2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题及答案
2021年高考真题及答案解析《数学》(新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷,共2套)
机密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学(适用地区：山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建)本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,42.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i- B.42i- C.62i + D.42i+3.，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B. C.4D.4.下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A .65-B.25-C.25D.657.若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（）A.e b a <B.e a b <C.0e ba << D.0e ab <<8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A.12OP OP =B.12AP AP =C.312OA OP OP OP ⋅=⋅D.123OA OP OP OP ⋅=⋅11.已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，PB =D.当PBA ∠最大时，PB =12.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A.当1λ=时，1AB P △的周长为定值B.当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C.当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D.当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()322xx xa f x -=⋅-是偶函数，则a =______.14.已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.15.函数()212ln f x x x =--的最小值为______.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.22.已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.机密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学（答案解析）(适用地区：山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建)本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i -B.42i- C.62i+ D.42i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()22262z z i i i i +=-+=+故选：C.3.，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.C.4D.【答案】B 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l ππ=l =.故选：B.4.下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．5.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C 【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．6.若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65【答案】C 【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．7.若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（）A.e b a < B.e a b <C.0e b a << D.0e ab <<【答案】D 【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁，，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD 【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD10.已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A .12OP OP =B.12AP AP =C.312OA OP OP OP ⋅=⋅ D.123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【分析】A 、B 写出1OP ，2OP、1AP uuu r ，2AP uuu r的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα= ，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β= ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=---cos cos 2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选：AC11.已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，PB =D.当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【解析】【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB45==>，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM =，4MP =，由勾股定理可得BP ==CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.12.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A.当1λ=时，1AB P △的周长为定值B.当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C.当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D.当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．【详解】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1λ=时，11=BP BC BB BC CC μμ=++，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A 错误；对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB B C λλ=++ ，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12λ=时，112BP BC BB μ=+ ，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH μ=+ ，所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1,0,12A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0P μ,，10,,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1,0,12A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,2BP μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()10μμ-=，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+ ，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+ ，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为0,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以01,,22AP y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，11,122A B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()322xx x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322xx xa f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：114.已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【解析】【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】不妨设(,)(6,0),(6,)22p pP p Q PQ p ∴+=-uu u r 因为PQ OP ⊥，所以260032p p p p ⨯-=>∴=∴Q C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15.函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增；∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .【答案】(1).5(2).()41537202n n -+-【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）对折4次可得到如下规格：5124dm dm ⨯，562dm dm ⨯，53dm dm ⨯，3102dm dm ⨯，3204dm dm ⨯，共5种；（2）由题意可得12120S =⨯，2360S =⨯，3430S =⨯，4515S =⨯， ，()112012n n n S -+=，设()012112011202120312042222n n S -+⨯⨯⨯=++++L ，则()121120111202120312022222n nn n S -+⨯⨯=++++ ，两式作差得()()12116011201120111112240120240122222212n n n nn n S --⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎪⎝⎭- ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022nn n n S -++=-=-.故答案为：5；()41537202n n -+-.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}na 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300.【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++- ，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B 类．【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．19.记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC∠.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33b bBD b AD DC ===，应用余弦定理求cos ADB ∠、cos CDB ∠，又ADB CDB π∠=-∠，可得42221123b b a a +=，结合已知及余弦定理即可求cos ABC ∠.【详解】（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b bBD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅，∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB CDB π∠=-∠得到,,a b c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ABC ∠.20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)详见解析(2)36【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F,作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD,AO ⊥CD所以EF ⊥BD,EF ⊥CD,BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FM EF F =I ,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥MF 则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角,4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以OCD 为直角三角形因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF ∴==+=从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥Q 平面BCD,所以11131133326BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点()1F、)2122F MF MF -=，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB 与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ⋅的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ⋅的表达式，由TA TB TP TQ ⋅=⋅化简可得12k k +的值.【详解】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()1ln 1ln f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>.因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <，要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<.设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->，则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立，故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.机密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅱ卷）数学(适用地区：海南、辽宁、重庆)一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A .{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}3.抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（）A.1B.2C. D.44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A .26%B.34%C.42%D.50%5.正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A.20+B.C.563D.36.某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等7.已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（）A.c b a<< B.b a c<< C.a c b<< D.a b c<<8.已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A.102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.()10f -=C.()20f =D.()40f =二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A.样本12,,,n x x x 的标准差B.样本12,,,n x x x 的中位数C.样本12,,,n x x x 的极差D.样本12,,,n x x x 的平均数10.如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（）A. B.C. D.11.已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切12.设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（）A.()()2n n ωω=B.()()231n n ωω+=+C.()()8543n n ωω+=+ D.()21n nω-=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数．15.已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．16.已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．18.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19.在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．。
2021年全国新高考Ⅰ、II卷数学试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将式子进行齐次化处理，代入 即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
7.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（）
【答案】(1).5(2).
