被7除所得的余数.经过若干次后，黑板上只有2个数，一个是987，求另一个数.15、用数字1，2，3，4，5，6，7各11个，随意排成一个77位的整数，求证：所得的数不是完全平方数.16、任意取一个被9整除的2009位数，其数码之和为a，a的数码之和为b，b的数码之和为c，求c.。
余数问题1
知识概要一、带余除法的定义及性质对任意整数a 、b 且0b ≠，若a b qr ÷=，也就是a b q r =⨯+。
当=0r 时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商。
当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商。
二、余数定理 1、余数的可加性a 与b 的和除以c 的余数，等于a 、b 分别除以c 的余数之和，当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23、16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1。
例如：23、19除以5的余数分别是3和4，所以 23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即余数为2。
2、余数的可乘性a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a 、b 分别除以c 的余数的积，当余数的积比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23、16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
例如：23、19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即余数为2。
明明在计算除法时，把除数65写成了56。
结果得到商是13，还余52。
你知道正确的商是多少吗？用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r ，求a 和r 。
余数问题148037+3699-631的计算结果被12除的余数是几？123+46-63的结果被13除的余数是几？47×39×193的积被7除的余数是几？1、2461×135×6047的积被11除的余数是几？2、A ＝201×1+201×2+201×3+……+201×201，A 被9除余数是多少？著名的裴波那契数列是这样的：1，1，2，3，5，8，13，21，……，这串数列中第2008个数除以3所得的余数为多少？1、有一串数：1，1，2，4，7，13，……，从第四个数起，每个数都是前三个数之和，在这串数的前1000个数中，有几个是4的倍数？2、201422222个除以7的余数是多少？商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中的五箱。
第讲余数问题
第十讲余数问题常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。
解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。
下面我简单谈谈这四类问题：㈠带余除法。
一般地，如果.a是整数，b是整数(b M0),那么一定有另外两个整数q和r, 使得a十b = q r 或 a = b x q+ r当r=0时，我们称a能被b整除。
当r工0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商( 也简称为商) 。
带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。
出题者常常会在这里设置陷阱。
㈡余数周期。
这其中又分为递推数列(给一串数，要求第x个数除以某个数的余数)和n次幕(求一个数的n 次方除以某个数的余数) 相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。
例如，求3130^ 13的余数。
例如尖子班作业1 。
㈢同余问题。
1、什么是“同余”？整数a和b除以整数c,得到的余数相同，我们就说整数a、b对于模c同余记作： a = b (mod c)例如：15宁4= 3 (3)23-4= 5 (3)15 和23对于除数4同余。
记作：15 = 23 (mod4可以理解为15和23除以4的余数相同。
2、“同余”的四个常用性质是什么？同余性质1: 如果a = b (mod m)，则m|(a —b) 若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
例如，73 三23 (mod 10)贝U 10 |( 73—23) 73 与23的差是10的倍数。
同余性质2：如果a = b (mod m)c =d (mod m), 贝Ua ± c = b± d (mod m) 两数和的余数等于余数的和。
两数差的余数等于余数的差。
例如，73 三 3 (mod 10)84 = 4 (mod 10)73+84 三3+4 三7 (mod 10)84 —73三4-3 三1 (mod 10) 同余性质3：如果a三b(模m)，c三d(模m),则a X c三b X d(模m)两数积的余数等于余数的积。
小学数学：余数问题
小学数学：余数问题余数问题，最基本的有两种：类型一：同余一个数除以5余2，除以6余2，除以7余2，那么这个数最小是多少？分析：这一题的特点是，除以5，6，7的余数都是2，所以将这个数减去2，就可以被5，6，7整除，因此这个数最小是5X6X7+2=212类型二：同缺一个数除以5余4，除以7余6，除以8余7，那么这个数最小是多少？分析：除以5余4，那么这个数加1就能被5整除；除以7余6，那么这个数加1也能被7整除；除以8余7，这个数加1还能被8整除。
因此，这个数加1最小是5X7X8=280，这个数最小就是280-1=279。
数学趣题：宝树上的人参果分析：3个人分要剩2个，5个人分要剩3个，7个人分也是剩2个。
这三个条件中，第一个条件和第三个条件是同余的。
先考虑这两个条件，我们就知道人参果的数量减去2可以整除3和7，也就是这个数量减去2可以整除21，因此这个数可以是21+2，42+2，63+2......。
因为5个人分要剩3个，所以这个数最小是21+2=23。
做这一题首先用的是同余中介绍的方法，然后用的是列举的方法，也就是把符合前面条件的数，一个一个列举出来，从中找出符合剩下条件的数。
如果题目既不是同余也不是同缺，那最常用的方法就是列举，列举时一般选较大的数来列举，比如上面的趣题，分析后我们知道，人参果的数量除以21余2，除以5余3。
