江南十校2022～2023学年高三数学12月份联考数学【含答案】

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江南十校联考2023年试卷高一数学

2022学年第一学期浙江强基联盟12月统测高三年级英语试题选择题部分（共95分）第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.How will the speakers go to the beach?A.By bike.B.On foot.C.By car.2.On which day does the woman wane to leave for New York?A.25th.B.26th.C.28th.3.Why didn't Tom go to the department stores yesterday?A.He went to the park.B.His brother got sick.C.He had an appointment with a friend.4.Where is probably the man's dog now?A.In his house.B. In the park.C.In the garden.5.What does the woman want to do?A.Sell her furniture.B.Find a roommate.C.Rent a furnished apartment.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

安徽省江南十校2023-2024学年高一上学期12月分科诊断模拟联考数学试题含解析

2023年“江南十校”高一分科诊断摸底联考数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷总分为150分，数学考试总时间为120分钟；2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效；3.考生作答时，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置.第I 卷选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求.1.下列关系中，正确的是（）A.e ∈RB.{}1,2∅∈C.{}01x x ∉>- D.{}{}200x x x x≤⊆>【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合之间关系直接判断即可.【详解】对于A ，e 为无理数，e ∴∈R ，A 正确；对于B ，{}1,2∅⊆，B 错误；对于C ，01>- ，{}01x x ∴∈>-，C 错误；对于D ，由20x >得：0x <或0x >，{}0x x ∴≤不是{}20x x >的子集，D 错误.故选：A.2.设命题p ：x ∀∈R ，()()150x x +->，则命题p 的否定是（）A.x ∃∈R ，()()150x x +->B.x ∃∈R ，()()150x x +-<C.x ∀∈R ，()()150x x +-≤D.x ∃∈R ，()()150x x +-≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可知：命题p 的否定是：x ∃∈R ，()()150x x +-≤.故选：D.3.“[]1,2x ∀∈-，220x a -≤”恒成立的一个充分不必要条件是（）A.0a ≤B.1a ≤C.3a ≥D.2a ≥【答案】C 【解析】【分析】根据恒成立求解2a ≥，即可根据集合间的关系求解.【详解】若对[]1,2x ∀∈-，220x a -≤恒成立,则()2max2xa ≤，故242a a ≥⇒≥，由于{}3a a ≥是{}2a a ≥的真子集，所以符合题意，选项AB 是既不充分也不必要条件，D 是充要条件，故选：C4.已知实数 a b >， 0c >，则下列不等式一定成立的是（）A. a c b ->B.c ca b > C.a bc c > D.a bc c>【答案】D 【解析】【分析】由不等式性质可知A 错误，利用特殊值代入可得BC 不一定成立，根据不等式性质可证明D 正确.【详解】由题意可知0a b ->，但a b c ->不一定成立，即a c b ->不一定成立，A 错误；不妨取1,2,2a b c =-=-=，此时14c c a b =<=，即c c a b >不一定成立，B 错误；当1c =时，显然a b c c =，此时a b c c >不一定成立，C 错误；由0c >可知10c >，又a b >，所以11a b c c ⋅>⋅，即a b c c>；即D 正确.故选：D5.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC面积为2S ，若123l l =，则12S S =（）A.9B.8C.4D.3【答案】B 【解析】【分析】由弧长比可得半径比，结合扇形面积公式求解.【详解】设OB r =，OA R =，则123l Rl r==，则3R r =∴1212912OAD OBCl R S S l r ==扇扇，故128S S =.故选：B6.函数()344x xx f x -=-的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，得到函数()f x 为偶函数，且()10f >，即可求解.【详解】由函数()344x x x f x -=-，可得()()33()4444x x x xx x f x f x ----===--，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C 、D 项；又由()41015f =>，可排除B 项，所以A 符合题意.故选：A.7.已知()121cos60a =-︒，3log 2b =，b c a =，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值，结合对数函数与指数函数的性质即可得解.【详解】因为()1122121cos60122a ⎛⎫=-︒==< ⎪⎝⎭，则322a =>，而33033log 2log 82b <==<，所以01b a <<<，所以1b c a a a =>=，故b a c <<.故选：B.8.已知函数()()12log 41x f x x -=+-，则不等式()()33f x f x <+的解集为（）A.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D.33,42⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为()3122341412x x x -+-+<+⋅，令40x t =>，结合一元二次不等式的解法，即可求解；解法2：根据题意，得到()()21log 221xxf x -+=+-，设()()2log 221xx g x -=+-，得到()g x 为偶函数，求得()y f x =关于1x =对称，且在[)1,+∞上单调递增，把不等式转化为3131x x -<+-，即可求解.【详解】解法1：由函数()()12log 41x f x x -=+-，则不等式()()33f x f x <+，即为()()()31222log 413log 413x x x x -++-<+-+，可得()()31222log 41log 4123x x x -++<++-，即()3122341412x x x -+-+<+⋅，令40xt =>，则()3116148t t t +<+，即()()28210t t --<，解得82t <<，即482x<<，解得1342x -<<，所以不等式()()33f x f x <+的解集为13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭.解法2：由函数()()12log 41x f x x -=+-，可得()()()221log 411log 221xxxf x x -+=+--=+-，设()()2log 221xxg x -=+-，则()()()2log 221xx g x g x --=+-=，所以函数()g x 为偶函数，即()1y f x =+为偶函数，可得()y f x =关于1x =对称，且在[)1,+∞上单调递增，所以不等式()()33f x f x <+，即为3131x x -<+-，可得2296144x x x x -+<++，即281030x x --<，解得1342x -<<，所以不等式()()33f x f x <+的解集为13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的有（）A.()()21mf x m m x =--是幂函数，且在()0,∞+单调递减，则1m =-B.()()22log 2f x x x =-的单调递增区间是()1,+∞C.()211f x ax ax =++的定义域为R ，则[]0,4a ∈D.()f x x =+的值域是(],5-∞【答案】AD 【解析】【分析】A 由幂函数及其单调性求参数；B 由复合函数的单调性和对数函数的性质求增区间；C 根据定义域及二次函数性质求参数范围；D 换元法及二次函数性质求值域.【详解】A ：()f x 是幂函数，则211m m --=，得2m =或1m =-，又()f x 在()0,∞+单减，故1m =-，对；B ：由复合函数单调性有220x x ->且1x ≥，所以单增区间是()2,+∞，错；C ：定义域为R ，则0a =或204Δ40a a a a ≠⎧⇒≤<⎨=-<⎩，错；D ：令0t =，则()22()24155f x y t t t ==-++=--+≤，对.故选：AD10.下列选项中，结果为正数的有（）A.sin1cos1+B.sin2cos2+C.sin3cos3+D.sin4cos4+【答案】AB 【解析】【分析】根据角的象限，分别求得其取值范围，结合正弦值与余弦的值关系，逐项判定，即可求解.【详解】由π012<<，可得sin10,cos10>>，所以sin1cos10+>，所以A 正确由π3π23π24<<<<，可得sin 20,sin 30,cos 20,cos30>><<且sin 2cos 2,sin 3cos3><，所以sin2cos20+>，sin3cos30+<，所以B 正确，C 错误；由3ππ42<<，可得sin40,cos40<<，所以sin4cos40+<，所以D 错误.故选：AB.11.已知正数a ，b 满足2ab a b =++，则（）A.a b +的最小值为2+B.ab 的最小值为1+C.11a b+1 D.3a b +的最小值为10【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为,a b 为正数，A 项，()()2224802a b ab a b a b a b +⎛⎫=++≤⇒+-+-≥ ⎪⎝⎭2a b ⇒+≥+2a b +≤-，当1a b ==+时取等，故A 正确；B 项，22ab a b =++≥+⇒20ab -≥，1≥1≤-，即(21ab ≥+，当且仅当1a b ==+时取等，故B 错误；C 项，1122111a b ab a b ab ab ab +-+===-≥-=，当且仅当1a b ==+时取等，故C 正确；D 项，()()()()234211313392a b ab a b a b a b +-⎛⎫=++⇒--=⇒--=≤ ⎪⎝⎭，解得310a b +≥（负值舍去），当且仅当4a =，2b =时取等，故D 正确.故选：ACD .12.高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉.高斯函数[]y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.53=，[]2.73-=-，则（）A.()[]f x x x =-的值域是[)0,1B.方程[][][]2023xy x y =+有无数组解C.()[]f x x x =是单调函数D.方程[]220x x --=有3个根【答案】ABD 【解析】【分析】根据高斯函数的定义，即可结合选项逐一求解.【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数，设01t ≤<，则[]x x t =+，则()[][0f x x x t =-=∈,1)，即()f x 的值域为[0,1)，故A 正确．当2023x α=+，2023y β=+，01,01αβ<<<<且1αβ+=时,[]()()()22220232023202320232023202320232023,xy αβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++=+++=++=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][][][]2202320232023x y αβ=++=，所以[][][]2023xy x y =+，故B 正确；当()0,1x ∈时，此时()0f x =，故C 错误；[]22x x x -=≤22012x x x ⇒--≤⇒-≤≤，当[)[]1,0,1x x ∈-=-，则[]2211x x x -==-⇒=-，当[)[]0,1,0x x ∈=，则[]220x x x -==⇒=，当[)[]1,2,1x x ∈=，则[]221x x x -==⇒=，当2x =时，[]2222x x x -==⇒=，故D 正确，故选：ABD第II 卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()2y f x =+的定义域是[]2,3，则()21y f x =-的定义域是__________.【答案】5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用复合函数定义域求解.【详解】因为函数()2y f x =+的定义域是[]2,3，即23x ≤≤，所以425x ≤+≤，若求函数()21y f x =-的定义域，则有4215x ≤-≤，解得532x ≤≤，所以()21f x -的定义域为5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14.已知()12xf x +=，则()2log 2024f =______.【答案】1012【解析】【分析】根据题意，令21log 2024x +=，求得x ，代入计算，即可得到结果.【详解】令21log 2024x +=，则22log 20241log 1012x =-=，所以()2log 10122log 202421012f ==故答案为：101215.若21(0)x kx b k ≥++>对x ∈R 恒成立，则bk的最大值为______.【答案】1-【解析】【分析】构造函数，根据恒成立得到214k b ≤--，14b k k k ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】令()()210f x x kx b k =--->，()210x kx b k ≥++>对x ∈R 恒成立，则()2min1024k k f x f b ⎛⎫==---≥ ⎪⎝⎭，即得214k b ≤--，故21144k b k k k k +⎛⎫≤-=-+ ⎪⎝⎭，又0k >，故114k k +≥=（当且仅当2k =时取等），所以bk的最大值为1-.故答案为：1-.16.已知()21,0ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若()()220f x af x -+=有六个根，则实数a 的取值范围是______.【答案】()【解析】【分析】令()f x t =，则()22g t t at =-+，作出函数()f x 的图象，转化为()0g t =在(]1,2上有两解，列出不等式组，即可求解.【详解】令()f x t =，则()22g t t at =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，设函数()22g t t at =-+的零点分别为12,t t ，由图象知，要使得()()220f x af x -+=有六个根，转化为()0g t =在(]1,2上有两解，则满足()()()2Δ801302620122a g a g a a ⎧=-->⎪=->⎪⎪⎨=-≥⎪⎪<<⎪⎩，解得3a <<，所以实数a的取值范围是().故答案为：().四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知1tan 2α=-，且α为第二象限角（1）求sin α，cos α；（2）求()()sin 3ππsin cos π2ααα-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）cos 5α=-，sin 5α=（2）14-【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系，由正切值求正弦值和余弦值；（2）利用诱导公式化简求值.【小问1详解】由sin 1tan cos 2ααα==-得1sin cos 2αα=-，代入22sin cos 1αα+=得24cos 5α=，又α为第二象限角，得25cos 5α==-，sin 5α=【小问2详解】由诱导公式，有()()sin 3πsin sin tan 1πcos cos 2cos 24sin cos π2ααααααααα-====-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.18.已知集合{}24A x x =-≤≤，集合{}2132B x a x a =-≤≤+（1）若2a =，求A B ⋃和()R A B I ð；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}28A B x x ⋃=-≤≤，(){}23A B x x ⋂=-≤<R ð（2）45,,32a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据补集、交集、并集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集的运算性质，结合分类讨论思想进行求解即可.【小问1详解】当2a =时，{}38B x x =≤≤，所以{}28A B x x ⋃=-≤≤，{|3B x x =<R ð或}8x >，所以(){}23A B x x ⋂=-≤<R ð.【小问2详解】当B =∅时，即2132a a ->+，即3a <-，满足A B ⋂=∅；当B ≠∅时，即3a ≥-，由A B ⋂=∅得2143a a ->⎧⎨≥-⎩或3223a a +<-⎧⎨≥-⎩，解得52a >或433a -≤<-；综上，45,,32a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .19.已知函数()()3,3x x n f x m n m+=∈+R 是R 上的奇函数（1）求m ，n 的值；（2）判断并证明()f x 在R 上的单调性.【答案】（1）1m =，1n =-（2）()f x 是R 上单调递增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义()()f x f x -=-，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可.【小问1详解】由()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，得1n =-又()()3113133133x x xx x x f x f x m m m------===-=+++恒成立，所以1m =，即1m =，1n =-【小问2详解】()f x 是R 上的递增函数证明如下：由（1）知，()31213131x x x f x -==-++，在R 上任取1x ，2x ，不妨令12x x >，则()()121222113131x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()12212111332231313131x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，因为12x x >，所以12330x x ->，所以()()120f x f x ->，所以()f x 是R 上单调递增函数20.某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()243,0270,2521x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约21元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）（1）写出单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()()284330,02147030,2521x x x f x x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩（2）当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元【解析】【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出()f x 的最大值.【小问1详解】由题意可知，()()()284330,022*********,2521x x x f x W x x x x x x ⎧+-≤≤⎪=-=⎨-<≤⎪+⎩，【小问2详解】当02x ≤≤时，()()225698184330842828f x x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，对称轴5x 28=，则()f x 在50,28⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,228⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()f x 的最大值为()2528f =，当25x <≤时，()()14707353075015212121x f x x x x x ⎡⎤=-=-++⎢⎥++⎣⎦750540≤-，当()735152121x x =++，即3x =时取等号，有最大值540元，因为528540<，所以当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元.21.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，（1）求()0f ，并证明()()2F x f x =+为奇函数；（2）若()f x 是R 上的单调递增函数，且()12f =，解不等式：()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）()02f =-，证明见解析（2）()(),12,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）赋值法求出()02f =-，再由奇偶函数定义证明奇偶性即可；（2）根据抽象函数性质化简，再由单调性脱去“f ”，解一元二次不等式即可得解.【小问1详解】令0x y ==，得()02f =-，()()2F x f x =+定义域为R ，关于原点对称，令y x =-，得()()()02f f x f x =+-+，所以()()40f x f x +-+=,即()()0F x F x +-=，所以()()2F x f x =+是奇函数.【小问2详解】因为()()()221212f x x f x f x x ++-=-+-，所以原不等式等价于()2110f x x -+>，又()12f =，所以()26f =，()310f =，即()()213f x x f -+>，又()f x 是R 上的递增函数，所以213x x -+>，解得2x >或1x <-，原不等式的解集为()(),12,-∞-+∞ .22.若()221(0)f x x ax a =-+>在[],m n 上的值域是[],m n 的子集，则称函数()f x 在[],m n 上是封闭的.（1）若()f x 在[]0,2上是封闭的，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在[]0,t 上是封闭的，求实数t 的最大值.【答案】（1）3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）32【解析】【分析】（1）根据新的定义，即求二次函数在[]0,2上的值域，利用分类讨论思想可得结果；（2）根据新的定义，即求二次函数在[]0,t 上的值域，利用分类讨论思想建立不等关系可得结果.【小问1详解】函数()f x 开口向上，对称轴是(),0x a a =>，当02a <<时，()()2min 1f x f a a ==-+，()()(){}max max 0,2f x f f =因为()f x 在[]0,2上是封闭的，则有()()()2012254210f f a f a a ⎧=<⎪=-≤⎨⎪=-+≥⎩，解得314a ≤≤；当2a ≥时，()f x 在[]0,2上为减函数，则有()()0122540f f a ⎧=≤⎪⎨=-≥⎪⎩，解得54a ≤，又2a ≥，故无解；综上，a 的取值范围是3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问2详解】函数()f x 开口向上，对称轴是(),0x a a =>，当0a t <≤时，()()2min 1f x f a a ==-+，()()(){}max max 0,f x f f t =因为()f x 在[]0,t 上是封闭的，则有()()()22012110f t f t t at t f a a ⎧=≤⎪=-+≤⎨⎪=-+≥⎩，解得112101t a t t a ≥⎧⎪⎪+≥+⎨⎪<≤⎪⎩，依题意有112t t +-≤，解得3322t -≤≤，所以312t +≤≤，当a t >时，()f x 在[]0,t 上为减函数，则有()()20110f t f t t at ⎧=≤⎪⎨=-+≥⎪⎩，所以122t a tt<≤+，即11t tt<⇒<（舍去）综上，t的最大值是32 +.。

