数学高考圆锥曲线压轴题

数学高考圆锥曲线压轴题经典预测

一、圆锥曲线中的定值问题

★★椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝,2)，a＋b＝3．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值．

★★如图，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）经过点P（1，），离心率e＝，直线l的方程为x＝4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

★★椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为,2)，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．

二、圆锥曲线中的最值问题

★★在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为,2)，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为,5)．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．

（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．

★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l 交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，

（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

★★★如图，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2＝,2)，且|F2F4|＝－1．

（Ⅰ）求C1、C2的方程；

（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题

★★设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．

（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．

四、圆锥曲线与求参数

★★在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为,2)．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为,4)的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE 交椭圆C与点P，设＝t，求实数t的值．

五、存在性问题

★★如图，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）过点(1，,2))，离心率为,2)，左、右焦点分别为F1、F2．点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2．

①证明：－＝2；

②问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA ＋k OB＋k OC＋k OD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

六、轨迹方程

★★已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（，）．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．