美式看跌期权定价的二叉树方法中的几个不等式

美式看跌期权定价的数值解法

美式看跌期权定价的数值解法美式期权定价通常采用数值方法，包括二叉树法、有限差分法和monte carlo模拟法。

其中，二叉树法和有限差分法都属于逆向求解的方法，可以求出美式期权的最优执行时刻以及价格，但对于路径依赖期权和具有多标的资产的期权，这两种方法受到了限制。

monte carlo模拟方法的原理虽然是正向求解，但20世纪90年代以来，学者们通过将树图分析技术以及动态规划原理引入monte carlo模拟中，已经实现了美式期权的monte carlo模拟定价。

本文首先介绍了lsm方法的理论框架和基本原理，其次以单一标的资产的美式看跌期权为例，给出了具体的算法实现步骤以及matlab 程序，最后通过一个实例说明lsm方法的可行性及优缺点。

一.lsm方法的理论框架和基本原理为模拟美式期权定价，首先设立以下基本假定：标的资产价格演化过程遵循几何布朗运动市场是无摩擦；无风险利率r为固定的常数。

为简化计算，将期权的有效期[0，t]均分为个子区间，这样期权只可能在n+1个交易时点行权：0=t0<t1<t2<……<tn=t。

在t时刻前的某一可能执行点tn时刻，若立即行权，期权价值即执行期权获得的收益现金流max（k-st，0），是已知的；若继续持有，期权价值即为继续持有该期权的期望收益它是个条件期望，依赖于下一时点期权决策的价值，需逆向求解，这是一般的monte carlo模拟法无法做到的。

然而通过实证研究发现，只要标的资产价格过程具有马尔科夫性，拟合的条件期望函数可用多个不同阶的拉格朗日多项式线性组合而成，根据标的变量个数的不同，选择不同个数的多项式的线性组合。

因此，我们将所有（m条）样本路径在时点tn的价格stn和stn2为解释变量，将对应样本路径上的期望收益作为被解释变量，建立如下线性回归模型：将各个资产价格样本路径带入到回归方程，就可得到期权在各个时点继续持有的价值无偏估计。

期权定价二叉树模型精讲共41页文档

40、人类法律，事物有规律，这是不容忽视的。— —爱献生
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
期权定价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ叉树模型精讲
36、如果我们国家的法律中只有某种神灵，而不是殚精竭虑将神灵揉进宪法，总体上来说，法律就会更好。—— 马克·吐温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之时。— —威·皮物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律是丝毫没有力量的。 ——菲力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们迅速累聚，进而变成法律。 ——朱尼厄斯

第6章二叉树模型与美式期权(金融工程与风险管理南京

deducing d1 and d2 (for p)
第6章二叉树模型与美式期权(金融工程与风险管理南京
第6章二叉树模型与美式期权(金融工程与风险管理南京
公式意义：在风险中性世界里，将期权到期时所有的可能值对当前时刻贴现，并以风险中性概率加权，得到的是期权现值的期望值。此期望值是期权的真实值吗？
第6章二叉树模型与美式期权(金融工程与风险管理南京
For example: two-step binomial trees
第6章二叉树模型与美式期权(金融工程与风险管理南京
§ 期权到期日价值的所有可能值为
第6章二叉树模型与美式期权(金融工程与风险管理南京
§ 由1阶段模型可知，在风险中性条件下
注意：风险中性概率p只与r，h，u，d有关，当上
述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也
正是阶段平分的优点。
第6章二叉树模型与美式期权(金融工程与风险管理南京
当前时刻t，期权的价值为
§ 二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式期权和奇异期权）定价模型的基本手段
§ 对于所有不能给出解析式的期权，都可以通过二叉树模型给出。
第6章二叉树模型与美式期权(金融工程与风险管理南京
A Simple Binomial Model
§A stock price is currently $20 §In three months it will be either $22 or $18
第6章二叉树模型与美式期权(金融工程与风险管理南京
Dicussion: Risk-neutral probability
2. 在风险中性世界中，主观概率q没有出现。
Ø 虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过程中并没有涉及到q，也就是人们对q认识的分歧并不影响对期权的定价结果。

