四年级奥数秋季班讲义(上)
小学奥数四年级秋季经典讲义第1讲乘法原理精英教师
第一讲 乘法原理本讲的三个教学要点：①使学生掌握乘法原理主要内容；掌握乘法原理运用的方法.②引导学生排列组合入门.③培养学生准确分解步骤的解题能力.Ⅰ、简单乘法原理应用【例1】（★★★）在下图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多各有几种不同走法?分析：（1）从A 点到C 点一共有3种走法，从D 点到B 点一共也有3种走法，根据乘法原理一共有3专题精讲 教学目标D C BA【例2】（★★★）要从五年级六个班中评选出学习、体育先进集体各一个，卫生集体三个，有多少种不同的评选结果（同一个班级只能得到一个先进集体）?分析：第一步选出学习先进集体一共有6种方法，第二步选出体育先进集体剩下一共有5种方法，第三步选出没有评上卫生先进集体的一共有4种评选方法，根据乘法原理一共有6×5×4=120种评选方法.[前铺]从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？分析：第一步选出学习先进集体一共有6种方法，第二步选出体育先进集体剩下一共有5种方法，第三步选出卫生先进集体一共只剩有4种评选方法，根据乘法原理一共有6×5×4=120种评选方法.【例3】（★）“学习改变命运”这六个字要用6种不同颜色来写，现只有6种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法?分析：第一步写“学”有6种方法，第二步写“习”有5种方法，第三步写“改”有4种方法，第四步写“变”有3种方法，第五步写“命”有2种方法，第六步写“运”有1种方法，一共有720种方法.[拓展] 有6种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的的方法？分析：写第一个字有6种选择，以后每写一个字，只要保证不与前一个字不同就行了，都有5种选择，所以，有6×5×5×5×5×5=18750种写法.Ⅱ、较复杂的乘法原理应用【例4】（★★）北京到上海之间一共有6个站，车站应该准备多少种不同的车票？（往返车票算不同的两种）分析：京沪线上连北京上海一共有8个站，不同的车票上起点站可以有8种，不同的起点站都可以配7种不同的终点站，所以一共要准备8×7=56种不同的车票.[拓展]北京到广州之间有10个站，其中只有两个站是大站（不包括北京、广州），从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？分析：京广线上一共有12个站，其中有四个大站，卧铺车的起点可以有四种，不同的起点站都可以配11个不同的终点站，所以铁路局要准备4×11=44种不同的车票【例5】（★★★）如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不相邻的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？分析：第一步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择；第二步，给B 国上色，B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择；第三步，给C 国上色，C 国与B ，A 两国相邻，所以不能使用A ，B 国的颜色，只有两种选择； 第四步，给D 国上色，D 国与B ，C 两国相邻，因此也只有两种选择；第五步，给E 国上色，E 国与C ，D 两国相邻，有两种选择．共有4×3×2×2×2=96种着色方法．[拓展1] 如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同.那么一共可以有多少种染色方法？分析：这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有4×3×2×2×2=96种方法.讨论:如果染色步骤为C-A-B-D-E,那么应该该如何解答？答案：也是4×3×2×2×2=96种方法.如果染色步骤为C-A-D-B-E 那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4×3种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果D 与A 颜色相同，那么B 有2种染法，E 也有2种方法，如果D 与A 染不同的颜色，那么D 有2种染法那么B 只有一种染法，E 有2种染法，所以一共应该有4×3×（1×2×2+2×1×2）=96种方法，（教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻.[拓展2]如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？分析：对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有9个区块，我们对这张纸，进行染色就需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2……，所以一共有：4×3×2×2×2×2×2×2×2=1536.【例6】（★★）右图中共有16个方格，要把A 、B 、C 、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法?分析：由于四个棋子要一个一个地放入方格内，故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A ，A 可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B ，由于A 已放定，那么放A 的那一行和一列中的其他方格内也不能放B ，故还剩下9个方格可以放B ，B 有9种放法；第三步放C ，再去掉B 所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C ，C 有4种放法；最后一步放D ，再去掉C 所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D ，D 有1种放法．由乘法原理，共有16×9×4×1=576种不同的放法．E DC BA[前铺]:国际象棋棋盘是8×8的方格网，下棋的双方各有16个棋子位于16个区格中，国际象棋中的“车”同中国象棋中的“车”一样都可以将位于同一条横行或竖行的对方棋子吃掉，如果棋局进行到某一时刻，下棋的双方都只剩下一个“车”，那么这两个“车”位置有多少种情况？分析：对于如果只有一只“车”的情况，它可以有64种摆放位置，如果在棋盘中再加入一个“车”，那么它不能在原来那个“车”的同行或同列出现，他只能出现在其他七行七列，所以它只有7×7=49中摆放，所以这两个“车”的摆放位置有64×49=3136种方法.【例7】（★★★）在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？分析：至少出现一个“6”，意思就是这个三位偶数中，可以有一个6，两个6或三个6.我们可以把这三种情况下满足条件的三位数的个数分别求出来，再加起来；也可以从所有的三位偶数中减去不满足条件的，即减去不含6的三位偶数.三位偶数共有450个，我们先来计算不含6的偶数的个数，不含6的偶数，个位可以是0，2，4，8，十位上可以是除6以外的其余9个数字，百位可以是除6，0以外的8个数字，因此不含6的三位偶数共有4×9×8=288个,则至少出现一个6的三位偶数有450－4×9×8=162（个）[拓展] 所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？分析：与456相加产生进位在个位、十位、百位都有可能，所以采用从所有三位数中减去与456相加不产生进位的数的方法更来得方便，所有的三位数一共有999-99=900个，其中与456相加不产生进位的数，它的百位可能取1、2、3、4、5共5种可能，十位数可以取0、1、2、3、4共5种可能，个位数可以取0、1、2、3共4种可能，所以一共有5×5×4=100个数，所以与456相加产生进位的数一共有900-100=800个数.