河北省正定县高考数学总复习 参数方程学案(无答案)
全国近年高考数学一轮复习坐标系与参数方程第2讲参数方程学案(2021年整理)
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第2讲参数方程板块一知识梳理·自主学习［必备知识］考点1 参数方程的概念在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数错误!(＊),如果对于t的每一个允许值，由方程组(＊)所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组（*）就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数．考点2 直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程[考点自测］1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）(1）参数方程错误!（t≥1)表示的曲线为直线．( ）(2)直线y＝x与曲线错误!(α为参数)的交点个数为1.（)(3)直线错误!(t为参数)的倾斜角α为30°.（）(4）参数方程错误!错误!表示的曲线为椭圆．（）答案(1)×（2）×(3）√（4)×2．已知圆的参数方程{x＝2cosθ，，y＝2sinθ(θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3ρcosα－4ρsinα－9＝0，则直线与圆的位置关系是( )A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心答案D解析圆的普通方程为x2＋y2＝4,直线的直角坐标方程为3x－4y－9＝0.圆心（0,0)到直线的距离d＝错误!＝错误!<2，所以直线与圆相交．显然直线不过原点(0，0）,故选D.3．［2018·安徽模拟]以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是错误!（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为( )A。
河北省正定中学2020届高考数学一轮复习 圆锥曲线的综合问题学案 理(无答案)
河北省正定中学2020届高考数学一轮复习 圆锥曲线的综合问题学案 理（无答案）一、 定点与定值问题1、已知椭圆1C ：22143x y +=,抛物线2C ：2()2(0)y m px p -=>,且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点()1当AB x ⊥轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上；()2是否存在m 、p 的值，使抛物线2C 的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由.2、已知，椭圆C 过点A （1，32），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
（1）求椭圆C 的方程；（2）E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。
3、如下图，过抛物线y 2=2px （p ＞0）上一定点P （x 0，y 0）（y 0＞0），作两条直线分别交抛物线于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）.（1）求该抛物线上纵坐标为2p 的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y y 的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.4.已知椭圆C 的方程是22a x +22by =1（a >b >0）.设斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，AB 的中点为M .证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上.二、 最值与范围问题1、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 。
2、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．3、设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点.()1若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF u u u r u u u u r g 的最大值和最小值；()2设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.4. 点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥.()1求点P 的坐标；()2设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.5、在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F （3，0）的距离的4倍与它到直线x =2的距离的3倍之和记为d ，当P 点运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和 （Ⅰ）求点P 的轨迹C ；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值。
高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解.doc
高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解一、选择题x=一1 ~t1.极坐标方程P = g胡和参数方程（/为参数）所表示的图形分别是（）3=2 + /A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线［答案］D［解析］由p=cosO得p2=pcos<9, Ax2 +/-x=0.此方程所表示的图形是圆.X= — 1 —I消去方程中的参数/可得，x+y-l=o,此方程所表示的图形是直线.ly=2+t2.下列参数方程（f为参数）屮，与方程/ = x表示同一曲线的是（）{x=t［x=taiFfB.v=tan/x=tan/2l=tarT7［答案］B［解析］将/=x代入y=r得，y=x29故A错，将tant=y代入x=tan2Z中得，x=y2,［点评］平方得y2=\x\. 限定了x的取VtanzeR,故B正确，C、D容易判断都是错的.值必须非负, /•K=x,但白于y=y［\x\9故它必须满足尹20,而y2=x中的yWR.注意C中消去（得y=y［\x\9x=1+2/ [y=}-2t （/为参数）被圆x=3cosaj^=3sina（a为参数）截得的眩长为（4. 