2023年安徽省江南十校高考数学联考试卷+答案解析(附后)

2023年安徽省江南十校高考数学联考试卷1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 设i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知平面向量的夹角为，且，则( )A. B. C. D.4. 安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体已知该正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线所成角为( )A. B. C. D.5. 为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种.( )A. 40B. 24C. 20D. 126. 已知函数，则下列说法正确的是( )A. 点是曲线的对称中心B. 点是曲线的对称中心C. 直线是曲线的对称轴D. 直线是曲线的对称轴7. 在三棱锥中，底面ABC，，，则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D.8. 已知，则a，b，c的大小关系为( )A.B. C.D.9. 已知函数，则( )A. 是奇函数B. 的单调递增区间为和C. 的最大值为D.的极值点为10.在平行六面体中，已知，，则( )A. 直线与BD 所成的角为B. 线段的长度为C.直线与所成的角为D. 直线与平面ABCD 所成角的正弦值为11. 已知O 为坐标原点，点，，线段AB 的中点M 在抛物线C ：上，连接OB 并延长，与C 交于点N ，则( )A. C 的准线方程为B. 点B 为线段ON 的中点C. 直线AN 与C 相切D. C 在点M 处的切线与直线ON 平行12. 已知函数和及其导函数和的定义域均为R ，若，，且为偶函数，则( )A. B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于直线对称D.13.的展开式中，常数项为______ 用数字作答14. 已知圆C ：，直线l ：是参数，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为______ .15. 已知直线l 与椭圆交于M ，N 两点，线段MN 中点P 在直线上，且线段MN 的垂直平分线交x 轴于点，则椭圆E 的离心率是______ .16. 若过点有3条直线与函数的图象相切，则m 的取值范围是______ .17. 在平面直角坐标系Oxy 中，锐角、的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 的交点分别为P ，已知点P 的纵坐标为，点Q 的横坐标为求的值；记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.①若，且，求周长的最大值.②若，，且，求的面积.18. 已知在递增数列中，，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.求数列的通项公式；设数列的前n 项和为，证明：19. 渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：如图根据海浪高度将海浪划分为如下等级：浪高海浪等级微浪小浪中浪大浪海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为，“小浪”情况下出海作业的概率为，“中浪”情况下出海作业的概率为，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.20. 如图，四棱锥中，为等腰三角形，，，，证明：；若，点M在线段PB上，，求平面DMC与平面PAD夹角的余弦值.21. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点.求双曲线的方程；设过点的动直线l交双曲线右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；求的取值范围.22. 已知函数若在定义域上具有唯一单调性，求k的取值范围；当时，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，则，，，，，故选：分别将两个集合中的元素表示出来，再求补集，交集．本题考查集合的运算，考查二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为，所以复数对应的点为在第四象限，故选：利用复数的运算性质化简复数z，求出对应的点的坐标，由此即可求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的实际意义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：已知平面向量的夹角为，且，则，则，故选：由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．4.【答案】A【解析】解：如图所示，在平面中，连接与DA交于H，则，在平面中，连接与DC交于G，则，则GH为平面与平面ABCD的交线l，且，而在等边中AC与所成的角为，故l与直线所成角为故选：作出平面与平面ABCD的交线l，再求l与直线所成角．本题考查异面直线所成的角的求法，属基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种，故选：根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．本题考查了排列组合的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：，当，则，此时，则函数关于对称，故A错误，当，则，此时，则函数关于对称，故B错误，当，则，此时，则函数关于对称，故C正确，当，则，此时，则函数关于点对称，故D错误，故选：利用辅助角公式进行化简，然后分别利用对称性进行判断即可．本题主要考查三角函数对称性的判断，根据辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．7.【答案】B【解析】解：在三棱锥中，底面ABC，如图所示：在中，，，利用余弦定理：，解得：，设的外接圆的半径为R，利用正弦定理，解得，过点E作的垂线和AP的垂直平分线交于点O，即点O为三棱锥外接球的球心，设球的半径为r，故；所以故选：首先利用正弦定理和余弦定理求出三棱锥的外接球的半径，进一步利用球的表面积公式求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，求和三棱锥的关系，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．8.【答案】D【解析】解：，，，，设，，所以在上单调递减，因为，所以，所以，，令，，，所以在上单调递增，又，所以，所以，所以，故选：，，，则，设，，求导分析单调性，即可得出b与a的大小关系；，令，，求导分析单调性，即可得出b与c的大小关系，即可得出答案．本题考查函数的单调性，数的大小，属于基础题．9.【答案】AB【解析】解：对于A，因为对，，所以是R上的奇函数，故A正确；对于B，由得或，所以的单调递增区间为和，故B正确；对于C，因为时，，所以无最大值，故C错误；对于D，由得，经检验是函数的极大值点，是函数的极小值点，极值点是实数，故D错误，故选：根据奇偶性的定义可判断A；对函数求导，令可得函数的增区间，即可判断B；根据时，，所以无最大值，即可判断C；由得，检验可得为函数的极值点，即可判断本题主要考查了三次函数的性质，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：在平行六面体中，取，，，，，，，对于A：，，，则，故直线与BD所成的角为，故A正确；对于B：，则，即，故B错误；对于C：，故，即，故直线与所成的角为，故C正确；对于D：在平行六面体中，四边形ABCD是菱形，则，又，，平面，平面，平面，又平面ABCD，则平面平面ABCD，连接AC交BD于点O，过点作于点E，如图所示：平面平面，平面，平面ABCD，直线与平面ABCD所成角为，，则，即，在中，，故D错误，故选：在平行六面体中，取，，，利用空间向量的线性运算，逐一分析选项，即可得出答案．本题考查直线与平面的夹角、异面直线的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对A，根据中点公式得，将其代入C：得，则，所以抛物线C：的准线方程为，故A错误；对B，因为，则直线OB的斜率为a，则直线OB的方程为，将其代入C：得，解得或舍去，此时，则，所以B为ON中点，故B正确；对C，C：，即，则，故抛物线C在点N处的切线的斜率为，故切线方程为，令得，所以直线AN为C的切线，故C正确；对D，抛物线C：在处的切线方程的斜率为，而直线ON的斜率为a，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，所以C在点M处的切线与直线ON平行．故选：将代入抛物线得，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线OB的方程与抛物线方程即可得到，即可判断B，利用导数求出抛物线C在点N处的切线方程，令，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在处的切线斜率，则可判断本题考查了抛物线的性质，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，由为偶函数得，即有，则的图象关于直线对称，对两边同时求导得：，令，得，故A正确；对于B，由关于直线对称得，由，得，所以，即的图象关于直线对称，故B正确；对于C，对两边同时求导得，由，得，则，即，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于D，由，得，结合C选项可知，，即，所以，所以4是函数的一个周期，由，得4也是函数的一个周期，由，得，所以，故D错误．故选：根据为偶函数，可得，两边求导即可判断A；由关于直线对称得，结合，即可判断B；根据，两边同时求导得，从而可判断C；先求出函数和的周期，再结合函数的对称性即可判断本题考查了复合函数的奇偶性、周期性、对数性及复合函数的求导、导数的对称性及奇偶性，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：的展开式的通项公式为，，1，，当，即时，；当时，无解；展开式中的常数项为，故答案为：当前边括号取3时，后边括号取常数项；当前边括号取x时，后边括号取项，无解；由此计算出常数项即可．本题考查二项式展开式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为由直线l：，得，联立，解得直线l过定点，又，点在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．此时直线l被圆C截得的弦长的最小值为故答案为：由圆的方程求出圆心坐标与半径，由直线方程可得直线过定点，求得，再由垂径定理求得直线l被圆C截得的弦长的最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查了垂径定理的应用，属中档题．15.【答案】【解析】解：根据题意设MN中点，又，直线的斜率为，又，直线MN的斜率为，设，，则，两式相减可得：，，，椭圆E的离心率，故答案为：根据直线垂直的条件，点差法，方程思想，化归转化思想，即可求解．本题考查椭圆的离心率的求解，点差法的应用，方程思想，属中档题．16.【答案】【解析】解：设切点为，则，过点P的切线方程为，代入点P坐标化简为，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，当时，，要使方程有三个不等实数根，则，的取值范围是：故答案为：求出函数的导函数，可得函数的最值，即可求得实数m的取值范围．本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键，是中档题．17.【答案】解：因为，是锐角，所以P，Q在第一象限，又因为P，Q在单位圆上，点P的纵坐标为，点Q的横坐标为，所以，所以故选①：由中结论可得，又，，由余弦定理可得，即，，，，当时，等号成立，，即当为等边三角形时，周长最大，最大值为选②：由可知，则，由正弦定理，可得，故，则【解析】先利用三角函数的定义与同角的平方关系求得，，，，再利用余弦的和差公式即可得解；选①：先结合中条件得到，再利用余弦定理与基本不等式推得，从而得解；选②：先结合中条件求得，再利用正弦定理求得a，b，从而利用三角形面积公式即可得解．本题考查了正余弦定理、三角函数的定义以及基本不等式的应用，属于中档题．18.【答案】解：在递增数列中，，为函数的两个零点，可得，，公差，则数列是首项为5，公差为2的等差数列，则，则；证明：，则，因为，所以【解析】令，解方程可得，，再由等差数列的通项公式和数列的恒等式，等差数列的求和公式，计算可得所求通项公式；求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质可得证明．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】解：记这天浪级是“微浪”为事件，浪级是“小浪”为事件，浪级是“中浪”为事件，浪级是“大浪”为事件，该渔船当天出海作业为事件B ，则由题意可知：，，，所以依题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，所以，，，，则X 的分布列为：X 0123P所以【解析】根据频率分布直方图计算频率即可估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率；根据全概率公式可求得该渔船在这天出海作业的概率；依题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列，根据期望公式求出期望．本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】证明：取AD的中点O，连接OP，OC，如图，因为，则，又，即有，而，于是四边形ABCO为平行四边形，又，则，又，PO，平面POC，所以平面POC，又，因此平面POC，而平面POC，所以；解：因为，，且，AD，平面PAD，则平面PAD，又，则平面PAD，分别以OC，OP，OD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，又，则，，又，则，所以，，，，，则，，设平面DMC的法向量为，则，令，得，又平面PAD的一个法向量为，则，所以平面DMC与平面PAD夹角的余弦值为【解析】根据给定条件，取AD的中点O，利用线面垂直的判定证明平面POC即可推理作答；以O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答．本题考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．21.【答案】解：由题意可设双曲线：，则，解得，双曲线的方程为；设，，直线AB的方程为，由，消去x得，则，，且，，；设直线AM：，代入双曲线方程并整理得，由于点M为双曲线的左顶点，此方程有一根为，，解得，点A在双曲线的右支上，，解得，即，同理可得，由，，【解析】由题意可设双曲线：，利用，可求b；设，，直线AB的方程为，与双曲线联立方程组可得，，进而计算可得为定值．设直线AM：，代入双曲线方程可得，进而可得，，进而由可得，进而求得的取值范围．本题考查椭圆和双曲线的标准方程与离心率，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，渐近线与双曲线的位置关系，属中档题．22.【答案】解：由题意得的定义域为，，若在定义域上单调递增，则恒成立，即在上恒成立，又，；若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的k不存在；综上所述：在定义域上单调递增，且，所以k的取值范围为；证明：要证成立，只需证，只需证，只需证，只需证，当时，，原不等式即证，由知在上单调递增，，，又，则，原不等式成立．【解析】求导后若在定义域上单调递增，则恒成立，若在定义域上单调递减，则恒成立，利用恒成立知识即可求解；，再根据的单调性即可得证．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．。

2022江南十校联考数学

2022江南十校联考数学我小的时候，父亲带我去了很多地方，福建、江苏、江西、安徽、四川、重庆、云南……也见了数不清的桥，或雄伟、或精巧、或厚重、或古朴、或简陋、或现代……但唯独令我情有独钟的，还是江南的桥。