第五讲期权定价理论I二叉树模型

15
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格为：
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
贴现的现值。想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
16
（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元，假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风险利率为5%。
23
（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。计算图11.1和11.7中的Δ。
26
4. 期货期权的定价在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货
的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也 E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0 p=(1-d)/(u-d) 例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风

二叉树定价模型知识讲解

二叉树定价模型期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。

本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。

8.1一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。

例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。

在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。

由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。

这是最简单的二叉树模型。

一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。

经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。

我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。

构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。

如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。

根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。

在这种情况下，该组合是无风险的。

以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。

期权定价公式的二叉树推导与分析

期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。

期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。

期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。

本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。

期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。

该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。

具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。

二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。

二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。

基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。

假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。

在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。

假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。

那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。

期权定价的二叉树模型

03
二叉树模型在期权定价中的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的价格路径，计算期权的预期收益，并使用无风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市场行为和风险。
05

期权定价二叉树模型

qu e rT (1 ) e 0.025 0.62658 0.611111
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元，期权确定的执行价格为。设把期权 S X 65 元的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期权的价格.
二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)，试确定该期权的价格。
33
30 27 ?
2
1 0
1.025
1.025
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
,n
欧式卖出期权的二项式定价公式
n n i i n i i P qu qd max{S X S0 (1 u ) (1 d ) , 0} i 0 i

期权定价的二叉树模型介绍

2
6.1 单期模型
Su
Cu
S Sd
C Cd
由于这个图形犹如一根叉开的树枝，所以被称为“二叉树”，
模型中，每一个数值被称作是一个节点，每一条通往各节
点的线称作路径。
3
第一节单期模型
[例8-1] 设股票的现价(S)为 $100,3月看涨期权的执行价格(K)为$110。在U=1.3和 d=0.9情况下，期权价值？
[例6-5] 有一种执行价格为$110，期限为6个月（每3个月算一期，共两期）的欧式看跌股票期权，作为其基础资产的股票价格每隔3个月变动一次，或上涨30%，或下跌 10%，且u和d在期权的有效期内保持不变，求期权期初价值。
16
6.2.3 无风险资产组合的套期保值率
[例6-6]设某公司股票的现价为$80，在3期（每6个月为1期， 180月）二杈树模型中，假定u=1.5,d=0.5,敲定价格$80, 无风险利率为20%。计算模型各节点的股价、期权价、假概率、δ值
12
将q和1-q解释成股票价格上涨和下跌的假概率，实际上默认了定价中风险中立估价原则假定。推导如下： E(ST)=qSu+(1-q)Sd E(ST)=qS(u-d)+Sd 再将q=(erT-d)/(u-d)代入得：E(ST)=SerT
13
6.1.5二项式期权定价中的u和d
二叉树期权定价模型中u和d与基础资产价格的波动性是有联系的，即u和d的数值取决于σ的大小及∆t 的长短。推导如下：
4
分析：当前
股票价格（s）=$100 期权价值（c）=？
u=1.3 d=0.9
下一期
股票价格（su）=$130 期权价值（cu）=
max(su-k，0)=$20

期货投资分析知识点：二叉树模型

期货投资分析知识点：二叉树模型2017年期货投资分析知识点：二叉树模型导语：完全二叉树是效率很高的数据结构，堆是一种完全二叉树或者近似完全二叉树，所以效率极高，像十分常用的排序算法。

大家跟着店铺一起来看看相关内容吧。

1.二叉树模型概述二叉树期权定价模型由考克斯(J.C.Cox)、罗斯(S.A.Ross)、鲁宾斯坦(M.Rubinstein)和夏普(Sharpe)等人提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。

其优点在于比较直观简单，不需要太多数学知识就可以加以应用。

二叉树期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。

二叉树期权定价模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。

对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。

2.单步二叉树模型假定股票在0时刻的价格(当前价格)为So，计算以此股票为标的'资产、到期日为T执行价格为K的看涨期权的当前价格。

假设T时刻，股票的价格变化只有两种可能：或者上涨到uSo(u>1)，此时期权价值为Cu=Max(0，uSo-K);或者下跌到dSo(d<1)，对应的期权价值为Cd=Max(0，dSo-K)。