【解析】
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）对折 次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共 种；
（2）由题意可得 ， ， ， ， ， ，
设 ，
则 ，
两式作差得
，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：数列求和 常用方法：
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求 的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数．
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案(新高考1卷,适用于山东、湖北、江苏、河北等
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝{x|−2<x<4}，B＝{2， 3， 4， 5}，则A∩B＝( )A．{2}B．{2， 3}C．{3， 4}D．{2， 3， 4}2．已知z＝2−i，则z(z̄＋i)＝( )A．6−2i B．4−2i C．6＋2i D．4＋2i3．已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A．2B．2√2C．4D．4√24．下列区间中，函数f(x)＝7sin(x−π6)单调递增的区间是( )A．(0， π2)B．(π2， π)C．(π， 3π2)D．(3π2， 2π)5．已知F1，F2是椭圆C： x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为( )A．13B．12C．9D．6 6．若tanθ＝−2，则sinθ(1＋sin2θ)sinθ＋cosθ＝( )A．−65B．−25C．25D．657．若过点(a， b)可以作曲线y＝e x的两条切线，则( )A．e b<a B．e a<b C．0<a<e b D．0<b<e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年全国新高考Ⅰ卷高考数学中真题试卷及答案解析【完整版】
2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．44．下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）5．已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．66．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin （α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||B．||＝||C．•＝•D．•＝•11．已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝312．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考真题数学【新高考全国Ⅰ卷】(山东卷)(含解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学一、单选题1.设集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，则A B = （）A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}答案：B 解析：{2,3}A B = ，选B.2.已知2z i =-，则()z z i +=（）A.62i -B.42i -C.62i +D.42i +答案：C 解析：2,()(2)(22)62z i z z i i i i =++=-+=+，选C.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B. C.4D.答案：B解析：设母线长为l，则l l π=⇒=.4.下列区间中，函数()7sin()6f x x π=-单调递增的区间是（）A.(0,)2πB.(,)2ππC.3(,)2ππD.3(,2)2ππ答案：A 解析：()f x 单调递增区间为：222()22()26233k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈，令0k =，故选A.5.已知1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6答案：C 解析：由椭圆定义，12||||6MF MF +=，则21212||||||||(92MF MF MF MF +≤=，故选C.6.若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65答案：C 解析：22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθ+++=++22222sin sin cos tan tan 2sin cos tan 15θθθθθθθθ++===++，故选C.7.若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则（）A.b e a <B.a e b <C.0b a e <<D.0a b e <<答案：D 解析：设切点为00(,)P x y ，∵xy e =，∴xy e '=，则切线斜率0xk e =，切线方程为0()xy b e x a -=-，又∵00(,)P x y 在切线上以及xy e =上，则有000()x x eb e x a -=-，整理得00(1)0x ex a b --+=，令()(1)xg x e x a b =--+，则()()xg x e x a '=-，∴()g x 在(,)a -∞单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()g x 在x a =时取到极小值即最小值()ag a b e =-，又由已知过(,)a b 可作xy e =的两条切线，等价于()(1)xg x e x a b =--+有两个不同的零点，则min ()()0ag x g a b e==-<，得a e b >，又当x →-∞时，(1)0xe x a --→，则(1)xe x a b b --+→，∴0b >，当1x a a =+>时，有(1)0g a b +=>，即()g x 有两个不同的零点.∴0ab e <<.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立答案：B 解析：由题意知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，两点数和为7的所有可能为：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，∴1()6P =甲，11()166P =⨯=乙，5()36P =丙，61()=366P =丁，()0P =甲丙，1()36P =甲丁，1()36P =乙丙，()0P =丙丁，故()()()P P P =⋅甲丁甲丁，B 正确，故选B.二、多选题9.有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中1(1,2,)i y x c i n =+= ，c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同答案：C、D 解析：对于A 选项：121n x x x x n +++= ，1212n ny y y x x x y c n n++++++==+ ，∴x y ≠，∴A 错误；对于B 选项：可假设数据样本12,,,n x x x 中位数为m ，由i i y x c =+可知数据样本12,,,n y y y 的中位数为m c +，∴B 错误；对于C选项：1S =2S =1S ==，∴C 正确；对于D 选项：∵i i y x c=+，∴两组样本数据极差相同，∴D 正确。
2021年高考数学新高考1卷含参考答案解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（新高考1卷）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡.上对应题目洗面的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.设集合A={x|−2<x<4},B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}2.已知z=2−i，则z(z+i)=（）A.6−2iB.4−2iC.6+2iD.4+2i3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.2√2C.4D.4√24.下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是（）A.(0,π2) B.(π2,π) C.(π,3π2) D.(3π2,2π)5.已知F1，F2是椭圆C:x 29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.66.若tanθ=−2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=( )A.−65B. A.−25C.25D.657.若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则( )A.e b<aB.e a<bC.0<a<e bD.0<b<e a8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021全国新高考1卷数学试卷(及答案)
18．（12 分） 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在
两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束．A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题 回答正确得 80 分，否则得 0 分。
A．点 P 到直线 AB 的距离小于 10
B．点 P 到直线 AB 的距离大于 2
C．当 ∠PBA 最小时， | PB | = 3 2
D．当 ∠PBA 最大时， | PB | = 3 2
uuur uuur uuur 12．在 正三棱柱 ABC − A1B1C1 中 ， A=B A= A1 1 ，点 P 满 足= BP λBC + μBB1 ， 其中
每次取 1 个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取
出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两
次取出的球的数字之和是 7”，则
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
A． (0, π ) 2
B． ( π , π) 2
C． (π, 3π ) 2
D． (3π , 2π) 2
5．已知
F1
，
F2
是椭圆
C：x2 9
+
y2 4
= 1的两个焦点，点 M
在 C 上，则 | MF1 | ⋅ | MF2
