空间中的垂直
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
第11讲 空间中垂直关系的判定与性质
空间中垂直关系的判定与性质一．基础知识整合1.直线与平面存垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图（3）判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ⇒l ⊥α从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．（2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．3.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a αa ⊥β⇒α⊥β符号语言⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ⇒a ⊥β 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC .证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ， ∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥平面ABC .变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点，P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC .证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .题型二：面面垂直的判定例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ，AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG .证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ，所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG .变式训练2：如图，在空间四边形ABDC中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面BDG .证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平面BDG ⊥平面BEF .题型三：垂直关系的综合应用例3：如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠BCA＝90°.点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由．证明：(1)∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .(2)存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角．由(1)知BC ⊥平面P AC ，又∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面P AC .又∵AE 平面P AC ，PE 平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE .∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角．又∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC .∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC .这时，∠AEP ＝90°.故存在点E 使得二面角A —DE —P 是直二面角．变式训练3：如图所示，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝2，PB ＝6，求二面角P —BC —A 的大小．解：∵P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，∴P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .又PC 平面P AC ，∴BC ⊥PC .又BC ⊥AC ，∴∠PCA 为二面角P —BC —A 的平面角．在Rt △PBC 中，∵PB ＝6，BC ＝2，∴PC ＝2.在Rt △ABC 中，∵AB ＝2，BC ＝2，∴AC ＝ 2.∴在Rt △P AC 中，cos ∠PCA ＝22，∴∠PCA＝45°，即二面角P —BC —A 的大小为45°.题型四：线面垂直性质定理的应用例4：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1.证明：如图所示，连接AB 1、B 1C 、BD .∵DD 1⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD .∴DD 1⊥AC .又∵AC ⊥BD ，且BD ∩DD 1＝D ，∴AC ⊥平面BDD 1. ∵BD 1平面BDD 1，∴BD 1⊥AC .同理可证BD 1⊥B 1C .∴BD 1⊥平面AB 1C .∵EF ⊥A 1D ，A 1D ∥B 1C ，∴EF ⊥B 1C .又EF ⊥AC ，且AC ∩B 1C ＝C ，∴EF ⊥平面AB 1C ，∴EF ∥BD 1.变式训练3：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在A 1D 、AC上，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .若G 是AB 的中点，则E 在A 1D 上什么位置时，能使EG ⊥平面AB1C?解：若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.题型五：面面垂直性质定理的应用例5：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，求证：P A⊥平面ABC.证明：如图所示，在BC上任取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，∵平面P AC⊥平面ABC，且平面P AC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面P AC，又∵P A平面P AC，∴DF⊥P A，同理DG⊥P A，又∵DF∩DG＝D且DF平面ABC，DG平面ABC，∴P A⊥平面ABC.变式训练5：如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．求证：AM⊥PM.证明：如图连接AP.矩形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴AD⊥平面PDC，BC⊥平面PDC，又∵PD平面PDC，PC平面PDC，∴AD⊥PD，BC⊥PC，在Rt△P AD和Rt△PMC中，易知AP2＝AD2＋PD2＝(22)2＋22＝12，PM2＝PC2＋MC2＝22＋(2)2＝6，又∵Rt△ABM中，AM2＝AB2＋BM2＝22＋(22)2＝6，∴AP2＝PM2＋AM2，∴AM⊥PM.题型六：垂直关系的综合应用例6：如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，F A＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.证明：(1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD ＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF ＝45°，所以∠FEB ＝90°，即EF ⊥BE .因为BC 平面BCE ，BE 平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE .(2)取BE 的中点N ，连接CN ，MN ，则MN 綊12AB 綊PC ，所以PMNC 为平行四边形．所以PM ∥CN . 因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，所以PM ∥平面BCE .变式训练6：如图，四棱锥S －ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD＝1，SD ＝2，BC ⊥BD ，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .(1)证明：DE ⊥平面SBC ；(2)证明：SE ＝2EB .证明：(1)连接BD ，∵SD ⊥平面ABCD ，故BC ⊥SD ，又∵BC ⊥BD ，BD ∩SD ＝D ，∴BC ⊥平面BDS ，∴BC ⊥DE . 作BK ⊥EC ，K 为垂足，因平面EDC⊥平面SBC ，故BK ⊥平面EDC ，BK ⊥DE . 又∵BK 平面SBC ，BC 平面SBC ，BK ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面SBC .(2)由(1)知DE ⊥SB ，DB ＝2AD ＝ 2.∴SB ＝SD 2＋DB 2＝6，DE ＝SD ·DB SB ＝233，EB ＝DB 2－DE 2＝63，SE ＝SB －EB ＝263，∴SE ＝2EB . 三.方法规律总结1．线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直．2．在证明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)，即由线面垂直证面面垂直．3．空间中线线、线面、面面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下：4．会用线面垂直的性质定理证明平行问题，用面面垂直的性质定理证明垂直问题．四：课后练习作业一、选择题1．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是(B) A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥l D．若m∥l，则m⊥α【解析】A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(A)A．平面A1DCB1 B．平面DD1C1C C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB【解析】连接A1D、B1C，由ABCD—A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.3．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(C)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【解析】由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面P AE，∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面P AE成立，平面P AE⊥平面ABC也成立．4．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(C) A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解析】A错，可能l∥β；B错，可能l∥β；C正确；D错，不一定l⊥β.5．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b (B)A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行【解析】当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．6．空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影是△BCD的(A)A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】设A点在平面BCD内的射影为O.可知，△OAB≌△OAC≌△OAD.∴OB＝OC＝OD，∴点O为外心．7．下列说法中正确命题的个数为(B)①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必在这个平面内；⑤如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线．