做题时我们用除以21余2来列举，然后用除以5余3来检验；如果不这样做，用除以5余3来列举，那就是5+3，10+3，15+3，20+3，25+3......需要列举的数更多，做起来就更麻烦。
数学趣题：唐僧的经书分析：这本经书除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余6，除以8余7，除以9余8，这一题属于前面说的类型二。
将这本经书的页码加1，就可以整除2，3，4，5，6，7，8，9，因此页码加1后的数量是2，3，4，5，6，7，8，9的倍数，根据求最小公倍数的方法，可以得出这个数量是5X7X8X9=2520，下一个公倍数是5040，超过题目要求的页码不到3000页，所以经书的页码是2520-1=2519。
第一讲余数问题
2014年龙文1对1五年级第一讲余数问题二卡1例题讲析i基本性质1：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）宁除数。
余数小于除数。
理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。
在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。
【例1】甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。
【例2】一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.【例3】有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
求这个数。
【例4】十二张扑克牌，2点、6点、10点各四张.你能从中选出七张牌，使上面点数之和等于52吗？说明理由.基本性质2：如果a，b除以c的余数相同，就称a、b对于除数c来说是同余的，且有a与b 的差能被c整除。
（a,b,c均为自然数）例如：17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。
【例5】有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3,求这个数。
【例6】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a>b，求ab X ba基本性质3: a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c 的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1,所以（23+16）除以5的余数等于3+仁4 注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23, 19除以5的余数分别是3和4,所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5 的余数。
【例7】有一列数排成一行，其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少?222 - 2除以13所得余数是 f ' ----2000 个"2"【例9】 191919…19除以99,余数是 _________20基本性质4： a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之积（或这个积除以 c 的余数）。
余数问题
余数问题余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b＝q……r，或者a＝b×q＋r，0≦r<b当r＝0时，称a能被b整除；当r ≠0时，称a不能被b整除，r为a除于b的余数，q为a除于b的商。
余数的性质（1）被除数＝除数×商＋余数除数＝（被除数－余数）÷商商＝（被除数－余数）÷除数（2）余数小于除数同余定理（一）如果a，b除于c的余数相同，就称a，b对于余数来说是同余的，且有a与b的差能被c整除。
（a,b,c 均为自然数）同余定理（二）a与b的和除于c的余数，等于a，b分别除于c的余数之和（或这个和除于c的余数）例：23,16除于5的余数非别是3和1，所以（23＋16）除于5的余数等于3＋1＝4例：23，19除于5的余数非别是3和4，所以（23＋19）除于5的余数等于（3＋4）除于5的余数，即2同余定理（三）a与b的乘积除于c的余数，等于a，b分别除于c的余数之积（或这个积除于c的余数）例：23,16除于5的余数非别是3和1，所以（23×16）除于5的余数等于3×1＝3例：23，19除于5的余数非别是3和4，所以（23×19）除于5的余数等于（3×4）除于5的余数，即2例1、有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数相同且大于5.问：这个数与余数的和是多少？引申：有一个自然数，除258、224、173，得到相同的余数，这个自然数是多少？例2、求541×15×412×38除以13所得的余数是多少？2.引申：求437×1997×309除以7的余数是多少？例3、有一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，求这两个数。
引申：有一个两位数，用它除45余1，除79余2，除125余4，求这两个数。
例4、求320063333个除以7余几？引申： 的余数是几？除以个13111111000例5、求4729243847⨯的个位数字是多少？引申：198910251245281713⨯⨯的尾数是多少？巩固练习：1、数14589，13903和13511除以自然数a ，余数都相同，问a 最大是多少？2. 求789456123789456123++除以3的余数是多少？3. 3715×266+4583×2172-1518×216除以11的余数是多少？4.65085066668888个个⨯的积除以的7的余数是多少？5. 有三个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为10,7,++a a a 。
小学五年级奥数课件 余数问题
290=291、2、5、29、10、58、
110÷A=□…b
145、280
160÷A=□…c
A：29、58
（170+660+160）÷A=…50
如果A=58 a=12 b=52
300÷A=…50
如果A=29 a=12 b=23
340-50=190
∴290被A整除 C=15
原式=（188+2088）×20÷2 =2276×10
除以：8×1=8 除以：10×10=100
100÷11=9…1
知识链接
2、特征求余法： ⑴ 尾数系,(2、5) ,(4、25) ,(8、125) ⑵ 和系,3,9 ⑶ 11：奇数位数字之和－偶数位数字之和的差. ⑷ . 7、11、13：截断法.
