(新教材)2020-2021高中数学人教B版选择性必修三学案：5.1.2数列中的递推含解析

5.1.2 数列中的递推必备知识·素养奠基1.数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).数列递推公式与通项公式有什么区别和联系? 提示: 不同点相同点通项公式可根据某项的序号,直接用代入法求出该项都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项递推公式 可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值逐项求出数列的项,直至求出所有的项2.数列的前n 项和(1)定义:一般地,给定数列{a n },称S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 为数列{a n }的前n 项和.(2)关系:a n =1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)递推公式不能用来表示数列. ( )(2)所有的数列都有递推公式. ( )(3)由公式a n+1=a n-2(n≥1)可写出数列{a n}的所有项.( )(4)若数列{a n}满足a n+1=a n,则该数列是常数列. ( )提示:(1)×.递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)×.并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.(3)×.还需知道数列中至少一项的值.(4)√.该数列每一项都相同.2.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=a n+n,则a3的值为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.由a1=1,a n+1=a n+n,所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4.3.已知数列{a n}满足a1<0,=2(n∈N+),则数列{a n}是________数列(填“递增”或“递减”).【解析】由已知a1<0,a n+1=2a n(n∈N+),得a n<0(n∈N+).又a n+1-a n=2a n-a n=a n<0,所以数列{a n}是递减数列.答案:递减关键能力·素养形成类型一由递推公式写数列的项【典例】1.数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+1(n∈N+),那么a4的值为( )A.4B.8C.15D.312.已知数列{a n},a1=1,a2=2,a n=a n-1+a n-2(n≥3),则a5=________.3.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.(1)a1=0,a n+1=a n+(2n-1)(n∈N+);(2)a1=1,a n+1=(n∈N+);(3)a1=3,a n+1=3a n-2(n∈N+).【思维·引】1.由递推公式弄清相邻两项之间的关系,依次代入n=1,2,3,计算即可.2.由递推公式弄清相邻三项之间的关系,依次代入n=3,4,5计算即可.3.写出数列的前几项,归纳写出通项公式.【解析】1.选C.因为数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+1(n∈N+),所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7,a4=2a3+1=14+1=15.2.由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,a5=a4+a3=8.答案:83.(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所以a n=(n-1)2.(2)因为a1=1,a2=,a3==,a4=,a5==,所以a n=.(3)因为a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,a3=19=1+2×32,a4=55=1+2×33,a5=163=1+2×34,所以a n=1+2×3n-1.【内化·悟】由递推公式写出通项公式的步骤是什么?提示:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.(3)归纳总结写出一个通项公式.【类题·通】由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.【习练·破】设数列{a n}满足写出这个数列的前五项. 【解析】据题意可知:a1=1,a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=,a5=1+=.类型二由递推公式求通项公式角度1 累加法【典例】在数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+ln,求数列的通项公式a n. 【思维·引】将递推公式整理为a n+1-a n=f(n),累加求通项公式.【解析】a n+1-a n=ln=ln(1+n)-ln n,a1=2,a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,…a n-a n-1=ln n-ln(n-1)(n≥2),以上各式相加得a n=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)].所以a n=2+ln n(n≥2).因为a1=2也适合上式,所以a n=2+ln n.【素养·探】在由递推公式求通项公式的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究递推公式分析数列相邻项之间的关系,使用累加法或累乘法求解,提高运算能力.将本例的条件改为“在数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1+(n≥2)”,求数列的通项公式.【解析】因为a n=a n-1+(n≥2),所以a n-a n-1==-,所以a1=1,a2-a1=-,a3-a2=-,a4-a3=-,…a n-a n-1=-.所以a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(a n-a n-1)=1+(-)+(-)+(-)+…+(-)=-+1.当n=1时a1=1也适合上式,所以a n=-+1.角度2 累乘法【典例】设数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1(n≥2),求数列的通项公式a n.【思维·引】将递推公式整理为=f(n),累乘求通项公式.【解析】因为a1=1,a n=a n-1(n≥2),所以=,a n=×××…×××a1=×××…×××1=.又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以a n=.【类题·通】1.