| 的最
2021年新高考全国卷Ⅰ数学答案与解析
2021年新高考全国一卷数学试题答案与解析一、选择1.设集合A={x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=A {2}B {2,3} C{3,4,} D{2,3,4}注意：本题是寻找范围内的整数点，注意边界的取舍问题答案：B2.A 6-2i B4-2i C6+2i D4+2i答案：C3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A 2BC 4 D4.下列区间中，函数单调递增的区间是??.已知F1,F2是椭圆C：的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A13 B12 C9 D66.若答案：C答案：D答案：B 二、多选答案：CD答案：AC答案：ACD答案：BD三、填空13.已知函数f(x)=是偶函数，则a=______(1)14.已知O为坐标原点，抛物线C:的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为________(x=)15. 函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为_________(1)16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dmXl2dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dmX2dm . 20dmX6dm两种规格的图形，它们的面积之和=240 dm2,对折2次共可以得5dmX12dm ，10dmX6dm，20dmX3dm三种规格的图形,它们的面积之和180dm2.以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______:如果对折n次，那么=______dm2四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22.（1）f(x)=x-xlnx令f’(x)＞0，则0＜x＜1，令f’(x)＜0，则x＞1∴f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,+∞).(2)即，即f()=f()令p=，q=，不妨设0＜p＜1＜q，下面证明2＜p+q＜e.①先证p+q＞2，当p≥2时结论显然成立.当q∈(1,2)时，p+q＞2,，则p＞2-q，∴2-q＜1.只需设f(p)＞f(2-q). 即证当q∈(1,2)时，由f(p)＞f(2-q)令g(x)=f(x)-f(2-x).g’(x)=f’(x)+f’(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[-(x-1)2+1]当x∈(1,2)时，-(x-1)2+1＜1，所以g’(x)＞0,∴g(x)在(1,2)上单调递增，∴g(q)＞g(1)=0，即f(q)＞f(2-q)②再设,当时，，当时，∴∵∴要证只需证即证当时，有设，，。
2021年高考数学真题试卷(新高考Ⅰ卷)附答案解析
；如果对折 n 次，那么
=
dm.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。（共 6 题；共 70 分）
17.已知数列{ }满足 =1，
（1）记 （2）求
= ，写出 ， 的前 20 项和
，并求数列
的通项公式；
18.某学校组织"一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题・每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从 中随机抽収一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一 个问題回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分：B 类问题中的每个问题 回答正确得 80 分，否则得 0 分。
13.已知函数 f(x)=
是偶函数，则 a=
14.已知O 为坐标原点，抛物线 C:
的焦点为 F,P 为 C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为 x 轴上
一点，且 PQ⊥OP,若|FQ|=6，则 C 的准线方程为 15.函数 f(x) =|2x-l|-2lnx 的最小值为
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为 20dm×12dm
，点 P满足
则（） A . 当 λ=1 时，△ P 的周长为定值
B.当 =1 时，三棱锥P-A1BC 的体积为定值
C . 当 λ= 时，有且仅有一个点P，使得
，其中λ∈[0,1]， ∈[0,1]，
D.当 = 时，有且仅有一个点 P，使得 B⊥平面A P
三、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分（共 4 题；共 20 分）
常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷及答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}2.已知z=2-i，则(z(z⃗+i)=A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A.2B.2√2C.4D.4√24.下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是A.(0,π2) B.(π2,π) C.( π,3π2) D.(3π2,2 π)5.已知F1,F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13B.12C.9D.66.若tanθ=-2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=A.−65B. −25 C. 25 D. 657.若过点（a,b)可以作曲线y=e x 的两条切线，则 A. e b <a B. e a <b C. 0<a<e b D. 0<b<e a8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021全国新高考1卷数学试卷(及答案)
7
sin
x
−
π 6
单调递增的区间是（
）
A．
0，π 2
B．
π 2
,π
C．
π
,
3π 2
D．
3π 2
,
2π
【答案】A
x2 5．已知 F1 ，F2 是椭圆 C ： 9
+
y2 4
= 1 的两个焦点，点 M 在 C 上，则
MF1
⋅
MF2
的最大值为
（）
A．13
B．12
C． 9
D． 6
【答案】C
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在 试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1．设集合 A= {x | −2 < x < 4} ， B = {2,3, 4,5} ，则 A B = （ ）
2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）注意事项：在答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。
回答选择题时，选出每小题的答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.(5分) 设集合A={x|-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A。
{2} B。
{2,3} C。
{3,4} D。
{2,3,4}2.(5分) 已知z=2-i，则|z-3i|=（）A。
6-2i B。
4-2i C。
6+2i D。
4+2i3.(5分) 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。
2 B。
4 C。
4√2 D。
2√24.(5分) 下列区间中，函数f(x)=7sin(x)单调递增的区间是（）A。
(0,π/2) B。
(π/2,π) C。
(π,3π/2) D。
(3π/2,2π)5.(5分) 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（）A。
13 B。
12 C。
9 D。
66.(5分) 若tanθ=-2，则cos2θ=（）A。
-3/5 B。
-4/5 C。
-24/25 D。
-7/257.(5分) 若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（）XXX<a B。
ea<b C。
0<a<eb D。
0<b<ea8.(5分) 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“两次取到的数字和为偶数”，乙表示事件“两次取到的数字都是奇数”，则P(甲∪乙)=（）A。
2/3 B。
5/9 C。
7/9 D。
2021年全国统一新高考数学试卷(新高考1卷)
2021年全国统一新高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|24}A x x =-<<，{2B =，3，4，5}，则(A B = )A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}2．已知2z i =-，则()(z z i +=)A．62i -B．42i -C．62i +D．42i+，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2B．C．4D．4．下列区间中，函数()7sin(6f x x π=-单调递增的区间是()A．(0,)2πB．(2π，)πC．3(,)2ππD．3(2π，2)π5．已知1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为()A．13B．12C．9D．66．若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)(sin cos θθθθ+=+)A．65-B．25-C．25D．657．若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则()A．b e a<B．a e b<C．0b a e <<D．0ab e <<8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据1x ，2x ，⋯，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，⋯，n y ，其中(1i i y x c i =+=，2，⋯，)n ，c 为非零常数，则()A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，则()A．12||||OP OP = B．12||||AP AP =C．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 11．已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则()A．点P 到直线AB 的距离小于10B．点P 到直线AB 的距离大于2C．当PBA ∠最小时，||PB =D．当PBA ∠最大时，||PB =12．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[0λ∈，1]，[0μ∈，1]，则()A．当1λ=时，△1AB P 的周长为定值B．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP⊥D．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年全国统一新高考数学试卷(新高考1卷)