回想见到江南的桥时，年龄尚小，大约五六岁光景，但也许正是因此，才下飞机踏上江南的土地，他把所有的注意力都集中在周围的风景上。

那时的眼中，江南极美，山水则尤其美，在山川中竖起一条飘带，更是在不经意间动人心魂，让人流连忘返，驻足其间。

河流是江南大地的句子，桥则是河流的标点符号。

温婉的灵性江南由清澈的流水，三种元素来源于散落的古朴民居和稳固的小桥，桥与桥之间的每一截河流缓淌着历史静默的话语，呢喃着江南的杏花春雨。

桥是水的脊梁，连缀起每一块漂移的零碎江南；桥也是水的情书，水流的每一个图形都叠加在底部。

江南如画布，桥恰如滴落的浓汁，星星点点。

江南因为桥而更加立体和坚实。

记忆中江南的桥多是石桥，且不似别处，江南的桥更多的倒是像一种点缀，因此，工匠们把全部精力都放在了桥与周围风景的匹配上，所以才说到别处游玩，要么看桥，要么看景，唯有在江南，方才说得上桥和景一起看。

江南的桥大概从未讲究过整齐对称，就连桥基的石块，大小都是不同的，岩石的裂缝里冒出一点绿色，青翠欲滴。

路是由青石板铺就的，走上去是古老而厚实的感觉。

随意却不随便，精巧却不精致，古朴中透出些淡淡的慵懒。

像是为了配合桥的意境似的，长江以南的桥梁基本上有一个有点奇怪的名字，如“二十四桥明月夜，玉人何处教吹箫”中的二十四桥，《白蛇传》中的断桥……诸如此类的等等等等，都令人无限遐思。

江南的桥也透着文化的味道：柔软的秉性埋藏着厚实，桥是阳刚的，水是阴柔的，刚柔相济更显博大精深，桥关乎爱情、落魄和兴衰。

月落乌啼清霜漫天，张继在枫桥边愁数渔火点点，落魄的精神在水的滋润下长出了惊艳的七绝，在唐朝的天宇下熠熠生辉；西湖断桥不断，牵扯得是许仙和白素贞坚决的爱情，多少对情侣依偎在白月和清风附近的西湖水边，来见证爱情的浪漫和天荒地老；二十四桥的明月依旧，芍药丛生旺盛，扬州冷清凄悲，黍离之感倚桥而生……江南的桥承载着人间太多的情感和历史沧桑。