A．0B．1C．2D．3【解析】如图(1)所示，l与α相交(不垂直)，此时也有无数条直线与l垂直．故①②错误；如图(2)所示，l与α平行，此时平面内也存在无数条直线与l垂直，故③④错误；如图(3)所示，直线l与平面α的垂线m垂直，但l不在平面α内；由线面垂直的定义可知，⑤正确．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(A)A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF【解析】∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是(B)A．平面ADC⊥平面BDCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝45°.∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°.∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD.∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在(A)A．线段B1C上B．线段BC1上C．BB1中点与CC1中点的连线上D．B1C1中点与BC中点的连线上【解析】连接AC，B1C，AB1，由线面垂直的判定可知BD1⊥平面AB1C.若AP平面AB1C，则AP⊥BD1.这样只要P在B1C上移动即可．二、填空题11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．垂直D⊥平面ABCD，AC平面【解析】∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵DABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.12．如图所示，已知P A⊥平面α，PB⊥平面β，垂足分别为A、B，α∩β＝l，∠APB＝50°，则二面角α－l－β的大小为________．130°【解析】如图，设平面P AB∩l＝O，连接AO，BO，AB，∵P A⊥α，lα，∴P A⊥l.同理PB⊥l，而PB∩P A＝P，∴l⊥平面P AB，∴l⊥AO，l⊥BO，∴∠AOB即为二面角α－l－β的平面角．结合图形知∠AOB＋∠APB＝180°，∴∠AOB＝130°.13．如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD＝______.13 cm【解析】连接BC.因为平面α⊥平面β，且α∩β＝l，又因为BD平面β，且BD⊥l，所以BD⊥平面α.又∵BC平面α，∴BC⊥BD.所以△CBD也是直角三角形．在Rt △BAC 中，BC ＝32＋42＝5.在Rt △CBD 中，CD ＝52＋122＝13.所以CD 长为13 cm.14．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α与β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.若①③④，则②(或若②③④，则①)【解析】利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．15．如图平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝_______a【解析】如图所示，取BC 的中点E ，连接ED ，AE ，∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，∵平面ABC ⊥平面BDC .∴AE ⊥平面BDC ，∴AE ⊥ED .在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，AE ＝ED ＝12BC ＝22a ，∴在Rt △AED 中，AD ＝AE 2＋ED 2＝a .三、解答题16．如图所示，AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，AN ⊥PM ，垂足为N .求证：AN ⊥平面PBM .证明:设圆O 所在的平面为α，∵P A ⊥α，且BM α，∴P A ⊥BM .又∵AB 为⊙O 的直径，点M 为圆周上一点，∴AM ⊥BM ，∵直线P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM .又AN 平面P AM ，∴BM ⊥AN .这样，AN 与PM ，BM 两条相交直线垂直．故AN ⊥平面PBM .17．如图所示，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA ，SB ，SC 且∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC .【证明】（法一）取BC 的中点D ，连接AD ，SD .∵∠ASB ＝∠ASC ，且SA ＝SB＝AC ，∴AS ＝AB ＝AC .∴AD ⊥BC .又△ABS 是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD ＝SD .∴AD 2＋SD 2＝AD 2＋BD 2＝AB 2＝AS 2.由勾股定理的逆定理，知AD ⊥SD .又∵SD ∩BC ＝D ，∴AD⊥平面BSC .又AD 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC .（法二）同法一证得AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，则∠ADS 即为二面角A —BC —S 的平面角．∵∠BSC ＝90°，令SA ＝1，则SD ＝22，AD ＝22，∴SD 2＋AD 2＝SA 2.∴∠ADS ＝90°.∴平面ABC ⊥平面BSC .18．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，分别交AC 、SC 于D 、E ，且SA ＝AB ＝a ，BC ＝2a .(1)求证：SC ⊥平面BDE ；(2)求平面BDE 与平面BDC 所成二面角的大小．(1)证明：∵SA ⊥平面ABC ，又AB 、AC 、BD 平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，SA ⊥BD ，∴SB ＝SA 2＋AB 2＝2a .∵BC ＝2a ，∴SB ＝BC .∵E 为SC 的中点，∴BE ⊥SC .又DE ⊥SC ，BE ∩DE ＝E ，∴SC ⊥平面BDE .(2)由(1)及BD 平面BDE ，得BD ⊥SC .又知BD ⊥SA ，∴BD ⊥平面SAC .∴BD ⊥AC 且BD ⊥DE .∴∠CDE 为平面BDE 与平面BDC 所成二面角的平面角．∵AB ⊥BC ，AC ＝AB 2＋BC 2＝3a .∴Rt △SAC中，tan ∠SCA ＝SA AC ＝33，∴∠SCA ＝30°.∴∠CDE ＝60°，即平面BDE 与平面BDC 所成二面角为60°.19.如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形.（1）求证：DM APC ∥平面；（2）求证：ABC APC ⊥平面平面.证明:（1）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴MD //AP ,又MD不在平面APC 上，∴MD //平面APC.（2）∵△PMB 为正三角形，又D 为PB 中点. ∴MD ⊥PB .又由（1）知MD //A P , ∴AP ⊥PB . 又AP ⊥PC , 且PB ∩PC =P ，∴AP ⊥平面PBC , ∴AP ⊥BC , 又∵AC ⊥BC , 且AP ∩AC =A ∴BC ⊥平面APC , 又BC 在平面ABC 内，∴平面ABC ⊥平面APC .20．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中 点，MN ⊥平面A 1DC .求证：(1)MN ∥AD 1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1. MD B P C A(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 21．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ；(2)求证：AD ⊥PB .证明：(1)连接PG ，BD .由题知△P AD 为正三角形，G 是AD 的中点，∴PG ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PG 平面P AD ，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形且∠DAB ＝60°，∴△ABD 是正三角形，∴BG ⊥AD .又AD 平面P AD ，PG 平面P AD ，且AD ∩PG ＝G ，∴BG ⊥平面P AD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又BG 平面PBG ，PG 平面PBG ，且BG ∩PG ＝G ，AD ⊥平面PBG ，∴AD ⊥PB .。
2014空间中的垂直关系
1．线线垂直：判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直. 题型1：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。
例2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点，证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。
2．线面垂直：定义：如果一条直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
题型2：线面垂直问题例3．（1）如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，求证：BD ⊥平面ACC 1A 1。
（2）如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱12EF BC ∥。
（I ）证明FO ∥平面;CDE ；（II ）设,BC 证明EO ⊥平面。
例4．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论。
3．面面垂直：两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
空间直线平面的垂直
空间直线平面的垂直
在空间中，如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，平面的垂线和平面一定相交，交点叫垂足。
直线与平面垂直的判定定理为：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
此外，如果两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
直线与平面垂直是空间中一种重要的位置关系，在实际应用中有着广泛的应用。
如在建筑、工程、几何等领域中，常常需要判断直线与平面是否垂直。
空间中的垂直
P
O A
说明:
1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90°
2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平 面所成的角为0 °
直线和平面所成角的取值范围为
[0°,90°]
例1 在空间四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA，E是BD的中点
(1)求证： BD ⊥面AEC. (2)求证： AC⊥BD. A
符号表示： l⊥ , n⊂ l⊥n
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：a⊥ , b⊥ a // b a
b
4.直线和平面所成角
1.斜线 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线
2.斜足 斜线和平面相交的交点
3.斜线在平面内的射影 过斜线上斜足以外的一点向平
面引垂线,过垂足和斜足的直线
平面的斜线和它在平面 内的射影所成的锐角,叫 做直线和平面所成的角
D
E
C
B
例2、如图,点P是平行四边形ABCD所在平
面外一点,O是对角线AC与BD的交点,且 PA=PC, PB=PD。
求证：PO 平面ABCD
练习1、在正方体AC1中，
求证：BD⊥平面ACC1A1
D1
C1
A1
B1
D A
C
O
B
例5.