2021年全国统一新高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|24}A x x =-<<，{2B =，3，4，5}，则(A B = )A ．{2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{2，3，4}2．已知2z i =-，则()(z z i += )A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i + 3( )A ．2B ．C ．4D ．4．下列区间中，函数()7sin()6f x x π=-单调递增的区间是( )A ．(0,)2πB ．(2π，)π C ．3(,)2ππ D ．3(2π，2)π5．已知1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为( )A ．13B ．12C ．9D ．66．若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)(sin cos θθθθ+=+ )A ．65-B ．25-C ．25D ．657．若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( ) A ．b e a <B ．a e b <C ．0b a e <<D ．0a b e <<8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据1x ，2x ，⋯，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，⋯，n y ，其中(1i i y x c i =+=，2，⋯，)n ，c 为非零常数，则( )A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同10．已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，则( )A ．12||||OP OP =B ．12||||AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅11．已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则( )A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，||PB =D ．当PBA ∠最大时，||32PB =12．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[0λ∈，1]，[0μ∈，1]，则( )A ．当1λ=时，△1AB P 的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021高考数学全国卷1卷试题及答案详解
绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试理科数学满分150分．用时120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若1z i =+，则22z z -=A ．0B ．1C 2D ．22．设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a =A ．4-B ．2-C ．2D ．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 51-B 51-C 51+D 51+4．已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ︒）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()(),1,2,,20i i x y i =得到下面的散点图示意：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．ln y a b x =+6．函数43()2f x x x =-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为 A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7．设函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[],ππ-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A ．109π B ．76π C ．43π D ．32π 8．25()()y x x y x ++的展开式中33x y 的系数为A ．5B ．10C ．15D ．209．已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A ．53B ．23 C ．13D ．5910．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC △的外接圆．若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知22:2220M x y x y +---=，且直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当AB PM ⋅最小时，直线AB 的方程为A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a b a b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若,x y 满足约束条件2201010x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩，则7z x y =+的最大值是________．14．设,a b 为单位向量，且1+=a b ，则-=a b ________．15．已知F 为双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 斜率为3，则C 的离心率为_______．16．如图所示，在三棱锥P ABC -的平面展开图中1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ︒∠=，则cos FCB ∠=__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前项和．18．（12分）如图所示，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，66PO DO =． （1）证明：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC E --的余弦值．19．（12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12． （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率．20．（12分）已知,A B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=．P为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．21．（12分）已知函数()2x f x e ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin kkx ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()3121f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图象；（2）求不等式()()1f x f x >+的解集．参考答案一、选择题15DBCCD - 610BCCAA - 11.D 12.B二、填空题13.1 14.3 15.2 116.4-三、解答题17.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+∴220q q +-=，解得1q =（舍去）或2q =-. ∴{}n a 的公比为2-.（2）记n S 为{}n na 的前n 项和，由（1）及题设可知()12n n a -=-，∴ ()()11222n n S n -=+⨯-++⨯- ①()()()2222212nn S n -=-+⨯-++-⨯- ②由①②得()()()()21312222n nn S n -=+-+-++--⨯-()()1223nnn --=-⨯-∴()()312199nn n S +-=- 18.解：（1）设DO a =，由题设可得63,,63PO a AO a AB a ===，22PA PB PC a ===， ∴222PA PB AB +=，∴PA PB ⊥，又222PA PC AC +=，∴PA PC ⊥， ∴PA ⊥平面PBC（2）以O 为坐标原点,OE 方向为y 轴正方向,OE 为单位长， 建立如图的空间直角坐标系O xyz -. 由题设可得()()310,1,0,0,1,0,,,022E A C ⎛⎫--⎪⎝⎭， xyz0,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴31,,0,0.1,222EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题(解析版pdf)