用“累加法”求数列的通项公式当a n-a n-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1累加来求通项a n.2.用“累乘法”求数列的通项公式当=g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用a n=···…··a1累乘来求通项a n.【习练·破】已知数列{a n}中,a1=1,当n∈N+且n≥2时,(2n+1)a n=(2n-3)a n-1,求通项公式a n.【解析】当n≥2时,因为(2n+1)a n=(2n-3)a n-1,所以=,所以···…··=···…··=.所以=,所以a n=,当n=1时符合上式,所以a n=,n∈N+.【加练·固】若a1=2,a n+1=a n,求该数列{a n}的通项公式.【解析】由a n+1=a n,可得=,则a n=···…··a1=···…··2=,n=1时,a1=2也满足上式,所以a n=.类型三数列相关概念的应用角度1 S n与a n的关系【典例】已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,求通项公式a n.【思维·引】利用前n项和S n与通项公式a n的关系求通项公式. 【解析】因为S n=n2-9n,所以n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-10.a1=S1=-8适合上式,所以a n=2n-10(n∈N+).【素养·探】本例中,若S n=n2-9n+1,试求通项公式a n.【解析】因为S n=n2-9n+1,所以n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-10.a1=S1=-7,不适合上式.所以a n=(n∈N+).角度2 数列的单调性【典例】已知函数f(x)=(x+1)(x∈R),设数列{a n}的通项公式a n=f(n)(n∈N+).(1)试探究数列{a n}的项的增减有何规律.(2)求该数列的最大项.【思维·引】(1)利用a n,a n+1之间的关系进行判断.(2)利用数列项的增减特征确定最大项后求值.【解析】(1)a n=f(n)=(n+1).所以a n+1-a n=(n+2)-(n+1)=,当n<9时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n;当n=9时,a n+1-a n=0,即a n+1=a n;当n>9时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n.则a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>….所以数列{a n}的项先递增到a9,a9与a10相等,从a10开始递减.(2)由(1)可知,数列{a n}有最大项,为第9项和第10项.a9=a10=10×.【内化·悟】数列{a n}的通项a n=f(n),如何求数列{a n}的最大项?提示:先研究函数y=f(x)的单调性,再依据a n=f(n)的定义域是正整数集(或其有限子集)求出数列{a n}的最大项.【类题·通】1.关于S n与a n的关系数列{a n}的前n项和S n与通项公式a n的关系为a n=求通项公式时注意两个方面,一是书写a n=S n-S n-1要注明n≥2,因为当n=1时,S n-1无意义;二是要验证n=1时a1=S1是否适合a n=S n-S n-1.2.数列单调性的判断方法根据定义判断:若a n+1>a n,则{a n}是单调递增数列;若a n+1<a n,则{a n}是单调递减数列;若a n+1=a n,则{a n}是常数列.作差法:若a n+1-a n>0,则数列{a n}是单调递增数列;若a n+1-a n<0,则数列{a n}是单调递减数列;若a n+1-a n=0,则数列{a n}是常数列.3.求数列的最大项和最小项的方法方法一:利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项.方法二:解不等式(组):设a n是最大项,则有对任意n∈N+且n≥2均成立,解不等式组即可.【习练·破】1.数列{a n}中,a n=-2n2+29n+3,则此数列中的最大值是( )A.107B.108C.108D.109【解析】选B.由已知,得a n=-2n2+29n+3=-2+108,由于n∈N+,故当n取距离最近的正整数7时,a n取得最大值108.所以数列{a n}中的最大值为a7=108.2.若数列{a n}的前n项和S n=n2+1,则a4=________,通项公式a n=________.【解析】a4=S4-S3=16+1-9-1=7,a n==.答案:7【加练·固】数列{a n}的通项公式为a n=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)当n为何值时,a n有最小值?并求出最小值.【解析】(1)令a n=n2-5n+4<0,得1<n<4,n∈N+,所以数列中仅有两项a2,a3是负数.(2)a n=n2-5n+4=-,其对称轴为n=,又n∈N+,所以n取2,3时,a n有最小值-2.课堂检测·素养达标学1.符合递推关系式a n=a n-1的数列是( )A.1,2,3,4,…B.1,,2,2,…C.,2,,2,…D.0,,2,2,…【解析】选B.B中从第二项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式a n=a n-1.2.已知数列{a n}的通项公式为a n=,则数列{a n}为( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法确定数列的增减性【解析】选 B.因为a n==2+,所以n≥2时,a n-a n-1=2+-2-=-<0,所以a n<a n-1,所以数列{a n}为递减数列.3. 已知数列{a n}满足a n=4a n-1+3,且a1=0,则a5=________.【解析】因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:2554.已知数列{a n}中,a1=2,a n=-(n≥2),则a2020=________.【解析】因为a2=-=-,a3=-=2,a4=-=a2,所以{a n}的周期为2,所以a2 020=a2=-.答案:-【新情境·新思维】两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙,甲柱上有n(n≥3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图).把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束,在移动的过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为a n,则当n≥3时,a n和a n+1满足( )A.a n+1=4a n-3nB.a n+1=4a n-1C.a n+1=2a n+1D.a n+1=2a n+n【解析】选C.n(n≥3)个盘子最少移动次数为a n,n+1个时,将最大的上面的n个移到丙需a n次,然后将最大的移到乙,再将丙的n个移动到乙需a n次,故总次数为a n+1=2a n+1.。