2a
2a
2a
练习2：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(3)平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
面面垂直 线面垂直
} ⊥β
∩β=l
AB
AB⊥l ,
AB⊥β
Байду номын сангаас
高一数学空间中的垂直关系
复习
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
m n P l l m, l n
简记为：线线垂直
符号表示： m ,n
l
P
m
n
线面垂直
直线与平面垂直的性质1：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线垂直于面上任意直线．（定义）
P
A E H B D
C
线线垂直
线面垂直
线线垂直
练习
1、如图，空间中直线l和三角形的两边 AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的 第三边AB的位置关系是（ ） A 平行 B 垂直 C C 相交 B A D 不确定 2 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的 距离相等，则这条直线和平面的位置是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交
P
E
F
A
B
C
； / 济南网站建设 济南网络公司 役，心可真是够狠の，爷为她都病成咯这各样子，她倒好，转脸儿就啥啊都全忘记咯，估计现在正欢天喜地巴不得赶快嫁给二十三爷呢吧。枉爷为 她想得这么周到，千方百计地为她操碎咯心。唉，爷怎么会喜欢上这种诸人，幸好嫁给咯老二十三，否则这要是嫁进咯这府里，不但姐妹们遭咯秧， 爷更是要伤心难过，以后这日子真是别过咯。想到这里，她开口对苏培盛说道：“噢，晓得咯，你先下去吧。”第壹卷 第402章 心诚打发走苏培 盛，排字琦带上红莲，立即起身去咯朗吟阁。转过这条弯路就是书院咯，可是转过这条弯路之后，主仆两人却被映入眼帘の那副景象惊呆咯！天仙 妹妹和她の大丫环月影双双跪在书院の大门口！再壹看书院の大门，闭得死死の。这又是唱着哪壹出？伴着满脸迷惑不解の神情，排字琦走到水清 の面前：“妹妹，你这是干啥啊呢？被爷责罚咯？”“给姐姐请安。爷没有责罚妹妹，只是，妹妹有事情要找爷。”“那你倒是让奴才传话啊！你 自己壹各人跪在这里，爷哪儿晓得啊！”“回姐姐，妹妹已经给爷传话咯。”“那你……”不用问排字琦也晓得咯，爷没有同意见她！可是这天仙 妹妹怎么这么拧呢！爷不见她自有爷の理由，她就是跪到明天早上去，又能有啥啊用？不过这是爷和天仙妹妹の事情，她排字琦是绝对不会再掺和 咯。排字琦不晓得の是，刚才吃咯闭门羮の水清不甘心就这么被他打发走咯，她想要办到の事情，就壹定要办到，不管用啥啊方法。因此，望着远 去の秦顺儿还有那扇紧闭の院门，水清咬咯咬嘴唇，想都没有想，扑通壹声就跪下咯。月影壹见仆役跪下咯，虽然不晓得水清这是为咯啥啊，但是 她自己也赶快跟着跪咯下来。刚刚排字琦在霞光苑里转磨磨，焦急地等待苏培盛，同时，王爷也在朗吟阁里转磨磨，焦急地等待排字琦，现在听到 秦顺儿禀报福晋来咯，王爷赶快请她进来。“给爷请安。”“福晋可是……”“回爷，已经办妥咯，婉然格格の贴身丫环，那各叫翠珠の奴才回话 说收到咯，还转来咯格格の话，让咱们给年妹妹代各话，多谢侧福晋の恩典。”“多谢福晋。”“爷，您这不是折杀妾身咯嘛！爷只要这心里舒坦 咯，妾身就是做啥啊都乐意。”“你の心意，爷晓得，福晋先退下吧。”排字琦退下之后，随着嫁妆の落实，他の心情确实成为这些天来，最为心 和气顺の时刻。虽然眼睁睁地看着自己心爱の诸人转眼就变成咯二十三弟妹，但是假设连这么点儿事儿都经受不住，他还能是办大事，成大业の人 吗？办妥咯婉然の嫁妆，随着心情暂时得到缓解，不经意间，他不禁抬眼朝窗外望去。可是就是他抬眼の这壹瞬间，恰好是排字琦和红莲正在退出 书院の大门。随着院门の打开，那书院外面の景象让他小小地惊讶咯壹下：怎么外面の地上还跪着两各人？还是两各诸人！他不禁有些奇怪：这是 谁？有事情不让奴才禀报，跪在那里爷怎么能够晓得呢？爷の府里怎么还会有这么傻の诸人？韵音吗？她能有啥啊事情来找爷呢？怎么还跪下咯， 这得是多大の事情？“秦顺儿，你快去看看，外面是谁在跪着呢。”“回爷，是年侧福晋和她の奴才。”“你晓得？”“刚才年侧福晋来の时候， 奴才给您禀报过，您没有同意见。”第壹卷 第403章 进见其实秦顺儿没有回复之前，王爷の心中也暗暗地有咯他自己の答案，因为水清从来都是 淡紫色の衣衫，所以当他の眼前晃过那片青藕色之后，虽然从傻诸人の角度，他立即想到咯韵音，但是那抹青藕色还是让他有咯另壹各猜测，现在 从秦顺儿の口中得到证实，他不禁有些踟蹰。这是他将排字琦の房间砸咯壹各稀烂之后，他第壹次见到她。那次の风暴，不仅给咯福晋壹各严重警 告，而且也是对水清因为壹各奴才而敢于向他兴师问罪の惩罚。她病倒咯，他也没有去探望过她，原本她也不需要他の关心问候，而且他也不晓得 如何去面对她——他心爱の诸人の妹妹，所以他选择咯逃避。现在见到水清，他仍然不晓得该如何面对她。因为水清，他与婉然情深缘浅，咫尺天 涯，他不晓得是应该去恨她，还是能够像以前那样，只当这府中根本就没有她这各人，是好是坏、自生自灭都随她去罢。可是现在他已经没有任何 选择，因为水清直接堵到咯他の院门口，他回咯话不见她，可是，她怎么竟然当众跪到咯院门口，她这是要逼他就范吗？“侧福晋就这么壹直跪 着？”“回爷，是の。”“多长时间咯？”“回爷，快有两各时辰咯。”“两各时辰？！”原本他还想回复不见，可是当“两各时辰”从秦顺儿の 口中说出来，他不禁动咯恻隐之心。无论他の哪各诸人，都不曾被他罚跪过两各时辰，最多只有两刻钟。因此当他听到“两各时辰”の回复时，震 惊之余也让他暗暗心生壹丝佩服。当秦顺儿带着王爷同意见她の口信出现在水清面前の时候，她立即激动得热泪盈眶，忙说：“多谢秦公公。”这 发自肺腑の感谢之言，却是让秦顺儿受宠若惊：“侧福晋千万不要谢奴才，这是爷の恩典。”本来月影想要扶水清起身，可是她自己也跪咯这么长 时间，根本就站不起来，秦顺儿见状，赶快将书院里把负责奉茶和笔墨の两各丫环找来，三各人前后左右总算是勉强将水清扶咯起来。由于急着去 见王爷，水清只好示意这三各奴才先将她赶快扶进书院，生怕动作迟咯，又会惹咯爷不高兴，毕竟这次前来，是她有求于他，无奈之下，只能将月 影壹人留在院外慢慢恢复腿伤。见到水清举步维艰地
空间中的垂直关系
(2)如图，假设存在点F使平面 AFD⊥平面BFC， ∵AD∥BC，∴AD∥平面BFC， ∴AD平行于平面AFD与平面 BFC的交线l. 8分 ∵EP⊥平面ABCD， ∴EF⊥AD，而AD⊥AB， ∴AD⊥平面EAB， ∴l⊥平面EAB，
∴∠AFB是平面AFD与平面BFC 所成二面角的平面角， 10分 ∵P是AB中点，且FP⊥AB， ∴当∠AFB＝90°时，FP＝AP， FP ∴当 FP＝AP，即 ＝1 时，平面 AP AFD⊥平面 BFC.… 12 分
规律方法总结
1．空间的垂直关系有直线与直线 垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂 直．它们之间存在相互转化关系：
2．当有面面垂直时，一般是在 一个面内找(作)交线的垂线，则直线 垂直于面；在证面面垂直时，一般可 先从现有的直线寻找平面的垂线；在 证面面垂直时，一般可先从现有的直 线寻找平面的垂线，若没有，可作辅 助线解决．
(1)求证：DP⊥面EPC； (2)问在EP上是否存在点F使平面
FP AFD⊥平面 BFC？若存在，求出 的值． AP
解：(1)证明：∵EP⊥面 ABCD， ∴EP⊥DP， 又ABCD为矩形， AB=2BC， P、Q分别为AB、CD的中 点， 1 ∴PQ⊥DC且PQ= 2 DC， ∴DP⊥PC， 4分 又∵EP∩PC＝P，∴DP⊥ 面EPC. 6分
2．直线a与b垂直，b⊥平面α，则a与α的 位置关系是( ) A．a⊥α B．a∥α C．a⊂α D．a⊂α或a∥α 答案：D
3.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在 平面，那么MA与BD的位置关系是( ) A．平行 B．垂直但不相交 C．异面 D．相交但不垂直 答案：B
三基能力强化
4．(教材习题改编) △ABC中，∠ABC=90°， PA⊥平面ABC，则图中直角三 角形的个数是 . 答案：4
空间中的垂直关系
空间中的垂直关系1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。
注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
题型1：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。
例2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点，证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。
空间中的垂直关系(优质课)教案
1.6空间中的垂直关系（优质课）教案教学目标：理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．教学过程：一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一线面垂直例1：如图，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC.解析：由于D 是AC 中点，SA ＝SC ，∴SD 是△SAC 的高，连接BD ，可证△SDB ≌△SDA .由AB ＝BC ，则Rt △ABC 是等腰直角三角形，则BD ⊥AC ，利用线面垂直的判定定理即可得证． 答案：(1)∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点， ∴SD ⊥AC .在Rt △ABC 中，连接BD ，则AD ＝DC ＝BD ，又∵SB ＝SA ，SD ＝SD ， ∴△ADS ≌△BDS .∴SD ⊥BD .又AC ∩BD ＝D ， ∴SD ⊥面ABC .(2)∵BA ＝BC ，D 为AC 中点，∴BD ⊥AC . 又由(1)知SD ⊥面ABC ，∴SD ⊥BD .于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面SAC . 练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 是矩形，侧棱P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点， P A ＝AD .求证：EF ⊥平面PCD .答案：如图，取PD 的中点H ，连接AH 、HF .∴FH12CD ， ∴FH AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形，∴AH ∥EF . ∵底面ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD . 又∵PA ⊥底面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .又∵AH ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AH .又∵PA ＝AD ，∴AH ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AH ⊥平面PCD ，又∵AH ∥EF ，∴EF ⊥平面PCD .练习2：如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为ABCD 的中心， 求证：1B O ⊥平面PAC 答案：连结111,,PO PB B D ,OP D 1C 1B 1A 1D CA由正方体的性质可知，1,AC BD AC BB ⊥⊥,且1BD BB B =∴AC ⊥面11BDD B 又∵BO ⊂面11BDD B ∴1B O AC ⊥ 设AB a =，则11121,2,2OB OD a B D a PD PD a ===== ∵2222222222221113113,22424OB OB BB a a a OP PD DO a a a =+=+==+=+= 222222111119244PB B D PD a a a =+=+=∴2221OB PO PB += ∴1B O PO ⊥ ∵PO AC O =∴1B O ⊥平面PAC练习3：在如右图，在空间四边形ABCD 中，,AB AD BC CD ==, 求证：AC BD ⊥答案：设E 为BD 的中点，连结,AE EC∵AB AD = ∴BD AE ⊥ 同理可证：BD EC ⊥ 又∵AEEC E = ∴BD ⊥面AEC∵AE ⊂面AEC ∴BD AC ⊥例2：如图在△ABC 中，∠B ＝90°，SA ⊥平面ABC ， 点A 在SB 和SC 上的射影分别是N 、M ，求证：MN ⊥SC . 解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的 一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直． 答案：证明：∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴AN ⊥BC ，又AN ⊥SB ，∴AN ⊥平面SBC ， ∴AN ⊥SC ，又AM ⊥SC ， ∴SC ⊥平面AMN ， ∴MN ⊥SC .练习1：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 、AC 上的点，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1. 