高二数学简单的线性规划 曲线和方程
高二数学人教A版必修5教学教案3-3-2简单的线性规划问题(7)
《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。
本节的教学重点是线性规划问题的图解法。
数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。
三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。
从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。
从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。
应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
六、教学过程。
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题(附答案)简单的线性规划问题[学习目标]知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求 (1)x 2＋y 2的最小值；(2)y x 的最大值．解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，85， 又由⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝132，所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案10解析画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元． 反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解． 跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007. 由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752.所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎨⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1,4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________． 三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y－3＝0上，则m＝1.2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎪⎪⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x ＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x ＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎨⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，∴x＋2y－4＞0，则目标函数等价于z＝x＋2y－4，易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，则z＝5d，其中d为P(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，故d的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max＝215·5＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.∵a＞1，∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
线性规划问题(Linear Programming)
3.解：设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z，则 约束条件为 80 x 40 y 320 x y 6 x 0 y 0
目标函数为
z=60x+20y
做出可行域如图所示： 作
l0 :3x y 0
将l向上平移，当l过M点时，z取得最大 值。
由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中，所得 2、 2、点定域（代入特殊点验证） 实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个 特别地，当C≠0时常把原点作为特殊点。 特殊点代入Ax+By+C中，从所得结果的正负即可 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
练习
1：画出下列不等式所表示的平面区域：
解：设x，y分别是计划生产甲、乙两种
混合肥料的车皮数，则x，y所满足的数
学关系式为
4 x y ≤ 10 18 x 15 y ≤ 66 x≥0 y≥0
分别画出不等式组中， 各不等式所表示的区域.
y
然后取交集，就是不等 式组所表示的区域。
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O
关于x,y一次不等 式组的约束条件
2 x y 50 x 10 y 20
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的
任何一个满足 不等式组的 （x,y）
可行解
可行域
解线性规划问题的步骤：
1.找: 找出线性约束条件、目标函数； 2.画：画出线性约束条件所表示的可行域； 3.移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； 4.求：通过解方程组求出最优解； 5.答：作出答案。
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③对于 A1A2 B1B2 0 来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用
起来更方便． ④斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜 率有可能不存在。 四、两直线的交角
注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 x x0 ；
2.斜截式：若已知直线在 y 轴上的截距（直线与 y 轴焦点的纵坐标）为 b ，斜率为 k ，则直
线方程： y kx b ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为： y kx
注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
b a
；|
PPo
|
|t|
；
a2 b2
点 P1 , P2 对应的参数为 t1 , t2 ，则| P1P2 |
| t1 t2 | ； a2 b2
x
y
x0 y0
t t
cos sin
（
t
为参数）其中方向向量为
(c
os
,
sin
)
，
t 的几何意义为| PPo
| ；斜
率为 tan ；倾斜角为 (0 ) 。
产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。
注意：①当 B 0 时，将直线 Ax By 0 向上平移，则 z Ax By 的值越来越大； 直线 Ax By 0 向下平移，则 z Ax By 的值越来越小；
②当 B 0 时，将直线 Ax By 0 向上平移，则 z Ax By 的值越来越小； 直线 Ax By 0 向下平移，则 z Ax By 的值越来越大；
高三数学 直线中的最值问题及简单的线性规划 知识精讲 通用版
高三数学直线中的最值问题及简单的线性规划 知识精讲 通用版【本讲主要内容】直线中的最值问题及简单的线性规划二元一次不等式（组）表示平面区域、线性规划的意义及应用。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 二元一次不等式表示的平面区域：（1）在平面直角坐标系中，已知直线0Ax By C ++=，坐标平面内的点()00,P x y 。
①若0,000>++>C By Ax B ，则点()00,P x y 在直线的上方； ②若0,000<++>C By Ax B ，则点()00,P x y 在直线的下方。
（2）对于任意的二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax ，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数。
当B>0时，①Ax+By+C>0表示直线0Ax By C ++=上方的区域； ②Ax+By+C<0表示直线0Ax By C ++=下方的区域。
（3）判断二元一次不等式表示的平面区域的方法：①点定域法：画二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，点定域（原点不在边界上时，用原点定域最简单）；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
例如：画不等式x-2y+4>0表示的平面区域时，可先画直线240x y -+=（虚线），取原点()00，代入原不等式成立，所以不等式x-2y+4>0表示的区域如图所示。
②符号判断法：当B>0时，Ax+By+C>0表示直线0Ax By C ++=上方的区域，Ax+By+C<0表示直线0Ax By C ++=下方的区域；一般的若B<0时，可先把y 项系数变为正数再判断。
例如：3x-2y+6>0表示直线3260x y -+=下方区域；-3x+y+3<0表示直线330x y --=下方区域。
2. 线性规划：（1）有关概念：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案 必修5
3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域， 如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示， ∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示： 其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： 又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。
高中数学简单线性规划教案
高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。
2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。
2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。
3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。
三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。
2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。
四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。
2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。
五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。
2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。
六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。
2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。
高二数学知识点总结(精选15篇)
高二数学知识点总结(精选15篇)高二数学知识点总结1第一章：解三角形。
掌握正弦余弦公式及其变式和推论和三角面积公式即可。
第二章：数列。
考试必考。
等差等比数列的通项公式、前n 项和及一些性质。
这一章属于学起来很容易，但做题却不会做的类型。
考试题中，一般都是要求通项公式、前n项和，所以拿到题目之后要带有目的的去推导。
第三章：不等式。
这一章一般用线性规划的形式来考察。
这种题一般是和实际问题联系的，所以要会读题，从题中找不等式，画出线性规划图。
然后再根据实际问题的限制要求求最值。
选修中的简单逻辑用语、圆锥曲线和导数：逻辑用语只要弄懂充分条件和必要条件到底指的是前者还是后者，四种命题的真假性关系，逻辑连接词，及否命题和命题的否定的区别，考试一般会用选择题考这一知识点，难度不大;圆锥曲线一般作为考试的压轴题出现。
而且有多问，一般第一问较简单，是求曲线方程，只要记住圆锥曲线的表达式难度就不大。
后面两到三问难打一般会很大，而且较费时间。
所以不建议做。
这一章属于学的比较难，考试也比较难，但是考试要求不高的内容;导数，导数公式、运算法则、用导数求极值和最值的方法。
一般会考察用导数求最值，会用导数公式就难度不大。
高二数学知识点总结2一、集合、简易逻辑（14课时，8个）1、集合；2、子集；3、补集；4、交集；5、并集；6、逻辑连结词；7、四种命题；8、充要条件。
二、函数（30课时，12个）1、映射；2、函数；3、函数的单调性；4、反函数；5、互为反函数的函数图象间的关系；6、指数概念的扩充；7、有理指数幂的运算；8、指数函数；9、对数；10、对数的运算性质；11、对数函数。
12、函数的应用举例。
三、数列（12课时，5个）1、数列；2、等差数列及其通项公式；3、等差数列前n项和公式；4、等比数列及其通顶公式；5、等比数列前n项和公式。
四、三角函数（46课时，17个）1、角的概念的推广；2、弧度制；3、任意角的三角函数；4、单位圆中的三角函数线；5、同角三角函数的基本关系式；6、正弦、余弦的诱导公式；7、两角和与差的正弦、余弦、正切；8、二倍角的正弦、余弦、正切；9、正弦函数、余弦函数的图象和性质；10、周期函数；11、函数的奇偶性；12、函数的图象；13、正切函数的图象和性质；14、已知三角函数值求角；15、正弦定理；16、余弦定理；17、斜三角形解法举例。
高中线性规划
高中线性规划线性规划是运筹学中的一种优化方法，用于在给定的约束条件下寻觅一个线性目标函数的最优解。
在高中数学中，线性规划是一个重要的内容，它可以匡助我们解决一些实际问题，例如资源分配、生产计划等。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行解。
目标函数是我们要优化的线性函数，通常表示为最大化或者最小化某个变量。
约束条件是限制目标函数变量的取值范围的条件，可以是等式或者不等式。
可行解是满足所有约束条件的解。
二、线性规划的数学模型线性规划可以通过数学模型来表示。
设有n个决策变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn)≤b1, g2(x1, x2, ..., xn)≤b2, ...,gm(x1, x2, ..., xn)≤bm。
其中，f(x1, x2, ..., xn)为线性函数，g1(x1, x2, ..., xn)≤b1,g2(x1, x2, ..., xn)≤b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn)≤bm为线性不等式。
三、线性规划的求解方法线性规划可以使用图形法、单纯形法等方法进行求解。
其中，图形法适合于二维问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解。
而单纯形法适合于多维问题，通过构造初始单纯形表，不断迭代求解，找到最优解。
四、线性规划的应用举例1.资源分配问题：某工厂生产两种产品A和B，每天可用的资源有限，产品A和B的生产所需资源不同，且每种产品的利润也不同。
如何合理分配资源，使得利润最大化？2.生产计划问题：某工厂需要生产多种产品，每种产品的生产时间、所需资源和利润不同。
如何安排生产计划，使得产量最大化同时资源利用率最高？3.投资组合问题：某投资者有多种投资标的可选，每种标的的收益率、风险和投资额不同。
如何合理选择投资标的，使得收益最大化同时风险最小化？五、线性规划的局限性线性规划方法在解决一些实际问题时可能存在一些局限性。
线性规划常见题型及解法 均值不等式(含答案)
线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。
通常代特殊点（0，0）。
（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题常
线性规划的常见题型及其解法线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值，间接求出z 的最值．【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23．【答案】A【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12表示点(x ，y )和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．【解析】(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．∵z ＝y 2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29．∴2≤z ≤29．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是： 可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝－3－2＋－2＝8∴16≤z ≤64．1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝y cx －d ，z ＝ay －bx，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．【提醒】 注意转化的等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8．【答案】B2．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z 取得最大值18．【答案】C3．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2【解析】如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【答案】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13．【解析】C5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ．【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【答案】B7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255． 【答案】2558．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|5＝2，则|AB |的最小值为4．【答案】B角度三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A ．73 B ．37 C ．43D ．34【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52．当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73．【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12．【答案】D11．(2014·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B＝z C ＞z A ，解得a ＝－1或a ＝2．法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2．【答案】D12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，，则交点为B (4－s,2s －4)，y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为C ′(0,4)，x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C (0，s )．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．(1) (2)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7≤z max ＜8； 当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′及其内部，此时，z max ＝8． 综上所述，可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是[7，8]． 【答案】D13．(2015·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．【解析】∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋y ＋x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a ＞0， ∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－3a －－＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．【答案】1角度四：线性规划的实际应用14．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．【解析】 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z＝300x ＋400y ．画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．