例题【五】（★ ★ ★ ★）
在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数的和被9除余7,
则将这几个数归为一组. 这样的数组共有
组.
要求：和的余数为7 余数依次是6,0,2,3,5 余数和是7:2+5, 0+2+5； 3+6+2+5； 0+2+5+3+6 共有4组符合题意要求。
例题【六】（★ ★ ★ ★）
六张卡片上分别标上2357、2367、4143、1419、2485、8465六个 数, 甲取4张,乙取1张,丙取1张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之 和一个人是另一个人的8倍,则丙手中卡片上的数是 .
甲、乙手中卡数字和应9的倍数 以9的余数：8,0,3,6,1,5 因为,这个6个数的和除数是5, 所以,多了余5的卡片
例题【三】（★ ★ ★）
一年有365天,轮船制造厂每天都可以生产零件1234个. 年终将这些零件 按19个一包的规格打包,最后一包不够19个. 请问：最后一包有多少个零 件？
余数问题(二)
第十三讲余数问题余数问题我们已经学过了两讲，但那两讲主要都是应用余数性质去解决除法中的除数问题，今天我们要解决的是除法中的被除数问题—“中国剩余定理”。
本类形题的出题特点：已知两种或三种除数和余数的情况，求同时满足这些情况的被除数是多少。
例如：一个自然数除以4余3，除以9余4，除以6余1，求满足条件的最小三位数？本类形题的解题方法：根据余数的基本含义有：公倍加余法和公倍减余法。
根据同余的性质有：逐级满足法。
一、公倍加余法例：求满足除以3余1，除以4余1的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，余数表示被除数除以除数时没有除尽，还多出来的一些数，所以满足除以3余1的数，应该都是3的倍数再加上1即可；同理，满足除以4余1的数，应该都是4的倍数再加上1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再加上这个都有的余数1就可以了，所以最小的两位数即为[3,4]+1=12+1=13二、公倍减余法例：求满足除以3余2，除以4余3的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，这个数除以3余2，说明还差1个数就又是3的倍数了，则这样的数应该都是3的倍数再减1即可；同理，满足除以4余3的数，也是还差1个就又是4的倍数了，则这样的数应该都是4的倍数再减1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再减去1就可以了。
所以最小的两位数即为[3,4]-1=12-1=11三、逐级满足法例：求满足除以7余2，除以4余1，除以11余4的最小自然数？分析：此题没有余数相同的，也没有差相同的，则上述两种方法均不可用。
那么我们可以根据同余的性质逐级满足，最后求出同时满足三种情况的最小自然数。
过程如下：（1）满足除以7余2的数应该是7a+2这样的数，但这样的数又要除以4余1。
说明：7a+2除以4是余1的，即：7a+2≡1（mod4）7a+2≡5（mod4）7a≡5-2≡3（mod4）3a≡3（mod4）a=1则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的最小数为：7×1+2=9则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的所有数为：[7,4]×b+9（2）那么满足除以7余2，除以4余1应该是28b+9这样的数，但这样的数又要除以11余4。
余数问题教案
余数问题教案教案标题：余数问题教案教案目标：1. 学生能够理解余数的概念并能够应用余数解决实际问题；2. 学生能够灵活运用不同的数学方法解决余数问题；3. 学生能够培养逻辑思维和问题解决能力。
教学资源：1. 教材：包含余数问题的相关练习题；2. 白板、黑板或投影仪；3. 学生练习册；4. 计算器（可选）。
教学步骤：引入活动：1. 创造一个实际生活中的例子，引导学生了解余数的概念。
例如，假设有一桶苹果，每次可以装10个，但是现在有27个苹果，问还剩下几个苹果无法装满桶。
2. 引导学生思考如何用数学方法解决这个问题。
探究活动：1. 通过问题引导学生思考余数的计算方法。
例如，27除以10的余数是多少？学生可以用长除法或计算器等方式计算。
2. 引导学生发现，余数是除法运算中的剩余部分，表示未被整除的部分。
3. 给学生提供更多的余数问题，让他们尝试用不同的数学方法解决。
例如，32除以6的余数是多少？学生可以用列竖式、长除法或计算器等方式计算。
拓展活动：1. 引导学生思考余数在实际生活中的应用。
例如，购买苹果时，如果有27个苹果，每袋装10个，那么需要多少袋？还剩下几个苹果无法装满袋子？2. 给学生更多的余数问题，让他们尝试解决。
例如，48除以7的余数是多少？学生可以用列竖式、长除法或计算器等方式计算。
总结活动：1. 总结余数的概念和计算方法。
2. 强调余数在实际生活中的应用，并鼓励学生在日常生活中灵活运用余数解决问题。
作业：布置一些余数问题的练习题，要求学生用不同的数学方法解决，并写出解题步骤和答案。
评估：根据学生的作业完成情况和课堂参与度，评估学生对余数问题的理解和应用能力。
教案备注：1. 教师可以根据学生的实际情况，调整教学步骤和活动的难易程度；2. 教师可以使用多媒体资源或其他教学辅助工具来增加教学的趣味性和互动性；3. 教师应鼓励学生在解决余数问题时，尝试不同的数学方法，并思考方法的优劣和适用情况。
第 讲 余数问题
第讲余数问题余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≢r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商。
(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。
(2)当0例1、用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．例2、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．练习：1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