【详解】因为，故 ，故 2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名.考生号.考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {x -2 < x < 4}，B = {2, 3, 4, 5}，则A B = （ ）A.{2}【. 案】B B.{2, 3} C.{3, 4} D.{2,3, 4} 【解析】【分析】利用交集的定义可求 A B . 【详解】由题设有 A ⋂ B = {2, 3}，故选：B .2.已知 z = 2 - i ，则z (z + i )=（ ）A.6 - 2i【答案】C 【解析】B.4 - 2iC.6 + 2iD.4 + 2i【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.z = 2 - i z = 2 + i z (z + i )= (2 - i )(2 + 2i )= 6 + 2i故选：C.3. 已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A. 2B. 2 【答案】BC. 4D. 4 2 222 2 ( )【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl = 2π⨯，解得l = 2 .故选：B.f (x )= 7 sin ⎛ x - π⎫6 ⎪ 4.下列区间中，函数⎝ ⎭ 单调递增的区间是（ ）⎛ 0, π⎫ ⎛ π , π ⎫⎛π, 3π⎫ ⎛ 3π, 2π⎫2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 2⎪ A. ⎝ ⎭ B. ⎝ ⎭ C. ⎝⎭ D. ⎝⎭ 【答案】A 【解析】【分析】解不等式2k π-(k ∈ Z )，利用赋值法可得出结论. ⎛2k π- π, 2k π+ π⎫(k ∈ Z ) y = sin x 2 2 ⎪ 【详解】因为函数 的单调递增区间为⎝ ⎭ ， f (x )= 7 sin ⎛ x - π⎫2k π π π6⎪ π- < x - < 2k π+ (k ∈ Z ) 对于函数 2k π⎝ ⎭ ，由 2π 2 6 2 ， π- < x < 2k π+ 解得 3 3 (k ∈ Z ) ，⎛ - π, 2π⎫f (x ) 3 3 ⎪取 k = 0 ，可得函数⎛ 0,π⎫ ⊆ ⎛ - π, 2π⎫ 的一个单调递增区间为⎝ ⎭ ， ⎛ π,π⎫ ⊄ ⎛ - π, 2π⎫ 2 ⎪ 3 3 ⎪ 2⎪ 3 3 ⎪ 则⎝⎭ ⎝ ⎭ ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ，A 选项满足条件，B 不满足条件； ⎛ 5π,8π⎫ f (x ) 3 3 ⎪取 k = 1 ，可得函数 的一个单调递增区间为⎝ ⎭ ， ⎛π, 3π⎫ ⊄ ⎛ - π, 2π⎫ ⎛π, 3π⎫ ⊄ ⎛ 5π, 8π⎫ ⎛ 3π, 2π⎫ ⊄ ⎛ 5π, 8π⎫ 2 ⎪ 3 3 ⎪ 2 ⎪ 3 3 ⎪ 2 ⎪ 3 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 且⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ，CD 选项均不满足条件.故选：A.y = A sin ωx + φ 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求y = A sin (ωx + φ)的单调区间，只需把ωx +φ看作一个整体代入 y = sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．5.已知 1 ， 2 是椭圆 x 2 + y 2 = ：的最大值为（）π < x - π < 2k π+ π2 6 2 F F C 9 4 1 C MF 1 ⋅ MF 2的两个焦点，点 M 在 上，则 A. 13【答案】C B. 12C. 9D. 6【解析】= = θ( θ+ θ) ( ) y = e ( ) ⎝ 【分析】本题通过利用椭圆定义得到MF 1 + MF 2= 2a = 6，借助基本不等式2MF ⋅ MF ≤ 1 2 2⎭ 即可得到答案．【详解】由题， a 2 = 9, b 2 = 4 ，则 MF 1 + MF 2 = 2a = 6 ，2MF 1 ⋅ MF 2 ≤ = 9 MF = MF = 3所以 故选：C ．⎝ ⎭ （当且仅当 1 2 时，等号成立）．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．sin θ(1+ sin 2θ) =6. 若tan θ= -2 ，则 sin θ+ cos θ （ ）- 6 - 2 26 A. 5 B. 5C. 5D. 5【答案】C 【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan θ= -2 即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得：sin θ(1+ sin 2θ)sin θ+ cos θ sin θ(sin 2θ+ cos 2θ+ 2 sin θcos θ)sin sin cos sin θ+ cos θ= sin θ(sin θ+ cos θ) = tan 2θ+ tan θ = 4 - 2 = 2 sin 2θ+ cos 2θ 故选：C ．θ 1+ 4 5 ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan θ= -2 ，求出sin θ, cos θ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通 过齐次化处理，可以避开了这一讨论． a , b x7.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（）A.e b < a C. 0 < a < e b 【答案】D 【解析】B.e a< b D. 0< b < e a【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果【详解】在曲线y = e x 上任取一点 P t , e t，对函数y = e x求导得 y ' = e x ， 所以，曲线 y = e x 在点 P 处的切线方程为 y - e t = e t (x - t )，即 y = e t x + (1- t )e t ，由题意可知，点(a , b )在直线 y = e t x + (1- t )e t 上，可得b = ae t + (1- t )e t = (a +1- t )e t ，令，则.( ) f (t )= (a +1- t )e tf '(t )= (a - t )e t当t < a 时，f '(t )> 0，此时函数 f (t )单调递增，当t > a 时，f '(t )< 0，此时函数f (t )单调递减，所以，f (t ) = f (a )= e a y = by = f (t )b < f (t )= e a由题意可知，直线 与曲线的图象有两个交点，则max，当t < a +1时，f (t )> 0，当t > a +1时，f (t )< 0，作出函数f (t )的图象如下图所示：由图可知，当0 < b < e a 时，直线 y = b 与曲线 y =故选：D.f t 的图象有两个交点.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A.甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断P (甲) = 1 ，P (乙) = 1，P (丙) =5 ，P (丁) = 6= 1 ，【详解】6 6 36 36 6 ， max，P (甲丙) = 0 ≠ P (甲)P (丙)，P (甲丁) = 1 36= P (甲)P (丁)P (乙丙) = 136故选：B≠ P (乙)P (丙)，P (丙丁) = 0 ≠ P (丁)P (丙)【点睛】判断事件 A , B 是否独立，先计算对应概率，再判断 P (A )P (B ) = P ( AB ) 是否成立 二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据 x 1 ， x 2 ，…， x n ，由这组数据得到新样本数据 y 1 ， y 2 ，…， yn ，其中y i = x i + c (i = 1, 2,⋅⋅⋅, n ), c 为非零常数，则（）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同 【答案】CD 【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有E ( y ) = E (x ) + c 、 D ( y ) = D (x ) ，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误. 【详解】A ：E ( y ) = E (x + c ) = E (x ) + c 且 c ≠ 0 ，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为 xi ，则第二组的中位数为y i = x i + c ，显然不相同，错误；C ：D (y ) = D (x ) + D (c ) = D (x ) ，故方差相同，正确； D ：由极差的定义知：若第一组的极差为x max - x m i n，则第二组的极差为y max - y m i n = (x m a x + c ) - (x m i n + c ) = x max - x m i n ，故极差相同，正确；故选：CD10. 已知O 为坐标原点，点P 1 (cos α, sin α)，P 2 (cos β, -sin β)，P 3 (cos (α+ β), sin (α+ β))，A 1, 0，则（ ）OP 1 A= OP 2AP 1 = B. AP 2C.OA ⋅ OP 3 = OP 1 ⋅ O P 2 【答案】AC D.OA ⋅ O P 1 = OP 2 ⋅ O P 3【解析】【分析】A 、B 写出OP 1 ， OP 2 、 AP 1 ， AP2 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量4sin 2α211 5 2 1 2 11. 已知点P 在圆 上，点、，则（ ）( ) ()( )4 的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：OP 1 = (cos α, sin α)，OP 2 = (cos β, -sin β)，所以| OP 1 |= cos 2α+ sin 2 α = 1 ，| OP 2 |= = 1 ，故| OP 1 |=| OP 2 | ，正确； B ：AP 1 = (cos α-1, sin α) ， AP 2 = (cos β-1, -sin β) ，所以2 222α | AP 1 |= (cos α-1) + sin α =cos α- 2 cos α+1+ sin α= = = 2 | sin | 2 | AP 2 |= ，同理 (cosβ-1) 2 + sin 2 β = 2 | sin β | | AP |,| AP | ，故 不一定相等，错误； C ：由题意得：OA ⋅ O P 3 = 1⨯cos(α+ β) + 0 ⨯sin(α+ β) = cos(α+ β) ，OP 1 ⋅ OP 2 = cos α⋅cos β+ sin α⋅(-sin β) = cos(α+ β) ，正确；D ：由题意得：OA ⋅ OP 1 = 1⨯cos α+ 0 ⨯sin α= cos α，OP 2 ⋅ O P 3 = cos β⨯cos(α+ β) + (-sin β) ⨯sin(α+ β)= cos αcos 2 β- sin αsin βcos β- sin αsin βcos β- cos αsin 2 β= cos αcos 2β- sin αsin 2β = cos(α+ 2β) ，错误；故选：AC(x - 5)2+ (y - 5)2= 16A (4, 0)B (0,2) A. 点 P 到直线 AB 的距离小于10 B. 点 P 到直线 AB 的距离大于 2 C. 当∠PBA 最小时，PB = 3 D. 