【答案】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300． 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24． 【答案】B2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．3【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3．【答案】A3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2．【答案】D4．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5．【答案】D5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b －78(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取的整数为1．【答案】B6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)【解析】如图，根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)．【答案】A7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．1【解析】作出可行域如图所示，当点P 位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝1，的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1．【答案】D8．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．14【解析】不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，所表示的可行域如图所示，设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x ∈[0,2]，a －b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即点(a ，b )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，－1≤b ≤1，0≤a ＋b ≤2，0≤a －b ≤2，作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝12×2×1＝1．【答案】B9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0，∴ab ∈(0，4]．【答案】B10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π．【答案】D11．(2015·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3．【答案】B12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7．法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．图(1) 图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．【答案】B13．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12 B ．π4C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立，则当x ＝0时，by ≤1恒成立，可得y ≤1b(b ≠0)恒成立，所以0≤b ≤1；同理0≤a ≤1．所以由点P (a ，b )所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．【答案】C14．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53【解析】当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m＜－12m －1，解得m ＜－23．【答案】C15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，所以1＜a ≤3． 【解析】A16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6．∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37．【解析】C17．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k x －－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示． 当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k ＞1时，也可形成三角形，综上可知k ＜－1或k ＞1．【答案】D18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最大值，最大值为8．【答案】C19．(2016·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3，当直线过点C 时，z 取到最大值，又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4． 【答案】A20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan∠AOB 的最大值等于( )A ．94 B ．47 C ．34D ．12【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝12，tan β＝k AO ＝2，故tan ∠AOB ＝tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34． 【解析】C 二、填空题21．(2014·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4．【答案】422．(2014·高考浙江卷)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．【解析】作出可行域，如图，作直线x ＋y ＝0，向右上平移，过点B 时，x ＋y 取得最小值，过点A 时取得最大值．由B (1,0)，A (2,1)得(x ＋y )min ＝1，(x ＋y )max ＝3．所以1≤x ＋y ≤3． 【答案】[1,3]23．(2015·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4．【答案】424．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92．【答案】9225．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值，∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝2．【答案】 226．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x＝3，y＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．【答案】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y．线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，x≥0，y≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，4x＋3y≤180，x≥0，y≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l0：x＋0．9y＝0，向上平移至过点A时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝50，4x＋3y＝180，解得A(30,20)．【答案】3028．(2015·日照调研)若A为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．【解析】平面区域A 如图所示，所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74．【答案】7429．(2014·高考浙江卷)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32．所以a 的取值范围是1≤a ≤32．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3230．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－3，所以k ＝3．【答案】 331．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围 ．【解析】变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m<0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由y ＝mx ，x ＋y ＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋m ，m 1＋m ，所以目标函数的最大值z max＝11＋m ＋m 21＋m<2，所以m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．【答案】(1,1＋2)32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为y ＝x －z ，当z 最小时，直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线为y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标为(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线为y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8．故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，故目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．【答案】[3,6]33．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．【解析】线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条 ，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线． 【答案】634．(2011·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．【解析】∵a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0，即2x ＋3y －z ＝0．又|x |＋|y |≤1表示的区域为图中阴影部分，∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0，－1)时，z min ＝－3，当2x ＋3y －z ＝0过点A (0,1)时，z min ＝3． ∴z ∈[－3,3]． 【答案】[－3,3]35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm，若m ＜0，则－1m＞0，由数形结合知，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m ＞0，则－1m＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1．综上可知，m ＝1． 【答案】1。
高二解析几何分课时练习
目录7.1直线的倾斜角和斜率（1） (2)7.1直线的倾斜角和斜率（2） (4)7.2直线的方程（1） (6)7.2直线的方程（2） (8)7.2直线的方程（3） (10)7.3两条直线的位置关系（1）（平行与垂直） (12)7.3两条直线的位置关系（2）（到角与夹角） (12)7.3两条直线的位置关系（3）（交点） (13)7.3两条直线的位置关系（4）（点到直线的距离） (14)7.3两直线的位置关系习题 (14)7.3两条直线的位置关系（5）（对称性问题） (16)7.4简单的线性规划（1） (17)7.4简单的线性规划（2） (18)7.4简单的线性规划（3） (19)7.5曲线和方程（1） (20)7.5曲线和方程（2） (21)7.6圆的方程习题（1） (22)7.6圆的方程习题（2） (23)7.6圆的方程习题（3） (24)8.1椭圆及其标准方程（1） (27)8.1椭圆及其标准方程（2） (29)8.1椭圆及其标准方程（3） (31)8.2椭圆的几何性质（1） (33)8.2椭圆的几何性质（2） (35)8.2椭圆的几何性质（3） (37)8.2椭圆的几何性质（4） (39)8.3双曲线及其标准标准方程（1） (41)8.3双曲线及其标准标准方程（2） (43)8.4双曲线的几何性质（1） (45)8.4双曲线的几何性质（2） (48)8.4双曲线的几何性质（3） (50)8.5抛物线及标准方程（1） (52)8.5抛物线及其标准方程（2） (54)8.6抛物线的简单几何性质（1） (56)8.6抛物线的简单几何性质（2） (58)x 1l 2l3lO y 7.1直线的倾斜角和斜率（1）1．已知直线l 的斜率αtan -=k ，并且α是三角形的一个内角，则直线l 的倾斜角是A ．απ-B ．απ-2 C ．α D ．α-2．若直线1l ，2l 都过点M ，且1l 的倾斜角为1α，2l 的倾斜角为2α，则下面四个命题中，正确的个数有 （ ）①若21sin sin αα=，则直线1l 与2l 重合；②若21cos cos αα=，则直线1l 与2l 重合； ③若21cos cos αα>，则直线1l 的斜率大于2l 的斜率；④若21tan tan αα>，则直线1l 的倾斜角大于2l 的倾斜角．A ．1B ．2C ．3D ．43．已知直线l 的斜率k 满足333<≤-k ，则直线l 的倾斜角α的范围是 A ．326παπ≤< B ．60πα<≤或παπ<≤32 C ．60πα<<或παπ<≤32 D ．322παπ≤<或60πα<≤ 4．如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别是321,,k k k ，则( )A ．321k k k <<B ．213k k k <<C ．231k k k <<D ．123k k k <<5．已知直线l 的斜率的绝对值为2，则直线l 的倾斜角为 （ ） A ．2arctan 或)2arctan(- B ．2arctan 或)2arctan(-+π C ．2arctan 或)2arctan(- D ．2arctan +π或2arctan -π6．已知直线l 经过定点))(,1(),1,2(2R m m B A ∈，则直线l 的倾斜角α的范围是A ．[)π,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0πD ．),2(4,0πππ⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡7．直线l 经过第二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则αsin k 的取值范围是 ． 8．在同一坐标系内，画出下列方程的直线： x y l -=:1； 1:2=+y x l ； 2:3=-y x l ； 42:4=+y x l ．9．若l 的倾斜角为α，并且51cos sin =+αα，求直线l 的斜率k ．10．已知某直线的倾斜角α满足)5(5cos <=m m α，求该直线的斜率．7.1直线的倾斜角和斜率（2）1．若直线过)9,32(-与)15,36(-两点，则直线l 的倾斜角是 （ ）A ．︒60B ．︒120C ．︒45D ．︒1352．过点)3,2(-和)3,1(-的直线的倾斜角是 （ ）A ．2arctanB ．2arctan -C ．2arctan -πD ．2arctan +π3．已知两点)0,3(),2,(B x A -，并且直线AB 的斜率为21，则x 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．04．已知直线过))1(,2(2t t M +-与))1(,2(2tt N -两点，则此直线的斜率和倾斜角分别为 A ．1，︒135 B ．︒--45,1 C ．︒-135,1 D ．︒45,15．已知直线l 的倾斜角为α，并且320πα<≤，则直线l 的斜率的范围是 （ ） A ．03≤<-k B ．3->k C ．3-<k 或0≥k D ．33-<k 或0≥k 6．已知两点)2,3(),3,2(---N M ，直线l 过点)1,1(P 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 （ ）A ．43≥k 或4-≤kB ．434≤≤-kC ．443≤≤kD ．443≤≤-k 7．已知()m P ,3在过()1,2-M 和()4,3-N 的直线上,则m 的值是 .8．若直线1l 的斜率为1k ,倾斜角为1α,直线2l 的斜率为2k ,倾斜角为2α,且021=+k k ()021≠⋅k k ,则=+21αα ．9．已知直线2+=kx y 与线段PQ 或QP 的延长线相交,其中()4,3--P 、()1,3Q ,求直线的斜率k 的取值范围．10．已知直线21P P 的斜率为k )0(≠k ，且21,P P 的坐标分别为),,(),,(2211y x y x 求证： 1222111y y k P P -+=．11．已知直线l 过点)1,2(-A ，倾斜角α的范围是)43,32(ππ．在直角坐标系中给定两点)13,1(),3,2(--N M ，问l 与线段MN 是否有交点？并说明理由．7.2直线的方程（1）1．集合A={直线的斜截式方程}，集合B={一次函数的解析式}，则集合A 、B 间的关系是A ．A=B B ． A ⊃BC ．B ⊃AD ．以上都不对2．直线xcos α+ysin α+1=0，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα的倾斜角是（ ） A ．α B ．απ-2 C ．απ- D ．απ+23．直线m 的倾斜角比直线2122+=x y 的倾斜角大 45，则直线m 的斜率是（ ） A.21- B.21+ C.223+ D.223-4.已知一直线的倾斜角为arctan 31，且直线过点（—1，—2），则该直线的方程是 A.x-3y-5=0 B.x+3y+5=0 C.x+3y-5=0 D.x-3y+7=05.将直线y=—3（x-2）绕点（2，0）按顺时针方向旋转︒30所得的直线方程是 ．6．在y 轴上的截距为—6，且与y 轴相交成 45角的直线方程是 ．7．已知A （—1，4）、B （2，—2）两点，点M 内分线段AB ，且MB AM 2=， 求过点M 且倾斜角为π-arctan2的直线的方程．8．已知直线()R y x l ∈=-+θθ043cos :，求直线l 的倾斜角α的取值范围．9．直线l过点P（—2，3）且与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的方程．10．过定点P（2，1）作直线l，分别与x轴、y轴正向交于A、B两点，求使 AOB面积最小时的直线方程．7.2直线的方程（2）1．过点（—3，2）、（9，2）的直线方程是（ ）A ．3-=yB ．2=yC ．3-=xD ．以上都不对2．过点（—43，49）、（—43，2004）的直线方程是（ ）A ．49=yB ．2004=yC ．49=xD ．43-=x3．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则（ ）A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限4．经过两点（—1，1）、（3，9）的直线在x 轴上的截距是（ ）A ．23-B ．32-C ．52D ．25．直线)0(0≠=++ab c by ax 在两坐标轴上的截距相等，则a 、b 、c 满足的条件是（ ）A ．b a =B ．ba = C ．b a =且0=c D ．0=c 或0≠c 且b a = 6．一根铁棒在︒30C 时长10.508cm, 在︒60C 时长10.514cm,已知长度l(cm)和温度t ()C ︒的关系可以用直线方程来表示,则这根铁棒在︒90C 时的长度为 ，当铁棒长为10.511cm 时的温度是 ．7.已知直线与坐标轴围成的三角形面积为3,且在x 轴和y 轴上的截距之和为5,求这样的直线的条数．的三个顶点为A(0,4)、B（—2，6）、C（8，2），8.ABC求此三角形各边上中线所在直线的方程．9．直线l过点P（4，3）且在x轴和y轴上的截距之比为1：2，求直线l的方程．10．已知直线l过点A（1，2），在x轴上的截距在（—3，3）的范围内，求直线l在y轴上的截距的取值范围．7.2直线的方程（3）1．在y 轴上的截距为a 且和y 轴垂直的直线的一般式方程是（ ）A ．0=-a yB ．0=+a yC ．0=-a xD ．0=+a x2．若方程Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线，则（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≠000C B A B ．⎩⎨⎧≠≠00B A C ．⎩⎨⎧≠≠00C B D ．⎩⎨⎧≠≠00C A 3．直线l ：2x+3y-4=0的倾斜角为（ ）A ．arctan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32 B ．—arctan 32 C ．32arctan +π D ．32arctan -π 4．若方程()()0143222=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）A ．1≠mB ．23-≠mC ．0≠mD ．1≠m 且23-≠m 且0≠m 5．已知直线Ax+By+C=0的横截距大于纵截距，则A 、B 、C 应满足的条件是（ ）A ．