直线）C. 4^/7D. 2［答案］A兀=l+2f［解析］将直线 宀 化为普通方程得x+y=2,［y=\-2tx=3cosa r 入 将圆 r • 化为普通方程得X 2+/ = 9.丿=3sina 圆心O到直线的距离宀眾， 所以弦长1=2,段一孑=2护.二、填空题7.在极坐标系中，过圆p = 6cos&的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为［答案］”cos 〃=3［解析］解法一：圆p=6cos&的圆心极坐标（3,0）, ・•・直线/方程为〃cos0=3.解法二：由 p 2 = 6pcos6> 得 #+夕2=&,圆心 C （3,0）,・•・过圆心垂直于极轴（即x 轴）的直线方程为兀=3,其极坐标方程为〃cos 〃=3. ［点评］1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形 式是基本方法，故应熟记互化公式.2.掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要.长度是8.x= 1 +3cos&（，为参数）被曲线J+3讪 （0为参数）所截,则截得的弦的［答案］华兀=—1 +2f［解析］直线 化为兀+2y+3=0；|x=l+3cos0圆仁l+3sin& 化为(Ll)+kl) =9,圆心C(l,l)到直线x+2y+3 = 0距离d=洋,半径r=3, 弦长为2寸/_护=弓^.x=cos611 .在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是 .zil (加是常数,0丘(一y=sm"十加兀，兀］是参数)，若曲线C 与x 轴相切，则加= ______ .［答案］±1［解析］VOC ： x 2+(y~m)2=\ 与 x 轴相切， ・・加=± 1.x=3cos012.椭圆 4 .八的离心率是 ______________ ・歹=4sin&［答案］普2 2［解析］由已知可得椭圆的普通方程为等+話=1,tz =4, b=3, c =y ［l , e=：= 4 •与C2的位置关系为 _______ •［答案］相离［解析］圆 Cl ： (x-3)2+(y-2)2=4 的圆心 0(3,2)到直线 C 2： 4x+3y-7 = 0 的距离 d =¥>2,・・・0与C2相离.14. _______________________________________________________________ 在极坐标系中，过点(2迈，目作圆p=4sin^的切线，则切线的极坐标方程为 _________________［答案］“cos 〃=2 的直角坐标x=2迈cos 扌=2,尹=2迈sin 》=2,圆〃=4sim9化为直角坐标方程为x 2+y 2=4y 9即x 2+ (y-2)2=49则过点(2,2)的圆的切线方程显然为x=2,即pcos013.兀=3+2cos 〃已知曲线G ：仁2 + 2畑(&为参数)'x=l+3/曲线C 2：4（/为参数），则Gb=i —4/［解析］=2.三、解答题15.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），己知点/的直角坐标为（一2, 6）,点3的极坐标为（4,号），直线/过点力且倾斜角为务圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线/的参数方程和圆C的极坐标方程.JT［解析］・・•直线/过点（-2,6）,倾斜角为才，r ―返X=—2+ 2 z・•・直线/的参数方程为｛厂（/为参数），1円+务又圆心3的直角坐标为（0,4）,半径为4,・・・圆C的直角坐标方程为,+e—4）2=16,将x=p・cos0, y=0sin0代入化简得圆C的极坐标方程为“ = 8・sin&.16.在极坐标系中，直线/的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴的x=2cosa正半轴建立平而直角坐标系，曲线C的参数方程为_ c @为参数），求直线/与曲y= 1 十cos2a线C的交点P的直角坐标.［解析］因为直线/的极坐标方程为0=¥（pWR）所以直线/的普通方程为y=©c,又因为曲线C的参数方程为x=2cosa”—-（«为参数）y= 1 + cos2a所以曲线C的直角坐标方程为尸护（冃―2,2］）,x=0 解箒仁。
河北省正定县高考数学总复习 集合学案(无答案)
集合的概念与运算【考纲要求】1、理解两个集合之间的关系2、熟练掌握集合间的运算 【知识梳理】1、元素与集合的关系：属于_______不属于_______2、集合与集合的关系：A 是B 的子集___________A 是B 的真子集___________A 与B 相等____________3、集合与集合的运算：A 与B 的交集_______________A 与B 的并集________________A 是I 的补集__________________4、常见数集的记法：自然数集____正整数____集整数集___有理数集_____实数集____空集_____【考点突破】考点一：集合的基本概念{}{}01___,0___0,___9___2,___,___3,___723222=+∈=x R x x x Z R Q N Q φπ考点二：集合间的运算1、已知集合M={x Z ∈|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M N=（ ）A.{-2，-1，0，1}B.{-3，-2，-1，0}C.{-2，-1，0}D.{-3，-2，-1}2、已知全集U={0，1，2，3，4},集合A={1，2，3},B={2，4},则（C U A ） B= ( )A.{1，2，4}B.{2，3，4}C.{0，2，4}D.{0，2，3，4}3、设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x ≤1},则S T= ( )A.[-4，+∞)B.(-2，+∞)C.[-4，1]D.(-2，1]考点三：集合间的基本关系1、若集合A={1，2，3},B={1，3，4},则A B 的子集个数为 （ ）A.2B.3C.4D.162、已知集合A={x|x 2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 （ ）A.A ⊂BB.B ⊂AC.A=BD.A B=φ【当堂检测】1、设集合U={1，2，3，4，5},A={1,2,3},B={2,3,4},则=)(B A C U2、{,==A R U 设x|x>0},B={x|x>1},则)(B C A U =( )A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x ≤1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}3、若全集M={1,2,3,4,5}，N={2，4},则C N M = ( )A.φB.{1，3，5}C.{2，4}D.{1，2，3，4，5}4、已知集合A={1，2，3，4},B={x|x=n 2,n ∈A},则A B=( ) A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}5、设集合A={x|1≤x ≤2},B={x|x ≥a}.若A ⊆B,则a 的取值范围是 （ ）A.a<1B.a ≤1C.a<2D.a ≤26、已知集合A={m+2,2m 2+m},若3∈A,则m 的值为 .。
