第二章 波动力学基础

第二章波动力学基础

§2.1波函数的统计解释

按照德布罗意的观念，和每个粒子相联系的，都有一个波。怎么理解粒子性和波动性之NJ 的联系，这是 量子力学首先碰到的一个根本问题。

能否认为波由粒子所组成?答案是否定的。因为粒子束的单缝或双缝等实验表明，若减小入射粒子流的强度，让粒子近似地一个一个地从粒子源射出，实验发现，虽则开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍会出现衍射花样。这说明，粒子的衍射现象与是否有其他粒子无关。如果波由粒子组成，波的干涉、衍射等现象必然依赖于粒子间的相互作用。这和上述实验结果矛盾。实际上，单个粒子也有波动性。

那么，能否认为粒子由波所组成.比方，是否可以认为粒子就是波包?答案也是否定的。以自由粒子为例。对于自由粒子，由于不受外力场的作用，粒子的能量E 和动量P 均为常矢量。按德布罗意关系(1.4.1)和(1.4. 2)式，和自由粒子相联系的波的频率。，波矢k 均为常数及常矢量。因此和自由粒子相联系的波是平面波。即

()()Et r p h i t r k i Ae Ae -∙-∙==ωϕ （2.1.1）

其振幅A 与坐标无关。因此它充满全空间。若认为自由粒子由波组成，则一个自由粒子将占据整个空间，这当然是不合理的。而且，自由粒子的德布罗意波的相速度是k 的函数，按§1.4，必然存在色散。如果把自由粒子看成是个物质波包，即使在真空中，也会因为存在色散而使粒子自动解体。这当然与实际情况不符。 在历史上，对波粒二象性和波函数的解释，一直是有争议的。即使到现代，也仍然有不同观点。而且持不同观点的人有些还是量子力学的奠基人之一。但被物理学家们普遍接受的波函数的解释是玻恩(M. Barn)提出的统计解释。他认为，粒子在衍射或干涉实验中所揭示的波动性质，既可以看成是大量粒子在同一个实验中的统计结果，也可以认为是单个粒子在许多次相同实验中显示的统计结果。感光底片在r 处的强度，与打在该点的粒子数成正比，也和波函数在该点的振幅的绝对值的平方成正比。波函数所刻划的实际上是粒子在某时刻在空间的几率分布。事实上，通常波动性总是指某种物理量在空间的分布呈周期性变化，并且由于波的相干叠加，而出现干涉和衍射等现象。而在玻恩的统计解释中，他保留了

波的最重要的特性一一相干叠加，不过，他把“某种物理量”改为“粒子出现的几率”。玻恩提出的波函数统计解释是:波函数在某一时刻在空间中某一点的强度，即其振幅绝对值的平方和在这一点中找到粒子的几率成正比，和粒子相联系的波是概率波。

按照波函数的统计解释，有：

(1)由于()2

,t r ϕ给出在t 时刻，粒子出现在r 处的概率密度，因此原则上我们可由统计平均值公式

(

)()⎰⎰**=dr dr

r f r f ψϕψϕ （2.1.2）

求出描述体系状态的力学量f(r)的平均值()r f 。在这种意义下，一般认为，φ(r,t)描述了微观粒子的运动状态，即量子态。然而应该指出，在量子力学中对量子态的描述和经典力学中对状态的描述有根本不同。在经典力学中描述状态靠给定一些力学量，如广义动量，广义坐标等等，在热力学中描述体系的宏观状态靠给出一些宏观量，如压强、温度、体积以及状态方程。但在量子力学中，描述粒子的量子态靠给定波函数沪，但砂本身不是力学变量，也不具有任何经典物理学中物理量的意义。由幼所给定的只是在它所描述的量子态中，测量某力学量的平均值或者这个力学量的各种可能值和出现这些可能值的相应的几率。至于这种描述是否完备以及在这种描述的背后是否还隐藏着某些更深刻的东西，或者某些“隐变数”，这是争论极多的问题。有兴趣的读者可参阅本书的第十二章。

(2)由于粒子在某一时刻在空间中某点出现的几率应该单值，因此，除个别孤立奇点外，波函数P(r,t)应该是;的单值、有界和连续函数。

{3}在非相对论量子力学中，若仅限于波函数的统计解释，则因统计解释中只涉及波函数的振幅，因此存在下述不确定性:

(i)常数因子的不确定性。若C 为常数，则扒r,t)和C},(r,t)描述同一个物理状态。因为它们的相对几率相同: ()

()()()22212221,,,,t r C t r C t r t r ψψψψ=

φ和C φ表示同一个概率波。通常，C 由总的概率为1的归一条件决定。

(ii)相角的不确定性。由于φ(r,t)与φ(r,t)e i α

(α为实常数)的模相同，因此α不定。这说明，只限于统计解释还不能完全穷尽对波函数的认识。越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重要的物理概念。

(4)对于许多物理态，由于粒子总要在全空间中出现，是必然事件。粒子在全空间中出现的几率为la 因此一般应要求，波函数φ(r,t)应该是平方可积函数，是可归一化的，即 ()⎰∞=1,2

dr t r ψ (2.1.3) 但应该指出，并非所有波函数均可用(2.1.3)式的方式归一化。例如平面波(2.1.1)式，就不是平方可积函数。对于这一类在无穷远处φ不趋于零的波函数，其归一化问题我们将另行讨论。

(5)容易将波函数统计解释推广到多粒子体系。设体系由N 个粒子组成。φ(r 1,r 2，…,r N ,t)是描述这个体系状态的波函数，则()N N dr dr dr t r r r .....,,...,,212

21ψ 表示在t 时刻第一个粒子出现在111dr r r +→,第二个粒子出现在,....222dr r r +→，第N 个粒子出现在N N N dr r r +→的几率。相应的归一化条件是:

()⎰∞=1...,,...,,212

21N N dr dr dr t r r r ψ (2.1.4) (6)显然，描述粒子微观运动的波函数不仅可用坐标r 、时间t 为自变量，也可以用其他变量，比如用动量p 为自变量。以p 、t 为独立变量的波函数C(p,t)，它的物理意义是()dp t p C 2

,表示在，t 时刻，粒子的动量在dp p p +→的几率，相应的归一化条件是

()⎰∞=1,2

dp t p C (2.1.5) C(p,t)为动量几率分布函数。对于描述粒子的微观状态,C(p,t)起着和φ(r,t)相同的作用。于是自然会问,C(p,t)和φ(r }t)之间的关系是什么?我们将在下一节中回答这个问题。

§2. 2态叠加原理