A>B B ．A<BC ．0>+B C A CD ．0<-BC A C 6．已知直线()()023222=---++a y a a x a 在x 轴上的截距为3，求直线在y 轴上的截距．7．求纵截距为—4，且与两坐标轴围成的三角形的面积为20的直线的一般式方程．8．已知直线方程为03cot =++αy x （α为锐角且是常数），求此直线的倾斜角．9．过点P （2，1）作直线l 交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当PB PA ∙取最小值时， 求直线l 的方程．7.3两条直线的位置关系（1）（平行与垂直）1．若直线l 1：ax+2y+6＝0与直线l 2：x+(a －1)y+(a 2－1)=0平行但不重合，则a 等于――－( )A ．－1或2B ．－1C ． 2D ． 232．若l 1与l 2为两条不同直线，则下列命题中正确的个数是――――――――――――－( ) ①若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2，②若斜率k 1＝k 2，则l 1∥l 2，③若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α2，④若倾斜角α1＝α2，则l 1∥l 2A ．1B ．2C ． 3D ． 43．直线A 1x+B 1y+C 1=0和直线A 2x+B 2y+C 2=0垂直的充要条件是 ――――――――――( )A ．A 1 A 2+B 1 B 2＝0 B ．A 1 A 2－B 1 B 2＝0C ． A 1 A 2B 1 B 2 ＝－1D ． B 1 B 2A 1 A 2＝1 4．若直线ax+2y+6＝0和直线x+a(a+1)y+(a 2+1)＝0垂直，则a 的值为――－――－―－( )A ．0或－32B 0或－12C ．－32D ． 0 5．若原点在直线l 上的射影（作垂线后的垂足）为P(2，－1)，则直线l 的方程为_______________．6．已知直线Ax+4y －2＝0和直线2x －5y+C ＝0垂直且垂足的坐标为(1，m),则A ＝_________，C ＝________，m ＝_________．7．①过点A(3，2)，且与直线4x+y －5＝0平行的直线方程是____________________．②经过点C(2，－3)，且平行于过两点M(1，2)和N(－1，－5)的直线方程是_________________． ③经过点B(3，0)，且与直线2x+y －5＝0垂直的直线方程是_____________________．8．已知两点A(7，－4)．B(－5，6)，求线段AB 的垂直平分线的方程．9．求过点M (3，－4)，与A(－1，3)，B(2，2)两点等距离的直线方程．10．求平行于直线2x －y+3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形的面积为9的直线方程．7.3两条直线的位置关系（2）（到角与夹角）1．已知直线l 1：3x － 3 y+7＝0与直线l 2：x － 3 y －2=0则l 1 到l 2的角等于――――( )A ．30°B ．60°C ． 120°D ． 150°2．若l 1与l 2：2x+y －3=0的夹角是45°，则l 1的斜率是 ―――――――――――――( )A ．－13B ．13C ． －3或 13D ． 3或 －133．两直线kx+y －1=0和直线x+ky+1=0互相平行，则k 的值为 ―――――――――――( )A ．k=1B k=－1C ． k=1或k=－1D ． k=0或k=±14．过点P(－2，1)且垂直于向量a ＝(2，1)的直线方程是――――――－――－――――( )A ．2x+y=0B ．2x+y+3=0C ．2x+y+4=0D ．2x+y －3=05． l 1：y= 3 x+1与l 2： y=2的夹角是 ――――――－――－――――－( )A ．15°B ．30°C ． 60°D ． 120°6．若l 1与l 2的斜率分别是方程6x 2+x －1=0的两根则l 1与l 2的夹角是___________________．7．求下列直线l 1到l 2的角及夹角①l 1：y=32x+2，l 2： y=3x+7， l 1到l 2的角_________夹角是___________． ②l 1：x －y=5， l 2：x+2y －3=0， l 1到l 2的角_________夹角是___________．③l 1：y=－13x+4， l 2： x=－4， l 1到l 2的角_________夹角是___________． 8．已知三角形三个顶点A(6，3)．B(9，3) ．C(3，6)，求∠ABC ＝________,∠ACB ＝________，∠BAC ＝________．9．已知l 过点P (2，1)，且和直线5x+2y+3=0的夹角等于45°，求l 的方程．10．已知B(0,6),C(0,2)，Ａ为x 轴负半轴上一点，问A 在何处时，∠BAC 有最大值，并求最大值．7.3两条直线的位置关系（3）（交点）1．若三直线2x ＋3y+8＝0，x-y-1=0，和x+ky=0相交与一点，则k 的值是 ――――――( )A ．－12B ．－2C ． 2D ． 122．两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y 轴上，那么k 的值是 ――――――――( )A ．－24B ．6C ． ±6D ． 不同于ABC ．3．若 l 1：y=kx － 3 ，l 2： 2x+3y －6＝0两直线的交点位于第一象限，则直线l 1的倾斜角的取值范围是――( )A ．[π6 ,π3 )B (π6 ,π2 )C ． (π3 ,π2 )D ． [ π6 ,π2] 4．已知方程y=a ︱x ︱和y=x+a(a>0)所确定的曲线有两个交点，则a 的取值范围 ――－( )A ．a>1B ．0<a<1或a>1C ． 0<a<1D ．a > 05．已知直线l 1：x+(1+m)y+m-2=0与l 2： 2mx+4y+16=0．当m__________时 l 1与l 2相交； 当m________时 l 1∥l 2；当m________时 l 1⊥l 2；当m__________时 l 1与l 2重合．6．若三条直线2x-y+4=0．X-y+5=0，2mx-3y+12=0围成直角三角形．则m ＝_______________．7．求满足下列条件的直线的方程① 经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0；② 经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y+－7=0；③ 经过两条直线y=2x+3和3x-y+2=0的交点，且垂直于第一条直线．8．已知直线l 经过两条直线l 1：x+2y=0，l 2： 3x －4y －10＝0的交点且与直线l 3：5x －2y ＋3=0的夹角为π4，求直线l 的方程． 9．已知点A(2,1)直线l 1： y= x ＋2，l 2： x ＝2y 交于点B ，l 1交y 轴于点C ，求△ABC 中∠A 的角平分线的方程．7.3两条直线的位置关系（4）（点到直线的距离）1．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y+3=0的距离为1，则a 等于 ―――――――――( )A ． 2B ．－ 2C ． 2 +1D ． 2 －12．点(0,5)到直线y=2x 的距离 ―――――――――――――――――――――――( )A ．52B ． 5C ． 32D ． 5 23．已知点P(a,b)在第二象限，则点P 到直线x －y=0的距离为 ―――――――――――( )A ． 2 2 (a －b)B b －A ．C ． 2 2(b －a) D ． a 2+b 2 4．到直线3x －4y －1=0的距离为2的点的轨迹方程是――――――――――――――( )A ．3x －4y －11=0B 3x －4y+11=0或3x －4y －9=0C ． 3x －4y+9=0D ．3x －4y －11=0或3x －4y+9=05．直线l 通过两直线7x+5y －24=0 和x －y=0的交点，并且点(5,1)到l 的距离为10 ，则l 的方程是 －( )A ．3x+y+4=0B ．3x －y+4=0C ． 3x －y －4=0D ．x －3y －4=06．点P(4,a)到直线4x －3y －1=0的距离不大于2，则实数a 的取值范围为 ．7．已知点M(1,cosθ)到直线xsinθ+ycosθ=1的距离等于14，且θ为锐角，则θ=___________． 8．两条平行直线3x+4y －12=0和6x+8y+11=0之间的距离为 ．9．若△ABC 中，A(7,8)．B(10,4)，C(2,－4)，求△ABC 的面积．10．已知平行四边形相邻两边的直线方程是l 1：x －2y+1=0和l 2：3x －y －2=0，若此平行四边形两条对角线的交点是M(2,3)，求此平行四边形另外两条边所在的直线方程．11．过直线2x+y+8=0和x+y+3=0的交点P 作一直线l ，使它夹在两平行直线x －y －5=0和 x －y －2=0之间的线段长等于3，求直线l 的方程．7.3两直线的位置关系习题随堂巩固1．两直线5=-y x 与5=+y x 的交点坐标为（ ）A ．)0,5(B ．)5,9(C ．)2,7(D ．)7,2(2．直线0153=-+y x 与0534=-+y x 的交点是（ ）A ．)1,2(-B ．)2,3(-C ．)1,2(-D ．)2,3(-3．若两直线01=++y mx 与05=-+ny x 的交点为)3,1(-，则n m +的值为（ ）A ．2B ．2-C ．32D ．34 4．已知点M )1,0(-，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ，则N 点坐标是_____________________________．5．若直线01=+-y x 与0=++c y x 的交点在第二象限，则c 的取值范围是___________．6．若直线1:111=+y b x a l 与直线1:222=+y b x a l 的交点为)1,2(-，则=-112b a __________，=-222b a _____________．7．如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ．Ⅱ．Ⅲ．Ⅳ（不包括边界），若21OP b OP a OP +=，且点P-落在第Ⅲ部分，则实数a ．b 满足（ ）A ．0,0>>b aB ．0,0<>b a Ⅱ ⅠC ．0,0><b aD ．0,0<<b aⅢ Ⅳ强化训练1．已知直线1l 的方程为03=++C y Ax ，直线2l 的方程为0432=+-y x ，若21,l l 的交点在y 轴上，则C 值为（ ）A ．4B ．4-C ．4±D ．与A 有关2．过直线9=+y x 和182=-y x 的交点且与直线0823=+-y x 平行的直线的方程为（ ）A ．02=-y exB ．0923=+-y xC ．01823=+-y xD ．02723=--y x3．0≠ab 是直线0=++c by ax 与两坐标轴都相交的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．直线)(,0)1()3()12(R k k y k x k ∈=--+--所经过的定点是（ ）A ．)71,74(B ．)3,2(C ．)5,21(- D ．)2,5(5．若三条直线02:,53:,7:321=++=-=+c y x l y x l y x l 不能围成三角形，则c 的值为 ．6．经过点A )1,2(，且过直线06321=-+y x l 与042:2=+-y x l 交点的直线l 的方程为___________________________．7．直线l 被两条直线034:1=++y x l 和0553:2=--y x l 截锝的线段中点为P )2,1(-， 求直线l 的方程．8．设直线l 的方程为)(,0)2()1(R a a y x a ∈=-+++．（1）证明直线l 过定点；（2）若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．9．m 为何值时，三条直线432:,0:,44:321=-=+=+my x l y mx l y x l ，不能围成三角形？7.3两条直线的位置关系（5）（对称性问题）1．已知直线l ：3x －y=0，则直线x+y=4关于直线l 对称的直线方程是 ――――――――－( )A ．x －7y+20=0B ．x+7y －20=0C ． x －7y －20=0D ．x+7y+20=02．原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标是 ――――――――――――― ――－( )A (2, 32 )B (258 ,256) C ．(3,4) D ． (4,3) 3．与直线x+2y －1=0关于点(1．－1)对称的直线是 ―――――――― ―－( )A ．2x －y －5=0B ．x+2y －3=0C ． x+2y+3=0D ． 2x －y －1=04．点(4,5)关于直线对称点为(－2,7),则直线的方程 是――――――――――――― ――( )A ．3x －y+3=0B ．x －3y+1=0C ． x －y+5=0D ． 3x －y+5=05．如果直线ax －y+2=0 和直线3x －y －b=0关于直线x －y=0对称 ――――――――－( )A ．a=13 ，b=6B ．a=13，b=－6 C ．a=3，b=－2 D ．a=3，b=6 6．从点M(－3,2)发射的光线在x 轴上经过点N(－2，0)处被反射，与反射光线垂直，且经过点P(2,3)的直线方程为A ．x+1 2 y －4=0B ．2x －y+1=0C ． 1 2 x+y －4=0D ． 1 2x+y －2=0 7．如果直线l 与直线x+y －1=0关于y 轴对称，那么直线l 的方程____________．8．点(－1,2)关于直线x －y+2=0的对称点坐标为 ．9．求点(3,9)关于直线x+3y －10=0的对称点坐标．10．求直线m: 2x+y －4=0关于直线l ： 3x+4y －1=0对称的直线n 的方程．11．△ABC 的顶点A 的坐标为(1,4)，∠B ，∠C 的平分线的方程分别为x －2y=0和x+y －1=0， 求BC 所在直线的方程．7.4简单的线性规划（1）作出下列可行域：1．⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x ；2．222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥ 3．002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩；4．1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤； 5．1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩；6．03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤ 7．⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x8．1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩， 9．2438x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩10．2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤， 11．142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥12．⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥-≤+20032y y x y x 13．⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,033,042y x y x y x14．⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ，7.4简单的线性规划（2）1．设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，则目标函数z ＝2x +4y 的最大值为A ． 10B ．12C ．13D ．142．下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是A ．（0，2）B ．（-2，0）C ．（0，-2）D ．（2，0）3．若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是A ．5a <B ．7a ≥C ．57a <≤D ．5a <或7a ≥4．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为A ．2B ．1C ．1/2D ．1/45．已知平面区域D 由以A （1，3）．B （5，2）．C （3，1）为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=mA ． -2B ． -1C ． 1D ． 46．已知实数x ．y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,033,042y x y x y x 则y x z 2+=的最大值为 ．7．已知⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥-≤+20032y y x y x ，则3z x y =-的最小值为 ．8．2z x y =+中的x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≥+-003052y x x y x ，则z 的最小值是 ．9．设变量x y ，满足约束条件2438x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数2x y +的最小值为 ．10．已知实数x y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+322y y x y x ，则2z x y =-的取值范围是________．11．设2z y x =-，已知实数x y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-1232312y y x y x ，则z 的最大值为______．12．设变量x ．y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 ． 13．设t =2x +y ，式中变量x ．y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则t 的最大值和最小值分别是 ．14．已知x ．y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01222y x y x y x ，则z =3x +y 的最小值是 ．7.4简单的线性规划（3）1．某公司有60万元资金，计划投资甲．乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0．4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0．6万元的利润，该公司正确投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为A ．36万元B ．31．2万元C ．30．4万元D ．24万元2．某公司计划2009年在甲．乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲．乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲．乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲．乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？3．某工厂生产甲．乙两种产品．已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t ．B 种矿石5 t ．煤4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t ．B 种矿石4 t ．煤9 t ．每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t ．B 种矿石不超过200 t ．煤不超过300 t ，甲．乙两种产品应各生产多少（精确到0．1 t ），能使利润总额达到最大？4．某工厂生产甲．乙两种产品，已知生产甲产品1吨，需要煤9吨，需电4瓦，工作日3个（一个工人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品1吨，需要用煤4吨，需电5瓦，工作日12个，又知甲产品每吨售价7万元，乙产品每吨售价12万元，且每天供煤最多360吨，供电最多200瓦，全员劳动人数最多300人，问每天安排生产两种产品各多少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？7.5曲线和方程（1）一．选择题1．曲线f(x,y)=0关于直线x-y-2=0对称曲线的方程为( )A ．f(y+2,x)=0B ．f(x-2,y)=0C ．f(y+2,x-2)=0D ．f(y-2,x+2)=02．若点M 到x 轴的距离和它到直线y=8的距离相等，则点M 的轨迹方程是( )A ．x=-4B ．x=4C ．y=-4D ．y=43．动点P 到x 轴，y 轴的距离之比等于非零常数k ，则动点P 的轨迹方程是( )A ．y=kx (x≠0) B ．y=kx(x≠0) C ．y=-k x (x≠0) D ．y=±kx(x≠0)4．方程4x 2-y 2+4x+2y=0表示的曲线是( )A ．一个点B ．两条互相平行的直线C ．两条互相垂直的直线D ．两条相交但不垂直的直线5．已知点A(0，-1)，点B 是抛物线y=2x 2+1上的一个动点，则线段AB 的中点的轨迹是( )A ．抛物线y=2x 2B ．抛物线y=4x 2C ．抛物线y=6x 2D ．抛物线y=8x 2二．填空题 6．若点P 在曲线y=x 2+1上，且点P 到原点的距离为5，则点P 的坐标为 ．7．若两直线x+y=3a,x-y=a 的交点在方程x 2+y 2=1所表示的曲线上，则a= ．三．解答题8．已知直线l:4x + 3y =1，M 是直线l 上的一个动点，过点M 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ．B 求把有向线段AB 分成的比λ=2的动点P 的轨迹方程．9．经过点P(3，2)的一条动直线分别交x 轴．y 轴于点A ．