3.两步二叉树模型总时间段分为两个时间间隔。

期权期限为2T，在第一个时间间隔末T时刻，股票价格仍以“或d的比例上涨或下跌。

如果其他条件不变，则在2T时刻，股票有3种可能的价格。

4.多步二叉树模型多步二叉树法与两步二叉树法操作步骤完全相同。

当步数为n时，nT时刻股票价格共有n+1种可能，故步数比较大时，二叉树法更加接近现实的情形。

【2017年期货投资分析知识点：二叉树模型】。

美式期权二叉树定价及MATLAB程序

金融随机分析课程美式期权的二叉树定价1、对于连续随机游走：SdZ Sdt dS σμ+=可以用离散格随机游走模型来表示，即标的资产的价格只在离散时间点t ∆，2t ∆,3t ∆,…,N t ∆取值，t ∆表示很小但非无穷小的时间步长；如果标的资产在时刻m t ∆的价格为m S ，那么在时刻(m+1)t ∆其价格有两种可能的值:)1(>u uS m 和)1(<d dS m ，并且标的资产的价格从m S 上升到m uS 的概率为p 。

2、风险中性假设在风险中性条件下，随机微分方程：SdZ Sdt dS σμ+=其中的μ可以用r 来表示。

即SdZ rSdt dS σ+=风险中性条件下，在时刻m t ∆衍生证券的价格m V 是其在时刻(m+1)t ∆的期望值按照无风险利率r 贴现所得到的，即][1+∆-=m t r m V e E V 。

3、期权的计算期权的计算是从二叉树图的末端（时刻T ）开始向后倒退进行的。

T 时刻期权的价值N n V 已知。

对于一个看涨期权来说，有)0,max (K S V N n N n -=对于一个看跌期权来说，有)0,max (N n N n S K V -=其中，n=0,1,2,…,N, K 为执行价格。

在风险中性条件下，t T ∆-时刻的每个结点上的期权值都可以用T 时刻期权价值的期望值在时间t ∆内用利率r 贴现求出；同理，t T ∆-2时刻的每个结点的期权值可以用t T ∆-时刻的期望值在t ∆时间内用利率r 贴现求出，其它结点依次类推。

而如果对于美式期权，必须检查二叉树图的每个结点，以确定提前执行是否比继续持有t ∆时间更为有利。

最后，向后倒推通过所有结点就求出了当前时刻的期权价值0V 。

下面对美式期权定价问题进行研究：美式看涨期权被提前执行时，其内涵价值为)0,max (K S V m n m n -=n=0,1,2,…,m对于看跌期权来说，有)0,max (m n m n S K V -=n=0,1,2,…,m在m t ∆时刻从节点(m,n)向(m+1)t ∆时刻的结点(m+1,n+1)移动的概率为p ；向(m+1)t ∆时刻的结点(m+1,n)移动的概率为1-p 。