答案：如图所示，连接A 1C 1、C 1D 、BD 、B 1D 1. 由于AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1. 又EF ⊥A 1D ，A 1D ∩A 1C 1＝A 1， ∴EF ⊥平面A 1C 1D .①E ABCD∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴BB 1⊥A 1C 1.又∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. ∵BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 而BD 1⊂平面BB 1D 1D ，∴BD 1⊥A 1C 1. 同理，DC 1⊥BD 1，DC 1∩A 1C 1＝C 1， ∴BD 1⊥平面A 1C 1D .②由①②可知EF ∥BD 1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___ ． 答案：①④练习3：已知,,a b c 及平面β，则下列命题正确的是（ ）A 、////a a b b ββ⎫⇒⎬⊂⎭B 、a a b b ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭C 、//a c a b b c ⊥⎫⇒⎬⊥⎭D 、//a a b b ββ⊂⎫⇒⎬⊂⎭ 答案：B例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面PAC .解析：通过计算得到直角，进而得到垂直． 答案：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .∵∠BAD 和∠ABC 都是直角，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝3， ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°.∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC ， 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .练习1：在正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点， O 为底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC . 答案：如图所示，连接AB 1、CB 1、B 1D 1、PB 1、PO .设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ， ∴B 1O ⊥AC .∵B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a )2＝94a 2，OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2，∴B 1O 2＋OP 2＝PB 21，∴B 1O ⊥OP . 又PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC .练习2: 如图，若测得旗杆PO ＝4，P A ＝PB ＝5，OA ＝OB ＝3，则旗杆PO 和地面α的关系是________．答案：∵PO ＝4，OA ＝OB ＝3，P A ＝PB ＝5，∴PO 2＋AO 2＝P A 2，PO 2＋OB 2＝PB 2， ∴PO ⊥OA ，PO ⊥OB .又OA ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面AOB ，∴PO ⊥地面α.类型二 平面与平面垂直例4：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC的中点，求证：平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1. 解析：运用平面垂直的判定．答案：∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC .又∵CC 1⊥底面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AD .又BC ∩CC 1＝C ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面AC 1D ，∴平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.练习1：三棱锥S －ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC . 求证：平面ABC ⊥平面SBC .答案：解法一：取BC 的中点D ，连接AD 、SD .由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则AB ＝AC . ∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC .令SA ＝a ，在△SBC 中，SD ＝22a ， 又∵AD ＝AC 2－CD 2＝22a ，∴AD 2＋SD 2＝SA 2. 即AD ⊥SD .又∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面SBC . ∵AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC .解法二：∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， 又∵∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∴△ASB 、△ASC 都是等边三角形． ∴AB ＝AC ＝a .作AD ⊥平面SBC 于点D ，∵AB ＝AC ＝AS ，∴D 为△SBC 的外心． 又∵△BSC 是以BC 为斜边的直角三角形， ∴D 为BC 的中点，故AD ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面SBC .练习2：如右图,在四面体ABCD 中，2,BD a AB AD CB CD a =====．求证：平面ABD ⊥平面BCD ． 答案：取BD 的中点E ，连结,AE EC∵AB AD = ∴AE BD ⊥ 同理CE BD ⊥ 在△ABD 中，12,2AB a BE BD a === ∴2222AE AB BE a =-=同理22CE a = 在△AEC 中，2,2AE CE a AC a === ∴222AC AE CE =+ ∴AE CE ⊥ ∵BDCE E = ∴AE ⊥平面BCD ∵AE ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD练习3：空间四边形ABCD 中，若,AD BC BD AD ⊥⊥，那么有（ ） A 、平面ABC ⊥平面ADC B 、平面ABC ⊥平面ADBC 、平面ABC ⊥平面DBCD 、平面ADC ⊥平面DBC 答案：D例5：已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直． 答案：如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， ∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， 又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .练习1：已知三棱锥P －ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA ＝PB ＝PC . (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若AB ＝BC ，过点A 作AF ⊥PB 于点F ，连接CF ，求证：平面PBD ⊥平面AFC . 答案：如图所示：(1)取AC 的中点D ，连接PD 、BD ， ∵PA ＝PC ，∴PD ⊥AC ，又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴PD ⊥平面ABC ，D 为垂足． ∵PA ＝PB ＝PC ， ∴DA ＝DB ＝DC ，∴AC 为△ABC 的外接圆的直径，故AB ⊥BC . (2)∵PA ＝PC ，AB ＝BC ，PB ＝PB ， ∴△ABP ≌△CBP .ABCDE∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，如图所示．求证：P A⊥平面ABC.答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥DF，同理可证：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF⊂平面ABC，DG⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是( )A．平行B．相交C．垂直D．不确定答案：D3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是( )A．①②B．③④C．②④D．①③答案：D4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D5．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α答案：D6. Rt △ABC 所在平面α外一点P 到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是610，那么点P 到平面α的距离等于__________．答案： 12_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定 答案：B2．直线a ⊥直线b ，a ⊥平面β，则b 与β的位置关系是( )A ．b ⊥βB ．b ∥βC ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β 答案：D 3．下列命题①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥ba ⊥b b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：A4.．若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，那么a 、b 的位置关系是( )A ．无公共点B ．平行C ．既不平行也不相交D ．相交答案：A5．直线a 与平面α内的两条直线都垂直，则a 与α的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．a 在平面α内D ．不确定 答案：D6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( )A ．直线a 必垂直于平面βB ．直线b 必垂直于平面αC ．直线a 不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案：C7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．答案：MN⊥AB8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.答案：如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.能力提升9．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在答案：B10.已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3πD．4π答案：D11. (2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C12.已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若P A、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则P A＝PB＝PC；④若P A＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：D13. 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)答案：直线14. 如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．答案：215. 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD .底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________________时，平面MBD ⊥平面PCD .(注：只要填写一个你认为正确的即可)答案：BM ⊥PC （其它合理答案亦可）16. 如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ；(3)求证：平面DEA ⊥平面ECA .答案：(1)取EC 的中点F ，连接DF .∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF .∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC .在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ， ∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN CF .∵BD CF ，∴MN BD ，∴N ∈平面BDM .∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA .又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .。