B ，M 是线段AB 的中点，连结OM 并延长至点N ，使｜ON ｜=2｜OM ｜，求点N 的轨迹方程．10．已知曲线C 上的每一点到点A(0，-2)的距离与它到x 轴的距离的差等于2，求这条曲线的方程，并画出这条曲线．一．选择题1．下列各点中，在曲线x 2-xy+2y+1=0上的点是( )A ．(2，-2)B ．(4，-3)C ．(3，10)D ．(-2，5)2．已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C 上，则( )A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f(x,y)=0B ．坐标不适合方程f(x,y)=0的点都不在曲线C 上 C ．不在曲线C 上的点的坐标都不适合方程f(x,y)=0D ．不在曲线C 上的点的坐标一定有些适合，也有一些不适合方程f(x,y)=0 3．到两条坐标轴的距离之和等于2的点的轨迹方程是( )A ．x+y=2B ．x+y=±2C ．｜x ｜+｜y ｜=2D ．｜x+y ｜=24．到直线l:3x+4y-5=0的距离等于1的点的轨迹方程是( )A ．3x+4y-4=0B ．3x+4y+10=0C ．3x+4y=0或3x+4y-10=0D ．3x+4y-30=0或3x+4y+20=0 5．与A(-1,0)和B(1，0)两点连线的斜率的乘积等于-1的动点P 的轨迹方程是( )A ．x 2+y 2=1B ．x 2+y 2=1(x≠±1)C ．x 2+y 2=1(x≠0)D ．y=21x二．填空题6．点P 到定点F(4，0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则动点P 的轨迹方程是 ．7．Rt △ABC 的斜边AB 的长度等于定值C ，顶点A ．B 在x 轴，y 轴上滑动，则斜边AB 的中点M 的轨迹方程为三．解答题8．在△ABC 中，AB 边的长为2a ，若BC 边上的中线AD 的长为m ，试求顶点C 的轨迹方程． 9．求两直线l 1:x-3my+3=0，l 2,3mx+y+9m=0的交点的轨迹，并画出轨迹的图形． 10．设等腰三角形OAB 的顶角为2θ，高为h(1)△OAB 内有一动点P 到三边OA ．OB ，AB 的距离分别为｜PD ｜．｜PF ｜．｜PE ｜，且满足关系：｜PD ｜·｜PF ｜=｜PE ｜2，求P 点的轨迹．(2)在上述轨迹中定出P 点的坐标，使得｜PD ｜+｜PE ｜=｜PF ｜．随堂巩固1． 圆心为)3,2(-，半径为4的圆的方程为（ ）A ．16)3()2(22=-+-y xB ．16)3()2(22=++-y xC ．16)3()2(22=-++y xD ．16)3()2(22=+++y x 2． 以A )0,0(和B )2,0(为直径端点的圆的方程为（ ）A ．122=+y xB ．422=+y xC ．1)1(22=+-y xD ．1)1(22=-+y x 3．已知A )5,4(--． B )1,6(-，则以线段AB 为直径的圆的方程为（ ）A ．29)3()1(22=-++y xB ．29)3()1(22=++-y xC ．116)3()1(22=-++y xD ．116)3()1(22=++-y x 4．若圆的圆心为)1,1(且圆经过点)5,2(，则圆的方程为_____________．5．圆9)1()2(22=-+-y x 的圆心到直线03512=+-y x 的距离为_____________． 6．直线01=-+y x 被圆122=+y x 截得的弦长等于__________________． 7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则实数=m ___________________． 强化训练1．点P )5,(2m 与圆2422=+y x 的位置关系是（ ）A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定2．直线0543=++y x 与圆16)3()1(22=++-y x 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能 3．设直线L 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则L 的斜率是（ ）A ．1±B ．21±C ．33± D ．3± 4．若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ）A ．1)1()2(22=++-y xB ．1)1()2(22=-+-y xC ．1)2()1(22=++-y xD ．1)2()1(22=-++y x 5．过点)3,2(-和圆1)1()1(22=-+-y x 相切的直线方程是（ ）A ．06815=++y xB ．06815=-+y xC ．2=xD ．2=x 或06815=-+y x 6．圆心为（1，2）且与直线07125=--y x 相切的圆的方程为_____________． 7．圆122=+y x 距直线05=--y x 最远的点是___________________．8．求与直线x y =相切，圆心在直线x y 3=上且被y 轴截得的弦长为22的圆的方程． 9．已知一圆过A )2,4(-．B )3,1(-两点，且在y 轴上截得的线段长为34，求圆的方程． 10．已知圆C 的圆心在直线01:1=--y x l 上，圆C 与直线01434:2=++y x l 相切，并且圆C 截直线01043:3=++y x l 所得弦长为6，求圆C 的方程．7.6圆的方程习题（2）随堂巩固1．若方程02222=++++F y x y x 表示的图形为一个圆，则F 的范围（ ）A ．2≥FB ．2>FC ．2≤FD ．2<F 2．圆0103522=--++y x y x 的圆心坐标为（ ）A ．)23,25( B ．)3,5(- C ．)23,25(-D ．)3,5(- 3．已知直线l 过点)0,2(-当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的的取值范围是A ．)22,22(-B ．)2,2(-C ．)42,42(-D ．)81,81(-4．已知圆过O )0,0(．A )0,1(．B )1,0(-三点，则圆的方程为_____________． 5．圆06222=+-+y x y x 的圆心的横坐标．纵坐标及半径的和为___________．6．已知直线0125=++a y x 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为___________． 强化训练1．直线0134=+-y x 与圆022222=-+-+y x y x 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．直线过圆心2． 0422>-+F E D 是方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知点)1,1(-+a a 在圆0422=-+-+y x y x 的外部，则a 的取值范围是（ ）A ．),2[]2,(+∞--∞B ．),2(]2,(+∞--∞C ．),2[)2,(+∞--∞D ．),2()2,(+∞--∞4．圆0126422=-+-+y x y x 过点)0,1(-的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则n m -等于A ．7210-B ．75-C ．3310-D ．2235-5．将直线02=+-λy x 沿y 轴向左平移一个单位，所得直线与圆04222=-++y x y x 相切，则实数λ的值为（ ）A ．3-或7B ．2-或8C ．0或10D ．1或11 6．圆0202422=-+-+y x y x 被x 轴截得的弦长为_____________．7．已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A ．B 两点，圆心为P ，若90=∠APB ，则m 的值为__________________．8．ABC ∆的三个顶点坐标分别为A )5,1(-．B )2,2(--．C )5,5(，求其外接圆方程． 9．经过原点作圆044222=+-++y x y x 的割线，交圆于A ．B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．7.6圆的方程习题（3）随堂巩固 1．参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x ，（θ为参数）表示的图形是（ ）A ．圆B ．直线C ．半圆D ．线段 2．参数方程⎩⎨⎧=-=θθsin 2cos 2y x ，（θ为参数）表示的曲线是（ ）A ．圆心在原点，半径为2的圆B ．圆心不在原点但半径是2的圆C ．不是圆D ．以上都有可能 3．参数方程⎩⎨⎧==ty tx 2，（t 为参数）表示的图形是（ ）A ．圆B ．半圆C ．直线D ．射线4．参数方程211x t y t ⎧=+⎨=-⎩，（t 为参数）的普通方程为_____________．5．参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x ，（θ为参数，πθ<<0）的普通方程是_____________．6．将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x ，（θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________________．强化训练1．点P 从（1，0）出发，沿单位圆参数方程122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点，则点Q 的坐标为（ ） A ．)23,21(-B ．)21,23(--C ．)23,21(--D ．)21,23(- 2．已知点P ),(00y x 在圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 82cos 83y x 上，则00,y x 的取值范围是（ ）A ．22,3300≤≤-≤≤-y xB ．82,8300≤≤-≤≤y xC ．610,11500≤≤-≤≤-y xD ．以上都不对 3．曲线⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5y x ，πθπ≤≤3的长度是（ ） A ．π5 B ．π10 C ．35π D ．310π4．参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 11，（t 为参）的普通方程为（ ） A ．222=-y x B ．422-=-y x C ．222-=-y x D ．422=-y x5．参数方程1121x y λλλλ-⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，（t 为参数）的普通方程为（ ） A ．)1(032-≠=+-x y x B ．032=+-y x C ．022=--y x D ．)2(032≠=+-y y x 6．若422=+y x ，则y x -的最大值是______________．7．若直线022=+-by ax 始终平分圆12cos 22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩的周长，则b a ∙的取值范围是________．8．已知点P （x ，y ）是圆122=+y x 上任意一点，求22++=y x u 的取值范围．9．若ABC ∆中，A )0,2(-，B )2,0(，C )sin 1,(cos θθ+-（θ为变数）， 求ABC ∆的面积最大值．10．已知对于圆1)1(22=-+y x 上任意一点P （x ，y ），不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．8.1椭圆及其标准方程（1）一．选择题1．若点P 到两定点F 1（-4，0），F 2（4，0）的距离和是8，则动点P 的轨迹为A ．椭圆B ．线段F 1F 2C ．直线F 1F 2D ．不能确定2．下列说法正确的个数是①平面内与两个定点F 1．F 2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆；②与两个定点F 1．F 2的距离的和等于常数（大于| F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆；③方程122222=-+c a y c x （a>c>0）表示焦点在x 轴上的椭圆； ④方程12222=+bx a y （a>0,b>0)表示焦点在y 轴上的椭圆．A ．1B ．2C ．3D ．43．椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于A ．5或3B ．8C ．5D ．16 4．方程2222)2()2(y x y x ++++-=10,化简的结果是A ．1162522=+y x B ． 1212522=+y x C ．142522=+y x D ．1212522=+x y 5．已知方程122=+my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是A ．m<1B ．-1<m<1C ．m>1D ．0<m<16．椭圆 131222=+y x 的焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是A ．43±B ．23±C ．22± D ．43±二．填空题7．如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6， 则点P 到另一个焦点F 2的距离是 ；8．过椭圆C ：12222=+by a x 的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为 ．三．解答题：9．求经过点A(0,2)和B(3,21)的椭圆的标准方程．10．已知方程（2-k ）x 2+ky 2=2k-k 2表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围．11．椭圆的两个焦点F 1．F 2在x 轴上，以| F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4）， 求椭圆标准方程．12．已知点Ｐ在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点Ｐ到两个焦点的距离分别352,354，过Ｐ作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．8.1椭圆及其标准方程（2）一．选择题：1．已知椭圆的焦点是21,F F ，P 是椭圆上一个动点，如果延长P F 1到Q ，使2PF PQ =， 那么动点Q 的轨迹是A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．线段2．△ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是A ．192522=+y xB ．192522=+x y （y≠0） C ．)0(191622≠=+y y x D ．192522=+y x （y≠0） 3．已知△ABC 的三边AB ，BC ，AC 的长依次成等差数列，且|AB|>|AC|，B （-1，0）C （1，0）则顶A 的轨迹方程为 [ ]A ． 13422=+y xB ．13422=+y x （x>0）C ．13422=+y x (x<0) D ．13422=+y x (x>0y≠0) 4．椭圆的方程为19222=+y a x ，它的两个焦点分别为F 1．F 2，若| F 1F 2|=8，弦AB 过F 1 ，则△ABF 2的周长为A ．10B ．20C ．241D ．441二．填空题5．过点F 1（0，2）且与圆F 2：x 2+（y+2）2=36内切的动圆圆心的轨迹方程为 ．6．P 点在椭圆1204522=+y x 上，F 1．F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 ． 7．P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，F 1和F 2是焦点， 若6021=∠PF F ， 则21F PF ∆的面积为 ．xyOPF 1F8．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by a x 的左．右焦点， 点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是 ．三．解答题9．一动圆与圆x 2+y 2+6x+5=0外切，同时与圆x 2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹．10．如图，线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴上，y 轴上滑动，|AB|=5点M 是AB 上一点，且|AM|=2，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程．8.1椭圆及其标准方程（3）一．选择题1．椭圆122x +32y =1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍2．已知圆O ：422=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段1PP （1P 在y 轴上）， M 在直线1PP 上且P P M P 112=，则动点M 的轨迹方程是A ．4x 2+16y 2=1 B ．16x 2+4y 2=1 C ．42x +16y =1 D ．162x +42y =13．椭圆252x +92y =1上一点P 到两焦点距离之积为m ，则m 取最大值时P 点坐标为A ．（5，0）或（-5，0）B ．（25，233）或（25，-233） C ．（0，3）或（0，-3） D ．(235,23)或（-235，-23）4．椭圆162x +92y =1的左右焦点分别是21,F F ，点P 在椭圆上，若P,21,F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 A ．59 B ．3 C ．779 D ．49 二．填空题5．椭圆的两焦点为)0,4(1-F ，)0,4(2F ，过F 1作弦AB ，且2ABF ∆的周长为20， 则此椭圆的方程为 ．6．已知圆C:25)1(22=++y x 及点)0,1(A ，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则M 点的轨迹方程为 ．7．设椭圆的方程为12222=+by a x )0(>>b a ，椭圆与Y 轴正半轴的一个交点B 与两焦点21,F F 组成的三角形的周长为324+，且3221π=∠BF F ，则此椭圆的方程为 ． 8．椭圆492x +242y =1上有一点P ，F 1，F 2分别为椭圆的左．右焦点，且4021=∙PF PF ，则21F PF ∆ 的面积为 ．三．解答题9．已知x 轴上的一定点A （1，0），Q 为椭圆42x +y 2=1上的动点，求AQ 中点M 的轨迹．10．在ABC ∆中，BC=24，AC ，AB 的两条中线之和为39，求ABC ∆的重心的轨迹方程．11．已知P 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，21,F F 是焦点，α=∠21PF F , 求证:21PF F ∆面积是2tan 2αb ．8.2椭圆的几何性质（1）一．选择题：1．椭圆6x 2+y 2=6的长轴的端点坐标是A ．（-1，0），（1，0）B ．（-6，0），（6，0）C ．（-6，0），（6，0）D ．（0，-6），（0，6） 2．已知点（3，2）在椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2上，则A ．点（-3，-2）不在椭圆上B ．点（3，-2）不在椭圆上C ．点（-3，2）在椭圆上D ．无法判断以上三点是否在椭圆上 3．椭圆3x 2+2y 2=1的焦点坐标是A ．（0，-66），（0，66） B ．（0，-1），（0，1） C ．（-1，0），（1，0） D ．（-66，0），（66，0） 4．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离是5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是A ．191622=+y x 或116922=+y x B ． 192522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．椭圆的方程无法确定 5．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则长轴是短轴长的A ．3倍B ．2倍C ．2倍D ．32倍 二填空题：6．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则它的离心率为 ． 7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足230≤<e ，则长轴的最大值等于 ． 8．写出满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴与短轴的和为18，焦距为6： ．（2）焦点坐标为)0,3(-，)0,3(，并且经过点（2，1）： ． （3）椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-，)0,3(，且短轴是长轴的31： ． （4）离心率为23，经过点（2，0）： ． （5）与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 有相同的焦点，短轴与上述椭圆的长轴相等： ．三．解答题：9．求符合下列条件的椭圆标准方程： ① 焦距为8，离心率为0．8 ；②焦点与长轴较接近的端点的距离为510-，焦点与短轴两端点的连线互相垂直．10．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴是6，且cos ∠OFA=32,求椭圆方程．11．已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的三个顶点),0(1b B -，),0(2b B ，)0,(a A ，焦点)0,(c F ，且21AB F B ⊥，求椭圆的离心率．8.2椭圆的几何性质（2）一．选择题：1．椭圆2222ay b x +=1（a ＞b ＞0）的准线方程[ ]A ．y=±222b a a + B ．y=±222b a a - C ．y=±222b a b + D ．x=±222ba a -2．椭圆4922y x +=1的焦点到准线的距离是 [ ] A ．554和559 B ．559和5514 C ．554和5514 D ．55143．椭圆71122y x +=1上的一点到准线x=-211与焦点（-2，0）的距离比是 [ ]A ．211B ．11C ．112D ．1174．椭圆m y m x 21322++=1的准线平行于x 轴，则m 的取值范围是 [ ] A ．m ＞0 B ．0＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．m ＞0且m≠15．椭圆92522y x +=1上点P 到右焦点的最值为 [ ] A ．最大值为5，最小值为4 B ．最大值为10，最小值为8 C ．最大值为10，最小值为6 D ．最大值为9，最小值为1 6．已知F 1，F 2是一个椭圆的两个焦点，该椭圆的中心到一条准线的距离为3，离心率为65，过F 1的直线L 交于A ，B 两点，则△ABF 2周长为 A ．10 B ．5 C ．12 D ．20 二．填空题：7．中心在原点，准线方程x=4，长轴长是短轴长2倍，则此椭圆方程是 ．8．中心在原点，焦点到相应准线的距离为3，离心率为21的椭圆标准方程是 ．9．椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上， 那么|PF 1|是|PF 2|的 倍．。