Ⅲ、排列组合问题例如1023，2341等，求全体这样的四位数之和．分析:先求出5个数字共能组成多少个符合条件的数,分为4步,第一步确定千位数一共有4种选择,然后确定百位,有4种选择,确定十位数有3种选择,确定个位数有2种选择.一共有4×4×3×2=96种选择.这96种选择中,千位数字出现1、2、3、4的次数都是24次，百位、十位、个位出现的次数为18次(0出现24次).所以全体这样的四位数和为(1+2+3+4) ×24×1000+(1+2+3+4) ×18×(100+10+1)=259980[前铺]用1，2，3，4，5这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如1523，2341等，求全体这样的四位数之和．分析：这道题的意思实际上是将1，2，3，4，5这5个元素中取出4个进行全排列，所以一共有5×4×3×2=120种排列方法.【例9】（★★★）书架上有4本不同的漫画书，2本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？分析：每种书内部任意排序，分别有4×3×2×1， 2×1，3×2×1种排法，然后再排三种类型的顺序，有3×2×1种排法，整个过程分4步完成.4×3×2×1×2×1×3×2×1×3×2×1=1728（种）,所以一共有1728种不同排法.[前铺]：书架上有4本不同的漫画书，3本不同的童话书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？分析：这一摞书，不是漫画书在前面，就是童话书在前面，而改变漫画书和童话书内部的排列又分别有4！×3！种排列方法，所以一共有2×4！×3！=288种排列方法.[拓展]：如果不要求同类型的书不要分开，那么一共有多少种排列方法？分析：如果不要求同类型的书不要分开，那么实际上就是将9本书任意放置，一共有9！=362880种方法.女生各2名，那么一共有多少种选派方法：分析：第一步：在男生中先选一名有10种方法.第二步：在剩下的男生中再选一名有9种方法，男生中选两人一共有10×9=90种方法，需要注意的是，每一种方法，例如，甲乙两人的组合，被统计了两次，一次是第一步选甲第二步选乙，另一次是第一步选乙，第二步选甲，所以实际的选取方法有90÷2!=45种，第三、四步：在女生中选取两人一共有10×9÷2!=45种.所以一共有45×45=2025种选派方法.【例11】（★★★）三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？分析：相当于在10个数字中选出3个不同的数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种[前铺]9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？分析：相当于在10个数字选出7个划去，一共有10×9×8×7×6×5×4÷（7×6×5×4×3×2×1）=10×9×8÷（3×2×1）=120种.【例12】（★★★）从一个班级10名优秀学生中选出5人组成班委，5人中再选出班长和副班长，一共有多少种方法？分析：（1）第一步，先把班长和副班长选出来，一共有10×9=90种选法，第二步，在其余8人中选出3人一共有8×7×6÷（3×2×1）=56种选法.所以一共有90×56=5040种选法.(2)第一步，先选出五人，一共有10×9×8×7×6÷（5×4×3×2×1）=252种选法.第二步，选出正副班长，一共有5×4=20种选法.所以一共有252×20=5040种选法.[拓展] 从一个班级10名优秀学生中选出5人组成班委，5人中再选出班长和两个副班长，一共有多少种方法？分析：(1)第一步，先选出五人，一共有10×9×8×7×6÷（5×4×3×2×1）=252种选法.第二步，选出正班长，一共有5种选法.第三步，选出两个副班长，一共有4×3÷（2×1）=6种选法所以一共有252×5×6=7560种选法.（2）第一步，先把班长选出来，一共有10种选法，第二步，在其余9人中选出2人，一共有9×8÷（2×1）=36种第三步，在其余7人中选出2人一共有7×6÷（2×1）=21种选法.所以一共有10×36×21=756种选法.本讲介绍了对于分步解决问题所用到的乘法原理，下一讲加法原理中我们将重点介绍对于同一步骤不同类方法的计数原理.练习一1、（★例2）学而思学校需要三、四年级各选派两名学生参加活动，已知学而思两个年级的学生人数分别有250、240人，那么一共有多少种选派方式？分析：一共有250×249÷2×（240×239÷2）=892665000种选派方式.2、（★★例9）10个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？分析：两人相邻的情况有10种，第三个人不能与他们相邻，所以对于每一种来说，只剩6个人可选，10×6=60（种）共有60种不同的选法.3、（★★例11）在21世纪中，有些年的年份数是由4个不相同的数字组成的，这样的年份共有个．分析：符合要求的年份形如20xy，其中x有8种不同选法，y有7种不同选法，所以有56个四位数满足题目要求．4、（★★例1）从地面到七楼，每层都有楼梯，但电梯只停底楼、四楼、五楼、六楼、七楼，二楼、三楼不停，那么从底楼上七楼有几种方式?分析：从底楼到四楼有两种，四楼以上没上一层都有两种，所以一共有2×2×2×2=16种方式.5、（★★★）世界杯小组赛由4个球队进行单循环赛，安排这四个球队先后比赛次序，有几种方法？分析：小组赛一共要赛4×3÷2=6场，排列这六场赛事有6×5×4×3×2×1=720种.6、(★★例12)有8名跳水运动员，将从中选出4人参加奥运会，其中两人参加双人跳水，两人参加单人跳水，一共有多少种报名方式？分析：从8名运动员中选出4人有8×7×6×5÷(4×3×2×1)=105种方法，从4人当中选两人参加双人跳一共有4×3÷(2×1)=6种，所以一共有105×6=630种报名方式.二进制记数法的光辉第一次是闪现在中国的一部古书《周易》中.传说在远古时代，伏羲为天下王，他向外探求大自然的奥秘，向内省视自己的内心，终于推演出了太极八卦图.太极八卦图中心是由两条黑白相间、首尾相顾的鱼形成的一个圆圈，四周还围着结构奇特的八组图符，每组都含有三个或断或连的线段.这八组图符便是著名的八卦图，古人曾解释说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”再进一步，若把八卦两两组合，就会生成六十四卦.据学者考察，德国数学家莱布尼兹（1616－1703）看到“伏羲六十四卦方位图”后，从中领悟出了阴爻“－－”代表“0”，阳爻“—”代表“1”，从而完善、撰写了《二进制数字算术》一书，他意味深长地说，自己不过是重新发现了中国古代数学中的秘密而已.古老的太极八卦图竟与现代数学上的二进制有着如此神秘的联系.数学知识。
小学四年级秋季奥数培训教材
二〇二〇年七月五日catalogue目 录01定义新运算 07020603040105数字谜 简便运算 错中求解 图形的计算 综合应用题植树问题 平均数问题小学四年级秋季奥数培训资料第一讲定义新运算【专题分析】随着现代科学技术的发展，尤其是计算机技术的广泛应用，我们常常需要设计一些特定的计算程序（这里所说的程序就是认为约定的某种计算程序）。
在小学数学竞赛中，常出现一些按指定程序计算的问题，解答这类题虽然不需要新的数学知识，但必须仔细阅读题目，严格按指定程序进行计算，才能求出正确的结果。
【王牌例题】例1 设ａ※b表示ａ的3倍减去b的2倍，即ａ※b＝3×ａ－2×b。
例如，当ａ＝5，b＝4时，5※4＝5×3－4×2＝7（1）计算：7※8 （2）8※7【思维点拨】这类题关键是抓住定义本质，这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面数的2倍即为运算结果。
由此就可以把这种新运算转化成普通的数运算。
【模仿训练】（1）设ａ、b都表示数，规定ａ○b＝5×ａ－3×b。
试计算：3○4。
（2）设ａ、b都表示数，规定ａ◇b＝3×ａ＋2×ｂ。
试计算：5◇ｂ。
例2对于两个数ａ与ｂ，规定ａ⊕ｂ＝ａ×ｂ＋ａ＋ｂ。
试计算：6⊕3。
