圆与二次函数知识点

圆和二次函数知识点
《圆》
一、圆的概念
集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系
<⇒点C在圆；
1、点在圆⇒d r
=⇒点B在圆上；
2、点在圆上⇒d r
>⇒点A在圆外；
3、点在圆外⇒d r
三、直线与圆的位置关系
>⇒无交点；
1、直线与圆相离⇒d r
=⇒有一个交点；
2、直线与圆相切⇒d r
<⇒有两个交点；
3、直线与圆相交⇒d r
四、圆与圆的位置关系
>+；
外离（图1）⇒无交点⇒d R r
外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一
条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD
六、圆心角定理
图4
图5
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心
距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =； ④ 弧BA =弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧
是等弧；
即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对
的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆接四边形
圆的接四边形定理：圆的接四边形的对角互补，外角等于它的对角。

即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD 是接四边形
∴ 180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平
分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线
段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥，
∴2
CE AE BE =⋅
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交
点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线
∴ 2
PA PC PB =⋅
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两
条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：
12
O O 垂直平分AB 。

即：∵⊙1
O 、⊙
2
O 相交于A 、B 两点
∴
12
O O 垂直平分AB
十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：
12Rt O O C
∆
中，
221AB CO =
（2）外公切线长：
2
CO 是半径之差； 公切线长：
2
CO 是半径之和 。

十四、圆正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行
：
::2OD BD OB =；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，
::OE AE OA =
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆
中进行，::2AB OB OA =.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：
180n R l π=；
（2）扇形面积公式：
21
3602n R S lR
π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=2
22rh r ππ+
（2）圆柱的体积：2
V r h π=
3、圆锥侧面展开图 （1）S S S =+侧表底=2
Rr r ππ+
（2）圆锥的体积：21
3V r h
π=
《二次函数知识点》
（一）、定义与定义表达式
一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c （a≠0），则称y 为x 的二次函数。

（二）、二次函数的三种表达式 一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0） 顶点式：y=a(x-h) 2+k （a≠0），此时抛物线的顶点坐标为P （h ，k ）
交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)（a≠0）仅用于函数图像与x 轴有两个交点时，x 1、x 2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A （x 1，0）和 B （x 2，0）），对称轴所在的直线为x=
2
x x 2
1+ 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=—a
2b
，k=a 4b -4ac 2 ； x 1, x 2=a 24ac -b b -2±；
（三）、二次函数的图像
从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

二次函数图像的画法 五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线
c bx ax y ++=2
与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，
再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

图象平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减 （五）、抛物线的性质
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线a
b
x 2-
=，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P 。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）
2．抛物线有一个顶点P ，坐标为P （-a 2b ，a 4b -4ac 2）。

当x=-a 2b 时，y 最值=
a
4b -4ac 2
， 当a>0时，函数y 有最小值；当a<0时，函数y 有最大值。

当-a
2b =0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b 2
-4ac=0时，P 在x 轴上（即函数与x 轴只有一个交点）。

3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。

当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a 相等；若形状相同，开口方向相反，则a 互为相反数。

4．二次项系数a 和一次项系数b 共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：
当对称轴在y 轴左边时，a 与b 同号（即ab ＞0）； 当对称轴在y 轴右边时，a 与b 异号（即ab ＜0）。

5．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置，抛物线与y 轴交于点（0，c ）。

6．抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交点个数与方程ax 2+bx+c=0的根的判定方法： Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根； Δ= b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。

Δ= b 2
-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。

（六）、二次函数的对称性 关于X 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2
y ax bx c =---；
()2
y a x h k
=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k
=---；
关于Y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是
2
y ax bx c =-+； ()2
y a x h k
=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k
=++；
关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是
2
y ax bx c =-+-；
()2
y a x h k
=-+关于原点对称后，得到的解析式是
()2
y a x h k
=-+-
关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是
2
2
2b y ax bx c a =--+-； ()2
y a x h k
=-+关于顶点对称后，得到的解析式是
()2
y a x h k
=--+．
关于点(
)
m n ，对称
()2
y a x h k
=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是
()2
22y a x h m n k
=-+-+-
（七）、二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax 2+bx+c （a≠0），当y=0时，二次函数为
关于x 的一元二次方程，即ax 2
+bx+c=0，此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。

韦达定理：x 1+x 2=-b/a,x 1x 2=c/a。