2022年高三12月大联考(全国乙卷)文科数学试题及参考答案

2022年高三12月大联考（全国乙卷）文科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.砸每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{},0322>-+=x x x A {}1-≥=x x B ，则=B A （）A .()∞+，1B .[)∞+-，1C .(]13，-D .[)11，-2.已知()i i z 7432+-=+⋅，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点的坐标是（）A .()1,1B .()21，C .()1,2D .()2,23.自古以来，斗笠是一种防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录.下图是一个斗笠的实物图和三视图，由三视图中数据可得该斗笠的外表面积为（）A .2576cm πB .2624cm πC .2720cm πD .21296cm π4.函数()xx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos π的部分图象大致是（）5.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1674-=+S a ，48a a -=，则=10S （）A .5B .0C .10-D .5-6.已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，直线1-=kx y 过点F 且与抛物线C 交于B A ,两点，则=AB （）A .8B .6C .2D .47.将函数()162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则()x g 图象的对称中心可以为（）A .⎪⎭⎫⎝⎛03πB .⎪⎭⎫⎝⎛-0125πC .⎪⎭⎫⎝⎛13，πD .⎪⎭⎫⎝⎛-1125π8.已知函数()x x x x f sin 223++=，则不等式()()0512>+++x f x f 成立的一个充分不必要条件可以是（）A .0<x B .2->x C .0>x D .2-<x 9.已知6.05.0=a ，5.06.0=b ，56log =c ，则c b a ,,的大小关系为（）A .c b a <>=-b a by a x 上的一点M （异于顶点），过点M 双曲线C的一条切线l .若双曲线C 的离心率332=e ，O 为坐标原点，则直线OM 与l 的斜率之积为（）A .31B .32C .23D .312.已知各项不等于0的数列{}n a 满足11=a ，22=a ，121+++=n n n n n a a a a a ，n n n n a a a a 221+++++()*N n ∈.设函数()n n n x a x a x a x f ++++= 2211，()x f n '为函数()x f n 的导函数.令()1-'-=n n f b ，则=33b （）A .36-B .36C .54-D .54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()1,1-=a，()0,2=b ，则平面向量a 与b 的夹角为.14.已知圆C ：02483422=+--+y x y x ，且圆外有一点()20，P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为B A ,，则=AB .15.已知函数()x f 的导函数()()()m x x m x f -+-='2，若()x f 在m x =处取得的最小值，则m 的取值范围是.16.已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，1==BD AD ，2=CD ，BC AD ⊥，沿AD 将ABD ∆折起，使︒=∠120BDC ，若折起后D C B A ,,,四点都在以O 为球心的球面上，则球O 的表面积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，点D 在边BC 上，2=BD ，4=CD ，AB AC >.（1）若32=AB ，6π=C ，求AD 的长；（2）若32π=∠BAC ，求ACD ∆的面积S 的取值范围.18.（12分）已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x （℃）与绿豆新品种发芽数y （颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行试验，得到如下散点图：（1）由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数.参考数据：24=y ，()()7071=--∑=y y x xi i i，()176712=-∑=i i y y ，77.877≈.参考公式：相关系数()()()()∑∑∑===----=n i ni ii ni i iy y x x y y x xr 11221，回归直线方程a x b yˆˆˆ+=中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()∑∑==---=ni i ni i ix x y y x xb121ˆ，x b y aˆˆ-=.19.（12分）如图，正三棱锥111C B A ABC -的底面边长为2，高为3，D 在棱1AA 上，1=AD ，G 为AB 的中点.（1）求证：D B 1⊥平面CGD ；（2）求三棱锥11CC B D -的体积.20.（12分）已知函数()b xax ax x f +--=ln ，b a ,为常数，()x f 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()01221=-++-a y x a .（1）求b 的值；（2）若()0≥x f 对[)+∞∈,1x 恒成立，求实数a 的取值范围.21.（12分）已知抛物线C ：x y 42=，直线1l 交抛物线C 于B A ,两点，()()2211,,y x B y x A ，，且421-=y y .（1）求坐标原点O 到直线1l 的距离的取值范围；（2）设直线1l 与x 轴交于D 点，过点D 作与直线1l 垂直的直线2l 交椭圆E ：13422=+y x 于N M ,两点，求四边形AMBN 的面积的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22/23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 211（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()1sin 1=-θρ.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的直角坐标方程；（2）设()1,1M ，曲线1C ，2C 的交点为B A ,，求MB MA ⋅的值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()124123---=x x x f .（1）求不等式()2>x f 的解集；（2）若不等式()x k x f ≤恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案一、选择题1.A解析：由0322>-+x x ，得1>x 或3-<x ，∴{}31-<>=x x x A 或，又{}1-≥=x x B ，∴()∞+=，1B A .2.B解析：由()i i z 7432+-=+⋅，得()()()()i i i i i ii z 21323232743274+=-+-+-=++-=，∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1.3.C解析：圆锥底面半径长为cm 24，高为cm 18，由勾股定理知母线长为cm 30，∴圆锥侧面积为2720cm rl S ππ==.4.C解析：由题意，知0≠x ，()x x x f sin =，又()()()x f xxx x x f -=-=--=-sin sin ，∴()x f 为奇函数，排除B A ,，当20π<<x 时，()0>x f ，排除D ，故选C .5.D解析：设等差数列()n a 的公差为d ，由1674-=+S a ，48a a -=，可得：()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⨯+++016217774814a a d a a ，即⎩⎨⎧=+++-=+++0371621731111d a d a d a d a ，解得⎩⎨⎧=-=151d a ，∴()()5211101051010-=⨯-⨯+-⨯=S .6.A解析：由题意知抛物线C ：x y 42=的焦点F 的坐标为()0,1，2=p ，又直线1-=kx y 过抛物线C 的焦点()01，F ，∴01=-k ，解得1=k ，∴直线的方程为1-=x y ，由⎩⎨⎧=-=xy x y 412得0162=+-x x ，设()()B B A A y x B y x A ,,，，∴6=+B A x x ，∴826=+=++=p x x AB B A .7.D解析：由题意得()162sin 1662sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππx x x g ，令Z k k x ∈=-,62ππ，得122ππ+=k x ，Z k ∈，当1-=k 时，125122πππ-=+-=x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛-1125，π为函数()x g 图象的一个对称中心.8.C解析：由题意()R x x x x x f ∈++=,sin 223，()()x f x f -=-，∴()x f 为奇函数，∵()0cos 2232≥++='x x x f ，∴函数()x f 在R 行单调递增.由()()0512>+++x f x f ，得()()()5512--=+->+x f x f x f ，又函数()x f 在R 行单调递增，∴512-->+x x ，解得2->x ，∴不等式()()0512>+++x f x f 的解得为()∞+-，2，不等式()()0512>+++x f x f 成立的一个充分不必要条件是()∞+-，2的真子集，分析各个选项可得0>x 满足条件，故选C.9.A解析：∵5.05.06.06.05.05.0<<，∴b a <.∵64.06.0<，∴5464.06.05.05.0=<=b ，又11296lg 3125lg 6lg 5lg 5log 45456>==，∴545log 6>=c ，∴c b <.∴c b a <<.10.B 解析：如图，过点E 作BF EG ∥交AD 于点G ，则GEC ∠或其补角为异面直线CE 和BF 所成的角.设9=BC ，由条件可知，18812===AC AG AE ，，.由余弦定理得871818291818cos cos 222=⨯⨯-+=∠=∠BAD BAC .根据余弦定理得：10287812281222=⨯⨯⨯-+=EG ，10387181********=⨯⨯⨯-+=EC ，∴在GEC ∆中，根据余弦定理得20110310221369040cos -=⨯⨯-+=∠GEC ，∴异面直线CE 和BF 所成角的余弦值为201.11.A 解析：不妨设()00,y x M 为右支上的一点，则直线OM 的斜率0x y k OM =.又双曲线C 在点M 处的切线l 的方程为12020=-b y y a x x ，即020202y b x y a x b y -=，双曲线C 在点M 处的切线l 的斜率0202y a x b k l =，∴22020200a b y a x b x y k k l OM =⋅=，又曲线C 的离心率221332a b e +==，∴3122=ab ，∴31=l OM k k .12.D 解析：在n n n n n n n n n a a a a a a a a a 221121++++++++=中，令1=n ，得133221321a a a a a a a a a ++=，又2121==a a ，，得333222a a a ++=，解得23-=a .∵{}n a 中的各项都不为0，∴将n n n n n n n n n a a a a a a a a a 221121++++++++=的两边同除以21++n n n a a a 得：111121=++++n n n a a a ，∴1111321=+++++n n n a a a ，以上两式相减得311+=n n a a ，∴n n a a =+3，∴{}n a 是周期数列，3为它的一个周期.求导得()1212-+++='n n n xna x a a x f ，∴()()()()13321113121--+-⨯+-⨯+=-'n n n na a a a f ，∴()()()()()3333332213333133131211-⨯++-⨯+-⨯+-⨯=-'=a a a a f b ()()()33963232852231741-+-+-⨯-+-+-⨯+-+-+-= ()()()53325322531⨯--⨯-⨯+⨯+⨯--=54363416=++-=.