【思维点拨】这道题规定的运算本质是：将运算符号“⊕”的前后两个数的积加上这两个数，即为运算结果。
由此转化为普通算式计算。
【模仿训练】（1）对于两个数ａ与b，规定ａ⊕ｂ＝ａ×ｂ－（ａ＋ｂ）。
试计算：3⊕5。
（2）对于两个数A与B，规定A◎B＝A×B÷2。
试计算：6◎4。
例3 对于两个数ａ与ｂ，规定ａ▽ｂ＝（ａ＋3）×（ｂ－5），试计算：5▽（6▽7）。
【思维点拨】算式5▽（6▽7）中小括号的定义与常规运算相同，有括号的要先计算括号里的，再计算括号外的。
5▽（6▽7）＝5▽[（6＋3）×（7－5）]＝5▽18＝（5＋3）×（18－5）＝104【模仿训练】（1）对于两个数ａ与ｂ，规定ａ○ｂ＝ａ＋3ｂ，试计算：3○4○5。
四年级全册奥数精品讲义1-20讲(全册奥数)
目录◆第一讲找规律（一） (2)◆第二讲找规律（二） (5)◆第三讲长方形和正方形（一） (8)◆第四讲长方形和正方形（二） (11)◆第五讲算式谜（一） (14)◆第六讲算式谜（二） (17)◆第七讲植树问题（一） (19)◆第八讲植树问题（二） (22)◆能力测试（一） (25)◆第九讲和差问题（一） (28)◆第十讲和倍问题（一） (31)◆第十一讲和倍问题（二） (33)◆第十二讲差倍问题 (35)◆第十三讲年龄问题（一） (38)◆第十四讲年龄问题（二） (41)◆第十五讲还原问题（一） (43)◆第十六讲还原问题（二） (45)◆能力测试（二） (48)◆第17讲周期问题（一） (2)◆第18讲周期问题（二） (7)◆第19讲假设问题（一） (12)◆第20讲假设问题（二） (16)◆第21讲计数问题（一） (17)◆第22讲计数问题（二） (19)◆第23讲容斥问题（一） (23)◆第24讲容斥问题（二） (26)◆能力测试（一） (26)◆第25讲行程问题（一） (28)◆第26讲行程问题（二） (31)◆第27讲平均数问题 (35)◆第28讲推理问题（一） (37)◆第29讲推理问题（二） (39)◆第30讲巧算（一） (40)◆第31讲巧算（二） (45)◆第32讲巧算（二） (45)◆第33讲巧算（三） (45)◆第34讲等量代换 (45)◆第35讲拼拼算算 (45)◆能力测试（二） (63)第一讲 找规律（一）事物的发展中有规律的，只有认为观察事物，找到事物发展变化的规律，才能深入地了解和掌握它，从而找到解决问题的方法和途径。
在数学竞赛中，常常出现按规律填数的题目，找规律的方法是根据已知数的前后（可上下）之间的联系，找出其中的规律。
例题与方法例1． 请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
（1）1，5，9，13，（ ），21，25。
（2）3，6，12，24，（ ），96，192。
四年级秋季班第一讲 整数与数列
知识储备一、 数列找规律的几种常用方法1. 相邻两项求差。
若差相等，此数列为等差数列，根据等差数列的通项公式即可求该数列的第n 项；若由差排列成的数列B 形成一个等差数列，原数列A 为二级等差数列，求数列A 第n 项的方法比较复杂，首先求数列B 的前n-1项的和，然后将此和加上数列A 的首项即可。
例1.1 ,36,25,16,9,4,1求该数列的第10项。
分析：相邻两项求差，差形成的数列B 为： ,11,9,7,5,3，这是一个公差为2的等差数列。
数列B 的前9项的和为99911=⨯，那么原数列的第10项为100199=+。
。
也就是一些在各大杯赛中经常出现的数列，孩子要比较熟悉。
每一项都是相邻前两项之和。
在09年迎春杯决赛中年组的试题中以填空题（12分）的形式出现了叠加数列。
最为著名的是斐波那契数列，又名兔子数列，,34,21,。
（2） 平方数列，即该数列中的第n 项为2n 。
此处要求孩子熟记20以内的平方数。
另外有两个特殊的平方数在杯赛中常出现，1936442=，2025452=。
另外平方数有个重要的性质：(a ×b)2=a 2×b 2。
例1．1中的数列实际上就是一个平方数列，根据这一点，第10项直接可得1001010=⨯。
3. 复合数列。
当数列的整体规律不明显的时候，我们可以把数列分组，例如隔项看——把奇数项和偶数项分开来考虑。
例1.2 求 ,7,5,5,4,3,3,1,2的第100项。
分析：原数列的奇数项构成的数列A 为： ,5,4,3,2，这是一个等差数列。
原数列的偶数项构成的数列B为：,7,5,3,1，这也是一个等差数列。
原数列中的第100项应该是数列B的第50项，也就是⨯1=+。
(-99502)1在中年级的杯赛考试中常出现的数列也就是上面提到过的几类数列，其中等差数列占据首要的地位，在09年的迎春杯、希望杯、学而思杯中均出现了与等差数列有关的计算题。
二、等差数列的三个重要公式在三年级秋季班初步认识了等差数列，要求掌握求和公式；三年级的春季班专门学习了等差数列的综合应用，此处复习一下等差数列中的三个公式：（1）通项公式：第n项=首项+（n-1）×公差。
秋季四年级奥数竞赛班18讲6-加乘原理与归纳递推(上)
秋季四年级奥数竞赛班
如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？
(★★)
如图，图中有25个小方格，要把5枚不同的硬币放在方格里，使得每行、每列只出现一枚硬币，那么共有_____种放法。
(★★★)
用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有多少种不同的涂法？
加乘原理与归纳递推（上）
(★★★★)
某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成。
现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会。
从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？
(★★★)
在1到500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？
利用数字1，2，3，4，5共可组成
⑴(★★)多少个数字不重复的三位数？
⑵(★★★)多少个数字不重复的三位偶数？
⑶(★★★)多少个数字不重复的偶数？
(★★★)
由数字0，1，3，9可以组成多少个小于1000的自然数？
(★★★★)
用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于2000的没有重复数字的自然数？。
小学四年级奥数全册精品讲义
7.把一条长 15cm 的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线 段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等 时，我们称这两个三角形是相同的.）
如果 M 位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法.
M
4.如下图,在 2×2 方格中,画一条直线最多可穿过 3 个方格,在 3×3 方格中, 画一条直线最多可穿过 5 个方格.那么 10×10 方格中,画一条直线最多可穿过 _____个方格.
5. 有一批长度分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 和 11 厘米的细木条,它们的 数量都足够多,从中适当选取 3 根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定 底边是 11 厘米长,你能围成多少个不同的三角形?
第一讲 加乘原理
加法原理：完成一件工作共有 N 类方法。在第一类方法中有 m1种不同的方法，在第二 类方法中有 m2种不同的方法，……，在第 N 类方法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件工 作共有 N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn 种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以 独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任 何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不 同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