美式期权价格公式

美式期权价格公式美式期权是一种可以在到期日前任意时间行使的期权合约，与欧式期权相比，具有更高的灵活性。

因此，为了计算美式期权的价格，我们需要使用不同的公式。

美式期权的价格可以通过两种方法进行计算：理论定价方法和模拟方法。

下面我们将介绍具体的美式期权定价公式，包括Black-Scholes期权定价模型、树模型（二叉树和三叉树）和蒙特卡洛模拟方法。

1. Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是最常见的对欧式期权进行定价的模型。

然而，对于美式期权，Black-Scholes模型并不适用。

美式期权的特点是可以在到期日前任意时间行使，因此在到期前，股价可能会有剧烈波动。

这种情况下，使用Black-Scholes模型来计算美式期权的价格会导致低估。

2.树模型（二叉树和三叉树）树模型是一种常用的计算美式期权价格的方法。

树模型基于假设股价会按照指数过程增长，并根据风险中性概率构建一个期权价格的二叉或三叉树。

对于二叉树模型，可以根据不同的参数（股价、期权价格、无风险利率等）构建一棵二叉树，并通过回溯计算每个节点的期权价格。

通过比较每个节点的预期回报和早期执行的收益，可以决定何时行使期权。

类似地，三叉树模型也是一种计算美式期权价格的有效方法。

三叉树模型在二叉树模型的基础上增加了一个附加节点，使得股价有三种可能的变动。

这样可以更准确地估计股价的变动范围，提高美式期权价格的准确性。

3.蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的计算美式期权价格的方法。

该方法通过生成大量的随机路径，以确定期权价格的期望值。

在蒙特卡洛模拟中，我们首先需要设定一个股价的路径模型，如几何布朗运动模型。

然后，通过生成多条随机路径，计算每条路径对应的期权价格，并取平均值作为期权价格的估计值。

蒙特卡洛模拟方法的优点在于可以处理复杂的期权合约和多种因素的影响，但由于需要生成大量路径进行模拟，计算速度可能较慢。

期权定价的二叉树模型学习笔记（II）

期权定价的二叉树模型学习笔记（II）编者按:二叉树模型的第二部分学习笔记中涉及到欧式看涨看跌期权的定价公式和所谓的平价公式,从形式上来看,该公式还不算特别复杂的.由于欧式期权是在到期日时实施期权,因此它相比美式期权(在到期日之前皆可实施)来说还是较为简单的.关于欧式看涨和看跌期权的平价公式,其刻画了两个期权之间的等量关系,往后所要学习到的美式期权则没有类似的平价公式.因此可以说,平价公式是欧式期权所独有的,这也是欧式期权相比美式期权多的一个差异点.笔记后半部分涉及到的鞍和鞍测度等概念,严格来说其实涉及到测度论的知识,因此首先需要了解的是测度的基本概念.引进鞍的一大目的是为了阐述这样一个核心结论:在二叉树模型下,市场的无套利性质与鞍测度之间具有等价性(if and noly if).尽管我们假设市场是无套利的(动态的无套利),然而要想从数学这个视角精细地刻画这点就不得不寻找等价条件.毫无疑问的是,资产定价基本定理为我们揭示了鞍测度与市场无套利之间的微妙联系.二叉树模型的期权价计算Denote .,We consider possible values of option at :.Question:If are given, how can we determineIn particular,Answer:We can determine by us-ing backward induction in the one period and two-state model.Notice that.Meanwhile, we can calculateThen we want to find二叉树模型欧式期权定价公式Define a risk-neural measure :Then,we will getSo that for any ,When ,=0.折现价二叉树模型的平价公式Denote Then the European call option valuation formula isEspecially,when ,,For the binomial tree method,the call-put parity(in discrete form) becomes鞅（Martingale）的概念the bet at game,the next bet.If under the condition that complete information of all previous game are available,the expectation of equals the previous stake i.e.then we say the gamble is fair.In Mathematics, is called -algebra in stochastic theory.Definition1(Martingale):The best sequence that satisfies conditionas a discrete random process,is called a Martingale.Remark:Martingle is often used to refer to a fair gamble.Then，we give mathematical definition of Martingale.Definition1'(Martingale ):A sequence is a Martingale with respect to sequence if for all :••鞅测度Under the risk-neutral measure ,the discount prices of an underlying asset ,as a discrete random process,satisfy the equation:Remark:Hence the discount price sequence of an underlying asset is a martingale.Definition2(Martingale measure):The risk-neutral measure is called the martingale measure.概率测度等价定义Definition3(Equivvalent measure):Probability measure and Probability measure are said to be equivalent if and only if for any probability event (set) there isi.e. the Probability measure and have the same null set.The European option valuation formula under the sense of equivalent Martingale measure ,can be written asEspecially,鞅测度和无套利等价性;用倒向归纳法证明期权不等式Theorem1(The fundamental theorem of asset pricing):If an underlying asset price moves as a binomial tree, there exists an equivalent Martingale measure if and only if the market is arbitrage-free.Dividend-Paying(股息支付):An underlying asset pays dividends in t-wo ways:•Pay dividends discretely at certain times in a year;•Pay dividends continuously at a certain rate.We only consider the continuous model. For studying the continuous Model, there are two reasons.Meanwhile,we meet the example:A company needs to buy Euro at time to pay a German company. To avoid any loss if Euro goes up, the company buys a call option of Euro with Expiration date at rate .How much premium should the company pay?[上文链接]: 期权定价的二叉树模型学习笔记（I）预知后事如何,请听下回分解......。