二、填空题13.4π解析：设平面向量a 与b的夹角为θ，由()()0,21,1=-=b a ，，得22222cos =⨯=⋅=ba ba θ，又πθ≤≤0，∴4πθ=.14.32解析：由圆C ：02483422=+--+y x y x ，整理得：()()443222=-+-y x，∴圆心()4,32C ，半径2=r .根据题意，画出图象如下，则32,2,4===P A r PC ，∴421322212⨯=⨯⨯⨯=AB S APBC 四边形，解得32=AB .15.()2,0解析：由题意得0≠m ，当0>m 时，()x f '为图象开口向下的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有20<<m ；当0<m 时，()x f '为图象开口向上的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有2>m ，与0<m 矛盾，不符合题意，故m 的取值范围是()2,0.16.π331解析：ABC ∆如图（1），折起后得到空间四边形ABCD 如图（2），将其拓展为三棱柱DBC AEF -，且为直三棱柱，它们具有相同的外接球O ，其中︒=∠120BDC .记DBC ∆和AEF ∆的外心分别为21,O O ，则点O 为21O O 的中点，且121==AD O O .设DBC ∆外接圆的半径为r ，球O 的半径为R .在DBC ∆，由余弦定理得7cos 222=∠⋅⋅-+=BDC CD BD CD BD BC ，由正弦定理得372237sin 2==∠=BDCBCr ，∴321=r ，∴123141921222122=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=O O r R ，故球O 的表面积为ππ33142=R .三、解答题17.解：（1）由题意知6=BC ，在ABC ∆中，由余弦定理得C AC BC AC BC AB cos 2222⋅⋅-+=，即236236122⨯⨯⨯-+=AC AC ，即024362=+-AC AC ，解得32=AC 或34=AC ，∵AB AC >，∴34=AC .在ADC ∆中由余弦定理得：C AC DC AC DC AD cos 2222⋅⋅-+=，即1623344248162=⨯⨯⨯-+=AD ，∴4=AD .（2）∵326π=∠=BAC BC ，，∴在ABC ∆中，由正弦定理得34sin sin sin =∠==BACBCB AC C AB ，∴C AB sin 34=，⎪⎭⎫⎝⎛-==C B AC 3sin 34sin 34π，∴C C C AC CD S sin 3sin 34421sin 21⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⋅⋅=πC C C C C C 2sin 34cos sin 12sin sin 21cos 2338-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=()3262sin 342cos 21322sin 6-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=πC C C .又AB AC >，则60π<<C ，∴2626πππ<+<C ，∴162sin 21<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πC ，可得320<<S ，∴ACD ∆的面积S 的取值范围为()32,0.18.解：（1）根据题意，得()111413*********1=++++++⨯=x .()()()()()()22222712111211111110119118-+-+-+-+-=-∑=i i x x ()()281114111322=-+-+，()()16.7077817628717122≈=⨯=--∑∑==i i ii y y x x .∴()()()()998.016.707071712271≈≈----=∑∑∑===i i iii i iy yx xy y x xr .∵998.0≈r 很接近1，说明y 与x 的线性相关程度相当高，∴可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）由（1）得()()()252870ˆ71271==---=∑∑==i i i i ix x y y x xb，27112524ˆˆ-=⨯-=-=x b y a，∴y 关于x 的回归方程为2725ˆ-=x y .若19=x ，则44271925ˆ=-⨯=y.所以预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数为44.19.解：（1）如图，连接G B 1，由题意知222=+=AD AG GD ，22211211=+=B A D A B D ，102121=+=BB BG G B ，∴21212G B DB GD =+，∴DG D B ⊥1，又易知CG ⊥平面11A ABB ，⊂D B 1平面11A ABB ，∴D B CG 1⊥，又⊂CG 平面CGD ，⊂DG 平面CGD ，G CG DG = ，∴⊥D B 1平面CGD .（2）如图，取11C B 的中点H ，连接H A 1，在正三角形111C B A 中，111C B H A ⊥，则3212111=-=H B B A H A ，又平面111C B A ⊥平面11B BCC ，∴H A 1⊥平面11CC B .∵1AA ∥平面11B BCC ，∴点1A与点D 到平面11B BCC 的距离相等.∴H A S V V C C B CC B A CC B D 1111111131⋅==∆--33322131=⨯⨯⨯⨯=.20.解：（1）求导，得()21xax a x f +-='，∴()121-='a f ，()b f =1，故()x f 的图象在点()()11f ，处的切线方程为()()112--=-x a b y ，即()01221=-+-+-a b y x a ，∴0=b .（2）由（1）知0=b ，则()1,ln ≥--=x x a x ax x f .求导得()22x ax ax x f +-='.令()1,2≥+-=x a x ax x h ，241a -=∆，当0≤a 时，()0<x h 恒成立，∴()0<'x f 恒成立，()x f 在[)∞+，1上单调递减，此时()()01=≤f x f ，与题意不符.当21≥a 时，0≤∆，∴()0≥x h 恒成立，∴()0≥'x f 恒成立，()x f 在[)∞+，1上单调递增，∴()()01=≥f x f ，∴21≥a ，符合题意.当210<<a 时，121>a，∵()0121<-=a h 且()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛a 211，上单调递减，∴021<⎪⎭⎫⎝⎛a h .∴a x 211<<时，()0<x h ，故()0<'x f ，∴()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 211，上单调递减，故()0121=<⎪⎭⎫⎝⎛f a f ，与题意不符.综上，实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21.21.解：（1）显然直线1l 的斜率不为0，设直线1l 的方程为n my x +=.联立⎩⎨⎧=+=xy n my x 42，整理得0442=--n my y ，∴4421-=-=n y y ，∴1=n ，∴直线1l 恒过点()0,1.∴坐标原点O 到直线1l 的距离的最大值为1，又直线1l 不经过原点O ，∴坐标原点O 到直线1l 的距离的取值范围为(]1,0.（2）由（1）可知()()14412212212+=-+⋅+=m y y y y m AB .由题意及（1）可知直线2l 的方程为m mx y +-=.设()()4433,,y x N y x M ，，联立()⎪⎩⎪⎨⎧--==+113422x m y y x ，可得()()0348432222=-+-+m x m x m ，则()224322434334438m m x x m m x x +-=+=+，.∴()()341124122432432++=-+⋅+=m m x x x x m MN .∴()3412421222++=⋅=m m MN AB S AMBN四边形.设()3342≥=+t t m ，则⎪⎭⎫⎝⎛++=++⨯=212312232t t t t t S AMBN四边形.∵21++=t t y 在[)∞+，3上单调递增，∴8231323=⎪⎭⎫⎝⎛++⨯≥AMBN S 四边形，∴四边形AMBN 的面积的最小值为8.22.解：（1）∵曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=②，①t y t x 21,1，则①-⨯2②，得122-=-y x ，∴曲线1C 的普通方程为：0212=-+-y .由()1sin 1=-θρ得1sin +=θρρ，两边同时平方得1sin 2sin 222++=θρθρρ，将y =θρsin ，222y x +=ρ代入上式，得12222++=+y y y x ，化简得122+=y x ，∴曲线2C 的直角坐标方程为21212-=x y .（2）将曲线1C 的参数方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t y t x 361331，代入21212-=x y 得()0662322=-'-+'t t ，设B A ,两点对应的参数分别为21t t ''，，则621-=''t t .∴621='⋅'=⋅t t MB MA .23.解：()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+-<=4,43,2473,x x x x x x x f ，（1）①当3<x 时，2>x ，即32<<x ；②当43≤≤x 时，2247>+-x ，解得722<x ，即7223≤≤x ；③当4>x 时，2>-x ，解得2-<x ，则()2>x f 无解.综上所述，不等式()2>x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛7222，.（2）①当0=x 时，显然成立；②当0≠x 时，不等式()x k x f ≤可化为xx xx x k 124123124123---=---≥.又1124123124123=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤---x x x x ，当且仅当0124123≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 且xx 124123->-时等号成立，∴实数k 的取值范围为[)∞+，1.。

安徽江南十校2024年高三数学试题联合模拟考试试题

安徽江南十校2024年高三数学试题联合模拟考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3B ．13-C ．12-D ．1-2．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）A ．21313 B ．413C ．277D ．473．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．4．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（） A ．2-B ．1-C ．12-D ．125．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（）A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+6．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2B ．3C ．2D ．37．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}68．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（）A ．12B ．14C ．13D ．239．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（） A ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥n B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若l ⊥α，l //β，则α⊥βD ．若α//β，l ⊄β，且l //α，则l //β10．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（）． A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -11．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（）A ．12P P C ．12P P =D ．大小关系不能确定12．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届江南十校高三联考信息卷数学模拟预测卷(含答案)