当∠PBA 最大时， PB = 3【答案】ACD 【解析】【分析】计算出圆心到直线 AB 的距离，可得出点 P 到直线 AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当∠PBA 最大或最小时， PB 与圆 M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.x - 5 2+ y - 5 2= 16M 5, 5 【详解】圆的圆心为，半径为 ，x+ y= 1直线 AB 的方程为 4 2，即 x + 2 y - 4 = 0 ，= = 11 5> 4 圆心 M 到直线 AB所以，点 P 到直线 AB 的距离的最小值为误；5 11 5 - 4 < 2 5 ，，最大值为11 5 + 4 < 10 5，A 选项正确，B 选项错(cos β)2 + (-sin β)2 2(1- cos α) 2212 + 225 + 2 ⨯ 5 - 434l C C l d C 如下图所示：当∠PBA 最大或最小时， PB 与圆 M 相切，连接MP 、 BM ，可知 PM ⊥ PB ，BM == MP = 4BP = ，，由勾股定理可得= 3 ，CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线 与半径为 r 圆 相离，圆心 到直线 的距离为 ，则圆 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[d - r ,d + r ].12. 在正三棱柱ABC - A 1B 1C 1 中， AB = AA 1 = 1 ，点 P 满足 BP = λBC + μBB 1，其中λ∈[0,1] μ∈[0,1]，则（）A. 当λ= 1 时， △AB 1P 的周长为定值B. 当μ= 1 时，三棱锥P - A 1BC的体积为定值λ= 1A P ⊥ BP C. 当D. 当2 时，有且仅有一个点 P ，使得 1μ= 12 时，有且仅有一个点 P ，使得 A 1B ⊥ 平面 AB 1P 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B ，将 P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量 平移将 P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 P 点的个数； 对于D ，考虑借助向量的平移将 P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 P 点的个数．(0- 5)2+ (2 - 5)2BM 2 - MP 2 2，( ) ()【详解】 易知，点 P 在矩形BCC 1B 1 内部（含边界）．对于A ，当λ= 1 时， BP = BC + μBB 1 =BC + μCC 1 ，即此时 P ∈线段CC 1 ， △AB 1P 周长不是定值，故A错误；对于B ，当μ= 1时，BP = λBC + BB 1 =BB 1 + λB 1C 1 ，故此时 P 点轨迹为线段 B 1C 1 ，而 B 1C 1 //BC ，B 1C 1 // 平面 A 1BC ，则有 P 到平面 A 1BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．λ=对于C ，当1 2 时， BP = 1 BC + μBB 1 ，取 BC ， B 1C 1 中点分别为Q ， H ，则 BP = BQ + μQH ，所 A ⎛ 3 , 0,1⎫ QH1 2 ⎪P (0, 0,μ) 以 P 点轨迹为线段 ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， ⎝⎭ ， ， ⎛ 1 ⎫⎛ 3 ⎫ ⎛ 1 ⎫ B 0, , 0 ⎪A 1P = - 2 , 0,μ-1⎪ BP = 0, - 2 ,μ⎪ μ(μ-1)= 0 μ= 0 μ= 1 ⎝ 2 ⎭ ，则 ⎝ ⎭ ， ⎝ ⎭ ， ，所以 或 ．故H ,Q 均满足，故C 错误；11μ= 2 BP = λBC + 2 BB 1 BB CC M , N BP = BM + λMN对于D ，当 时， ，取 1 ， 1 中点为 ． ，所以 P 点 ⎛ 1 ⎫ ⎛ 3 ⎫ A ，0, 0 ⎛ 3 , y , 1⎫ ⎛ 3 1 -1⎫ P 0, y 0 , 2 ⎪ 2 ⎪ AP = - 2 0 2 ⎪ A 1B = - 2 , 2 , ⎪ 轨迹为线段MN ．设 ⎝⎭ ，因为 ⎝ ⎭，所以 ⎝ ⎭ ， ⎝ ⎭ 3 + 1 y - 1 = 0 ⇒ y = - 1，所以 4 2 02故选：BD ．2 ，此时 P 与 N 重合，故D 正确．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数f x = x 3a ⋅ 2x - 2-x是偶函数，则a = .2( ) () () ( )() p p ( )【答案】1 【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值. f x = x 3a ⋅ 2x - 2-xf (-x )= -x 3a ⋅ 2-x - 2x【详解】因为 ，故，因为f (x )为偶函数，故f (-x )= f (x )，x 3a ⋅ 2x - 2-x = -x 3a ⋅ 2-x - 2x时，整理得到(a -1)(2x +2-x )=0 故 a = 1 ， 故答案为：114. 已知O 为坐标原点，抛物线C ： y 2= 2 px ( p > 0 )的焦点为 F ， P 为C 上一点， PF 与 x 轴垂直，Q 为 x 轴上一点，且 PQ ⊥ OP ，若 FQ = 6 ，则C 的准线方程为.x = - 3【答案】2 【解析】【分析】先用坐标表示 P ，Q ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 p ，即得结果.【详解】不妨设 P ( , p )∴Q (6 + 22 . , 0), PQ = (6, - p )p ⨯ 6 - p 2 = 0 p > 0∴ p = 3∴ 因为 PQ ⊥ OP ，所以 2x = - 3C 的准线方程为 x = - 32 故答案为：2 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. f x = 2x -1 - 2 ln x 15. 函数的最小值为 .【答案】1 【解析】【分析】由解析式知 f (x ) 定义域为(0,+∞) ，讨论性，即可求 f (x ) 最小值.0 < x ≤1 1 < x ≤ 12 、 2、 x > 1 ，并结合导数研究的单调【详解】由题设知： f (x ) =| 2x -1| -2ln x 定义域为(0, +∞) ， 0 < x ≤ 1∴当1 < x ≤ 12 时， f (x ) = 1- 2x - 2 ln x ，此时 f (x ) 单调递减； f '(x ) = 2 - 2 ≤ 0当 2 时， f (x ) = 2x -1- 2 ln x ，有 x ，此时 f (x ) 单调递减；当 x > 1时， f (x ) = 2x -1- 2 ln x ，有 f '(x ) = 2 - 2 > 0x，此时 f (x ) 单调递增；，1nS = 180dm 2 又 f (x ) 在各分段的界点处连续，∴综上有： 0 < x ≤ 1 时， f (x ) 单调递减， x > 1时， f (x ) 单调递增；∴ f (x )≥ f (1) = 1 故答案为：1.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm ⨯12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm ⨯12dm ， 20dm ⨯ 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 S = 240dm 2，对折2次共可以得到 5dm ⨯12dm ，10dm ⨯ 6dm ， 20dm ⨯ 3dm三种规格的图形， 2它们的面积之和2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对∑ Sk=折n 次，那么 k =1dm 2.15(3 + n )【答案】 (1). 5(2).【解析】720 -2n -4 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得S n ，再根据错位相减法得结果.5dm ⨯12dm 【详解】（1）对折 4 次可得到如下规格： 420dm ⨯ 3dm5 dm ⨯ 6dm ， 2 ， 5dm ⨯ 3dm ， 10dm ⨯ 3 dm 2 ， 4 ，共5 种；S = 120 (n +1) （2）由题意可得 S 1 = 2 ⨯120 ， S 2 = 3⨯ 60 ， S 3 = 4 ⨯ 30 ， S 4 = 5⨯15 ， ， n S = 120 ⨯ 2 + 120 ⨯ 3 + 120 ⨯ 4 ++120 (n +1) 2n -1 ， 设 20 21 22 2n -1 ， 1S = 120 ⨯ 2 + 120 ⨯ 3 + + 120n + 120 (n +1) 则2 21 22 2n -1 2n，60 ⎛1- 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 120 (n +1) 2n -1 ⎪ 120 (n +1) S = 240 +120 + + + n -1 ⎪ - = 240 + ⎝ ⎭ - 1 n 2 两式作差得⎝ 2 2 2 ⎭ 2 1- 22 = 360 - 120 - 120 (n +1) = 360 - 120 (n + 3) 2n -1 2n 2n ， S = 720 - 240 (n + 3) = 720- 15(n + 3) 因此，故答案为： 5 ；2 n 720 - 15(n + 3) 2n -4.2n -4 . 【点睛】方法点睛：数列求和 常用方法：（1） 对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；n{ n n } { n } { n } { n n } d a { n }（2） 对于 a b 结构，其中 a 是等差数列， b 是等比数列，用错位相减法求和； a + b （3） 对于 结构，利用分组求和法；⎧ 1 ⎫ 1 = 1 ⎛ 1 - 1 ⎫ ⎨ a a ⎬ {a } d (d ≠ 0) a a a ⎪ （4） 对于⎩ n n +1 ⎭ 结构，其中 n 是等差数列，公差为，则 n n +1 ⎝ n n +1 ⎭ ，利用裂 项相消法求和.四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.a = ⎧a n +1, n 为奇数, {a } a = 1 n +1 ⎨a + 2, n 为偶数. 17. 已知数列 n 满足 1 ，⎩ n（1） 记b n = a 2n ，写出b 1 ， b 2 ，并求数列{b n }的通项公式；（2） 求{a n }的前20项和.【答案】（1） b 1 = 2, b 2 = 5 ；（2） 300 .【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得b n +1 = b n + 3 ，从而可求 b 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{a n }的前20 项和为S 20 可化为 S 20 = 2 (b 1 + b 2 + + b 9 + b 10 )-10 ，利用（1） 的结果可求S 20 .【详解】（1）由题设可得b 1 = a 2 = a 1 +1 = 2, b 2 = a 4 = a 3 +1 = a 2 + 2 +1 = 5又 a 2k +2 = a 2k +1 +1 ， a 2k +1 = a 2k + 2 ，故a 2k +2 = a 2k + 3 即b n +1 = b n + 3即 b n +1 - b n= 3所以{b n }为等差数列，故b n = 2 + (n -1)⨯ 3 = 3n -1 .