2、有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？3、用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这两个自然数各是多少？4、三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
5、一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．6、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?7、一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．二、三大余数定理：1.余数的加法定理（1）a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.（2）当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
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第十讲余数问题常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。
解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。
下面我简单谈谈这四类问题：㈠带余除法。
一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，使得α÷b＝q……r或α＝b×q＋r当r=0时，我们称α能被b整除。
当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。
带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。
出题者常常会在这里设置陷阱。
㈡余数周期。
这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。
例如，求3130÷13的余数。
例如尖子班作业1。
㈢同余问题。
1、什么是“同余”整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。
记作：α≡b （mod c）例如：15÷4＝3 (3)23÷4＝5 (3)15和23对于除数4同余。
记作：15 ≡23 （mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。
2、“同余”的四个常用性质是什么同余性质1：如果α≡ b (mod m)，则m︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
例如，73 ≡23 (mod 10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
同余性质2：如果α≡ b (mod m)，c ≡d (mod m),则α± c ≡ b ± d (mod m)两数和的余数等于余数的和。
两数差的余数等于余数的差。
例如，73 ≡3 (mod 10)84 ≡4 (mod 10)73+84 ≡3+4≡7 (mod 10)84－73≡4－3≡1 (mod 10)同余性质3：如果α≡ b (模m)，c ≡d (模m),则α× c ≡b×d (模m)两数积的余数等于余数的积。
例如，73 ≡3 (模10)84 ≡4 (模10)73×84 ≡3×4≡2 (模10)同余性质4：如果α≡ b (模m)则αn≡b n (模m)某数乘方的余数，等于余数的乘方。
例如，40≡1 （mod13）4031≡131≡1 （mod13）很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。
举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。
”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。
这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。
4、“物不知其数”。
与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。
”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。
但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。
考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。
我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。
例2、例3绝招二：加同补。
例4、作业4 、学案3绝招三：中国剩余定理。
绝招四：逐级满足法。
例1 （3130＋3031）被13除所得的余数是多少分析：⑴31被I3除所得的佘数为5，当n取l，2，3，…时，5n被I3除所得佘数分别是5，12，8，l，5，⒓，8，l，…，以4为周期循环出现，所以530被I3除的余数与52被13除的余数相同，余12。
即3130除以13的余数为12。
⑵30被13除所得的余数是4，当n取l，2，3，…时，4n被13除所得的佘数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，……，以6为周期循环出现，所以431被I3除所得的余数等于41被13除所得的佘数，即4，故3031除以13的余数为4。
所以，（3130＋3031）被13除所得的余数是I2＋4－13＝3解：⑴31≡5 （模13）3130≡530 ≡52≡12（模13）⑵30≡4 （模13）3031≡431≡41≡4 （模13）⑶3130＋3031≡12＋4≡3 （模13）答：（3130＋3031）被13除所得的余数是3。