2024届高三江南十校联考信息卷模拟预测卷一数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．方体的截面，则（） A ．该截面是四边形 B ．1A C ⊥平面1C EF C ．平面11//AB D 平面1C EFD ．该截面与棱1BB 的交点是棱1BB 的一个三等分点5．（本题5分）加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（）种 A ．90B ．125C ．180D ．2436．（本题5分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，5AB =，4=AD ，1DC =，点E 是线段AB 上一点，且满足4AE EB =，动点P 在以E 为圆心的半径为1的圆上运动，则DP AC ⋅的最大值为（）7．（本题5分）设锐角ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且1,2c A C ==，则ABC 周长的取值范围为（）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（本题6分）已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列判断正确11．（本题6分）已知曲线()()1:ln 21C f x x =−在点()11,M x y 处的切线与曲线()212:e x C g x −=相切于点()22,N x y ，则下列结论正确的是（）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知函数()ln f x a x x =−． (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间； (2)当0a >时，求函数()f x 的最大值．16．（本题15分）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.参考答案：【详解】.）。

2022-2023学年江苏省常州市十校高一年级上册学期12月联考数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省常州市十校高一上学期12月联考数学试题一、单选题 1．193π-是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】将193π-表示为()2k k Z πα+∈的形式，由此判断出其所在象限. 【详解】依题意，19633πππ-=--，所以193π-是第四象限角. 故选：D【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.2．已知集合{|A y y =，集合{}|1B x x =<，则A B =（） A ．[)1,1- B ．()1,1-C ．(),1-∞D ．[)0,1【答案】D【分析】由题知{}|0A y y =≥，再求集合交集运算即可.【详解】解：根据题意，函数y =[)0+∞，，所以{{}||0A y y y y ===≥，所以，A B =[)0,1. 故选：D 3．“24x >”是“112x <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由11242xx >⇒<，但由112x <，当0x <时，24x <，故“24x >”是“112x <”的充分不必要条件.【详解】112422xx x >⇒>⇒<，所以“24x >”是“112x <”的充分条件；又()()11,02,2x x <⇒∈-∞⋃+∞，当(),0x ∈-∞时，24x <，所以“24x >”是“112x <”的不必要条件；故选：A 4．函数21()x f x x-=的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】采用排除法：先根据函数的奇偶性排除选项A ；根据当0x >时，函数()0f x ≥排除选项B ；再根据当1x >时，函数211()x f x x xx-==-单调递增，排除选项C ，进而求解.【详解】因为函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，且21()()x f x f x x--==--，所以函数()f x 为奇函数，故排除选项A ；因为当当0x >时，函数()0f x ≥，故排除选项B ；又当1x >时，函数211()x f x x xx-==-单调递增，故排除选项C ，综上可知：正确的为选项D ，故选：D.5．奇函数()f x 在(),0∞-上为增函数，且()20f -=，则不等式()0xf x >的解集是（） A ．()2,2- B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()(),22,∞∞--⋃+【答案】D【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化即可．【详解】∵奇函数()f x 在(),0∞-上为增函数，且()20f -= ∴函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且(2)(2)0f f =-=-∴不等式()0xf x >等价于0()0(2)x f x f >⎧⎨>=⎩或0()0(2)x f x f <⎧⎨<=-⎩即02x x >⎧⎨>⎩或02x x <⎧⎨<-⎩，解得2x >或<2x -故选：D ．6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是单调递增的.设()()0.5421log 5,log ,0.23a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <>C ．b<c<aD ．c b a >>【答案】B【分析】由偶函数性质变形()221log log 33f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后由对数换底公式、对数函数性质比较2log 3，4log 5大小，再由指数函数性质结合中间1比较0.50.2与前面对数的大小后，再由函数单调性得结论．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是单调递增的，所以()0.5222441log log 3,log 3log 9log 51,00.213f f ⎛⎫==>><< ⎪⎝⎭，所以c a b >>，故选：B ．7．已知函数()222,193,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩ 的最小值为(1)f ，则a 的取值范围是（） A ．[]1,3 B ．[)3,+∞ C ．(]0,3 D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】A【分析】根据二次函数的性质以及基本不等式即可每一段上函数的最值，进而可得()f x 的最值. 【详解】当1x >时，()93363f x x a a a x =+-≥=-，当且仅当3x =时取等号，故此时()f x 的最小值为()3f ，当1x ≤时，()()222222f x x ax x a a =-+=-+-，对称轴为x a =，当1a ≥时，()f x 在(],1-∞单调递减，此时最小值为()132f a =-，要使()f x 的最小值为(1)f ，则()()13326313f f a a a ≤⇒-≤-⇒≤≤,当1a <时，()f x 在(],a -∞单调递减，在[],1a 单调递增，此时最小值为()f a ，不满足()f x 的最小综上13a ≤≤ 故选：A8．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为31.2mg /cm ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（）（参考数据：lg20.3,lg30.477≈≈） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】C【分析】设该污染物排放前过滤的次数为n ()*N n ∈，由题意1.20.80.2n ⨯≤，两边取以10为底的对数可得lg 2lg 313lg 2n +≥-，根据参考数据即可求解.【详解】解：设该污染物排放前过滤的次数为n ()*N n ∈，由题意1.20.80.2n⨯≤，即564n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数可得5lg lg 64n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即52lg lg 2lg 38n ⨯⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以lg 2lg 313lg 2n +≥-，因为lg20.3,lg30.477≈≈，所以lg 2lg30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯，所以7.77n ≥，又*n ∈N ，所以min 8n =，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次. 故选：C.二、多选题9．下列不等式中正确的有（） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0ab >，则2ab b a +≥C ．若a b >，则a b >D ．若a b c >>，则11b c a>-【分析】利用特殊值法可判断AD 选项；利用基本不等式可判断B 选项；利用不等式的性质可判断C 选项.【详解】对于A 选项，当0c 时，22ac bc =，A 错；对于B 选项，0ab >，则0a b >，0b a>，由基本不等式可得2a b b a +≥，当且仅当0a b =≠时，等号成立，B 对；对于C 选项，因为a b b >≥，则a b >，C 对；对于D 选项，取1a =，0b =，1c =-，则11b c a=-，D 错. 故选：BC.10．下面命题正确的是（） A ．“3x >”是“5x >”的必要不充分条件 B ．如果幂函数()22233mm y m m x --=-+的图象不过原点，则1m =或2m =C ．函数()41(0x f x a a -=+>且1)a ≠恒过定点()4,1D ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件【答案】ABD【分析】根据充分条件，必要条件的定义即可判断A ；根据幂函数的定义及性质即可判断B ；根据指数函数的性质即可判断C ；由一元二次方程解的情况结合韦达定理即可判断D. 【详解】“3x >”是“5x >”的必要不充分条件，A 正确；如果幂函数()22233m m y m m x--=-+的图像不过原点，则2220331m m m m ⎧--≤⎨-+=⎩，解得2,1m m ==，B 正确；根据指数函数的性质可知，()41(0x f x a a -=+>且1)a ≠恒过定点()4,2，C 错误；若0ac <，则240b ac ->一定成立，即此时方程一定有两不等根，设为12,x x ，又120cx x a=<，即两根异号；若一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根，则212Δ400b ac cx x a ⎧=->⎪⎨⋅=<⎪⎩，即0ac < 所以D 正确. 故选:ABD.11．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为1S ，圆心角为1α，圆面中剩余部分的面积为2S ，圆心角为2α，当1S 与2S 的比值为510.6182-≈（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（）A ．1127.5α=︒B ．1137.5α=︒C ．2(51)απ=-D ．1251αα-=【答案】BCD【分析】利用扇形的面积公式以及角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，由21112222151212R S S R αααα-===，故D 正确；由122ααπ+=， 22512απ-+=，解得()251απ=，故C 正确；510.618-≈51 1.236≈，所以)251 1.236180222.5απ=≈⨯≈，所以1360222.5137.5α≈-=︒，故B 正确. 故选：BCD12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()2e 11e 2x x f x =-+，()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列叙述正确的是（） A ．()g x 是偶函数B ．()f x 在R 上是增函数C ．()f x 的值域是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()g x 的值域是{}1,0,1-【答案】BD【分析】依题意可得()2321e xf x =-+，再根据指数函数的性质判断函数的单调性与值域，距离判断B 、D ，再根据高斯函数的定义求出()g x 的解析式，即可判断A 、D.【详解】解：因为()()22e 2e 111321e 21e 21e 21122e2x x x x x x f x =-=-=--=-+-++++，定义域为R ，因为1e x y =+在定义域上单调递增，且e 11x y =+>，又2y x=-在()1,+∞上单调递增，所以()2321e xf x =-+在定义域R 上单调递增，故B 正确；因为1e 1x +>，所以1011ex<<+，所以1101e x -<-<+，则2201e x -<-<+，则1323221e 2x -<-<+，即()13,22f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故C 错误；令()0f x =，即32021e x-=+，解得ln3x =-，所以当ln3x <-时()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()1f x =，即32121e x-=+，解得ln3x =，所以当ln3ln3x -<<时()()0,1f x ∈，当ln 3x >时()31,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()1,ln 30,ln 3ln 31,ln 3x g x f x x x ≥⎧⎪⎡⎤==-≤<⎨⎣⎦⎪-<-⎩，所以()g x 的值域是{}1,0,1-，故D 正确；显然()()55g g ≠-，即()g x 不是偶函数，故A 错误；故选：BD三、填空题13．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于________．【答案】-【解析】利用同角三角函数的基本关系可求得sin α的值，进而利用商数关系可求得tan α的值. 