这两个基本原理是排列和组合的基础，教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、 行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。
四年级奥数训练班讲义
四年级奥数训练班讲义
一、引言
本讲义旨在帮助四年级学生提高奥数能力和解题技巧。
通过系统的训练，学生将能够掌握基本的奥数知识，并在考试中取得更好的成绩。
二、课程目标
1. 培养学生对奥数的兴趣和热爱；
2. 提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力；
3. 培养学生的自学能力和问题解决能力；
4. 增强学生的数学创造力和想象力；
5. 培养学生的团队合作精神。
三、课程安排
1. 基础知识讲解
- 数与式的认识与计算
- 数学运算的基本规律
- 图形与几何的认识
- 数据的处理与统计
2. 解题技巧训练
- 分析题目和梳理思路
- 列方程和列式解决问题
- 探索规律和使用数学方法解题
- 选择合适的数学工具和策略解题
3. 模拟演练与测试
- 针对不同难度的奥数题目进行模拟演练
- 定期进行考试评估学生的研究进度和成绩
四、研究要求
1. 准时参加每次上课和完成课后作业；
2. 积极主动参与讲解和讨论；
3. 主动思考和解决问题，互相研究和帮助；
4. 注意课堂纪律和团队合作。
五、课后辅导与反馈
1. 提供课后答疑，解答学生的疑问；
2. 针对学生的表现进行积极的反馈和指导；
3. 为学生提供额外的练题和研究资源；
4. 定期与家长沟通，了解学生的研究情况。
希望同学们能够珍惜这次奥数训练班的机会，努力学习，取得优异的成绩！。
四年级上册数学奥数讲义-线段 含解析
线段平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科，主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系．构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简单、最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础．几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究．解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法．例题【例1】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个．思路点拨画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑．注：几何原意是“测地术”，相传起源于四千多年前的土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著《几何原本》．当今，几何巳形成结构严密的科学体系，成为数学中的一个重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一．求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、归纳、逆推等方法，读者思考以下典型问题：(1)线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段?(2)n条直线两两相交的直线最多有几个交点?(3)n条直线最多能把平面分成几个区域?【例2】如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ等于( )．A．1 B．2 C．3 D．4思路点拨利用中点，设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表示．【例3】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度．思路点拨引人未知数，通过列方程求解．【例4】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米?思路点拨条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考．【例5】(1)如图a，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；(2)如图b，已知A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；(3)如图c ，有一正方体的盒子ABCD —A 1B 1C l D l ，在盒子内的顶点A 处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C 处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在C l 处不动)思路点拨 联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直．注： 恰当设元，运用方程思想，将线段、角的计算问题代数化，是解与线段、角相关计算问题的重要方法．数学既研究数，也研究形，许多数学问题既可以从代数角度来思考，也可以从形的角度加以解决．“谋定而后动”，解题方法的选择建立在分析的基础上，切忌“慌不择路”，扎进“死胡同”．分类思想是一种科学思想，在数学学习中的各阶段都要运用到，几何学运用分类思想时，总是与图形位置关系，数量关系相关的．【例6】 摄制组从且市到月市有一天的路程，计划上午比下午多走100km 到C 市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km ，傍晚才停下来休息，司机说，再走C 市到这里路程的一半就到达目的地．问A 、B 市相距多少千米?思路点拨 画出线段图进行分析．如图13—1所示，设小镇为D 点，傍晚在正点休息．∵GE=2EB ，∴GE=32BC ∵AD=31AC ，∴DC=32AC ． ∵DC+CE=32（BC+AC ）=32AB ∴DE=32AB ，又DE=400km ； ∴ AB=600 km ．注： 线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用．同学们想一想，“计划上午比下午多走100km ”这个条件是必需的吗?如果把司机的话改成“再走C 市到这里路程的31就到达目的地”，需要前面的条件吗?请同学们自己试完成解答．【例7】 如图13-7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A 到B 的距离最短?思路点拨 虽然A 、B 两点在河两侧，但连结AB 的线段不垂直于河岸．如图13-8，关键在于使AP+BD 最短，但AP 与BD 未连起来，要用线段公理就要想办使P 与D 重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的。
四年级奥数秋季教材
X X X 教育四年级思维奥数教材目录第1讲找规律 1第2讲算式谜 4 第3讲简单推理7 第4讲解决问题（1）11 第5讲最优问题12 第6讲巧妙求和17 第7讲变化规律20 第8讲错中求解24 第9讲简单列举27 第10讲和倍问题30 第11讲植树问题33 第12讲图形面积36 第13讲解决问题（2）39 第14讲数数图形43 第15讲速算巧算46第1讲找规律一、例题精讲例题1：先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19分析：在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