2020届高三数学一轮复习 《参数方程》学案
《参数方程》学案课前准备 【考纲要求】1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． 【知识梳理】1．参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，且对于t的每一个允许值，方程所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数． 2．直线的参数方程(1)过点000()M x y ,，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．(2)直线的参数方程中参数t 的几何意义是：t 的绝对值等于直线上的动点M 到定点0M 的距离. 设e 为直线的方向向量：当0M M u u u u u u r与e 同向时，t 取正数． 当0M M u u u u u u r与e 反向时，t 取负数， 当M 与0M 重合时，0t =.3．圆的参数方程圆222()()x a y b r -+-=的参数方程为cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）．4．椭圆的参数方程椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． 课堂互动【典例剖析】考点一 参数方程与普通方程的互化 【例1】已知直线l 的参数方程为2(4x a tt y t=-⎧⎨=-⎩为参数)，圆C 的参数方程为4cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）直线l 的普通方程为220x y a --=，圆C 的普通方程为2216x y +=． (2)∵直线l 与圆C 有公共点， ∴圆C 的圆心到直线l的距离4d =≤，∴a -≤≤【方法技巧】消去参数的方法一般有三种： (1) 利用解方程组的代入法消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.【温馨提醒】在将曲线的参数方程化为普通方程时，要注意其中,x y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．【变式】在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参数方程为8(2x ttty=-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），曲线C的参数方程为22(ysx s⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．(1)求直线l和曲线C的普通方程；(2)设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【解析】（1）直线l的普通方程为280x y-+=，曲线C的普通方程为24y x=．（2）设2(2,)P s，则点P到直线l的距离d==，∴当s=min5d==．考点二直线的参数方程【例2】（2019成都七中）在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参数方程为1x ty=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t为参数），曲线C的参数方程为2cos(sinxyθθθ=⎧⎨=⎩为参数)．（1）写出直线l和曲线C的普通方程；（2）若点(1,0)P，直线l与C交与A，B，求PA PB⋅，PA PB+．【解析】（1）直线l的普通方程为1)y x=-．曲线C的直角坐标方程为2214xy+=．（2）直线l的参数方程可化为112x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），代入方程2214xy+=，得2134120t t+-=，设,A B对应的参数为12,t t，∴12413t t +=-，121213t t =-， ∴121213PA PB t t ⋅==，∴1212PA PB t t t t +=+=-==【方法技巧】参数t 在解题中应用（1）参数方程不是标准形式的应先化为标准形式（2）直线的参数方程为00(x x att y y bt =+⎧⎨=+⎩为参数）， 当221a b +=时，t 才有此几何意义．【变式】（2018新课标Ⅱ） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-． 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入221416x y +=，得 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=，（*）∵曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)在曲线C 内， ∴方程（*）有两个解，设为12,t t ，则120t t +=． ∵1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，∴2cos sin 0αα+=，∴直线l 的斜率tan 2k α==-．考点三 圆锥曲线的参数方程的应用【例3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,(sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），直线l 的参数方程为4,(1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数）． （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l，求a ．【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． ∵1a =-时，∴直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴C 与l 的交点坐标为2124(,)2525-和(3,0)． （2）设(3cos ,sin )P θθ为C 上的点，直线l 的普通方程为440x y a +--=．∴P 到直线l的距离d ==∵C 上的点到l∴405417a a +≥⎧⎪⎨---=⎪⎩或405417a a +<⎧⎪⎨--=⎪⎩，∴8a =，或16a =-．【方法技巧】处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解．