【详解】,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，sin α∴==sin tan cos ααα==- 故答案为：-14．函数()2(1)f x x x =-+的单调增区间是___________.【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[)2,+∞【分析】先分类讨论，去掉绝对值符号，然后利用二次函数的开口方向和对称轴判断单调递增区间即可.【详解】当2x ≥时，()2()2(1)2f x x x x x =-+=--，此时()f x 开口向上，对称轴为12x =，因为2x ≥，所以在[)2,+∞上单调递增；当2x <时，()2()2(1)2f x x x x x =-+=-++，此时()f x 开口向下，对称轴为12x =，因为2x <，所以在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦单调递增；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[)2,+∞15．若1b a >>且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为______________.【答案】1【分析】先由3log 6log 11a b b a +=得到3b a =，把321a b +-转化为21b b +-利用基本不等式求最值.【详解】因为1b a >>，所以log 1b α> ；因为3log 6log 11a b b a +=，所以63log 11,log a a b b+= 解得2log 3log 3a ab b ==，（舍去，因为log 1b α>），即3b a =，因此32221111111a b b b b b +=+=-++≥=---，当且仅当1b = 时取等号.故答案为：1.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 16．已知函数()()221(0x a x f x a a --+=>且1)a ≠在区间3,25⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】405a <≤或6a ≥ 【分析】先明确()()221(0xa x f x aa --+=>且1)a ≠可看作由函数2,(2)1y a x a x μμ==--+复合而成，分类讨论1a >和01a <<，根据复合函数的单调性的判断，即可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意可知()()221(0xa x f x aa --+=>且1)a ≠可看作由函数2,(2)1y a x a x μμ==--+复合而成，当1a >时，y a μ=为R 上的增函数，若函数()()221(0xa x f x aa --+=>且1)a ≠在区间3,25⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，需满足2(2)1x a x μ=--+在3,25⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，即22,62a a -≥∴≥；当01a <<时，y a μ=为R 上的递减函数，若函数()()221(0xa x f x aa --+=>且1)a ≠在区间3,25⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，需满足2(2)1x a x μ=--+在3,25⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，即234,255a a -≤-∴≤，则405a <≤，故实数a 的取值范围是405a <≤或6a ≥. 故答案为：405a <≤或6a ≥.四、解答题 17．（1）()()40130.253370.0642168---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭（2）3121log 24lg539--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】（1）3316；（2）0. 【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可；（2）根据指数与对数的运算性质计算即可. 【详解】解：原式()()1343340.253412210-⨯⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭511331216216=-++=；【点睛】解：原式33log 23lg 532=-+33lg51lg 2022=-+--=. 18．已知3cos 2sin 1sin 2cos 4αααα-=-+．（1）()()3cos cos sin 2235cos sin 3sin 22πππαααππαπαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值（2）求()22sin cos sin 122πππααα⎛⎫⎛⎫-+-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【答案】（1）12；（2）3．【分析】（1）根据题意得tan 2α=，进而利用诱导公式化简求值即可得答案；（2）根据诱导公式化简，并构造齐次式求解即可得答案. 【详解】（1）由3cos 2sin 1sin 2cos 4αααα-=-+，解得tan 2α=．()()()()()()()()3cos cos sin cos sin cos 112235sin sin cos tan 2cos sin 3sin 22πππααααααππαααααπαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪-⋅--⎝⎭⎝⎭===-⋅⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得tan 2α=，所以()22sin cos sin 122πππααα⎛⎫⎛⎫-+-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin sin cos 1ααα=+⋅+2222sin sin cos 1sin cos ααααα+⋅=++222tan tan 1tan 1ααα+=++ 82141+=++3= 19．已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式；(2)令()()g x f x =()y g x =在1,42x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的值域.【答案】(1)m 的值为0，函数()f x 的解析式为()f x x = (2)[)1,1-【分析】（1）根据幂函数的定义及性质即可求解；（2）由（1），得()g x x =，令t ()2122t h t t =--，()03t ∈，，再根据二次函数的性质即可求解.【详解】（1）因为函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，所以2511m m -+=，解得0m =或5m =，当0m =时，函数()f x x =是奇函数，符合题意，当5m =时，函数()6f x x =是偶函数，不符合题意，综上所述，m 的值为0，函数()f x 的解析式为()f x x =.（2）由（1）知，()f x x =，所以()g x x =令t =212t x -=， ()1,4,0,32x t ⎛⎫∈-∴∈ ⎪⎝⎭，所以()2122t h t t =--，()03t ∈，在(]01，上单调递减，在[)13，上单调递增，所以()()2min 1111122h t h ==--=-， ()23133122h =--=，()201100222h =--=-，所以函数()g x 在1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为[)1,1-. 20．已知集合{}2280A x x x =+-<，132B x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}22320C x x ax a =-+<． (1)求A B ⋂；(2)若()C A B ⊆⋂，求实数a 的取值范围．【答案】(1)543A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭ (2)52,6⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）分别求出A 与B 中不等式的解集，根据交集的定义A 与B 的交集即可；（2）分0a =，0a >以及a<0三种情况，分别求出集合C 中不等式的解集，根据C 为A 与B 交集的子集列关系式，可求出a 的范围．【详解】（1）{}{}228042A x x x x x =+-<=-<< 由132x ≤-等价于1302x -≤-等价于()13202x x--≤-， ∴()()3520350220x x x x x ⎧--≤-≤⇔⎨--≠⎩，解得53x ≤或2x >，∴53B x x ⎧=≤⎨⎩或}2x >，∴543A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭．（2）{}()(){}2232020C x x ax a x x a x a =-+<=--< 当0a >时，{}2C x a x a =<<，要使()C A B ⊆⋂，则4523a a ≥-⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得506a <≤．当0a =时，C =∅，符合()C A B ⊆⋂；当a<0时，{}2C x a x a =<<，要使()C A B ⊆⋂，则2453a a ≥-⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得20a -≤<．综上，a 的取值范围是52,6⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 21．已知函数()22x x b g x b+=-，b 为非零常数． (1)当0b <时，试判断函数()y g x =的单调性，并用定义证明；(2)当1b 时，不等式()()2130g x g ax ++->对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)函数()y g x =在定义域上为单调增函数，证明见解析(2)()4,4-【分析】（1）()212x b g x b=+-，进而结合指数型复合函数判断，再根据函数单调性的定义判断即可；（2）结合（1）得()y g x =在x ∈R 为单调增函数，再判断函数的奇偶性得()y g x =为奇函数，再根据单调性与奇偶性得240x ax -+>对x ∈R 恒成立，进而根据二次不等式恒成立求解即可.【详解】（1）解：因为()22122x x x b b g x b b+==+--，所以，由指数型复合函数单调性可判断：函数()y g x =在定义域上为单调增函数．证明：0b <时，20x b ∴->对x ∈R 恒成立，∴函数()y g x =的定义域为R ，任取12,R x x ∈且12x x <，120x b ->，220x b ->，()22122x x x b b g x b b+==+--， ()()2121212222112222x x x x b b b b g x g x b b b b ⎛⎫⎛⎫∴-=+-+=- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()()122122222x x x x b b b -=-- ()()()12121221222x x x x x b b b -⨯-=-- ， 0b <，12x x <，210x x ->，210221x x ->=，∴21120x x --<，120x >，120x b ->，220x b ->， ()()210g x g x ∴->，∴函数()y g x =在x ∈R 为单调增函数．（2）解：当1b 时，()2121x x g x -=+ ， ∴由（1）知函数()y g x =在x ∈R 为单调增函数，∵函数()y g x =的定义域为x ∈R ，关于原点对称，又()()()21122121x xx x g x g x g x -----===-≠++， ∴函数()y g x =为R 上的奇函数，∴不等式()()2130g x g ax ++->对x ∈R 恒成立等价于()()()2133g x g ax g ax +>--=- 对x ∈R 恒成立，213x ax ∴+>-对x ∈R 恒成立，240x ax ∴-+>对x ∈R 恒成立，2160a ∴∆=-<，解得44a -<< ．∴实数a 的取值范围是()4,4- ．22．给定区间I ，集合M 是满足下列性质的函数()f x 的集合：任意x I ∈，()()12.f x f x +>(1)已知I R =，()3x f x =，求证：()f x M ∈；(2)已知(]01I =，，()2log .g x x a =+若()g x M ∈，求实数a 的取值范围；(3)已知[]11I =-，，()()25h x x ax a a R =-++-∈，讨论函数()h x 与集合M 的关系．【答案】(1)证明见解析(2)(,1)-∞(3)答案见解析【分析】（1）由集合定义证明不等式（2）化简后为不等式恒成立，参变分离转化为最值问题（3）化简后转化为一元二次不等式恒成立，根据对称轴与区间关系讨论最值【详解】（1）证明：因为()3x f x =，所以()()11232330x x x f x f x ++-=-⨯=>，即()()12f x f x +>，所以();f x M ∈（2）当(]01x ∈，时，()()12g x g x +>恒成立， ()22log 12log 2x a x a ++>+ 即2211log ()a x x<+在(]01x ∈，上恒成立令(]20111,，y x x x ∈=+，当1x =时min 2y = 故1a <a 的取值范围是(,1)-∞（3）()25h x x ax a =-++-，(]01x ∈，，若()h x M ∈，则当[]11x ∈-，，()()12h x h x +>恒成立，即()22(1)1522210x a x a x ax a -++++->-++-恒成立，即()2240x a x -++>恒成立，记()()224H x x a x =-++，[]11x ∈-，， ①当 212a +≤-，即4a ≤-时，()()170min H x H a =-=+>，即7a >-，又因为4a ≤-，所以74a -<≤-；②当2112a +-<<，即40a 时，()()262()024min a a a H x H -++⎛⎫==> ⎪⎝⎭，恒成立，所以40a ；③当 212a +≥，即0a ≥时，()()130min H x H a ==->，即 3.a <又0a ≥，所以03a ≤<，综上所得73a -<<．所以当73a -<<时，()h x M ∈；当7a ≤-或3a ≥时，()h x M ∉．。