（2）设{a n }的前20 项和为S 20 ，则 S 20 = a 1 + a 2 + a 3 + + a 20 ，因为a 1 = a 2 -1, a 3 = a 4 -1, , a 19 = a 20 -1，S 20 = 2 (a 2 + a 4 + + a 18 + a 20 )-10= 2 (b + b + + b + b )-10= 2 ⨯⎛10 ⨯ 2 + 9 ⨯10 ⨯ 3⎫ -10 = 300 1 2 9 102⎪ ⎝ ⎭ .【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回所以( )( )答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1） 若小明先回答A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列； （2） 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2） B 类． 【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分 X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1 ）类似，找出先回答 B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知， X 的所有可能取值为0 ， 20 ，100 ．P (X = 0)= 1- 0.8 = 0.2 ；P (X = 20)= 0.8(1- 0.6)= 0.32 P (X = 100)= 0.8⨯ 0.6 = 0.48所以 X 的分布列为E X = 0 ⨯ 0.2 + 20 ⨯ 0.32 +100 ⨯ 0.48 = 54.4 （2）由（1）知，．若小明先回答 B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0 ， 80 ，100 ．P (Y = 0)= 1- 0.6 = 0.4P (Y = 80)= 0.6 (1- 0.8)= 0.12 ；P (X = 100)= 0.8⨯ 0.6 = 0.48 ．E Y = 0 ⨯ 0.4 + 80 ⨯ 0.12 +100 ⨯ 0.48 = 57.6 所以．因为54.4 < 57.6 ，所以小明应选择先回答 B 类问题．19. 记 ABC 是内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c .已知b 2= ac ，点 D 在边 AC 上，BD sin ∠ABC = a sin C .（1） 证明： BD = b ；（2） 若 AD = 2DC ，求cos∠ABC【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】cos ∠ABC =712 .【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有BD = ac b ，结合已知即可证结论. ；．；c a b b =（2）由题设 BD = b , AD =2b , DC = b 33 ，应用余弦定理求cos ∠ADB 、cos ∠CDB ，又 ∠ADB = π- ∠CDB ，可得 2a 2 +b 4=a 2 11b 2 3 ，结合已知及余弦定理即可求cos ∠ABC .【详解】BD =a sin C c = bsin C =c （1） 由题设，BD = acsin ∠ABC ，由正弦定理知： sin C sin ∠ABC ，即sin ∠ABC b ， ∴ b ，又b 2= ac ， ∴ BD = b ，得证.BD = b , AD =2b , DC = b（2） 由题意知：3 3 ，2+ 4b 2 - 2 13b 2 - c 2 2 + b 2- 210b 2 - a 2 cos ∠ADB = 9 = 9 cos ∠CDB = 9 = 92b ⋅ 2b 4b 2 2b ⋅ b2b 2∴3 3 ，同理 3 3 ， ∵∠ADB = π- ∠CDB ， 13b 2 - c 2 a 2 - 10b 29 9 4b 2 2b 2 2a 2 + c 2 = 11b 2∴3 3 ，整理得 3 ，又 b 2= ac ， 2 b 4 11b 2 a 2 1 a 2 3 2a + = ∴ a 2 3 ，整理得 6a 4 -11a 2b 2 + 3b 4 = 0 ，解得 b 2 = = 3 或 b 22 ， a 2 + c 2 - b 2 4 a 2cos ∠ABC = = -由余弦定理知：2ac 3 2b 2 ， a 2 = 1 7 a 2 37 当 b 23 时， cos ∠ABC = > 1 6 不合题意；当 = b 2 2 cos ∠ABC = 时， 12 ；综上，cos ∠ABC =712 .【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及 ∠ADB = π- ∠CDB 得到 a ,b ,c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos∠ABC . 20. 如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ， AB = AD ， O 为 BD 的中点.（1） 证明： OA ⊥ CD ；（2） 若 OCD 是边长为1的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE = 2EA ，且二面角 E - BC - D 的大小为45︒，求三棱锥 A - BCD 的体积. 3 【答案】(1)详见解析(2) 6【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD ，即可证得结果； （2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果. 【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO⊥BD因为平面ABD平面BCD =BD ,平面ABD⊥平面BCD ， AO ⊂ 平面ABD ，因此AO⊥平面BCD ，因为CD ⊂ 平面BCD ，所以AO⊥CD (2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM 因为AO⊥平面BCD ，所以AO⊥BD, AO⊥CD所以EF⊥BD, EF⊥CD, BD ⋂ CD = D ,因此EF⊥平面BCD ，即EF⊥BC 因为FM⊥BC， FM Џ EF = F ,所以BC⊥平面EFM ，即BC⊥MF∠EMF = π则∠EMF 为二面角E-BC-D 的平面角,4 因为 BO = OD , OCD 为正三角形,所以 OCD 为直角三角形∴ FM = 1 BF = 1 (1+ 1) = 2因为 BE = 2ED ,2∴ AO = 1从而EF=FM= 3 AO ⊥ 平面BCD,2 23 33 xOy1(、2 1 2V = 1 AO ⋅ S = 1 ⨯1⨯ 1 ⨯1⨯ = 3所以3 ∆BCD3 2 6【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法. F - 21. 在平面直角坐标系中，已知点（1） 求C 的方程；17, 0) F 2( 17, 0)MF 1- MF 2= 2 ，点 M 的轨迹为C .（2） 设点T 在直线x = 12上，过T 的两条直线分别交C 于A 、 B 两点和 P ， Q 两点，且TA ⋅ TB = TP ⋅ TQ，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和.x 2【答案】（1） 【解析】- y 2= 1(x ≥ 1) 16 ；（2） 0 .【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点 F 1 、 F 2 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹 C 的方程；T ⎛ 1 , t ⎫ y - t = k ⎛ x - 1 ⎫（2）设点 ⎪ ⎝ ⎭ ，设直线 AB 的方程为⎪ ⎝ ⎭ ，设点 A (x 1, y 1 )、 B (x 2, y 2 )，联立直线 AB 与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA ⋅ TB的表达式，设直线 PQ 的斜率为k 2，同理可得出TP ⋅ TQ的表达式，由TA ⋅ TB = TP ⋅ TQ化简可得k 1 + k 2 的值.【详解】因为MF 1 - MF 2= 2 < F 1F 2 = 2 ，所以，轨迹C 是以点F 1 、 F 2 为左、右焦点的双曲线的右支，x 2 - y 2= 1(a > 0, b > 0)设轨迹C 的方程为a 2b 22y 2，则 2a = 2 ，可得 a = 1，b == 4 ， x 所以，轨迹C 的方程为 T ⎛ 1 , t ⎫ - = 1(x ≥ 1)16 ；2 ⎪（2）设点 ⎝⎭ ，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点， y - t = k ⎛ x - 1 ⎫y = k x + t - 1 k1 2 ⎪ 1 1不妨直线 AB 的方程为⎝ ⎭ ，即 2 ， 1717 - a 21 1 2⎨ ， ⎧y = k x + t - 1 k ⎪ 1 2 12 2 (k 2 -16)x2+ k (2t - k )x + ⎛ t - 1 k ⎫+16 = 0 ⎪⎩16x - y = 16y11 12 1 ⎪联立，消去 并整理可得⎝ ⎭ ，A (x , y )B (x , y )x > 1 x > 1设点 1 1 、 1 2 2 ，则 2 且 2 2 . ⎛ 1 ⎫2k 2 - 2k t t - 2 k 1 ⎪ +16 x + x = 1 1x x = ⎝ ⎭ 1 2 由韦达定理可得 k 2 -16 1 2 k 2-16 ， x + x 1 (t 2 +12)(1+ k 2) TA ⋅ TB = (1+ k 2)⋅ x - ⋅ x - = (1+ k 2 )⋅ ⎛ x x - 1 2 + ⎫ =1 11 2 1 1 2 2 4 ⎪ k 2 -16 所以，PQkTP ⋅ TQ =⎝ ⎭ 1 ， (t 2+12)(1+ k 2) k 2 -16设直线的斜率为 2 ，同理可得2，(t 2+12)(1+ k 2) (t 2+12)(1+ k 2)TA ⋅ TB = TP ⋅ TQ1=k 2-162k 2-16k 2 = k 2因为 ，即12，整理可得 12 ，即(k 1 - k 2 )(k 1 + k 2 )= 0 ，显然k 1 - k 2 ≠ 0 ，故 k 1 + k 2 = 0 .因此，直线 AB 与直线 PQ 的斜率之和为0 . 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1） 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数 f (x )= x (1- ln x ).（1） 讨论f (x )的单调性；（2） 设a ，b 为两个不相等的正数，且b ln a - a ln b = a - b ，证明： 2 < 1 + 1< ea b . 