【变式】 (2019南昌质检) 在直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求AB 的最小值． 【解析】（1）由2sin 4cos ρθθ=，得2(sin )4cos ρθρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =． （2）将直线l 的参数方程代入24y x =， 得到22sin4cos 40t t αα--=．设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ， 则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=-．∴12AB t t =-=244sin α=≥， 当2a π=时取到等号．∴min 4AB =．【课时作业】1．(2019芜湖模拟) 在平面直角坐标系中，曲线21:2C y x =，在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 过点(,1)P a，其参数方程为12x a y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数，a ∈R ）． （1）写出曲线2C 的普通方程；（2）已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点（P 在A 、B 之间），且2PA PB =，求实数a 的值．【解析】（1）2C的参数方程212x a y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 消参得普通方程为10x y a +--=．（2）将曲线1C 的参数方程代入曲线22:2C y x =，得2240t a +-=， 设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =且P 在A B ,之间，则122t t =-，121212224t t t t t t a=-⎧⎪+=-⎨⎪=-⎩解得332a =．2．（2019邯郸联考）已知圆C的参数方程为2,(1,x y θθθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩为参数），直线l 的参数方程为5cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．若直线l 与圆C 相交于不同的两点P ，Q ． （1）写出圆C 的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径； （2）若弦长4PQ =，求直线l 的斜率．【解析】（1）∵C：21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，∴2(2)(1)5x y -++=.∴圆心为(2,1)-（2）由直线l 的参数方程知直线过定点(5,0)M ， 由题意，知直线l 的斜率一定存在， 因此不妨设直线l 的方程为(5)y k x =-. ∵4PQ =,∴254-=，解得0k =或34k =. 3．（2019开封质检） 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），直线l 经过定点(1,1)P ，倾斜角为6π． （1）写出直线l 的参数方程，将圆锥曲线C 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C '，写出C '标准方程；（2）设直线l 与圆锥曲线C '相交于A B ,两点，求PA PB +的值． 【解析】（1）∵l 经过定点(1,1)P ，倾斜角为6π， ∴直线l的参数方程为1(112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）． ∵22sin cos 1θθ+=，且2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴圆锥曲线C '的标准方程为2214x y +=． （2）把直线l 的参数方程代入圆锥曲线C '的标准方程得27(2304t t ++-=， 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则12127t t =-, ∴12127PA PB t t ⋅=⋅=．4．（2019郴州质检）已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ是参数)，直线l 的参数方程是1022x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 是参数）,（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，曲线C '任一点为(,)M x y ，求点M 直线l 的距离的最大值.【解析】（1）直线l 的普通方程为2140x y --=，曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=. （2）由（1）得2214x y +=，经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '的方程为22116x y ''+=， ∴曲线C '的方程22116x y +=， 令4cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α是参数)，根据点到直线的距离公式可得d ==≤=∴点M 到直线l的距离的最大值为5.。
【学科精品】高考数学一轮复习参数方程学案.doc
x＝ f（t）， y＝ g（t）
就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使
x， y的取值范围保持一致
．
2． 直线、圆和圆锥曲线的参数方程 名称
普通方程
参数方程
直线 圆
椭圆 抛物线
y－ y0＝ k(x－ x0)
(x－ x0)2＋ (y－ y0)2 ＝ R2
x2 a2
＋
yb22＝
1(a>b>0)
在平面直角坐标系 xOy中，若直线 l ：
(φ为参数 )的右顶点，求常数 a的值． 解： 直线 l 的普通方程为 x－ y－ a＝ 0，
x＝t， y＝t－a (t为参数 )过椭圆 C：
x＝3cos φ， y＝2sin φ
椭圆 C 的普通方程为 x2＋ y2＝1， 94
所以椭圆 C 的右顶点坐标为 (3， 0)，若直线 l 过点 (3， 0)，
y2＝ 2px(p>0)
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
(t为参数 ) x＝x0＋ Rcos θ y＝y0＋ Rsin θ
(θ为参数且 0≤ θ<2π) x＝acos t y＝bsin t
(t为参数且 0≤ t<2π) x＝2pt2 y＝2pt (t为参数 )
[ 提醒 ] (1) 参数方程化普通方程常用的消参技巧： 代入消元、 加减消元、 平方后加减消元等，
经常用到公式：
cos2θ
＋
sin2θ
＝
1，
1＋
tan2 θ＝
1 cos2
θ.