例题2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
1，2，4，7，（），16，22分析：在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。
由此可以推算7比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。
经验证，所填的数是正确的。
应填的数为：7+4=11或16-5=11。
例题3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
23，4，20，6，17，8，（），（），11，12分析：在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数……依此规律，8后面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：8+2=10例题4：在数列1，1，2，3，5，8，13，（），34，55……中，括号里应填什么数？分析：经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。
根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21或34－13=21 上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。
例题5：根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？分析：经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：5×12÷10=64×20÷10=8根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8×30÷10=24.例题6：:计算（1）26×11（2）38×11分析：一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求的积。
奥数讲座(4年级-上)(14讲)
四年级奥数讲座（一）目录第一讲速算与巧算（三）第二讲速算与巧算（四）第三讲定义新运算第四讲等差数列及其应用第五讲倒推法的妙用第六讲行程问题（一）第七讲几何中的计数问题（一）第八讲几何中的计数问题（二）第九讲图形的剪拼（一）第十讲图形的剪拼（二）第十一讲格点与面积第十二讲数阵图第十三讲填横式（一）第十四讲填横式（二）第一讲速算与巧算（三）例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算 9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.例8 1999＋999×999解法1：1999＋999×999＝1000＋999＋999×999＝1000＋999×（1＋999）＝1000＋999×1000＝1000×（999＋1）＝1000×1000＝1000000.解法2：1999＋999×999＝1999＋999×（1000-1）＝1999＋999000-999＝（1999-999）＋999000＝1000＋999000＝1000000.有多少个零.总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.习题一1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋793.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从1～25的全体自然数之和.7.计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×1610.计算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋911.计算999999×7805312.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？习题一解答1.利用凑整法解.899998＋89998＋8998＋898＋88＝（899998＋2）＋（89998＋2）＋（8998＋2）＋（898＋2）（88＋2）－10 ＝900000＋90000＋9000＋900＋90-10＝999980.2.利用凑整法解.799999＋79999＋7999＋799＋79＝800000＋80000＋8000＋800＋80-5＝888875.3.（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）＝1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2-1-3-5…－1983－1985－1987＝（1988-1987）＋（1986-1985）＋…＋（6-5）＋（4-3）＋（2－1）＝994.4.1－2＋3—4＋5－6＋…＋1991-1992＋1993＝1＋（3-2）＋（5-4）＋…＋（1991-1990）＋（1993－1992）＝ 1＋1×996＝997.5.1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝13×6＝78（下）.6.1＋2＋3＋…＋24＋25＝（1＋25）＋（2＋24）＋（3＋23）＋…＋（11＋15）＋（12＋14）＋13＝26×12＋13＝325.7.解法1：1000＋999—998—997＋996＋995—994－993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101＝（1000＋999—998—997）＋（996＋995—994－993）＋…＋（108＋107—106—105）＋（104＋103—102—101）解法 2：原式＝（1000—998）＋（999—997）＋（104—102）＋（103—101）＝2 × 450＝900.解法 3：原式＝1000＋（999—998—997＋996）＋（995—994 －993＋992）＋…＋（107—106—105＋104）＋（103—102—101＋100）－100＝1000—100＝900.9.（125×99＋125）×16＝125×（99＋1）×16＝ 125×100×8×2＝125×8×100×2＝200000.10.3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9＝ 3×（999＋1）＋8×（99＋1）＋2×（9＋1）＋9＝3×1000＋8×100＋2×10＋9＝3829.11.999999×78053＝（1000000—1）×78053＝78053000000—78053＝78052921947.12.1111111111×9999999999＝1111111111×（10000000000—1）＝11111111110000000000—1111111111＝11111111108888888889.这个积有10个数字是奇数.第二讲速算与巧算（四）例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分240 × 250，又有不同的部分1×9，2×8，3×7，4 ×6，5×5，由此很容易看出245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1，x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 × 98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？① 1992×1999＋1999② 1993×1998＋1998③ 1994×1997＋1997④ 1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？习题二解答1.先按图意将方格填好，再仔细观察，找出格中数字的规律进行巧算.解法1：先算每一横行中的偶数之和：（12＋14＋16＋18）×6＝360.