空间中的垂直关系(带答案)
空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直:如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为,则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的,则称这条直线和这个平面垂直.也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都.直线/和平面a互相垂直，记作a .2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3•点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直：1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线,就称这两个平面互相垂直.平面a, B互相垂直，记作a ± (3.2,判定定理：如果一个平面经过另一个平面的，则这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3,体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一线线垂直、线面垂直的判定及性项例1.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA_L底面ABCD,ABJ_AD,ACJ_CD,NABC=60 ° , PA=AB=BC, E 是PC 的中点.求证：(1)CD±AE；(2)PD_L 平面ABE.证明二口)・.PA-底面ABCD,又AC_CD. PAnAC=A5故CD一平面PAC.及REU平面PAC,「.CD一AE.(II)由题意:AB,AD,；AB一平面PAD,从而AB_PD.又AB二BC,且NABL60。
，J.AC=AB,从而AC = PA.又E为PC之中点，,AE—PU由(1)知；AE_CD,「.AE一平面PCD,从而AE_PD.又ABCAE=A，故PD_平面ABE・【变式1】已知：正方体ABCD-ABCD , AA产2, E为棱CG的中点.(I )求证：BiDi±AE；(II )求证：AC〃平面B】DE.则BD〃BR, TABCD 是正方形，，ACJ.BD.&【解答】(I)连接BD,：CEJ_平面ABCD, BDu 平面ABCD, ACE1BD.X VACACE=C, ABD±® ACE. VAE G面ACE,，BD_LAE,，BD_LAE. - --(5 分)(H)证明：取BB,的中点F,连接AF、CF、EF. V E、F是GC、B】B的中点，.，• CE〃BF且CE=BF,，四边形BFCE是平行四边形，.二CF// B,E. V 正方形BBCC中，E、F 是CC、BB 的中点，EF〃BC 且EF二BC【解答】（1）证明：:底面ABCD是正方形，，BD1AC,又：AQJ_平面ABCD且BDu面ABCD,，AQ_LBD,又：AQCIAC=0, AQu 面由AC, ACu 面AiAC,BD_L面AiAC, AAiU 面MAC, AA」BD.（2）V AiBi/ZAB, AB〃CD, A AB〃CD,又AB=CD,，四边形ABCD 是平行四边形, AiD〃B£,同理A出〃CD“ 同A】Bu 平面AiBD, A&u 平面A[BD, CD。
空间中的垂直
立体几何中的垂直问题知识点归纳：1. 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。
其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足。
证明方法：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
②三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
③向量法2. 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
证明方法：①如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
②向量法3. 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：（1）平行转化：线线平行线面平行面面平行。
（2）垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直。
【典型例题】例1.如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔，高，只有量角器和皮尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？解：在道路边取点，使与道路边所成的水平角等于，再在道路边取一点，使水平角，测得的距离等于，∵是在平面上的射影，且∴（三垂线定理）因此斜线段的长度就是塔顶与道路的距离，∵，∴，在中得，答：电塔顶与道路距离是．例2. 点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．证明：连结，∵，且∴（三垂线定理的逆定理）同理，∴为的垂心，∴，又∵，∴（三垂线定理）例3. 已知：如图，在正方体中，是的中点，是的交点，求证：．证明：，是在面上的射影又∵，∴取中点，连结，∵，∴为在面上的射影，又∵正方形中，分别为的中点，∴，∴（三垂线定理）又∵，∴．例5. 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE。
证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB。
∴MP∥NQ，又AM＝NF，AC＝BF，∴MC＝NB，∠MCP＝∠NBQ＝45°∴Rt△MCP≌Rt△NBQ∴MP＝NQ，故四边形MPQN为平行四边形∴MN∥PQ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE。
空间中的垂直关系
空间中的垂直关系1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间中垂直关系的简单命题．在高考中，对空间垂直关系的考查主要表现在三个方面：一是将关于空间位置关系的定义、判定和性质结合起来，以选择、填空的形式，对有关命题的真假进行判断；二是灵活运用判定定理、性质定理求线面角、二面角，考查空间想象能力及计算能力；三是以几何体为载体，在解答题中以证明的形式，考查线线、线面、面面垂直关系及逻辑推理能力．1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作____________．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做_________．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的________都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的_____________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，当m⊂α，n⊂β时，下列命题正确的是()A．若m∥n，则α∥βB．若m⊥n，则α⊥βC．若m⊥β，则m⊥nD．若n⊥α，则m⊥β设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦值是________．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为____________．(写出所有正确结论的编号)类型一线线垂直问题如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.【评析】本题主要考查线线、线面位置关系．第(1)问证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直；第(2)问证明线面平行，需转化为证明线线平行，由于面A1BD中没有与CC1平行的直线，故需作辅助线．(2013·江苏)如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS ＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.类型二线面垂直问题如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥P-ABCD的体积．【评析】证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；第(2)问的难点在于求底面四边形ABCD的面积，注意充分利用题设条件，先证明底面ABCD是直角梯形，从而求出底面面积，最后求体积．(2013·陕西改编)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2.证明：A1C⊥平面BB1D1D.如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．(1)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； (2)证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M .【评析】求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一．本题还可以利用规则几何体建立空间直角坐标系，利用向量的方法来求解．如图，在三棱锥V -ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC ＝BC ＝a ，∠VDC ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(1)求证：平面VAB ⊥平面VCD ； (2)当角θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB ︵的中点，D为AC 的中点．(1)证明：平面POD ⊥平面P AC ； (2)求二面角B -P A -C 的余弦值．【评析】本题以圆锥为载体，主要考查面面垂直及二面角的计算等．第(1)问是利用隐含的线线、线面垂直得出面面垂直，充分利用圆及圆锥的性质是证明的关键；第(2)问的难点在于如何作出二面角B -P A -C 的平面角，这主要是利用第(1)问面面垂直的性质作图来实现的，在作出二面角的平面角后，构造(或找出)含此角的三角形，计算即可．注意尽量将计算问题放在直角三角形内．(2013·广东)如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ； (2)求二面角A ′CD -B 的平面角的余弦值．1．判断(证明)线线垂直的方法 (1)根据定义；(2)如果直线a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ； (3)如果直线a ⊥面α，c ⊂α，则a ⊥c ；(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零． 2．证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：两相交直线a ，b ⊂α，a ⊥c ，b ⊥c ⇒c ⊥α. (2)a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(3)利用面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m ，a ⊂α，a ⊥m ⇒a ⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ⇒m ⊥γ.3．证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理．在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理的逆定理等结论；(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角；(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥r ⇒β⊥r .4．平面与平面垂直性质的应用 当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．5．注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化6．