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习40---二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第40讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考点知识：1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域111222112＋By 2＋C )<0；位于直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0. 3．线性规划的有关概念线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2．判定二元一次不等式表示的区域(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方． (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b.2．不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )答案 B解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是( )A ．3，－3B ．2，－4C ．4，－2D ．4，－4 答案 C解析 不等式组所表示的平面区域如图所示．其中A (－1，－1)，B (2，－1)， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12， 画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过B 时，z max ＝4，平移l 0过点A 时， z min ＝－2.4．(2022·浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0， 则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 答案 B解析 画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线经过点A (2,1)时，z 取得最小值，z min ＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．5.(2022·汉中质检)不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ≥0所表示的平面区域的面积等于________． 答案14解析 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，通过上图，可以发现不等式组表示的平面区域以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，B (1,0)和C (2,0)为顶点的三角形区域(含边界)，因此S △ABC ＝12×(2－1)×12＝14.6．(2021·成都诊断)已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________． 答案 －1解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案 B解析 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 2．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表示图形的面积等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形ABCD ，其中A (0,1)，D (1,0)，边长AD ＝2，则正方形的面积S ＝2×2＝2.3．若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞答案 D解析作出不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分表示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)，故0<a ≤1或a ≥43.感悟升华 平面区域的形状问题主要有两种题型：(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状； (2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论． 考点二 求目标函数的最值角度1 求线性目标函数的最值【例1】(2021·郑州模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，x －y ≥0，则目标函数z＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．3 答案 C解析 由约束条件可得可行域如图阴影部分(含边界)所示，将z ＝2x －y 变为y ＝2x －z ，当z 取最小值时，y ＝2x －z 在y 轴截距最大，由y ＝2x 图象平移可知，当y ＝2x －z 过点A 时，在y 轴截距最大，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x得A (1,1)，∴z min ＝2×1－1＝1，故选C.角度2 求非线性目标函数的最值【例2】(1)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥1，则z ＝y x ＋2的取值范围是________．(2)(2022·景德镇模拟改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0，则(x －1)2＋y 2的最小值为________． 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，76 (2)45解析 (1)作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B (1,2)，C⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72，D (2,3)，y x ＋2的几何意义是可行域内任一点(x ，y )与点P (－2,0)连线的斜率，连接PB ，PC ，由于直线PB 的斜率为23，直线PC 的斜率为76，由图可知z ＝yx ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，76. (2)画出约束条件⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0表示的可行域，如图中阴影部分所示．设z ＝(x －1)2＋y 2，则其几何意义是区域内的点到定点(1,0)的距离的平方，由图知点(1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，点(1,0)到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2×1－0|22＋(－1)2＝25，则z min ＝d 2＝45，所以(x －1)2＋y 2的最小值为45.角度3 求参数值或取值范围【例3】(2021·太原调研)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2.感悟升华 线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有： ①截距型：例如z ＝ax ＋by ；②距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2；③斜率型：形如z ＝y －b x －a. (2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中．求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．【训练1】(1)(2021·昆明质检)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －2≤0，2x －y ＋3≥0，x ＋y ≤0，则y ＋4x ＋6的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1 B ．[－3,1] C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－37，1(2)若x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取最大值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，35 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞答案 (1)B (2)C解析 (1)画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝y ＋4x ＋6表示可行域内的点与点P (－6，－4)连线的斜率，数形结合可知目标函数在点A(－1,1)处取得最大值为1＋4－1＋6＝1，目标函数在点B(－5，－7)处取得最小值为－7＋4－5＋6＝－3，故目标函数的取值范围是[－3,1]．故选B.(2)不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数的斜率满足－23<－a<35，即－35<a<23时，z＝ax＋y仅在x＝y＝3时取得最大值，故选C.考点三实际生活中的线性规划问题【例4】(2022·安庆联考)某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过30亩，投入资金不超过25万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价莴笋5吨1万元0.5万元西红柿 4.5吨0.5万元0.4万元________万元．答案43解析设莴笋和西红柿的种植面积分别为x，y亩，一年的种植总利润为z万元．由题意可得⎩⎨⎧x ＋y ≤30，x ＋0.5y ≤25，x ≥0，y ≥0，z ＝0.5×5x ＋0.4×4.5y －(x ＋0.5y )＝1.5x ＋1.3y ， 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝1.5x ＋1.3y 经过点A 时，z 取得最大值， 又⎩⎨⎧x ＋y ＝30，x ＋0.5y ＝25，解得x ＝20，y ＝10，即A (20,10)，代入z ＝1.5x ＋1.3y 可得z ＝43. 感悟升华 1.解线性规划应用题的步骤．(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出目标函数，转化成线性规划问题．【训练2】 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元 D ．38 400元 答案 C解析 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z 元，则线性约束条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y . 画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N 时，取得最小值， 由⎩⎨⎧y －x ＝7，36x ＋60y ＝900，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝12，故N (5,12)，故z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800(元)．“隐性”的线性规划问题数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征．近几年的高考及模拟考试中常出现一类隐性线性规划问题，即通过数量与数量的关系，抽象出线性规划问题，有时以解析几何、函数、数列为背景综合考查．【典例】 如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，则mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25D ．812答案 B解析 f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8.由已知得：对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f ′(x )≤0，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0，f ′(2)≤0，所以⎩⎨⎧m ≥0，n ≥0，m ＋2n ≤18，2m ＋n ≤12.画出可行域，如图，令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0；当n ≠0时，m ＝t n.由线性规划的相关知识，只有当直线2m ＋n ＝12与曲线m ＝t n相切时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧－t n 2＝－12，6－12n ＝t n，解得n ＝6，t ＝18.所以(mn )max ＝18.素养升华 1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”，有效实现了知识模块的交汇，本例要求从题设中抓住本质条件，转化为关于“m ，n ”的约束条件．2．解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住可行域中所求点的相应几何意义．该题立意新颖，在注意基础知识的同时，提升了数学抽象核心素养，渗透了等价转化思想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力．【训练】 在等差数列{a n }中，已知首项a 1>0，公差d >0，a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100，则5a 1＋a 5的最大值为________，取到最大值时d ＝________，a 1＝________. 答案 200 20 20解析 由题意得点(a 1，d )满足⎩⎨⎧a 1>0，d >0，2a 1＋d ≤60，2a 1＋3d ≤100，画出可行域，又5a 1＋a 5＝6a 1＋4d ， 故经过B 点，即a 1＝d ＝20时，5a 1＋a 5取最大值200.A 级 基础巩固一、选择题1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3) 答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.2．(2021·合肥模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －3≥0，2x ＋y －3≥0，x ＋y －3≤0，则2x ＋3y 的最小值为( )A ．4B ． 5C ． 6D ．7 答案 B解析 画出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －3≥0，2x ＋y －3≥0，x ＋y －3≤0表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，分析知，当x ＝1，y ＝1时，z 取得最小值， 且z min ＝2＋3＝5.故选B.3．设点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0，且x ∈Z ，y ∈Z ，则这样的点共有( )A ．12个B ．11个C ．10个D ．9个 答案 A解析画出⎩⎨⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个，故选A.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，x ≥－1，y ≥－1，则目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 C解析 由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．∵z ＝－4x ＋y 可化为y ＝4x ＋z ，∴作直线l 0：y ＝4x ，并进行平移，显然当l 0过点A (－1,1)时，z 取得最大值，z max ＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.5．(2021·哈师大附中模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝2－2x＋y的最大值为( )A.132 B ．14 C ．12D ．2 答案 C解析 由实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1作出可行域如图，则z ＝2－2x ＋y 的最大值就是u ＝－2x ＋y 的最大值时取得．联立⎩⎨⎧x －y ＝0，y ＝1，解得A (1,1)，化目标函数u ＝－2x ＋y 为y ＝2x ＋u ，由图可知，当直线y ＝2x ＋u 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 有最大值2－2＋1＝12.故选C. 6．(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ；②綈p ∨q ；③p ∧綈q ；④綈p ∧綈q . 这四个命题中，所有真命题的编号是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④ 答案 A解析 法一 画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝2x ＋y 是一组平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距．显然，直线过点A (2,4)时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8. ∴2x ＋y ∈[8，＋∞)．由此得命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9正确； 命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12不正确． ∴①③真，②④假．法二 取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假． ∴①③真，②④假．7．(2019·北京卷)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( ) A ．－7 B ．1 C ．5 D ．7 答案 C解析由|x |≤1－y ，且y ≥－1，得⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.作出可行域如图阴影部分所示．设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z . 作直线l 0：y ＝－3x ，并进行平移．显然当l 0过点A (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C.8．(2021·全国大联考)设不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，2x －y ＋2≥0，x ≥1表示的平面区域为M ，则( )A ．M 的面积为92B ．M 内的点到x 轴的距离有最大值C ．点A (x ，y )在M 内时，y x ＋2<2D ．若点P (x 0，y 0)∈M ，则x 0＋y 0≠2 答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，可行域为开放区域，所以选项A 、B 错误；由图可知点(1,1)在可行域内，而此时x ＋y ＝1＋1＝2，故选项D 错误；yx ＋2表示区域M 内的点(x ，y )与N (－2,0)连线的斜率，由图知⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋2min ＝k NB ＝13，∴yx ＋2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，2，故选项C 正确，故选C. 二、填空题9．(2022·山西名校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －2y －6≤0，x ＋y －2≥0，x －4y ＋8≥0，则z ＝x －2y 的最小值是________． 答案 －4解析 由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，将z ＝x －2y 化为y ＝12x －z2，可知z的最小值即为y ＝12x －z 2在y 轴上截距最大时z 的取值，由图可知，当y ＝12x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －4y ＋8＝0得A (0,2)，∴z min ＝0－2×2＝－ 4.10．