再算每一竖列中的奇数之和：（11＋13＋15＋17＋19）× 5＝375最后算30个数的总和＝10＋360＋375＝745.解法2：把每格的数算出填好.先算出10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＝145，再算其余格中的数.经观察可以列出下式：（23＋37）＋（25＋35）× 2＋（27＋33）×3＋（29＋31）× 4＝60 ×（1＋ 2＋ 3＋4）＝600最后算总和：总和＝145＋600＝745.2. ① 98765 × 98769＝ 98765 ×（98768＋ 1）＝98765 × 98768＋98765.② 98766 × 98768＝（98765＋1）× 98768＝98765 × 98768＋ 98768.所以②比①大3.3.同上题解法相同：568×764＞567×765.4.根据“若保持和不变，则两个数的差越小，积越大”，则1996×1996＝3984016是最大的得数.5.85÷5＝17为中数，则五个数是：13、15、17、19、21最大的是21，最小的数是13.6.45÷5＝9为中数，则这五个数是：3，6，9，12，15.7.观察已框出的六个数，10是上面一行的中间数，17是下面一行的中间数，10＋17＝27是上、下两行中间数之和.这个中间数之和可以用81÷3＝27求得.利用框中六个数的这种特点，求方框中的最大数.429÷3＝143（143＋7）÷2＝75 75＋1＝76最大数是76.第三讲定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5 2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a ＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝ 8x－ 13那么 8x－13＝3解出x＝2.③这个运算有交换律和结合律吗？的观察，找到规律：例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出 k的值.解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.习题三计算：① 10*6 ② 7*（2*1）.如果1△2=2，则2△9=？7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：9.规定a△b=a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b-1），（a、b均为自然数，b＞a）如果x△10=65，那么x=？10.我们规定：符号。
四年级奥数教材秋季优能版
目录第一讲加、减法巧算（一）.................................................. 错误!未定义书签。
第二讲加、减法巧算（二） (5)第三讲巧填运算符号和括号 (8)第四讲年龄问题（一） (11)第五讲年龄问题（二） (14)第六讲大数的组成 (17)第七讲还原问题（一） (20)第八讲还原问题（二） (23)第九讲搭配中的学问 (26)第十讲角的计算 (29)第十一讲从规律到递推 (33)第十二讲列表与推理 (37)第十三讲积的变化规律 (40)第十四讲巧填数阵图 (43)第十五讲差额平均分问题 (47)第十六讲商的变化规律 (51)第十七讲乘除法竖式谜 (54)第十八讲追及问题（一） (59)第十九讲追及问题（二） (62)第二十讲用乘除法解决问题（一） (65)第二十一讲用乘除法解决问题（二） (69)第二十二讲有余数的除法 (73)第二十三讲行程问题（一） (76)第二十四讲行程问题（二） (79)第二十五讲烙饼问题 (82)第二十六讲合理安排时间 (85)第一讲加、减法巧算（一）教学目标：1、引导学生探索和理解加法交换律、结合律，初步学会加、减数接近整十、整百数的简便算法，能运用运算定律进行一些简便计算。
2、进一步提高学生的计算能力，加强计算的灵活性和熟练性。
培养学生根据具体情况，选择算法的意识与能力，发展思维的灵活性。
3、使学生感受数学与现实生活的联系，能用所学知识解决简单的实际问题。
渗透“数学来源于生活，又运用于生活”的思想，激发学生学习数学的兴趣。
一、知识回顾知识点1：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝知识点2：10－9＋8－7＋6－5＋4－3＋2－1＝二、例题辨析例1、巧算下面各题36+87+64 1361＋972＋639＋28即学即练：巧算下面各题723＋125＋813＋1277＋187 453＋209＋547＋291例2、巧算下面各题197＋873 548－296即学即练：巧算下面各题2541－1998 345＋2005199＋299＋399＋499 49999＋4999＋499＋49＋4即学即练：巧算下面各题9＋19＋299＋3999 199999＋19998＋1997＋196＋10例4、巧算下面各题78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85256+249+251+246即学即练：巧算下面各题38+43＋45＋37+42＋41 136+140+141+150+147三、归纳总结归纳1、凑整法先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其它的数相加。
四年级奥数秋季班讲义(上)
莱特1+1思维教育辅导讲义莱特1+1思维教育辅导讲义课题巧妙求和（二）授课时间：授课教师：知识点梳理某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可以用等差数列求和公式计算。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可以考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
教学内容例1 小林读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页？分析根据“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天的读的页数是按照一定的规律排列的数，即30、33、36……57、60。
要求这本书共有多少页就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项是30，末项是60，项数是11，因此可以根据等差数列的公式求解总和。
例2 一些同样粗细的圆木，像如图所示的一样均匀的堆放在一起，已知最下面一层有70根，那么一共有多少根圆木？分析根据图可以发现这是一个公差是1的等差数列，首项是1，末项是70，要求一共有多少根圆木，其实就是求这个等差数列的和。
可以根据通项公式求解计算。
例3 30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？分析开第一把锁时如果不凑巧，试了29把钥匙都还不行，那么剩下的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要29次，同样的，开第二把锁至多需要试28次，开第三把锁至多需要试27次……等打开第29把锁时，剩下的一把就不用试了，一定能打开。
所以，至多需要29＋28＋27＋……＋1次，从而将实际问题转化成了等差数列的求和问题。
例4 某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手，那么共握了多少次手？分析假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个人依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次，依此类推，第50个人和剩下的人握了一次手，这样他们握手的次数如下：50、49、48、……、2、1。
四年级奥数班秋季讲义