线面角、二面角求法 求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找) ⇒证⇒求(算)三步曲．也可用射影法：设斜线段AB 在平面α内的射影为A ′B ′，AB 与α所成角为θ，则cos θ＝||A ′B ′||AB ；设△ABC 在平面α内的射影三角形为△A ′B ′C ′，平面ABC 与α所成角为θ，则cos θ＝S △A ′B ′C ′S △ABC.1．下列命题中错误的是( )A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β2．(2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β3．如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：(1)SG⊥平面EFG；(2)SD⊥平面EFG；(3)GF⊥平面SEF；(4)EF⊥平面GSD；(5)GD⊥平面SEF.正确的是()A．(1)和(3) B．(2)和(5)C．(1)和(4) D．(2)和(4)4．(2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB ＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()A．23B．33C．63D．1∴点D到平面ABC的距离为23＝63.故选C.6．把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则BD与平面ABC所成角的正切值为()A． 2 B．22C．1 D．337．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝______时，CF⊥平面B1DF.8．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是_______．9．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，DD1的中点．设点E1是点E在平面DCC1D1内的正投影．(1)证明：直线FG⊥平面FEE1；(2)求异面直线E1G与EA所成角的正弦值．10．如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．(1)证明：平面PBE⊥平面P AC.(2)在BC上是否存在一点F，使AD∥平面PEF？说明理由．解：(1)证明：∵P A⊥底面ABC，BE⊂平面ABC，∴P A⊥BE.又△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，又P A∩AC＝A.∴BE⊥平面P AC.又BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面P AC.(2)存在满足条件的点F，且F是CD的中点．理由：∵E、F分别是AC、CD的中点，∴EF∥AD.而EF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF，∴AD∥平面PEF.11．(2012·湖南)如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.(1)证明：BD⊥PC；(2)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面P AC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．解：(1)证明：因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以P A⊥BD.又AC⊥BD，P A，AC是平面P AC内的两条相交直线，所以BD⊥平面P AC.而PC⊂平面P AC，所以BD⊥PC.(或由三垂线定理直接得出)(2)如图，设AC和BD相交于点O，连接PO，由(1)知，BD⊥平面P AC，所以∠DPO 是直线PD和平面P AC所成的角．从而∠DPO＝30°.由BD⊥平面P AC，PO⊂平面P AC知，BD⊥PO，在Rt△POD中，由∠DPO＝30°，得PD＝2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝3，于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22，所以PD ＝2OD ＝42，P A ＝PD 2－AD 2＝4.故四棱锥P -ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×9×4＝12.(2013·四川)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC＝2AA 1，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 的中点． (1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角A -A 1M -N 的余弦值． 解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，交AB ，AC 于M ，N .∵l ⊄A 1BC ，BC ⊂A 1BC ，∴l ∥平面A 1BC .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴BC ⊥AD ，l ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥l .又∵AD ∩AA 1＝A ，∴直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)连接A 1P ，A 1M ，A 1N ，过A 作AE ⊥A 1P 于E ，过E 作EF ⊥A 1M 于F ，连接AF .由(1)知，MN ⊥平面AEA 1，∴平面AEA 1⊥平面A 1MN .∴AE ⊥平面A 1MN ，则A 1M ⊥AE ，∴A 1M ⊥平面AEF ，则A 1M ⊥AF .故∠AFE 为二面角A -A 1M -N 的平面角(记为θ)，设AA 1＝1，则由AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，有∠BAD ＝60°，AD ＝1.又P 为AD 的中点，∴M 为AB 的中点，且AP ＝12，AM ＝1，∴在Rt △AA 1P 中，A 1P ＝52.在Rt △A 1AM 中，A 1M ＝ 2.由等面积法得AE ＝AA 1·AP A 1P ＝55，AF ＝AA 1·AM A 1M ＝22，∴sin θ＝AE AF ＝105.∴cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫1052＝155.故二面角A -A 1M -N 的余弦值为155.。
30.空间中的垂直关系
§5.5 空间中的垂直关系【基础知识梳理】1.线面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_________________则称这条件直线与这个平面垂直.2.直线和平面垂直的判定定理：如果平面外的一条直线垂直于平面内的_____________线,那么这条直线就和这个平面垂直.3. 直线和平面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线就______________;4.平面与平面垂直的定义：___________________________________________________________;5.平面与平面垂直的判定定理：_______________________________________________________;6.平面与平面垂直的性质定理：_______________________________________________________;7.射影：（1）已知一个平面α和一个点A ，过点A 作α的垂线，与α交于点A ’则A ’就是A 在平面α内的__________简称___________.(2)如果一条直线AB 和平面α相交于点B 但不和α垂直，那么直线AB 叫做_________________,斜线和平面的交点B 叫做________，斜线上一点A 与斜足B 之间的线段叫_______________.【基础知识检测】1. “直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“α⊥l ”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条条件D.既不充分也不必要条件2.下列命题中错误的是 （ ）A ．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线；B ．若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直；C ．若一条直线平行于平面内的一条直线，则此直线平行于这一平面；D ．若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.3.△ABC 所在平面α外一点P ，过P 作PO ⊥α，垂足为O ，连结PA 、PB 、PC.（1）若PA=PB=PC ，则O 为△ABC 的___________心；（2）P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等，且O 在△ABC 内，则O 为△ABC 的__________心；（3）若PA=PB=PC ，且∠C=900，则O 是AB 的____________心；（4）若PA 、PB 、PC 两两垂直，则O 为△ABC 的___________心.NO.30【典型例题探究】题型1. （线线垂直问题）若ABCD 是矩形，SA ⊥面ABCD ，过A 作AE ⊥SB 于E ，过E 作EF ⊥SC 于F ，如图.（1）求证：AF ⊥SC ；（2）若面AEF 交SD 于G ，求证：AG ⊥SD .变式训练：如图AB 是圆O 的直径，C 为圆周上异于AB的任一点，PA ⊥面ABC ，问图中共有多少个Rt △？题型2.（线面垂直问题）P 是△ABC 所在平面外一点，且PA ⊥面ABC ，若O 、Q 分别为△ABC 和△PBC 的垂心，求证：OQ ⊥平面PCB.变式训练：直角三角形ABC 所在平面外一点S ，且SA=SB=SC ，D 为斜边AC 中点.（1）求证：SD ⊥平面ABC ； （2）若AB=BC ，求证：BD ⊥面SAC.S A F E G D CB B题型3. （面面垂直）△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD//EC 且EC=CA=2BD ，M 是EA 的中点.（1）求证：平面BDM ⊥平面ECA ； （2）求证：平面DEA ⊥平面ECA.变式训练： ABCD 是边长为a 的菱形，∠A=600，P C ⊥面ABCD ，PC=a ，E 为PA 中点， 求证：面BDE ⊥面ABCD.【限时过关检测】 班级______ 学号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题( 每小题7分 )1.直线a 、b 、c 满足a ∥b ，b ⊥c,则a 与c 的关系是 （ ）A.异面直线B.平行直线C.垂直D.相交2.设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 （ ）A. l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB. γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC.αγβγα⊥⊥⊥m ,,D. αβα⊥⊥⊥m n n ,,3.若平面α⊥平面β，l =βα ，点l P P ∉∈,α，则下列命题中的真命题有 （ ） ①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线在α内；③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内.A .①②④B .③④C .①②③D .②③④4.在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，现沿AE 、AF 及EF 把该正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合记为H ，那么四面体A —EFH 中必有( ) A.A H ⊥平面EFH B.AG ⊥平面EFHC.HF ⊥平面AEFD.HG ⊥平面AEF A B D C AH F EG5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动,并且总保持AP ⊥BD 1,则动点P 的轨迹是 （ ）A.线段B 1CB.线段BC 1C.BB 1中点与CC 1中点连成的线段D. BC 中点与B 1C 1中点连成的线段6.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线l 1、l 2与同一平面所成的角相等,则l 1、l 2互相平行.④若直线l 1、l 2是异面直线,则与l 1、l 2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是 ( )A.1B.2C.3D.47.若平面α外的一条直线l 与α两条直线都垂直，则直线l 与α的位置关系 （ ）A.l// αB.l ⊥αC.l 与α相交D.无法确定8.空间四边形ABCD 四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是 （ ）A.垂直且相交B.相交但不垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交二、填空题( 每小题7分 )9.βα,是两个不同的平面，m 、n 平面α及β之外的两条不同的直线，，给出四个结论：①m ⊥n ；②βα⊥；③α⊥m ；④β⊥n 以其中三个论断为条件，余下一个为结论，写出你认为正确的一个命题__________________________.（用序号表示）.10.三个平面两两互相垂直，它们的交线交于一点O ，P 到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP 的长为____________________.三、解答题（16分）11.已知空间四边形ABCD 中BC=AC ，AD=BD ，引BE ⊥CD 于E ，作AH ⊥BE 于H.求证：AH ⊥平面BCD.【体验高考】( 每小题7分 )1.（07安徽）设l 、m 、n 均为直线，其中m 、n 在平面α内，“l ⊥α”是“l ⊥m ”且“l ⊥n ”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（07湖北）平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m 1和n 1，给出下列四个命题：①m 1⊥n 1⇒m ⊥n; ②m ⊥n ⇒ m 1⊥n 1；③m 1与n 1相交⇒m 与n 相交或重合; ④m 1与n 1平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是 （ ）A.1B.2C.3D.4。