(2021·平顶山一模)已知O 为坐标原点，A (－1，－2)，P 为平面区域M ：⎩⎨⎧x ＋2y －2≤0，2x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0内任意一点，则OA →·OP →的最小值为________．答案 －2解析 由题意可得，平面区域M (如图)是由点O (0,0)，D (0,1)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23围成的四边形区域(包括边界)，由数量积的坐标运算得OA →·OP →＝－x －2y ，设z ＝－x －2y ，当直线z ＝－x －2y 平移到与DC 重合时，目标函数z ＝－x －2y 有最小值(此时点P 为线段DC 上任意一点)，且最小值为－2.故OA →·OP →的最小值为－2.11．(2022·昆明诊断)已知x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋3y ≤15，2x ＋y ≤12，x ∈N ，y ∈N ，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________． 答案 19解析 根据条件画出可行域如图中阴影部分所表示的整点，由图可知z ＝3x ＋2y 在点M 处取得最大值，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝12，x ＋3y ＝15得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫215，185，但M 点的坐标不是整数，经过平移可知经过点(5,2)满足要求，且代入得z ＝19，故最大值为19.12．已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________． 答案 3解析 设P (x ，y )，且AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)， ∴OP →＝OA →＋AP →＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)， ∴⎩⎨⎧x ＝1＋2λ＋μ，y ＝－1＋λ＋2μ⎩⎨⎧ 3μ＝2y －x ＋3，3λ＝2x －y －3，又1≤λ≤2,0≤μ≤1， ∴⎩⎨⎧0≤x －2y ≤3，6≤2x －y ≤9表示的可行域是平行四边形及内部．如图，点B (3,0)到直线x －2y ＝0的距离d ＝355.又|BN |＝ 5.∴区域D 的面积S ＝355×5＝3. B 级 能力提升13．若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C ．32 D ．2 答案 B解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示． 由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.14．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元 答案 B解析 设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎨⎧x ，y ∈N ，2x ＋3y ≤480，z ＝2x ＋y ，6x ＋y ≤960，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示的整点，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ，y ∈N)时，z 取得最大值，为360.故该企业每月利润的最大值为360千元．15．(2021·西安模拟)已知实数x ，y 满足(x ＋y －2)(x －2y ＋3)≥0，则x 2＋y 2的最小值为________． 答案95解析 由(x ＋y －2)(x －2y ＋3)≥0，得 ⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋3≥0或⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋3≤0，不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示．x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，表示平面区域内取一点到原点的距离的平方， 因为原点到x ＋y －2＝0的距离为d ＝|0＋0－2|2＝2，原点到x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|0－2×0＋3|5＝35＝355<2，所以，x 2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3552＝95. 16．(2021·九江联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧4x －3y －6≤0，2x －2y ＋1≥0，x ＋2y －1≥0，则z ＝|x －y ＋1|的最大值为________． 答案2811解析 根据约束条件画出可行域如图中阴影部分，z ＝|x －y ＋1|＝2|x －y ＋1|2表示可行域内的点到直线x －y ＋1＝0的距离的2倍．由图可知点A 到直线x －y ＋1＝0的距离最大．由⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，4x －3y －6＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1511，－211，所以z max ＝2811.。
高中数学会考复习资料基本概念和公式
高中数学会考基础知识汇总 第一章 集合与简易逻辑：一．集合1、 集合的有关概念和运算（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；（2）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ；2、子集定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ， 注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ3、真子集定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂；4、补集定义：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；5、交集与并集 交集：}|{B x A x x B A ∈∈=且 ；并集：}|{B x A x x B A ∈∈=或6、集合中元素的个数的计算： 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。
二．简易逻辑：1．复合命题： 三种形式：p 或q 、p 且q 、非p ； 判断复合命题真假：2.真值表：p 或q ，同假为假，否则为真；p 且q ，同真为真；非p ，真假相反。
3.四种命题及其关系：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若⌝p 则⌝q ； 逆否命题：若⌝q 则⌝p ； 互为逆否的两个命题是等价的。
原命题与它的逆否命题是等价命题。
4.充分条件与必要条件：若q p ⇒，则p 叫q 的充分条件； 若q p ⇐，则p 叫q 的必要条件； 若q p ⇔，则p 叫q 的充要条件；第二章 函数一． 函数1、映射：按照某种对应法则f ，集合A 中的任何一个元素，在B 中都有唯一确定的元素和它对应， 记作f ：A →B ，若B b A a ∈∈,，且元素a 和元素b 对应，那么b 叫a 的象，a 叫b 的原象。
2、函数：（1）、定义：设A ，B 是非空数集，若按某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，就称f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f （x ）， （2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；3、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R ；②分式：分母0≠，0次幂：底数0≠； ③偶次根式：被开方式0≥，例：225x y -=；④对数：真数0>，例：)11(log xy a -=4、求值域的一般方法：①图象观察法：||2.0x y =；②单调函数法： ]3,31[),13(log 2∈-=x x y ③二次函数配方法：)5,1[,42∈-=x x x y ， 222++-=x x y④“一次”分式反函数法：12+=x xy ；⑥换元法：x x y 21-+= 5、求函数解析式f （x ）的一般方法：①待定系数法：一次函数f （x ），且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求f （x ） ②配凑法：,1)1(22xx xx f +=-求f （x ）；③换元法：x x x f 2)1(+=+，求f （x ） 6、函数的单调性：（1）定义：区间D 上任意两个值21,x x ，若21x x <时有)()(21x f x f <，称)(x f 为D 上增函数； 若21x x <时有)()(21x f x f >，称)(x f 为D 上减函数。
高考数学必修五 第三章 3.3.2 第1课时线性规划的有关概念及图解法
3.3.2 简单的线性规划问题第1课时 线性规划的有关概念及图解法学习目标 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.引例 已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0.①该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x ＋3y ②的最大值.以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念. 知识点一 线性约束条件及目标函数1.在上述问题中，不等式组①是一组对变量x ，y 的约束条件，这组约束条件都是关于x ，y 的一次不等式，故又称线性约束条件.2.在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量x ，y 的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数. 知识点二 线性规划问题一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. 知识点三 可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x ，y )叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解.1.可行域内每一个点都满足约束条件.(√)2.可行解有无限多个，最优解只有一个.(×)3.不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.(×)类型一 最优解问题命题角度1 问题存在唯一最优解例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x ＋3y 的最大值.考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值解 设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ， 则y ＝－23x ＋z3，这是斜率为－23，在y 轴上的截距为z3的直线，如图.由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤(1)确定线性约束条件，线性目标函数； (2)作图——画出可行域；(3)平移——平移目标函数对应的直线z ＝ax ＋by ，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. 跟踪训练1 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围. 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值解 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图阴影部分所示)即为可行域.设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线.－13z 是直线在y 轴上的截距， 当直线截距最大时，z 的值最小， 由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大， 即z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 点坐标为(2,3)，∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小， 即z 最大.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 点坐标为(2，－1).∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x －3y ≤7，即2x －3y 的取值范围是[－5,7]. 命题角度2 问题的最优解有多个例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值.考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题解 约束条件所表示的平面区域如图(阴影部分)，由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ＝0时，最优解只有一个，过A (1,1)时取得最大值；当a ＞0，y ＝－ax ＋z 与x ＋y ＝2重合时，最优解有无数个，此时a ＝1； 当a <0，y ＝－ax ＋z 与x －y ＝0重合时，最优解有无数个，此时a ＝－1. 综上，a ＝1或a ＝－1.反思与感悟 当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解.跟踪训练2 给出平面可行域(如图阴影部分所示)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取最大值的最优解有无穷多个，则a 等于( )A.14B.35C.4D.53考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题 答案 B解析 由题意知，当直线y ＝－ax ＋z 与直线AC 重合时，最优解有无穷多个，则－a ＝5－21－6＝－35，即a ＝35，故选B.类型二 生活中的线性规划问题例3 营养专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少kg? 将已知数据列成下表：考点 实际生活中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用解 设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝28x ＋21y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，把目标函数z ＝28x ＋21y 变形为y ＝－43x ＋z21，它表示斜率为－43，且随z 变化的一族平行直线，z21是直线在y 轴上的截距，当截距最小时，z 的值最小.由图可知，当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距最小，即z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ＝5，14x ＋7y ＝6，得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫17，47. 所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 17 kg ，食物B 47 kg.反思与感悟 (1)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)在y 轴上的截距zb 是关于z 的正比例函数，其单调性取决于b 的正负.当b >0时，截距z b 越大，z 就越大；当b <0时，截距zb 越小，z 就越大.(2)求解的最优解，和目标函数与边界函数的斜率大小有关.跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.考点 生活实际中的线性规划问题题点 线性规划在实际问题中的应用 答案 4,1解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图阴影部分所示.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4,1). 易知当直线z ＝20x ＋10y 平移经过点A 时，z 取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润.1.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A.－52B.0C.53D.52考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值答案 C解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示.设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53. 2.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A.6B.7C.8D.23 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A.－3B.3C.－1D.1 考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题答案 A解析 －1a ＝2－14－1＝13，∴a ＝－3.4.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C.[－1,6]D.⎣⎡⎦⎤－6，32 考点 线性目标最优解 题点 求目标函数的取值范围 答案 A解析 作出不等式表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －y ，可得y ＝3x －z ，则－z 为直线y ＝3x －z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可知，当直线y ＝3x －z 平移到B 时，z 最小，平移到C 时，z 最大，可得B ⎝⎛⎭⎫12，3，z min ＝－32，C (2,0)，z max ＝6，∴－32≤z ≤6. 5.给出平面区域如图阴影部分所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为________.考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题 答案 35解析 将z ＝ax ＋y 变形，得y ＝－ax ＋z .当它与直线AC 重合时，z 取最大值的点有无穷多个. ∵k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.一、选择题1.若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域内，则2x －y 的最小值为( ) A.－6 B.－2 C.0 D.2 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6. 2.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A.9B.157C.1D.715考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0，得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.3.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A.－7B.－4C.1D.2 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知， 当直线l 0过D 点时，z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得D (5,3). ∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.4.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A.3，－11B.－3，－11C.11，－3D.11,3考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时，z 有最小值，经过点B 时，z 有最大值.易求得A (3,5)，B (5,3).∴z max ＝3×5－4×3＝3，z min ＝3×3－4×5＝－11. 5.已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C.1D.2 考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示.易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.6.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( )A.1B.2C.3D.4考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 B解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，又z ＝ax ＋y 的最小值为2，若a >－2，则(1,0)为最优解，解得a ＝2；若a ≤－2，则(3,4)为最优解，解得a ＝－23，舍去，故a ＝2.7.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定.若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( ) A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 由线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，当目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.8.