(2) 利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题，常转化三角函数最值问题．
(3) 将参数方程化为普通方程， 在消参数的过程中， 要注意 x，y 的取值范围， 保持等价转化．
2020高考数学理科大一轮复习导学案《参数方程》
第二节参数方程知识点一 参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变量x ，y 的变量t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．1．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ－1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ－1(θ为参数)消去参数θ得y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)．2．椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B ，则|AB |min ＝185.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)得，x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值．∴|AB |min ＝2×95＝185.知识点二 常见曲线的参数方程的一般形式1．经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 2．圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 3．圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝－6.解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)的斜率为－32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，k ＝－6.4．椭圆(x －1)23＋(y ＋2)25＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)．解析：设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)，即为所求的参数方程． 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的方程为x 2＋y24＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为167.解析：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝167.1．参数方程化普通方程(1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等．(2)等价性：保证参数方程化为普通方程的等价性，不扩大或缩小取值范围．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．若M 1，M 2是l 的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则有以下结论： (1)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝t 1＋t 22.(3)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.考向一 参数方程与普通方程的互化【例1】 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22m .(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若曲线C 1与曲线C 2有公共点，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin α－cos α，y ＝3－23sin αcos α－2cos 2α(α为参数)， 可得其直角坐标方程为y ＝x 2(－2≤x ≤2)， 由曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22m ， 可得其直角坐标方程为x －y ＋m ＝0.(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程，可得x 2－x －m ＝0， ∴m ＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－14， ∵－2≤x ≤2，曲线C 1与曲线C 2有公共点， ∴－14≤m ≤6.(1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；,③根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法，从整体上消去参数.(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x ，y 的取值范围保持一致.将下列参数方程化成普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2－1，y ＝t 2＋1(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[π2，π])． 解：(1)消去参数t ，得y ＝x ＋2，由于t 2≥0，∴普通方程为y ＝x ＋2(x ≥－1)，表示一条射线．(2)消去参数θ，得x 2＋y 2＝1，由于θ∈[π2，π]，∴x ∈[－1,0]，y ∈[0,1]，∴普通方程为x 2＋y 2＝1，(－1≤x ≤0,0≤y ≤1)，表示圆的四分之一． 考向二 求曲线的参数方程【例2】 (2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 【解】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点． 当α≠π2时，记tan α＝k ， 则l 的方程为y ＝kx － 2. l 与⊙O 交于两点当且仅当|21＋k2|<1，解得k <－1或k >1， 即α∈(π4，π2)或α∈(π2，3π4)． 综上，α的取值范围是(π4，3π4)．(2)l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4<α<3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2α(α为参数，π4<α<3π4)．本题通过参数法建立了点P 的轨迹方程，有时求曲线的参数方程也可通过相关点法求解.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ(t 为参数，0≤φ<π)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，直线l 与C 交于不同的两点P 1，P 2.(1)求φ的取值范围；(2)以φ为参数，求线段P 1P 2中点轨迹的参数方程．解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，根据ρ2＝x 2＋y 2可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ代入x 2＋y 2＝1， 得t 2－4t sin φ＋3＝0(*)， 由16sin 2φ－12>0，得|sin φ|>32，又0≤φ<π，∴φ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3.(2)设P 1(t 1cos φ，－2＋t 1sin φ)，P 2(t 2cos φ，－2＋t 2sin φ)，由(1)中的(*)可知，t 1＋t 22＝2sin φ，∴可得P 1P 2中点的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin2φ，y ＝－1－cos2φ(φ为参数，π3<φ<2π3)．故线段P 1P 2中点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin2φ，y ＝－1－cos2φφ为参数，π3<φ<2π3. 考向三 利用直线的参数方程求长度【例3】 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线l 的倾斜角α的值．【解】 (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ. ∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入曲线C 的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4cos 2α＋12＝14，∴4cos 2α＝2，cos α＝±22，α＝π4或3π4.(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题.当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.(2019·西安八校联考)以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t ，y ＝－1＋2t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |.解：(1)由ρsin 2θ＝4cos θ，可得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝4x ，整理得4t 2＋8t －7＝0，∴t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－74，∴|AB |＝(－3)2＋22×|t 1－t 2| ＝13×(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝13×4＋7＝143.考向四 利用椭圆参数求最值【例4】 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【解】 (1)当a ＝－1时，直线l 的方程为x ＋4y －3＝0.曲线C 的标准方程是x 29＋y 2＝1.联立得方程组⎩⎨⎧ x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.所以C 与l 交点坐标是(3,0)和－2125，2425.(2)直线l 的一般方程是x ＋4y －4－a ＝0.设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ)，则点P 到直线l距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917，由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8； 当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117， 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16. 综上，a ＝8或a ＝－16.一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.(2019·福州市模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos(θ－π4)＝ 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2，即ρcos θ＋ρsin θ＝2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)， 所以曲线C 的普通方程为x 2t 2＋y 2＝1(t >0)， 由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x 2t 2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)<0，又t >0，所以0<t <3，故t 的取值范围为(0，3)．(2)由(1)知直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0， 故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离 d ＝|t cos α＋sin α－2|2，故d 的最大值为t 2＋1＋22，由题设得t 2＋1＋22＝62＋2，解得t＝±2.又t>0，所以t＝ 2.。
河北省正定县第一中学高考数学二轮复习 不等式函数与方程1
高考数学二轮复习——不等式【考纲解读】了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力.从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低.【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高。
2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。
线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考查。
考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。
3.预计在年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查。
对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。
河北省正定县高考数学总复习 等差数列学案(无答案)
等差数列【考纲要求】1、理解等差数列的概念2、掌握等差数列的通项公式3、会用等差数列的性质解题【知识梳理】1、等差数列的定义：如果一个数列从________起，每一项与它的前一项的______等于__________.符号表示: _____________________________2、等差数列的通项公式: __________________________3、等差数列的前n 项和公式: ____________________________________4、等差数列的性质：若b A a ,,成等差数列，则________________________若q p n m +=+，则_________________________n S 是前n 项和，则_________________________【考点突破】考点一：等差数列的定义已知数列{}n a 中，)2(21,111≥+==-n a a a n n ，则数列的前9项和等于__________考点二：等差数列的基本量在等差数列{}n a 中1、====n a n d a 则已知,10,3,21________ 2、===d a a 则已知,27,1261_________3、===104210,15,7S a a 项和则前已知_________考点三：等差数列的性质1、在等差数列{}n a 中，==+=7531,10,2a a a a 则__________2、在等差数列{}n a 的前n 项和为==++131272,24,S a a a S n 则且_______3、在等差数列{}n a 中，===302010,120,100S S S 则________【当堂检测】1、在等差数列{}n a 中，=-==+97354,2,a a a a a 则______2、设n S 为等差数列{}n a 的前n 和，,2,4738-==a a S 则=9a ______3、设{}n a 为等差数列，公差d=-2，n S 为其前n 项和，若==11110,a S S 则_______4、在等差数列{}n a 中，=+++=++721543,12a a a a a a Λ那么_______5、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==12663,31S S S S 则_______。
河北省正定县高考数学总复习 线性规划学案(无答案)
简单的线性规划【考纲要求】1、了解二元一次不等式表示平面区域2、掌握目标函数在线性约束条件下的最值【知识梳理】1、二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的______________，只需在此直线的同一侧取一个特殊点),00y x （作为测试点。
简记为：线定界，点定域。
2. 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。
【考点突破】考点一：求线性目标函数的最值（范围）问题1、设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ） 1. A ．0B ．1C ．2D ．32、设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]考点二：由线性目标函数的最值求参数（），则实数的最大值为若满足约束条件、若=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥+m y x z y mx y x y x y x 22,00220,1 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【当堂检测】1、若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩错误！未找到引用源。
则2x y +的最大值为（ ） A. 1B. 3C. 5D. 92、若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是（ ）A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+3、设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是（ ）A.15-B.9-C.1D. 94、 ______,04001,的最大值为则满足约束条件若xy y x y x x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-A. 2B. -2C. 21D. 21-的值为（），则的最小值为且满足约束条件、若k x y z y y kx y xy x 4-,00202,5-=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥-+。
河北省正定县高考数学总复习等差数列学案(无答案)