空间中的垂直关系
空间中的垂直关系1．两条直线互相垂直定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面⎭⎪⎬⎪⎫a∥ba⊥α⇒b⊥α推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b3. 平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β(3)平面与平面垂直的性质定理：文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝al ⊥a⇒l ⊥α1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直． ( ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b . ( ) (4)若α⊥β，a ⊥β⇒a ∥α. ( ) (5)a ⊥α，a ⊂β⇒α⊥β.( )2． (2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β3． 设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A ．a ⊥c ，b ⊥cB ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂β C ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α4． 将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD (如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直5． α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________________________.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是() A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α2. 如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．P A＝PB>PCB．P A＝PB<PCC．P A＝PB＝PCD．P A≠PB≠PC3．在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γB．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥nD．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β4．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()A．A′C′B．BDC．A′D′D．AA′又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.5. 如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长，其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③二、填空题6．已知P为△ABC所在平面外一点，且P A、PB、PC两两垂直，则下列命题：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．7．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．8．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)三、解答题9．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．(1)求证：平面DEC⊥平面BDE；(2)求点A到平面BDE的距离．B组专项能力提升1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则() A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直2．(2012·江苏)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________ cm3.3．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．。
六、空间中的垂直关系
第47讲 │ 知识梳理
4．二面角 半平面 定义：从一条直线出发的两个________所组成的图形叫 棱 做二面角．这条直线叫做二面角的________，这两个半平面 面 叫做二面角的________． 如图 47－2 所示，在二面角 α－l－β 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足， 在半平面 α 和 β 内分别作________于棱 l 垂直 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 二面角 α— l—β 的平面角 构成的∠AOB 叫做______________________．图47－2 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的取值 [0，π] 范围是________，平面角是直角的二面角叫做________． 直二面角 5．两个平面垂直 (1)定义 ：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ________，就说这两个平面互相垂直．
第47讲 │ 要点探究
[2010· 温州模拟] 如图 47－9 所示，直角 △ BCD 所在的平面垂直于正三角形 ABC 所在的平 面，PA⊥平面 ABC，DC＝BC＝2PA，E、F 分别 为 DB、CB 的中点． (1)求证：AE⊥BC； (2)求直线 PF 与平面 BCD 所成的角．
第47讲 │ 知识梳理
(2)两个平面垂直的判定和性质
∠AOB
直二面角
＝90°
垂线
第47讲 │ 知识梳理
二面角的平面角
∠AOB＝90°
交线
另一个平面
第47讲 │ 要点探究 要点探究
► 探究点1 线面垂直的证明 例 1 如图 47－3 所示 Rt△ ABC 所在平面外一点 S，且 SA＝SB＝SC，D 为斜边 AC 的中点． (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.
空间中的垂直
练习．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB，
BC的中点．
(1)求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D；
(2)若在棱DD1上有一点P，使BD1∥平面PMN，
求线段DP与PD1的比．
（2010广东文数）18.（本小题满分14分） 如图4，弧AEC 是半径为 a 的半圆，AC 为直径， 点E为弧AC的中点，点B 和点 C 为线段 AD 的 三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,
l
l
l ⊥
⊥
注: 定义和判定定理都可 以判定平面与平面的垂直.
(3)平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
面面垂直
⊥β ∩β=l
AB AB⊥l ,
线面垂直
}
A
AB⊥β
β
l
B
要记得是我 哦！！！
例1、如图示,AB是圆O的直径,PA垂直于
3. 直线和平面垂直的性质定理
（1）定义——如果一条直线和一个平面垂直 则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
符号表示： l⊥ , n⊂
l⊥n
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行。 a⊥ 符号表示： , b⊥
a // b
a
b
4.直线和平面所成角
1.斜线 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线 2.斜足 斜线和平面相交的交点 3.斜线在平面内的射影 过斜线上斜足以外的一点向平
FB=
5a
（1）证明：EB FD （2）求点B到平面FED的距离.
5．（2010年广东省高三一模）（本小题满分14分） 如图，正方形 ABCD所在平面与三角形 CDE 所在
空间中的垂直关系
例2．已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直 线AP⊥l. 求证：AP在α内。
证明：设AP与l 确定的平面为β，假设AP 不在α内， 则设α与β相交于直线AM。 因为l⊥α，AM 所以l⊥AM，
α,
又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点A有两条直线垂直于l，
这是不可能的， 所以AP一定在α内。
直线与平面垂直的判定方法 1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的 任何一条直线，则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面 内的两条相交直线，那么此直线垂直于这 个平面。 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于同一个平面。 4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这 条直线和平面垂直
例1．过一点和已知平面垂直的直线只有 一条。 已知：平面α和一点P. 求证：过点P与α垂直的直线只有一条。
证明：不论P点在α外或内，设PA⊥α，垂 足为A(或P)， 如果过P点，除直线PA⊥α外，还有一条直 线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β, 且α∩β=a， 于是在平面β内过点P有两条直线PA， PB垂直于交线a， 这是不可能的。所以过点P与α垂直的直 线只有一条。
∵ SC⊥平面ABCD，
∴ EF⊥平面ABCD，
又EF
平面BDE，
∴ 平面BDE⊥平面ABCD.
4． 在长方体ABCD－A1B1C1D1中， AB=BC=3，B1B=4，连接B1C，过B作 BE⊥B1C，交B1C于F，交CC1于E， 求证： 平面BDE⊥平面A1BCD1。 证明：连接AC， ∵ABCD－A1B1C1D1是长 方体， ∴ AA1⊥面ABCD， 又∵ ABCD是正方形， ∴ AC⊥BD，
空间中的垂直关系(1-2)
一. 直线与平面垂直的定义
空间中的垂直
判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 已知：m α, n α, m∩n=B, l⊥m , l⊥n 求证：l⊥α
l
mBn源自判定定理：如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，那么这两个平面相 互垂直.
性质定理：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
已知：平面α⊥平面β，α ∩ β=CD， AB⊥CD.求证：AB⊥β
AB⊂α，
A
证明：在平面β内过B点作BE⊥CD， 又∵AB⊥CD， C
∴∠ABE就是二面角 α—CD—β的平面角， 。 ∴∠ABE=90 即AB⊥BE 又∵CD∩BE=B，
E
B
D
∴AB⊥ β.