已知A (2,5)，B (4,1).若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A.－1 B.3 C.7 D.8 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 C解析 作出线段AB ，如图所示，作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B (4,1)时，2x －y 取最大值，为2×4－1＝7. 二、填空题9.已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________.(答案用区间表示) 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 [3,8]解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示. 在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值， z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值， z max ＝2×1＋3×2＝8. 所以z ∈[3,8].10.在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，z ＝2x －y 的最小值是________.考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 －7解析 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界.三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)， x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一族与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.11.某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，则所需租赁费最少为________元. 考点 生活实际中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用 答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域(图略)，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300. 三、解答题12.设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求z ＝x ＋y 的取值范围.考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值解 作出约束条件表示的可行域，如图所示，z ＝x ＋y 表示直线y ＝－x ＋z 过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A 点时，z 有最小值.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2,0).z min ＝2，z 无最大值.∴x ＋y ∈[2，＋∞).13.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元.请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？ 考点 生活实际中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用解 设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆.列表分析数据.由表可知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且目标函数z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示.可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(8,0)是最优解.这时z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)，即用8辆A 型车，成本费最低.所以公司每天调出A 型卡车8辆时，花费成本最低. 四、探究与拓展14.若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355B. 2C.322 D. 5考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 画出不等式组所表示的平面区域如图(阴影部分)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，得A (1,2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0，得B (2,1).由题意可知当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，阴影部分夹在这两条直线之间，且与这两条直线有公共点，所以这两条直线为满足条件的距离最小的一对直线，即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.故选B.15.已知变量x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a 的取值范围.考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 解 依据约束条件，画出可行域.∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－12，目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)对应直线的斜率k 2＝－a ， 若符合题意，则需k 1＞k 2.即－12＞－a ，得a ＞12.。
高二数学上学期知识点
高二数学上学期知识点 第一部分：三角恒等变换 1.两角和与差正弦、余弦、正切公式：=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos =±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅± 1 注意正用、逆用、变形用.例如：tanA+tanB=tan<A+B><1-tanAtanB>2.二倍角公式：sin2α=ααcos sin 2⋅,cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tan 2α=αα2tan 1tan 2-.3.升幂公式是：2cos 2cos 12αα=+2sin2cos 12αα=-.4．降幂公式是：22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=.5.万能公式：sin α=2tan 12tan22αα+cos α=2tan 12tan 122αα+-tan α=2tan 12tan22αα-6.三角函数恒等变形的基本策略：〔1〕常值代换：特别是用"1〞的代换,如1=cos2θ+sin2θ〔2〕项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin2x+2cos2x=<sin2x+cos2x>+cos2x=1+cos2x ；配凑角：α=〔α+β〕－β,β=2βα+－2βα-等.〔3〕降次与升次.2sin2cos 12αα=-,22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα,sin α ,cos α可凑倍角公式；22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等．〔4〕化弦〔切〕法.将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦〔切〕.注意函数关系,尽量异名化同名、异角化同角.〔5〕引入辅助角.asin θ+bcos θ=22b a +sin<θ+ϕ>,ϕ所在象限由a 、b 的符号确定,ϕ角的值由tan ϕ=a b确定.7．注意点：三角函数式化简的目标：项数尽可能少,三角函数名称尽可能少,角尽可能小和少,次数尽可能低,分母尽可能不含三角式,尽可能不带根号,能求出值的求出值． 第二部分：解三角形1.边角关系的转化：〔ⅰ〕正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R<R 为外接圆的半径>;注：〔1〕a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;〔2〕a:b:c=sinA:sinB:sinC;<3>三角形面积公式S=12absinC=12bcsinA=12acsinB;〔ⅱ〕余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos ,bc a c b A 2cos 222-+=2.应用：〔1〕判断三角形解的个数;〔2〕判断三角形的形状;<3>求三角形中的边或角；〔4〕求三角形面积S ；注：三角形中 ①a>b ⇔A>B ⇔sinA>sinB ；②内角和为180︒；③两边之和大于第三边；④在△ABC 中有-tanC B)+tan(A -cosC B)+cos(A sinC=B)+sin(A ==,2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+在解三角形中的应用.3.解斜三角形的常规思维方法是：〔1〕已知两角和一边〔如A 、B 、c 〕,由A+B+C = π求C,由正弦定理求a 、b ．〔2〕已知两边和夹角〔如a 、b 、C 〕,应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C= π,求另一角．〔3〕已知两边和其中一边的对角〔如a 、b 、A 〕,应用正弦定理求B,由A+B+C = π求C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要注意解可能有多种情况．〔4〕已知三边a 、b 、c,应用余弦定理求A 、B,再由A+B+C = π,求角C ．〔5〕术语:坡度、仰角、俯角、方位角〔以特定基准方向为起点〔一般为北方〕,依顺时针方式旋转至指示方向所在位置,其间所夹的角度称之.方位角α的取值X 围是：0°≤α＜360. 第三部分：数列 证明数列{}n a 是等差〔比〕数列〔1〕等差数列：①定义法：对于数列{}n a ,若da a nn =-+1<常数>,则数列{}n a 是等差数列. ②等差中项法：对于数列{}n a ,若212+++=n n n a a a ,则数列{}n a 是等差数列.注：后两种方法仅适用于选择、填空：③n a pn q =+〔形如一次函数〕④2n S An Bn=+〔常数项为0的二次〕〔2〕等比数列：①定义法：对于数列{}n a ,若)0(1≠=+q q a a n n ,则数列{}n a 是等比数列.②等比中项法：对于数列{}n a ,若212++=n n n a a a )0(≠n a ,则数列{}n a 是等比数列2.求数列通项公式na 方法 <1>公式法：等差数列中an=a1+<n-1>d 等比数列中an= a1qn-1; (0)q ≠<2>⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 〔 注意 ：验证a1是否包含在an 的公式中〕 〔3〕递推式为1n a ＋＝n a ＋f<n> <采用累加法>；1n a ＋＝n a ×f<n> <采用累积法>；例已知数列{}n a 满足11a =,n n a a n n ++=--111(2)n ≥,则n a =________〔答：1n a =〕〔4〕构造法；形如n n a pa q =+,1nn n a ka b -=+〔,k b p,q 为常数且p ≠q 〕的递推数列,可构造等比数列{}na x +,例 ①已知111,32n n a a a -==+,求na 〔答：1231n n a -=-〕； 〔5〕涉与递推公式的问题,常借助于"迭代法〞解决：an ＝〔an －an-1〕+<an-1－an-2>+……＋〔a2－a1〕＋a1 ； an ＝1122n 1n 1n n a a a a a a a －－－⋅〔6〕倒数法形如11n n n a a ka b --=+的递推数列如①已知1111,31n n n a a a a --==+,求n a 〔答：132n a n =-〕；3.求数列前n 项和n S .常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.〔1〕公式法：等差数列中Sn=dn n na 2)1(1-+=2)(1n a a n + ；等比数列中 当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn=q q a n --1)1(1=q q a a n --11〔注：讨论q 是否等于1〕. 〔2〕分组法求数列的和：如an=2n+3n ； 〔3〕错位相减法：nn n c b a ⋅=,{}{}成等比数列成等差数列，n n c b ,如an=<2n-1>2n ；〔注1q ≠〕〔4〕倒序相加法求和：如①在等差数列{}n a 中,前4项的和为40,最后4项的和为80,所有各项的和为720,则这个数列的项数n=______；<答：48>;②已知22()1x f x x =+,则111(1)(2)(3)(4)((()234f f f f f f f ++++++＝___〔答：72〕〔5〕裂项法求和：)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=,如求和：1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+=_________〔答： 1n n +〕〔6〕在求含绝对值的数列前n 项和nS 问题时,注意分类讨论与转化思想的应用,总结时写成分段数列.4.nS 的最值问题方法〔1〕在等差数列{}n a 中,有关Sn 的最值问题——从项的角度求解：①当01>a ,d<0时,满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得取最大值.②当01>a ,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得取最小值.〔2〕转化成二次函数配方求最值〔注：n 是正整数,若n 不是正整数,可观察其两侧的两个整数是否满足要求〕.如①等差数列{}n a 中,125a =,917S S =,问此数列前多少项和最大？并求此最大值.〔答：前13项和最大,最大值为169〕；②若{}n a 是等差数列,首项10,a >200320040a a +>,200320040a a ⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是___ 〔答：4006〕5.求数列{an}的最大、最小项的方法〔函数思想〕：①an+1-an=……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000如an= -2n2+29n-3②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 n n a a <an>0> ,如an=n n n 10)1(9+③ an=f<n> 研究函数f<n>的增减性 如an=1562+n n6.常用性质：〔1〕等差数列的性质：对于等差数列{}n a ①．dm n a a m n)(-+=〔n m ≤〕②.若q p m n +=+,则q p m n a a a a +=+.③．若数列{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,kk S S 23-成等差数列.④．设数列{}n a 是等差数列,奇S 是奇数项的和,偶S 是偶数项项的和,n S 是前n 项的和,则有如下性质：<i>奇数项da a a 2,,,531成等差数列，公差为⋯<ii>偶数项da a a 2,,,642成等差数列，公差为⋯⑤．若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ,等差数列{}n b 的前12-n 项的和为21n T -,则2121n n n n a S b T --=.〔应用于选择、填空,要会推导,正用、逆用〕 〔2〕等比数列性质：在等比数列{}n a 中①．mn m n q a a -=〔n m ≤〕；②.若m+n=p+q,则aman=apaq ；如〔1〕在等比数列{}n a 中,3847124,512a a a a +==-,公比q 是整数,则10a =___〔答：512〕；〔2〕各项均为正数的等比数列{}n a 中,若569a a ⋅=,则3132310log log log a a a +++=〔答：10〕.③．若数列{}n a 是等比数列且q≠-1,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等比数列.如：公比为-1时,4S 、8S -4S 、12S -8S、…不成等比数列7．常见结论：〔1〕三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d ；〔2〕三个数成等比的设法：a/q,a,aq ； 〔3〕若{an}、{bn}成等差,则{kan+tbn}成等差;〔4〕若{an}、{bn}成等比,则{kan}<k≠0>、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1、{anbn}、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ba 成等比;〔5〕{an}成等差,则 <{}na c c>0>成等比. 〔6〕{bn}<bn>0>成等比,则{logcbn}<c>0且c ≠1>成等差.第四部分 不等式1．两个实数a 与b 之间的大小关系—作差法或作商法2.不等式的证明方法〔1〕比较法〔2〕综合法．〔3〕分析法注：一般地常用分析法探索证题途径,然后用综合法3. 解不等式〔1〕一元一次不等式)0(≠>a b ax 的解法①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0〔2〕一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解法〔三个二次关系〕 判别式ac b 42-=∆0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程 相异实根相等实根没有实根21x x <a b x x 221-==02=++c bx ax 的根02>++c bx ax 解集{}12x x x x x <>或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 02<++c bx ax 解集{}21x x x x <<φφ注：)(02≥>++c bx ax 解集为R,〔02>++c bx ax 对R x ∈恒成立〕 则〔Ⅰ〕⎪⎩⎪⎨⎧≤∆<∆>)0(00a 〔Ⅱ〕若二次函数系数含参数且未指明不为零时,需验证0=a若02<++c bx ax 解集为R 呢？如：关于x 的不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立,则a 的取值X 围.略解〔Ⅰ〕成立时，042<-=a 〔Ⅱ〕 ⎩⎨⎧<=∆<-002a 〔3〕绝对值不等式 如果a ＞0,那么|x|a x a a x a 22＜＜－＜＜；⇔⇔ 〔4〕分式不等式若系数含参数时,须判断或讨论系数00<=>,化负为正,写出解集.主要应用：1.解一元二次不等式；2.解分式不等式；3.解含参的一元二次不等式〔先因式分解,分类讨论,比较两根的大小〕；4恒成立问题〔注：①讨论二次项系数是否为0；②开口方向与判别式〕；5.已知12x y -≤-≤,3235x y ≤-≤,求45x y -的取值X 围；〔①换元法；②线性规划法〕.4．简单的线性规划问题应用：〔1〕会画可行域,求目标函数的最值与取得最值时的最优解〔注：可行域边界的虚实〕；〔2〕求可行域内整数点的个数；〔3〕求可行域的面积；〔4〕根据目标函数取得最值时最优解〔个数〕求参数的值〔参数可在线性约束条件中,也可在目标函数中〕；〔5〕实际问题中注意调整最优解〔反代法〕.原命题若p 则q 逆命题若q 则p互逆互否5.常用的基本不等式和重要的不等式〔1〕ab b a R b a 2,,22≥+∈则〔2〕+∈R b a ,,则ab b a 2≥+；注：几何平均数算术平均数，----+ab ba 2〔3〕),()2(222R b a b a b a ∈+≥+〔4〕),(22222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab b a ab ；6.均值不等式的应用——求最值〔可能出现在实际应用题〕设,0x y >,则2x y xy +≥〔1〕若积P y x P xy 2(有最小值定值），则和+=〔2〕若和22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即：积定和最小,和定积最大. 注：运用均值定理求最值的三要素："一正、二定、三相等〞技巧：①凑项,例122y x x =+-〔x>2〕②凑系数 ,例 当时,求的最大值；〔答：8〕③添负号,例12(2)2(2)y x x x =-+>-；④拆项,例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值〔答：9 〕⑤构造法,例 求22()(0)1xf x x x =>+21x x =+的最大值〔答：1〕.⑥"1〞的灵活代换,若0,0x y >>且191x y +=,则x y +的最小值是________<答：16>〔3〕若用均值不等式求最值,等号取不到时,需用定义法先证明单调性,后根据单调性求最值,例 求2211y x x =++.第五部分 简易逻辑逻辑联结词,命题的形式：p 或q<记作"p ∨q 〞 >；p 且q<记作"p ∧q 〞 >；非p<记作"┑q 〞 > . 2、"或〞、 "且〞、 "非〞的真值判断〔1〕"非p 〞形式复合命题的真假与F 的真假相反；〔2〕"p 且q 〞形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假；〔3〕"p 或q 〞形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真．