等差数列【考纲要求】1、理解等差数列的概念2、掌握等差数列的通项公式3、会用等差数列的性质解题【知识梳理】1、等差数列的定义：如果一个数列从________起，每一项与它的前一项的______等于__________.符号表示: _____________________________2、等差数列的通项公式: __________________________3、等差数列的前n 项和公式: ____________________________________4、等差数列的性质：若b A a ,,成等差数列，则________________________若q p n m +=+，则_________________________n S 是前n 项和，则_________________________【考点突破】考点一：等差数列的定义已知数列{}n a 中，)2(21,111≥+==-n a a a n n ，则数列的前9项和等于__________考点二：等差数列的基本量在等差数列{}n a 中1、====n a n d a 则已知,10,3,21________ 2、===d a a 则已知,27,1261_________3、===104210,15,7S a a 项和则前已知_________考点三：等差数列的性质1、在等差数列{}n a 中，==+=7531,10,2a a a a 则__________2、在等差数列{}n a 的前n 项和为==++131272,24,S a a a S n 则且_______3、在等差数列{}n a 中，===302010,120,100S S S 则________【当堂检测】1、在等差数列{}n a 中，=-==+97354,2,a a a a a 则______2、设n S 为等差数列{}n a 的前n 和，,2,4738-==a a S 则=9a ______3、设{}n a 为等差数列，公差d=-2，n S 为其前n 项和，若==11110,a S S 则_______4、在等差数列{}n a 中，=+++=++721543,12a a a a a a 那么_______5、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==12663,31S S S S 则_______。
2021-2022年高考数学专题直线的参数方程复习教学案(无答案)
2021年高考数学专题直线的参数方程复习教学案（无答案）【学习目标】
1.根据直线的条件引进适当的参数，能写出直线的参数方程。
2.体会参数的几何意义。
3.能用直线参数方程及参数的意义解决数学问题。
4.体会向量工具的便捷，以及不同的直线方程形式设法的优越性。
探究直线的参数方程
【情境链接】
我们在必修二中学习了直线方程的五种表示形式，请同学们复习回顾。
【研读课本】
1. 经过点，倾斜角为（）的直线的方程
2.阅读课本，试着引入向量，得到直线的参数方程。
【问题探究】
直线的参数方程：
1.写出直线的参数方程，直线的参数方程中哪些是变量，哪些是常量？
2.参数t的几何意义是什么？
3. 参数t 取值的大小决定其对应点的位置，该位置与 定点的位置和参数
t 的正负、大小有什么关系？
练习：
3已知直线：与抛物线相交于A,B 两点，求线段AB 的长和点M 到A,B 两点的距离之积。
4由上题类比得一般地：直线与曲线交于两点，对应的参数分别为
（1） 曲线的弦的长是多少？
（2） 线段的中点对应的参数的值是多少？
5经过点M(2,1)作直线，交椭圆于A,B 两点，如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线的方程。
00000
3sin 20cos 20.20.70.110.16010x t t y t A B C D x y ⎧=+⎨=⎩+-=1 直线（为参数）的倾斜角是（）2 直线的一个参数方程是。
高考数学压轴专题石家庄备战高考《坐标系与参数方程》知识点总复习附答案解析
【高中数学】数学高考《坐标系与参数方程》复习资料一、131．设x 、y 满足223412,x y +=则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由223412x y +=得出22143x y +=，表示椭圆，写出椭圆的参数方程，利用三角函数求2x y +的最大值.【详解】由题可得：22143x y +=则2cos (x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），有22cos x y θθ+=+14sin 22con θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4sin 6πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为1sin 16πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 则： 44sin 46πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以2x y +的最大值为4. 故选：C. 【点睛】本题主要考查与椭圆上动点有关的最值问题，利用椭圆的参数方程，转化为三角函数求最值.2．设曲线C的参数方程为5cos ()15sin x y θθθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩为参数，直线l10y -+=，则曲线C 上到直线l 的距离为52的点的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将圆C 化为普通方程，计算圆心到直线l 的距离，通过比较所求距离与52的关系即可得到满足条件的点的个数． 【详解】化曲线C 的参数方程为普通方程：(()22125x y ++=，圆心)1-10y -+=的距离3115522d ++==<， 所以直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求， 与l 平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意， 故选C 【点睛】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．3．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.4．参数方程（为参数）所表示的图象是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。
高考数学 考点突破——选考系列：参数方程学案-人教版高三全册数学学案
参数方程【考点梳理】1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)考点一、参数方程与普通方程的互化【例1】已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值. [解析] (1)由C 1消去参数t ，得曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2＋(y －3)2＝1. 同理曲线C 2的普通方程为x 264＋y 29＝1.C 1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， 又C 3的普通方程为x －2y －7＝0， 则M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|3sin θ－4cos θ＋13| ＝55|5(sin θ－φ)＋13|⎝⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝43，所以d 的最小值为855.【类题通法】1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形． 【对点训练】在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .[解析] (1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 曲线C 的标准方程是x 29＋y 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.则C 与l 交点坐标是(3，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0. 设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ).则P 到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17＝|5sin （θ＋φ）－4－a |17，其中tan φ＝34.又点C 到直线l 距离的最大值为17. ∴|5sin(θ＋φ)－4－a |的最大值为17. 若a ≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a ＝8. 若a <0，则5－4－a ＝17，∴a ＝－16. 综上，实数a 的值为a ＝－16或a ＝8.考点二、参数方程的应用【例2】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值.[解析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)，消去参数t ，得x ＋y －1＝0.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2－4y ＝0.令ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0). 把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2－32t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1.由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1. 【类题通法】过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题. 【对点训练】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.l 与C交于A ，B 两点.(1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设点P (0，－2)，求|PA |＋|PB |的值.[解析] (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos α，y ＝sin α(α为参数)消去α，得普通方程x 25＋y 2＝1.