第3讲 不等式的性质和基本不等式学生
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第3讲 不等式的性质和基本不等式
[玩前必备]
1．不等式的基本性质
2．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪
⎧
a －
b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝b
a －
b <0⇔a (a ，b ∈R ) (2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ a b >1⇔a >b a b ＝1⇔a ＝b a b <1⇔a 0) 3．基本(均值)不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本(均值)不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 4．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2 ＋b 2 2≥ ⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 5．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本(均值)不等式可叙述 为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 6．利用基本(均值)不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则： (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4 .(简记：和定积最大) [玩转典例] 题型一 不等式的性质应用 例1 (1)给出下列命题： ①若ab >0，a >b ，则1a <1 b ； ②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ； ③对于正数a ，b ，m ，若a b ＋m .其中真命题的序号是________． （2）已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ≥Q