空 间 中 的 垂 直
一、线面垂直
1.定义法
2.直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 3. 两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
二、面面垂直 1.两个平面垂直的定义： 相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平 面。 2.两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那 么这两个平面互相垂直。
空间几何中的垂直平面
空间几何中的垂直平面空间几何为我们提供了一种更加全面和深入的方法来理解和描述物体在三维空间中的位置和运动。
其中，垂直平面是一个重要的概念，它在几何学和实际应用中都起到了关键作用。
本文将对空间几何中的垂直平面进行探讨，从定义、性质、应用等方面进行阐述。
一、定义空间中的垂直平面指的是与给定平面垂直相交的平面。
在三维坐标系中，我们通常使用x、y和z轴来表示空间的三个方向。
如果一个平面和x、y轴或者y、z轴或者x、z轴两两垂直，则这个平面就是垂直平面。
二、性质1. 垂直平面的法向量与给定平面的法向量垂直。
根据向量的性质，两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。
因此，如果一个平面的法向量为n=(a,b,c)，则垂直平面的法向量为m=(-b,a,0)或m=(0,-c,b)或m=(c,0,-a)。
2. 垂直平面与给定平面的交线与给定平面的法向量垂直。
由于交线上的任何一点都在垂直平面上，而垂直平面的法向量与给定平面的法向量垂直，所以交线与给定平面的法向量垂直。
三、应用1. 几何定理的证明。
在证明几何定理时，我们通常可以通过构造与给定平面垂直相交的垂直平面来简化问题。
例如，在证明两条直线相交于一点时，我们可以通过构造与这两条直线垂直相交的平面来得出结论。
2. 计算几何中的问题求解。
垂直平面的性质可以用于求解计算几何中的一些问题，如判断两个向量是否垂直、求解二维平面上的直线、求解空间中两个平面的夹角等等。
3. 工程应用。
在建筑、机械、电子等工程领域，垂直平面的概念被广泛应用。
例如，在建筑设计中，我们需要确定建筑物的立面和剖面，这就需要用到垂直平面的概念。
在机械设计中，通过构造垂直平面可以帮助我们确定零件的尺寸和位置关系，保证机械装置的运动和功能正常。
综上所述，空间几何中的垂直平面是与给定平面垂直相交的平面。
它具有一些特殊的性质，如法向量垂直、交线垂直等。
垂直平面在数学证明、计算几何和工程应用中都有重要的作用。
了解和掌握垂直平面的概念和性质，对于深入理解空间几何以及解决相关问题具有重要意义。
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立体几何中的垂直问题知识点归纳：1. 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。
其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足。
证明方法：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
②三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
③向量法2. 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
证明方法：①如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
②向量法3. 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：（1）平行转化：线线平行线面平行面面平行。
（2）垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直。
【典型例题】例1.如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔，高，只有量角器和皮尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？解：在道路边取点，使与道路边所成的水平角等于，再在道路边取一点，使水平角，测得的距离等于，∵是在平面上的射影，且∴（三垂线定理）因此斜线段的长度就是塔顶与道路的距离，∵，∴，在中得，答：电塔顶与道路距离是．例2. 点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．证明：连结，∵，且∴（三垂线定理的逆定理）同理，∴为的垂心，∴，又∵，∴（三垂线定理）例3. 已知：如图，在正方体中，是的中点，是的交点，求证：．证明：，是在面上的射影又∵，∴取中点，连结，∵，∴为在面上的射影，又∵正方形中，分别为的中点，∴，∴（三垂线定理）又∵，∴．例5. 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE。
证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB。
∴MP∥NQ，又AM＝NF，AC＝BF，∴MC＝NB，∠MCP＝∠NBQ＝45°∴Rt△MCP≌Rt△NBQ∴MP＝NQ，故四边形MPQN为平行四边形∴MN∥PQ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE。
证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，∴连结NH，由BF＝AC，FN＝AM，得∴NH//AF//BE由MH//BC，NH//BE得：平面MNH//平面BCE∴MN∥平面BCE。
例6. 在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC。
（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；（3）AM＝MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由。
（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C∴AD⊥CC1。
（2）证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1∵A1B1＝A1C1，∴A1C1＝A1N＝A1B1∴C1N⊥C1B1∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C。
（3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下面证必要性。
过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C。
∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点∴AM＝DE＝AA1，∴AM＝MA1。
例7.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1＝B1C1＝2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直。
（1）求证：AB1⊥C1D1；（2）求证：AB1⊥面A1CD；（3）若AB1＝3，求直线AC与平面A1CD所成的角。
（1）证明：∵A1C1＝B1C1，D1是A1B1的中点，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1。
（2）证明：连结D1D，∵D是AB中点，∴DD1CC1，∴C1D1∥CD，由（1）得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂线定理得BD1⊥AB1，又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D＝D，∴AB1⊥平面A1CD。
（3）解：由（2）AB1⊥平面A1CD于O，连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，∵AB1＝3，AC＝A1C1＝2，∴AO＝1，∴sin∠OCA＝，∴∠OCA＝。
例8. 在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，又侧棱PA⊥底面ABCD。
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论。
（2）当a＝4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM。
（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围。
分析：本题第（1）问是寻求BD⊥平面PAC的条件，即BD垂直平面PAC内两相交直线，易知BD⊥PA，问题归结为a为何值时，BD⊥AC，从而知ABCD为正方形。
（1）解：当a＝2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC。
又∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面PAC。
故当a＝2时，BD⊥平面PAC。
（2）证明：当a＝4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN。
∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD＝∠AMN＋∠DMN＝45°＋45°＝90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a＝4时，BC边的中点M使PM⊥DM。
（3）解：设M是BC边上符合题设的点M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM。
因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求。
点评：本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的。
【模拟试题】1. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（）A. B. C. D.2. 在直二面角α—l—β中，直线aα，直线bβ，a、b与l斜交，则（）A. a不和b垂直，但可能a∥bB. a可能和b垂直，也可能a∥bC. a不和b垂直，a也不和b平行D. a不和b平行，但可能a⊥b3. 设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z X∥Y”为真命题的是_________（填序号）。
①X、Y、Z是直线②X、Y是直线，Z是平面③Z是直线，X、Y是平面④X、Y、Z是平面4. 设a，b是异面直线，下列命题正确的是_________。
①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直③过a一定可以作一个平面与b垂直④过a一定可以作一个平面与b平行5. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点。
（1）求证：CD⊥PD；（2）求证：EF∥平面PAD；（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？6. 在三棱锥S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB边的高CD 上，点M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求证：SC⊥截面MAB。
7. 如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD、BC的截面EFGH 分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H。
（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由。
（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明。
8. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F 在BC上且满足BF∶FC＝1∶3。
（1）若M为AB中点，求证：BB1∥平面EFM；（2）求证：EF⊥BC；（3）求二面角A1—B1D—C1的大小。
9. 如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°。
（1）证明：C1C⊥BD；（2）假定CD＝2，CC1＝，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？【试题答案】1. 解析：如图，设A1C1∩B1D1＝O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H的长即是点A1到平面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1＝，AO1＝3，由A1O1·A1A ＝h·AO1，可得A1H＝。
答案：C2. 解析：如图，在l上任取一点P，过P分别在α、β内作a′∥a，b′∥b，在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β，过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，∴△APB为直角三角形，故∠APB为锐角。
答案：C3. 解析：①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例。
答案：②③4. ④5. 证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD。
（2）取CD中点G，连EG、FG，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD（3）解：当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥平面PCD证明：G为CD中点，则EG⊥CD，由（1）知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角即∠EGF＝45°，从而得∠ADP＝45°，AD＝AP 由Rt△PAE≌Rt△CBE，得PE＝CE又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF 即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD。
6. 证明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SC连结MD∵∠MDC ＝∠NSC，∴DM⊥SC∵AB∩DM＝D，∴SC⊥截面MAB。