因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρcos θ－ρsin θ＝2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.(2)点P (0，－2)在l 上，则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝－2＋22t (t 为参数)，代入x 25＋y 2＝1整理得3t 2－102t ＋15＝0，由题意可得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝1023.考点三、参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为与C 的交点，求M 的极径.[解析] (1)由l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)消去t ，化为l 1的普通方程y ＝k (x －2)，① 同理得直线l 2的普通方程为x ＋2＝ky ，② 联立①，②消去k ，得x 2－y 2＝4(y ≠0). 所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0). (2)将直线l 3化为普通方程为x ＋y ＝2， 联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x 2－y 2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝322，y ＝－22，∴ρ2＝x 2＋y 2＝184＋24＝5，∴与C 的交点M 的极径为 5.【类题通法】1．参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简． 【对点训练】已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4.(1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6与曲线C交于O ，P 两点，求△PAB 的面积.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ.普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.从而曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋12ρcos θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0.(2)依题意，A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3， 联立射线θ＝11π6与曲线C 的极坐标方程得P 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6，∴|AB |＝2，∴S △PAB ＝12×2×23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝2 3.。
河北省正定县高考数学总复习解三角形学案(无答案)
解三角形【考纲要求】1、掌握正、余弦定理，三角形的面积公式，并能解决一些简单的三角度量问题2、解决三角形综合问题【知识梳理】 正弦定理 余弦定理 内容 _________________sin ===A a （R 为ABC ∆外接圆的半径） _______________________________________222===c b a常见变形 __________::=c b a角化边_____sin ______,sin _____,sin ===C B A 边化角____________,______,===c b a2、三角形的面积公式：_______=s ,S=___________ =_________ =_______3、三角形中常见的三角函数关系式：=⇒=++C C B A π__________,)sin(B A + ___________=__________ ,___________________)cos(==+B A【考点突破】考点一:利用正、余弦定理解三角形1、__________cos __________cos __________cos ===C B A _______,32,6,3=∠=∠==∆B A b a ABC 则中，在π2、_______,32cos ,2,5====∆b A c a ABC 则中，已知在3、考点二:解三角形的综合应用1、2、 _________,4,6,2的面积为则中，已知ABC C B b ABC ∆===∆ππ3、.)cos cos cos 2c A b B a C ABC =+∆（中，已知 （1）求C; (2)的周长，求的面积为若ABC ABC c ∆∆=233,7______3431cos ,23====∆∆b S C a ABC ABC ，则，中，若在________,b 3sin 2==∆A B a ABC 则角中，若在锐角4、 （（（（1）求B; （2）若cosA=的值，求C sin 31【当堂检测】1、△ABC 中，已知a ＝3，c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为2、_______120313==∠==∆AC C BC AB ABC ，则，，中，若在3、已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）.A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°A B a ABC sin b 32sin =∆中，已知4、在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =___________5、6、7、_______cos cos cos 2=+=∆B A c C a B b ABC ，则中，若8、.4,54cos 6π===∆C B AC ABC ，中，在 (1)求AB 的长； （2）的值求)6cos(π-A9、,sin sin 2sin 2C A B ABC =∆中， （1）若a=b,求cosB; （2）的面积求，且若ABC a B ∆==,290______,,21cos sin cos sin =∠>=+∆B b a b A B c C B a ABC 则且中，若__________sin ,41cos ,2,1====∆B C b a ABC 则中，。
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参数方程
【考纲要求】
1、能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程
2、掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题【知识梳理】
1、曲线的参数方程的概念:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y都是某个变数t的函数
()
() x f t y g t
=
⎧
⎨
=
⎩
①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)
M x y都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的 ,联系变数,x y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做
2、常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹普通方程参数方程
直线
)
(
tan
x
x
y
y-
=
-α
圆
2
2
2r
y
x=
+
圆
2
2
2)
(
)
(r
b
y
a
x=
-
+
-
椭圆
)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
椭圆
)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
x
a
y
注：直线参数方程的参数的几何意义：____________________________ 【考点突破】
考点一：参数方程与普通方程的互化
1、已知曲线C1：， C2：
（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 1上的点P 对应的参数为
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线
C 3
的距离的最小值。
2、已知曲线194:2
2=+y x C ，直线⎩
⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为ο30的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值
【当堂检测】
1、在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为25)6(2
2=++y x
（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程是⎩
⎨⎧==ααsin cos t y t x (t 为参数），l 与C 交于A,B 两点，10=AB ,求l 的斜率。
2、在直角坐标系xOy 中，曲线1C 参数方程为⎩⎨⎧+==t a y t a x sin 1cos （t 为参数，0>a ）。
在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C 说明1C 、2C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程。