目录第一讲和差问题 (2)第二讲和倍问题 (7)第三讲差倍问题 (12)第四讲有条理数图 (17)第五讲巧求周长 (22)第六讲巧求面积 (27)第七讲相遇问题 (32)第八讲追及问题 (40)第九讲火车过桥问题 (45)第十讲行船问题 (50)第十一讲二级运算中的巧算 (55)第十二讲找规律填数 (59)第一讲和差问题一、一次和差例1甲乙两仓库共存粮100吨。
保管员从甲仓库调出18吨到乙仓库，这时两仓库的粮食就一样多了。
原来两仓库各存粮多少吨？【举一反三】1. 甲、乙两车间共有393名工人，把甲车间的16名工人调到乙车间后，甲车间比一车间还多5名。
甲、乙车间原来有工人多少名？2. 一只三层的书架，共放书108本，上层比中层多11本，下层比中层少5本，问上、中、下层各放书多少本？3. 棉纺厂第一、二、三车间平均每个车间有工人80人。
如果第一车间增加10人，第二车间增加5人，三个车间的人数就同样多了。
三个车间各有多少工人？二、两次和差例2三只船共运9800块木板，第一只船比其余两只船共运的少1400块，第二只船比第三只船多运200块，三只船各运多少块？【举一反三】1. 光明村新建了三条路，共长4100米，第一条路比其余两条路的总长度少1100米，第二条路比第三条路长200米。
三条路各长多少米？2. 学校将新购买的250本课外书分别借给一、二、三年级的学生阅读，三年级借到的本书比一、二年级的总和少12本，二年级比一年级多借到19本。
三个年级各借到多少本课外书？3. 公园里有4种树一共85棵，其中杨树和柳树的总数比松树和柏树的总数多1棵，松树又比柏树少10棵，那么柏树有多少棵？三、图形中的和与差例3下图是由4个形状大小相同的小长方形构成的，已知AC为14厘米，BO为6厘米，问小长方形的长和宽各是多少厘米？方法总结：【举一反三】1. 下图是由8个形状大小相同的小长方形构成的，已知AC为24厘米，BO为8厘米，问小长方形的长和宽各是多少？2. 下图是由10个形状大小相同的小长方形构成的，已知AC为33厘米，EF为3厘米，问小长方形的长和宽分别是多少厘米？3. 图中由6个相同大小的长方形构成，已知AC与EF的和是50，AC比EF长18厘米，问小长方形的长和宽分别是多少？【家庭作业】1. 兄妹二人共有图画书67本，哥哥比妹妹多13本，哥哥有图画书多少本？妹妹有图画书多少本？2. 师徒两人共加工了236个零件，如果师傅给徒弟14个零件，则两人加工的零件数相同，求师徒两人原来各加工多少个零件？3. 王晶、李月和张嘉共有连环画56本，王晶比李月多2本，李月比张嘉多3本。
四年级上奥数讲义
四年级上奥数讲义第一讲等差数列【课前导引】德国著名数学家高斯年幼时非常聪明,一次数学课上,老师出了一道题:1+2+3+4+…+99+100=?老师出完题后,全班同学都在埋头苦算,小高斯却很快算出了答案,那你知道高斯算得答案是多少?又是怎么算出来的呢?什么是等差数列？一、在等差数列中，我们称第1个数为第1项，第2个数为第2项，第3个数为第3项，……依次类推二、我们把等差数列的第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中所有数的个数称为项数，而相邻两项的差则被称为公差。
下面的数列是否是等差数列?如果是,每一列的公差是几?首项和末项分别是多少?(1)1,2,3,4,5,…,99,100(2)1,3,5,7,9,…,97,99(3)34,35,37,38,40,41,42……【例1】有一个数列首项是3，每一项都比前一项大2，那么这个数列的第13项是多少？【巩固练习】一个等差数列共有11项，每一项都比前一项少3，并且首项是100，请问：这个数列的末项是多少？【例2】有一个数列，首项是2，每一项都比前一项多5，末项是452，那么这个数列一共有多少项？【巩固练习】1、5、9、13、17……281，请问这个数列共有多少项？【例3】一个等差数列的首项是11，第10项是200,这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？305是第多少项？【巩固练习】一个等差数列首项是15，第7项是57，这个等差数列的公差是多少？第20项等于多少？【例4】计算下列各题（1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30（2）41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1【巩固练习】计算：6+11+16+21+26+31+36+41+46【例5】下面有一列数是按一定的规律排列的：4,7,10,13,16，…(1)请问第10个数是多少？(2)394是第多少个数？(3)这个等差数列的前30项的和是多少？【巩固练习】：3,8,13,18,23，…(1)请问第20个数是多少？(2)603是第几个数？(3)这个等差数列的前20项的和是多少？【思维拓展】30名同学按照身高由低到高排成一队，相邻两个同学的身高差都相同，前10名同学的身高和是1450厘米，前20名同学的身高和是3030厘米，那么这30名同学的身高和是厘米。
秋季班四年级奥数一至七讲复习纲要(一)
——丁凯老师2008年“迎春杯”四年级初赛第十题在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99。
一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面。
例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15。
这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，这个数是________（小提示：看似很复杂的一个问题，其实就是要求1-99这99个数的和。
因为每次变化后唯一不变的就是纸面上的数的和。
）备注：在我们各大杯赛考试中，经常会遇到等差数列的问题，而且题目一般看起来都比较复杂；但是它们都是纸老虎，因为只要简单的一分析就会发现题目其实很简单。
（1）简单的盈亏问题，主要分为“盈盈”、“亏亏”、（2）条件转化型盈亏问题——通过转化回到正规的盈亏问题上提示：若船数不变，则 每船6人，多6人（盈），然后上下对应入公式； 每船9人，少9人（亏）（3）关系互换型盈亏问题提示： 10千克牛肉，少6 10千克猪肉，剩24元（盈） 12千克猪肉，剩4元 12千克猪肉，剩4元（盈）（1）对方格分割题目的“标号交换法”例一：“这是一个4×4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。
”（1） （2） （3）分析：第一步：找到图形中心点（如右上图红点处）；第二步：找到最简单的分割方法，并在一侧随意编号（如上图，此处编号顺序可以随便，不需要跟我的相同）；第三步：将另一侧的方格，与上图中关于对称点对称的方格编成相同的号码。
（如下图）前三步是准备工作，看起来比较繁琐，其实不需要动什么脑子，难度很小……接下来就要出结果了把“1”号交换再交换“2”号（1）（2）…………依此类推，可以得到各种不同的分割方法；注意：（1）我们可以看到交换到123号后，4号不能交换，只能再交换5号；（2）在第一步中，交换1号和交换4号得到的图形是一样的；（2）四个等腰直角三角形可以组成的图形大三角形、平行四边形、梯形、正方形、长方形……还记得吗？如果忘了，要翻翻我们课堂上记的笔记啊！（3）需要我们稍微激动一下的：当遇到分割小方格图形时，第一步：确定共有多少个小方格；第二步：确定我们分出的每个小图形里面有多少个小方格；如果计算出每个小图形里面有4个小方格，就要稍微激动一下了，想一想俄罗斯方块中的五种图形……我们的考试中一般只考其中的“拐棍形”、“领奖台形”。
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莱特1+1思维教育辅导讲义
莱特1+1思维教育辅导讲义课题巧妙求和（二）
授课时间：授课教师：
知识点梳理
某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可以用等差数列求和公式计算。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可以考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
教学内容