期权定价二叉树模型

其中，0<d<1<u
S0u3 S0u2d S0ud2 S0d3
三、单步二叉树定价模型
• 构造由单位的股票多头和一个单位衍生证券的空头形成的投资组合，则
• 如股票价格上升，则投资组合的价值为：
S0u fu
• 若下跌，则组合的价值为：
•
S0d fd
பைடு நூலகம்
• 如果取特殊值，使得股价无论上升还是下降，其价值都相等，即
S0u2
fuu
S0u
fu
S0
S0ud
f0
fud
S0d
fd
S0d2
fdd
• 基本思路:利用前述单步二叉树模型,先求出f11和f12 ,再求出f0即可。
S0u2
fuu
S0u S0ud
fu
fud
• 推理如下：
fu e -rT2 p fuu (1 p ) fud f d e -rT2 p fud (1 p ) f dd , 代入得： f 0 e -rT1 p fu (1 p ) f d
d 可解出方程 p= a d
ud u e t d e t 其中， a e rt
第三节利用二叉树模型给美式期权定价
• 一，基本方法 • 在每个节点都将二叉树模型所计算出来
的值与提前执行所得的收益进行比较，取较大者。 • 二、例1
• 一份2年期的美式股票看跌期权，期权执行价格为52，当前价格为50。假设用两步二叉树模型，每步长一年，每步股票价格或上升20%，或下跌20%。无风险利率为5%。见下图
其方差为：S2e2rt(e2t 1)。而在S二叉树模型下
的方差为：pS2u2 (1p)S2d2 S2pu(1p)d。故：

分析二叉树模型价格问题

分析二叉树模型价格问题引言期权定价问题一直是金融研究的热点问题之一,期权的价格受到众多因素的影响,在市场含有不确定因素的环境下,影响期权价格的因素变量不仅仅具有随机性的特点,还存在着模糊的性质[1-2],而模糊理论是处理非随机不确定性的有力工具,模糊理论的研究为期权定价理论提供了新的理论依据,基于此,许多研究者对经典的期权定价模型进行了改进。

Muzzioli等研究了模糊波动率下欧式期权的二叉树定价模型,并以DAX指数期权价格数据进行实证分析。

Yoshida 给出了股票价格的模糊随机过程,在模糊目标下用模糊期望计算出了欧式期权的连续定价模型。

Muzzioli等用三角模糊数代替传统二叉树期权定价模型中相应的参数,从而建立模糊美式期权定价模型。

Yoshida给出了美式看跌期权的离散定价模型。

Wu运用模糊理论对经典的Black-Scholes公式进行了修正,给出了模糊形式下欧式期权定价的Black-Scholes公式。

近年来,国内该领域的研究也有一定的进展,如韩立岩等[6-7]研究了Knight不确定条件下欧式期权的模糊二叉树定价,并对模糊价格进行去模糊化;于孝建则是应用模糊集理论将无风险利率和波动率进行了模糊化得到了美式看跌期权的二叉树模型。

在应用模糊集理论中,选择适当的隶属函数很重要,Bodjanova指出k次抛物型分布模糊数及其中间型的隶属函数能够较好地刻画期权的模糊参数。

本文在已有研究的基础之上,将股票价格的波动率用复杂的抛物型模糊数代替,并推导出模糊风险中性概率,从而建立美式看跌期权的模糊二叉树模型,并得出最优实施时间。

最后利用国内权证市场数据进行实证分析,结果表明所建立的模型对投资者进行投资决策具有指导意义。

1抛物型模糊数模糊集及抛物型模糊数的定义设在论域R上给定了映射μA:R→[0,1]x→μA(x)则称μ确定了R上的一个模糊子集,记为A。

μ称为模糊子集A的隶属函数,若μ从图1可以看出,三角模糊数和梯形模糊数是抛物型模糊数的特殊形式。

美式看跌期权二叉树数值算法比较

美式看跌期权二叉树数值算法比较作者：李畅来源：《商情》2014年第07期【摘要】美式期权的特征赋予其投资者可以选择是否提前执行期权，在什么情况下执行期权便成了主要考虑的问题。