点睛：用到同余的性质“某数乘方的余数等于余数的乘方”“两数和的余数等于余数的和”。
例2 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为α，α十2，α十5，则这个自然数是多少分析：根据题意，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数(都为α)。
既然余数相同，根据同余性质“若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
”可知其中任意两数的差都是除数的倍数。
290－233＝57 233－195＝38 290－195＝95除数是57、38、95的公约数，（57，38，95）＝19答：这个自然数是19。
例3 学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。
余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1︰2︰3，问学前班有多少位小朋友分析：⑴设分完后余下苹果χ个，余下饼干2χ个，余下糖3χ粒。
176÷人数＝A个……χ216÷人数＝B个……2χ324÷人数＝C个……3χ⑵176×2－216＝136；176＋216－324＝68；176×3－324＝204（136，68，204）＝68学前班有几十位小朋友，并且人数是68的约数，68的约数中是几十的只有68和34两个。
⑶检验：176÷34＝5个 (6)216÷34＝6个 (12)324÷34＝9个……18 34人符合题意。
检验：176÷68＝2个 (40)216÷68＝3个……1268人不符合题意。
答：学前班有34位小朋友。
例4 200以内除以3余I，除以4余2，除以5余3的自然数有多少个分别是多少分析：⑴通过观察我们发现，除数和余数的差都为2。
被除数补上2之后，除以3、4、5都能整除；也就是说，被除数补上2之后是3、4、5的公倍数。
[3，4，5]＝60，补上2之后是60的倍数。
200以内60的倍数有60、120、180共3个。
相应的，符合要求的自然数也有3个，分别是：58、118、178。
例5 （1998年小学数学奥林匹克预赛）某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是。
分析：⑴观察到11－8＝13－10＝3，某数补上3之后是11和13的公倍数。
][11，13] ＝11×13＝143设某数为143n－3。
⑵143n≡7n （模17）3≡3 （模17）143n－3≡7n－3 （模17）只有当n＝7时，7×7－3＝46，45÷17余12。
⑶n最小等于7，那么这个数的最小可能值是143×7－3＝998答：这个数的最小可能值是998 。
例6 （2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赉试题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是，，。
分析：⑴设所得的商为α，余数为b（19α＋b）＋（23α＋b）＋（31α＋b）＝200173α＋3b＝2001 b＜19⑵2001÷73＝27 (30)α＝27，b＝10这三个数分别是19×27＋10＝523；23×27＋10＝631；31×27＋10＝847；答：这三个数分别是523、631、847。
超常挑战三个连续自然数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个自然数最小为多少分析：⑴设这三个自然数分别为χ－1，χ，χ＋1 。
2χ－7既是5的倍数也是7的倍数，是5和7的公倍数。
[5，7]＝35，⑵设2χ－7＝35K，（K为自然数）当K＝1时，2χ－7＝35χ＝21χ－1＝20是5的倍数；χ＝21是7的倍数；χ＋1＝22是11的倍数。
家庭作业1、着名的裴波那契数列是这样的：l、2、3、5、8、13、21、……，这串数列当中第2010个数除以3所得的余数为多少分析：⑴斐波那契数列的构成规则是从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。
根据“两数和的余数等于余数的和”将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：I、l、2、0、2、2、1、0、I、l、2、0、2、2、1、0、……⑵裴波那契数列被3除的余数——每8个余数为一个周期循环出现。
由于2010÷8＝251……2，所以第2010项被3除所得的余数与第2项被3除所得的余数相同，余数为1。
2. 一个数去除70、103所得的余数为α、2α＋2，求α的值。
解：⑴用数学表达式表述题意70÷n＝A……a ……①103÷n＝B……2a＋2 ……②⑵把①式转化为（70×2＋2）÷n＝2A……2a＋2 70×2＋2＝142142与103除以n的余数相同，根据同余的性质定理（1），n能整除142与103的差。
142－103＝39，n能整除39，n是39的约数。
⑶39的约数有1、3、13、39，经检验，n＝13。
70÷13＝5 (5)103÷13＝7……12（12＝2×5＋2）所以，n＝53. 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少解：设这个大于10的自然数为n。
根据同余的性质定理（二），两数和的余数等于余数的和。
用n去除90、164后所得的两个余数的和等于用n去除220所得的余数，而90＋164＝254。
254和220除以n所得的余数相同，于是254－220＝34是n的倍数，n是34的约数。
34的约数有1、2、17、34，因为n是大于10的自然数，所以n只能是17或34。
当n＝34时，90÷34＝2......22；164÷34＝4......28；220÷34＝6 (16)22＋28≠16 所以，n≠34当n＝17时，90÷17＝5......5；164÷17＝9......11；220÷17＝12 (16)5＋11＝16 所以，n＝17答：符合要求的自然数是17。
.4. 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少解：先把已知条件用数学表达式写出来，设所求的自然数为N。