【答案】（1） f (x )的递增区间为(0,1)，递减区间为(1, +∞)；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；1 = x , 1 = x （2）设 a 1 b2 ，原不等式等价于2 < x 1 + x 2 < e ，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后 者可设x 2 = tx 1 ，从而把 x 1 + x 2 < e 转化为(t -1)ln(t +1)- t ln t < 0 在(1, +∞)上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为(0, +∞)，又 f '(x )= 1- ln x -1 = -ln x ，当x ∈(0,1)时，f '(x )> 0，当x ∈ (1, +∞)时，f '(x )< 0 ，1 2 1 2 2a b 1 ( 1) ( ) 1 故f (x )的递增区间为(0,1)，递减区间为(1, +∞).（2）因为b ln a - a ln b = a - b ，故b (ln a +1)= a (ln b +1)，即ln a +1 = ln b +1a b ， f ⎛ 1 ⎫ = f ⎛ 1 ⎫ ⎪ ⎪故 ⎝ ⎭⎝ ⎭ ， 1 = x , 1 = x设a b 2 ，由（1）可知不妨设0 < x 1 < 1, x 2 > 1. 因为 x ∈(0,1)时，f (x )= x (1- ln x )> 0 ，x ∈(e , +∞)时，f (x )= x (1- ln x )< 0，故1 < x2 < e .先证： x 1 + x 2 > 2 ，若x 2 ≥ 2 ， x 1 + x 2 > 2 必成立.若 x 2 < 2 ， 要证： x 1 + x 2 > 2 ，即证 x 1 > 2 - x 2 ，而0 < 2 - x 2 < 1 ，故即证 f (x 1 )> f (2 - x 2 )，即证：f (x 2 )> f (2 - x 2 )，其中1 < x 2 < 2 .设 g (x )= f (x )- f (2 - x ),1 < x < 2 ，则g '(x )= f '(x )+ f '(2 - x )= -ln x - ln (2 - x ) = -ln ⎣⎡ x (2- x )⎤⎦ ，因为1 < x < 2 ，故0 < x (2 - x )< 1，故-ln x (2 - x )> 0，所以 g '(x )> 0，故g (x )在(1, 2)为增函数，所以 g (x )> g (1)= 0 ，故f (x )> f (2 - x )，即f (x 2 )> f (2 - x 2 )成立，所以x 1 + x 2 > 2 成立，综上， x 1 + x 2 > 2成立.设x 2 = tx 1 ，则t > 1，ln a +1 = ln b +11 = x , 1 = xx (1- ln x )= x(1- ln x ) 结合 ab ， a 1 b 2可得： 1 1 2 2 ， 1- ln x = t 1- ln t - ln x ln x 1 即：，故 = t -1- t ln t t -1 ， 要证：x 1 + x 2 < e ，即证(t +1)x 1 < e ，即证ln (t +1)+ lnx 1 < 1，即证： ln (t +1)+ t -1- t ln t < 1 t -1，即证：(t -1)ln (t +1)- t ln t < 0 令S (t )= (t -1)ln (t +1)- t ln t , t > 1 ， S '(t )= ln (t +1)+ t -1 -1- lnt = ln ⎛1+ 1 ⎫ - 2t +1t ⎪t +1 则 ln x +1 ≤ x先证明一个不等式： .⎝ ⎭ ，，u (x )= ln (x +1)- xu '(x )=1 -1 = -x设，则x +1x +1 ，当-1 < x < 0 时，u '(x )> 0 ；当 x > 0 时， u '(x )< 0，故u (x )在 (-1, 0)上为增函数，在 (0, +∞)上为减函数，故u (x ) = u (0)= 0 ， 故ln (x +1)≤ x成立ln ⎛1+ 1 ⎫ ≤ 1 < 2t ⎪t t +1S '(t )< 0 由上述不等式可得当t > 1时， ⎝ ⎭ ，故 恒成立，故S (t )在(1, +∞)上为减函数，故 S (t )< S (1)= 0 ，(t -1)ln (t +1)- t ln t < 0 x + x < e故综上所述， 2 < 1 + 1< ea b .成立，即 12成立.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.max。
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2021年普通高等学校招生全国统一考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A. {}2B. {}2,3C. {}3,4D. {}2,3,4【答案】B2. 已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A. 62i -B. 42i -C. 62i +D. 42i +【答案】C3. ）A. 2B.C. 4D. 【答案】B4. 下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ） A. 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D. 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A5. 已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A. 13B. 12C. 9D. 6【答案】C6. 若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ） A. 65- B. 25- C. 25 D. 65【答案】C7. 若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ）A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e a b <<【答案】D 8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立【答案】B 二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（ ）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同【答案】CD10. 已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ）A . 12OP OP = B. 12AP AP = C. 312OA OP OP OP ⋅=⋅ D. 123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC11. 已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ） A. 点P 到直线AB 的距离小于10 B. 点P 到直线AB的距离大于2C. 当PBA ∠最小时，PB =D. 当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A. 当1λ=时，1AB P △的周长为定值B. 当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D. 当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【答案】BD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______. 【答案】114. 已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =- 15. 函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】116. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1n k k S==∑______2dm .【答案】 (1). 5 (2). ()41537202n n -+-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 （1）记2n nb a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300.19. 记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=. 20. 如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD(2) 621. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，点M 的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0. 22. 已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b <+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b +=， 故11f f a b ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>. 因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<， 故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<.设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=， 故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立， 综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >， 结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-， 即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t t x t --=-， 要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<， 即证：()1ln ln 111t t t t t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<， 令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->，则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭， 先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则()1111x u x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==， 故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立， 故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立. 综上所述，112e a b <+<.。