当股票不存在分红时，其他参数均相同，那么美式看涨期权与欧式看涨期权的价值相同，即不存在提前执行。

然而，不付红利的美式看跌期权却可以提前执行。

本文着重分析在为美式看跌期权定价时，二叉树二叉树法中的两种不同的matlab代码的其各自特点。

【关键词】美式看跌期权；二叉树现今金融创新技术日新月异，金融衍生产品无论从种类还是数量上都已经获得了极大的发展，随着“火箭科学家”的加入，产品的独特性与复杂性也越来越高。

但期权依然是其中最基础也是最重要的一种，也依然是学界研究的重点。

期权在风险管理和投资理财等领域有着无可替代的重要作用，获得合理地期权定价就成为发挥其功能的主要前提，由此才能进一步促进全球金融市场的健康与稳定发展。

1973年，Black和Scholes给出了欧式看涨期权的解析价格，用评价公式可以很简单的得到欧式看跌期权的价格，后续研究者进一步推广了BS定价公式，从而使欧式期权的定价问题得以比较完备的解决。

而具有可提前执行特性的美式期权，其定价问题从数学角度看，是一个在随机微分方程下含有自由边界的求值问题，即无法获得封闭解。

在无法获得封闭解的情况下，以二叉树为代表的数值方法为美式期权定价就成了可行之道。

1 二叉树法A针对美式看涨/看跌期权的特点，matlab中的金融工具箱已给出公式——binprice。

输入各参数，可得到股票价格的二叉树路径和相应的期权价格。

针对美式看跌期权，其代码并不复杂，即：（使用CRR模型）function price = Binprice（s0，k，r，T，sigma，n）tt=T/n；u=exp（sigma*sqrt（tt））；d=exp（-sigma*sqrt（tt））；p=（exp（r*tt）-d）/（u-d）；price=zeros（n+1）；price（1，1）=s0；for i=1：n+1；for j=1：n+1；if j>=i；price（i，j）=price（1，1）*u^（j-i）*d^（i-1）；endendendopition=zeros（n+1）；opition（：，n+1）=max（k-price（：，n+1），0）；for j=n：-1：1；for i=1：n；if iopition（i，j）=max（k-price（i，j），exp（-r*tt）*（（1-p）*opition（i+1，j+1）+p*opition（i，j+1）））；endendendopition此种方法的有点在于操作简单，结果明显，并输出了股票价格矩阵，令使用者可以非常直观的美式看跌期权的最佳执行边界。

期权及其二叉树模型

C uC u,C uC d,C dC u,C dC d 分别用二期之后期权
可能取得的三个值 CuuCudCdd 代替,它们分别是：
C uum ax(0,u2SX)
C udm ax(0,udSX)
C ddm ax(0,d2SX)
从另一个角度看, 上式表明:期权价值等于在风险中性概率下二期收益的期望期权值及其折二叉现树模。型
5. 直接从证券组合的最终收益也可说明该组合是无风险
证券组合
期权及其二叉树模型
(四) 其他期权组合的收益
1. 牛市价差买卖(bullish vertical spread) ：
购买一份执行价格为X1的看涨期权，卖出一份执行价格是X2的看涨期权，其中X2 >X1
2. 熊市价差买卖（bearish vertical spread）：
期权及其二叉树模型
二、期权定价的二期模型为了得到多期期权价格公式,首先讨论二期模型设二期无风险利率为r，每期复利一次，则一元钱的投资到二期后有(1+r)2元，设股票的初始价格为S，
与一期模型一样,为了得到期权的价格，构造无风险套期保值证券组合,从而得到：
CpCu 1pCd
1r
由一期模型得到的Cu, Cd,代入上式有:
2. 一年半期债券的价格树图 3-40
（二）利率期限结构模型方法在（一）中介绍了给定利率期限结构以及半年期利率变化规律寻找风险中性概率序列并且应用该序列给债券定价的方法。另一种债券定价的方法，称为利率期限结构模型方法：先固定半年期利率在下一期以同样的概率分别取两个值，然后利用利率期限结构模型计算半年期利率值，从而构成一个利率树。用所得到的利率树对债券未来的价值折现就可期得权及到其二债叉树券模型的价格。如图 8-45,8-46