例1 小林读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页？
分析根据“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天的读的页数是按照一定的规律排列的数，即30、33、36……57、60。
要求这本书共有多少页就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项是30，末项是60，项数是11，因此可以根据等差数列的公式求解总和。
例2 一些同样粗细的圆木，像如图所示的一样均匀的堆放在一起，已知最下面一层有70根，那么一共有多少根圆木？
分析根据图可以发现这是一个公差是1的等差数列，首项是1，末项是70，要求一共有多少根圆木，其实就是
求这个等差数列的和。
可以根据通项公式求解计算。
例3 30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
分析开第一把锁时如果不凑巧，试了29把钥匙都还不行，那么剩下的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要29次，同样的，开第二把锁至多需要试28次，开第三把锁至多需要试27次……等打开第29把锁时，剩下的一把就不用试了，一定能打开。
所以，至多需要29＋28＋27＋……＋1次，从而将实际问题转化成了等差数列的求和问题。
例4 某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手，那么共握了多少次手？
分析假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个人依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次，依此类推，第50个人和剩下的人握了一次手，这样他们握手的次数如下：50、49、48、……、2、1。
例5 求1～99个连续自然数的所有数字之和。
分析注意首先要求的是99个连续自然数的数字之和，而不是求着99个数的和。
为了能方便求解，我们不妨把0算进来（它不影响我们求数字之和），计算0～99这100个数字之和，这100个数头尾两两配对后每两个数字之和都相等，都是9＋9=18，一共有100÷2=50对，所以1～99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。
练习：
1、刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正
好做完，这批零件共有多少个？
2、莉莉学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学了1个，最
后一天学会了16个，莉莉在这些天中学会了多少个单词？
3、用相同的小立方体摆成如右图所示的图形，那么第10层有多少个小立方体
4、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
5、有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁有配上自己的钥匙，问一共有几把
锁的钥匙搞乱了？
6、学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有的参赛选手各赛一场，如果有21人参加比
赛，问一共要进行多少场比赛？
7、一次同学聚会中，参加的有43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握手一次
手。
那么一共握了多少次？
8、求1～199的199个连续自然数的所有数字之和。
9、求1～999的999个连续自然数的所有数字之和。
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4 25南京
上海南通
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思考题：
例7下图中共有多少个三角？
分析：为了保证不漏数而又不重复，我们可以分类来数三角形，分为包含有1个、2个、3个、6个小三角形组合成的三角形个数，然后再把各类三角形的个数相加。
例8 数出右图中所有三角的个数。
分析：同位置的三角形一起数，例如：AFG、BGM、CIM、DIJ、JEF是同类。
例9 数一数，下图中共有多少个三角形。
练习：
1. 数下列图形中分别有多少条线段。
2.下列图形中，各有多少个角？
3.下列图形中各有多少个三角形？
4．数一数下图中各有多少个长方形。
5．下列图形中各有多少个正方形？
6．（1）从上海到青岛的某次直快列车，中途停靠6个大站，这次列车有几种不同的票价？（2）从成都到南京的快车，中途停靠9个大站，有几种不同的票价？
7．数出下面图中分别有多少个三角形。
8. 图中共有（）个三角形。
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B
A
C
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课 题 长方形、正方形的周长
授课时间：
授课教师：
知识点梳理
我们知道，长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的
周长。
如何用所学的知识巧妙求出表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需要灵活运用所学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算他们的周长。
公式：长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4
教学内容
例题1.一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的总面积为192平方厘米。
现在这块木板的周长是多少厘米？
分析：把截掉的192平方厘米分成A 、B 、C 三块（如图），可先计算出A 与B 的和，
把A 、B 移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，因此长方形的长就是这块木板剩下的部分的周长的一半。
例题2.求右图的周长。
（单位：厘米）
例题3、如右图的正方形分成甲、乙两部分，下面哪几句话正确的？ A 甲的周长比乙大 B 甲乙周长相等 C 甲的面积比乙大 D 甲乙面积相等
分析：可以从图中直接得出甲乙两图的大小关系。
例题4、如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米。
求最大的长方形的周长。
分析：根据题意，可分析出最大长方形的宽就是正方形的边长。
因为BC=EF,CF=DE,所以，
AB+BC+CF=AB+FE+ED=9+6=15(厘米)。
练习：
1、有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形，求这个正方形的周长。
2、有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按右图所示叠放在一起，这
个图形的周长是多少？
3、求下列图形的周长（单位：厘米）。
4、一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图长方形，求所拼长方形的周长。
5、有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。
6、右图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。
7、在一个长方形硬纸板的一角任意剪去一个正方形，剩下的图形的周长发生了怎
样的变化？
8、有2个相同的长方体，长7厘米，宽3厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周长。
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