江苏省苏州市名校2022-2023学年高三上学期12月第二次阶段测试数学试题

【详解】当时，，
当时，，
由为递增数列，只需满足，即8>4+λ，解得，则实源自的取值范围是，故选：D.
5.已知向量，为平面内的一组基底，，，则“ ”是“幂函数在上为增函数”的（）条件.
18.如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点．是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角的大小为30°，且．
（1）求t的值；
（2）对于平面ACD内的动点P总有平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得平面BEC的理由．
19.已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．
苏州市名校2022-2023学年高三上学期12月第二次阶段测试答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（）
A． B． C．1D．3
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的实部和虚部的定义，即可求解．
10.若，，且，则（）
A. B.
C. D.
11.已知直线：与圆：相交于两点，与两坐标轴分别交于两点，记的面积为，的面积为，则（）
A. B.存在，使
C. D.存在，使
12.已知函数和，有相同的极小值，若存在，使得成立，则（）
A. B.
C.当时，
D.当时，若的所有根记为，，，，且，则
7.设，则（）
A. B. C. D.
8.2022世界杯足球赛在卡塔尔举行，某中学在全校学生中开展“迎新杯”足球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时， ( )

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江南十校2022～2023学年高三数学12月份联考数学一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分）1. （集合的运算）已知集合{}{}1,01,2A B =-=，，集合{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则C 的子集的个数为（）A. 3B. 8C. 7D. 16 2. （含量词命题的否定）命题“**,x x R e R ∀∈∈都有”的否定是（）A ．**,x x R e R ∃∈∉使得B ．**,x x R e R ∃∉∉使得C ．**,x x R e R ∃∈∈使得D ．**,x x R e R ∃∉∈使得3. （充分必要性的判定）若,a b 均为实数，则“a b e e >”是“33a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. （不等式的性质）已知,,,a b c d 为实数，则下列命题正确的是（）A ．若,a b >则11a b>>则a ab c <C ．若a b c d >>>，则a c b d ->-D ．若,a b c d >>，则ac bd >5. （复合函数单调性）函数()()20.5log 1f x x =-的单调递减区间是（）A. ()1,+∞B. ()0,+∞C. (),0-∞D. (),1-∞ 6. （奇偶性，分段函数）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≤时，()23xf x x a =++，则()2f 的值为（） A.234 B. 274 C. 274- D. 234-7. （值的大小比较）已知sin 53a =，5log 2b =，0.80.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <>>B ． 10 0a m b ><<二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分）9. （任意角，三角函数定义）下列三角函数值为负数的是（）A.sin186B. tan505C. sin7.6πD. 3tan 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭10. （幂函数性质）下列关于幂函数说法正确的是（）A.图象必过点()1,1B.可能是非奇非偶函数C.在()0,x ∈+∞上一定是单调函数D. 图象不会位于第四象限11. （基本不等式求最值）若实数,m n 满足224n mn +=，其中0n >，则下列说法中正确的是（）A. n 的最大值为2B. m n +的最小值为2C. 2243m n +的最小值为4 D.1132n n m++12. （新函数模型函数性质应用）关于函数()f x = ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 在[)0,+∞上先增后减 C. 方程()()=f x m m R ∈根的个数可能为3个 D.函数值中有最小值，也有最大值三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13. （函数三要素：解析式）已知函数()22141f x x +=-，则()f x =14. （指对数运算）1321lg8lg 25327-⎛⎫++= ⎪⎝⎭15. （二元最值，指对数运算）设实数2,1,a b e ⎡⎤∈⎣⎦，且22ln ln 12b a -=，则ab的最大值是 16. （一元二次）已知函数()23f x x ax a =++-，若(){}()(){}00x f x x ff x <=<，则实数a 的取值范围是四、解答题（共6题，10+5*12=70分） 17. （10分）（集合的交并补运算）如图，已知全集U R =，集合{}22A x y x x ==-++，{}05B x x x =<>或．(1)集合C 表示图中阴影区域对应的集合，求出集合C ；(2)若集合{}0D x x a =<<，且D C ⊆，求实数a 的取值范围． A B18. （12分）（三角函数的定义与诱导公式）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=．(1)求函数()y fθ=的解析式，并求23f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=，()0,θπ∈，求tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．19. （12分）（一元二次函数、不等式解法，最值，均值不等式）已知二次函数()2f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）（1）若不等式()0f x ≥的解集为{}05x x x ≤≥或且()14f =-，求函数()f x 在[]1,4x ∈-上的最值；（2）若()00f >且函数()f x 至多仅有一个零点，求()2f b的最小值.20. （12分）(指对数运算，函数性质) 已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（1）当1a =，判断函数在()0+x ∈∞，上的单调性，并说明理由；（2）若函数()f x 为偶函数，求a 的值.21. （12分）（函数的应用，最值，分段函数）2021年11月3日，全国首条无人驾驶跨座式单轨线路——芜湖轨道交通（芜湖单轨）1号线开通初期运营。

芜湖轨道交通1号线大致呈南北走向，线路全长30.52千米，车站25座。

北起鸠江区宝顺路站，中途贯穿鸠江区、镜湖区和弋江区三个行政区，止于弋江区白马山站。

全线高架的布置形式，也使之成为芜湖上空的一道全新风景线。

据悉一号线一辆列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合中小城市的运营。

日前芜湖运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Z （元）与发车时间间隔t （分钟）相关：当间隔时间达到或超过12分钟后，列车均为满载状态。

当812t ≤≤时，单程营业额Z 与60412t t-+成正比；当58t ≤≤时，单程营业额会在8t =时的基础上减少，减少的数量为()2408t -。

（1）求当512t ≤≤时，单程营业额Z 关于发车间隔时间t 的函数表达式；（2）若一辆列车平均每天共运营120t次，为体现节能减排，发车间隔时间[]8,10t ∈，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日营业总额最大？求出该最大值。

22. （12分）(不等式恒成立、零点、指对幂混合型问题) 已知函数()32xa f x x =+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a 是常数（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）若函数()g x x =与函数()f x 的图象只有一个公共点，求a 的取值范围.1. 已知实数,m n 满足2223272m mn n -+=，求22m n -2. 设1a <-，变量x 满足2x ax x +≤-，且2x ax +的最小值为12-，则a = 32- 3.222,2222a b a b a b c a b c ++++=++=，则2c 的最大值434.()ln 2022lnln 20222022ln 2022-已知a ，b 为正数，且a －b ＝1，则A ．a 2＋b 2＞1B ．a 3－b 3＜1C ．2a －2b ＞1D ．2log 2a －log 2b ＜2 【答案】AC【解析】由题意可知，对于选项A ，a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ＝1＋2ab ，因为a ，b ＞0，所以1＋2ab ＞1，所以a 2＋b 2＞1，故选项A 正确；对于选项B ，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 2＋ab ＋b 2＝(a －b )2＋3ab ＝1＋3ab ，因为a ，b ＞0，所以1＋3ab ＞1，所以a 3－b 3＜1，故选项B 错误；对于选项C ，因为a －b ＝1，所以a ＝1＋b ，a ，b ＞0，所以2a －2b ＝2b ＋1－2b ＝2b＞1，故选项C 正确；对于选项D ，当a ＝2，b ＝1时，2log 2a －log 2b ＝2－0＝2，所以选项D 错误；综上，答案选AC ．1．已知二次函数()210y ax x a =++>．(1)当x 是什么实数时，函数21y ax x =++的值是正数； (2)若关于x 的方程210ax x ++=有两个实根12,x x ，且121,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试问：实数a 是否存在最大值?若存在，请求出a 的最大值，若不存在，请说明理由.)10,4⎛⎤⎥⎝⎦，根据韦达定理得到12x x +⎤⎥⎦，即1x =，(1x a =-2．问题：正数a ，b 满足+=1a b ，求12a b+的最小值.其中一种解法是：()12122123b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭2b a a b=，且+=1a b 时，即1a =且2b =号，学习上述解法并解决下列问题：(1)若正实数x ，y 满足3xy x y =+，求+x y 的最小值；(2)若正实数a ，b ，x ，y 满足22221x y a b-=，且a b >，试比较22a b -和()2x y -的大小，并说明理由；(3)若0m >，利用（2）的结论，求代数式M =的最小值，并求出使得M 最小的m 的值.3．已知函数2()(2)2(R)f x ax a x a =---∈． (1)若()≤f x b 的解集为[2,1]-，求实数a ，b 的值； (2)当0a <时，解不等式()0f x ≥．4．已知b g 糖水中有a g 糖0)b a >>（，往糖水中加入m g 糖0)m >（，（假设全部溶解）糖水更甜了.(1)请将这个事实表示为一个不等式 (2)证明这个不等式(3)利用（1）的结论证明命题：“若在ABC 中a b c 、、分别为角、、A B C 所对的边长，则111c a bc a b<++++”6．已知0a >，0b >，且(1a b +． (1)求3311a b+的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得1133a b +？并说明理由．23. 设实数,a b 满足0,2a b ≤≤，且1244ab+=，则22b a-的最大值是 24. （2019天津理6）已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b <=0.20.51c ==>12⎛< ⎝a c <a c b <<大）第三章函数的概念与性质3.1 3.2 3.3 3.4 函数的概念及其表示函数的基本性质幂函数函数的应用考点三要素（小）单调性、奇偶性、最值图象与性质解答题第四章指数函数与对数函数 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 指数指数函数对数对数函数函数的应用考点运算（小）性质（小）运算（小）性质（小）（大）25. （12分）(指对数运算，函数性质)已知函数()33log 52log 52x x x x f x a --=-++ （1）当1a =-，求1lg2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若函数()f x 为偶函数，求a 的值.（本题12分）已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（a 为常数）（1）当1a =，判断函数在()0+x ∈∞，上的单调性，并说明理由；（2）若函数()f x 为偶函数，求a 的值.OyxABθ。