4常见结论的否定形式原结论 否定词 原结论 否定词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于不大于至少有n 个至多有〔1n -〕个小于不小于至多有n 个至少有〔1n +〕个对所有x ,成立存在某x ,不成立p 或q p ⌝且q ⌝ 对任何x ,不成立 存在某x ,成立p 且qp ⌝或q ⌝5、四种命题：原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p.6、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：<原命题⇔逆否命题> ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真.②、原命题为真,它的否命题不一定为真.③、原命题为真,它的逆否命题一定为真.7、如果已知p ⇒q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件,记为p ⇔q. 8.命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定.9、反证法：从命题结论的反面出发〔假设〕,引出<与已知、公理、定理…>矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.第六部分 圆锥曲线定义、标准方程与性质 〔一〕椭圆 1.定义：若F1,F2是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ 〔a 为常数〕则P 点的轨迹是椭圆.注：〔1〕若2a 小于|1F 2F |,则这样的点不存在；〔2〕若2a 等于|1F 2F |,则动点的轨迹是线段1F 2F .<3>21F PF ∆中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段1PF 、2PF 、2c,有关角21PF F ∠结合起来,建立1PF +2PF 、1PF •2PF 等关系求出1PF 、2PF 的值.注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上.2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x 〔a ＞b ＞0〕,12222=+b x a y 〔a ＞b ＞0〕<注：222a b c =+>.〔1〕.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母,则椭圆的焦点在x 轴上,反之,焦点在y 轴上.〔2〕.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 定位——正确判断焦点的位置；⑵ 定量——设出标准方程后,运用待定系数法求解a 、b.3.椭圆的几何性质：线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b,a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a ce =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时,椭圆越扁；反之,e 越接近于0时,椭圆就越接近于圆.4.点与椭圆的位置关系〔1〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. 〔2〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>〔二〕双曲线 1.定义：若F1,F2是两定点,21212F F a PF PF <=-〔a 为非零常数〕,则动点P 的轨迹是双曲线.注：〔1〕若2a=|1F 2F |,则动点的轨迹是两条射线；〔2〕若2a ＞|1F 2F |,则无轨迹.〔3〕若去掉绝对值号,动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支.2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-b x a y 〔a ＞0,b ＞0〕注：〔1〕222c a b =+〔与椭圆比较〕〔2〕双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.〔3〕求双曲线的标准方程,应注意两个问题：⑴ 定位——正确判断焦点的位置；⑵ 定量——设出标准方程后,运用待定系数法求解a,b.3.双曲线的简单几何性质双曲线12222=-b y a x 为例 实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率a c e =＞1,离心率e 越大,双曲线的开口越大.双曲线的方程与渐近线方程的关系〔1〕若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：⇒=-02222b y a x x a b y ±= 〔2〕若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x 〔0λ≠〕〔3〕若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222b y a x 〔0λ≠,若0>λ,焦点在x 轴上,若0<λ,焦点在y轴上〕.特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直,分别为y=x ±,此时双曲线为等轴双曲线,可设为λ=-22y x 〔0λ≠〕.〔4〕方程221x y m n -=(0,0)m n ≠≠表示双曲线的充要条件是0mn >.〔5〕注意21F PF ∆中结合定义aPF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠,将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来.〔三〕抛物线 1.定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线.定点F 叫抛物线的焦点,定直线l 叫抛物线的准线.注：〔1〕点F 在直线l 外,〔2〕点F 在直线l 上,其轨迹是过点F 且与l 垂直的直线,而不是抛物线.2．抛物线的标准方程有四种类型：px y 22=、px y 22-=、py x 22=、py x 22-=.注：〔1〕方程中的一次项变元决定对称轴和焦点位置；〔2〕一次项前面的正负号决定曲线的开口方向；3.抛物线的几何性质,以标准方程22y px =(0)p >为例：p ：焦准距〔焦点到准线的距离〕；焦点： )0,2(p 准线： 2p x -=通径p AB 2= 焦半径：,2px CF += 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122 y1y2=－p2,x1x2=42p ;注：只适合求过焦点的弦长,对于其它的弦,只能用"弦长公式〞来求.4.直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x 2+bx+c=0,当△≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可；但如果直线和抛物线只有一个公共点,除相切外,还有直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行,此时,不能仅考虑△=0. 注意：>抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y 或或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中5.求轨迹的常用方法：〔1〕直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系,构成F<x,y>＝0,是求轨迹的最基本的方法；〔2〕待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可；〔3〕代入法〔相关点法或转移法〕：若动点P<x,y>依赖于另一动点Q<x1,y1>的变化而变化,并且Q<x1,y1>又在某已知曲线上,则可先用x 、y 的代数式表示x1、y1,再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；〔4〕定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程； 〔5〕点差法,处理圆锥曲线弦中点问题常用代点相减法,主要用于求斜率.〔注意：验证判别式大于零.〕〔6〕参数法：当动点P 〔x,y 〕坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量〔参数〕表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.注：①轨迹方程与轨迹的区别,②限制X 围,③根据曲线方程研究曲线类型时注意椭圆与圆的区别,注意次数和符号,④.涉与圆锥曲线的问题勿忘用定义解题. 〔四〕解析几何中的基本公式1.两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211,则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴, 则=AB |x2-x1| . y //AB 轴, 则=AB |y2-y1| .2.平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++则：2221B A C C d +-=注意点：①x,y 对应项系数应相等,②方程化成一般式.3.点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：22B A CBy Ax d +++=4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax 〔务必注意0∆>,k 为直线的斜率.〕.若l 与曲线交于A ),(),,(2211y xB y x 则：2122))(1(x x k AB -+==或AB12||y y =-="设而不求〞的解题思想；〕特殊的直线方程: ①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a,y 轴的方程是x=0．②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b,x 轴的方程是y=0．注：判断直线与圆锥曲线的位置关系时,优先讨论二次项系数是否为零,然后再考虑判别式与韦达定理. 第七部分 能力要求能力主要指运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力,以与应用意识和创新意识． 1.运算求解能力：能够根据法则和公式进行正确运算、变形；能够根据问题的条件,寻找并设计合理、简捷的运算方法；能够根据要求对数据进行估计和近似计算．2.数据处理能力：能够收集、整理、分析数据,能抽取对研究问题有用的信息,并作出正确判断；能够根据所学知识对数据进行进一步的整理和分析,解决所给问题．3.空间想象能力：能够根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能够准确地理解和解释图形中的基本元素与其相互关系；能够对图形进行分解、组合；能够运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质和规律.4.抽象概括能力：能从具体、生动的实例中,发现研究对象的本质；能从给定的大量信息材料中,概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或作出新的判断．5.推理论证能力：能够根据已知的事实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题的真实性．6.应用意识：能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学思想和方法解决问题,并能用数学语言正确地表述和解释．7.创新意识：能够独立思考,灵活和综合地运用所学的数学知识、思想和方法,创造性地提出问题、分析问题和解决问题．。
高二数学上册各章节知识点总结(大纲版)
不等式单元知识总结一、不等式的性质1．两个实数a 与b 之间的大小关系(1)a b 0a b (2)a b =0a =b (3)a b 0a b －＞＞；－；－＜＜．若、，则＞＞；；＜＜．a bR (4)a b 1a b (5)ab =1a =b (6)a b1a b 2．不等式的性质(1)a b b a()＞＜对称性(2)a b b ca c()＞＞＞传递性(3)a b a c b c()＞＋＞＋加法单调性a b c 0ac bc＞＞＞(4) (乘法单调性)a b c 0ac bc＞＜＜(5)a b c a c b()＋＞＞－移项法则(6)a b c d a c b d()＞＞＋＞＋同向不等式可加(7)a b c d a c b d()＞＜－＞－异向不等式可减(8)a b 0c d 0ac bd()＞＞＞＞＞同向正数不等式可乘(9)a b 00c db d()＞＞＜＜＞异向正数不等式可除a c(10)a b 0nNa b ()n n＞＞＞正数不等式可乘方(11)a b 0nNa ()n＞＞＞正数不等式可开方b n(12)a b 01a()＞＞＜正数不等式两边取倒数1b3．绝对值不等式的性质(1)|a|a |a|=a (a 0)a (a 0)≥；≥，－＜．(2)如果a ＞0，那么|x|a x aa x a 22＜＜－＜＜；|x|ax ax a x a 22＞＞＞或＜－．(3)|a ·b|＝|a|·|b|．(4)|a b| (b 0)＝≠．||||a b (5)|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|．(6)|a 1＋a 2＋……＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋……＋|a n |．二、不等式的证明1．不等式证明的依据(1)a b ab 0a b ab 0a b 0a b a b 0a b a b =0a =b实数的性质：、同号＞；、异号＜－＞＞；－＜＜；－(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|≥0；a 2≥0；(a －b)2≥0(a 、b ∈R) ②a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R ，当且仅当a=b 时取“=”号)③≥、，当且仅当时取“”号a b2ab(a b R a =b =)2．不等式的证明方法(1)比较法：要证明a ＞b(a ＜b)，只要证明a －b ＞0(a －b ＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法．用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．三、解不等式1．解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式．(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式；④解指数不等式；⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式；⑦解不等式组．2．解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质．(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．(3)注意代数式中未知数的取值范围．3．不等式的同解性(1)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0·＞与＞＞或＜＜同解．(2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0·＜与＞＜或＜＞同解．(3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0(g(x)0)＞与＞＞或＜＜同解．≠(4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0(g(x)0)＜与＞＜或＜＞同解．≠(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②与g(x)＜0同解．(7)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02＞与＞≥≥或≥＜同解．(8)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)02＜与＜≥同解．(9)当a ＞1时，a f(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．(10)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0g(x)0a a 单元知识总结一、坐标法1．点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x ，y)建立了一一对应的关系．2．两点间的距离公式设两点的坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则两点间的距离|P P |=12()()x x y y 212212特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：(1)当x 1=x 2时(两点在y 轴上或两点连线平行于y 轴)，则|P 1P 2|=|y 2－y 1|(2)当y 1=y 2时(两点在x 轴上或两点连线平行于x 轴)，则|P 1P 2|=|x 2－x 1|3．线段的定比分点(1)P P P P P PP P P PP P P P =P P P P 12121212112定义：设点把有向线段分成和两部分，那么有向线段和的数量的比，就是点分所成的比，通常用λ表示，即λ，点叫做分线段为定比λ的定比分点．PPP 2当点内分时，λ＞；当点外分时，λ＜．P P P 0P P P 01212(2)公式：分P 1(x 1，y 2)和P 2(x 2，y 2)连线所成的比为λ的分点坐标是x x x yy y 1212111λλλλλ≠()特殊情况，当是的中点时，λ，得线段的中点坐标P P P =1P P 1212公式x x x yy y 121222二、直线1．直线的倾斜角和斜率(1)当直线和x 轴相交时，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．当直线和x 轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0．所以直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用表示，即αα≠π．k k =tan ()2∴当k ≥0时，α=arctank ．(锐角) 当k ＜0时，α=π－arctank ．(钝角) (3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k =y (x x )212y x x 121≠2．直线的方程(1)点斜式已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则其方程为：y －y 0=k(x －x 0) (2)斜截式已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则其方程为：y=kx ＋b(3)两点式已知直线过两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则其方程为：y y y y x x x 121121=x (x x )12≠(4)截距式已知直线在x ，y 轴上截距分别为a 、b ，则其方程为：x ay b1(5)参数式已知直线过点P(x 0，y 0)，它的一个方向向量是(a ，b)，则其参数式方程为为参数，特别地，当方向向量为x x at yy bt00(t )v(cos α，sin α)(α为倾斜角)时，则其参数式方程为x x t yy t 00cos sin αα为参数(t )这时，的几何意义是，→→t tv =p p |t|=|p p|=|p p|000(6)一般式Ax ＋By ＋C=0 (A 、B 不同时为0)．(7)特殊的直线方程①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a ，y 轴的方程是x=0．②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b ，x 轴的方程是y=0．3．两条直线的位置关系(1)平行：当直线l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1≠b 2．当和是一般式方程时，≠l l 12A A B B C C 121212(2)重合：当l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1=b 2，当l 1和l 2是一般方程时，A AB BC C 121212(3)相交：当l 1，l 2是斜截式方程时，k 1≠k 2当，是一般式方程时，≠l l 12A A B B 2212①斜交交点：的解到角：到的角θ≠夹角公式：和夹角θ≠A x B y C A xB yC k k k k k k k k k k k k 11122222112121221121200110110l l l l 1tan ()tan ||()②垂直当和有叙截式方程时，－当和是一般式方程时，＋l l l l 1212121212k k =1A A B B =04．点P(x 0，y 0)与直线l ：Ax ＋By ＋C=0的位置关系：Ax By C =0P ()Ax By C 0P 0000＋＋在直线上点的坐标满足直线方程＋＋≠在直线外．l l 点，到直线的距离为：P(x y )d =|Ax +By +C|0000l AB225．两条平行直线l 1∶Ax ＋By ＋C 1=0，l 2∶Ax ＋By ＋C 2=0间的距离为：．d =|C C |12AB226．直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x ，y 以外，还含有特定的系数(也称参变量)．确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．(1)共点直线系方程：经过两直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，l 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2=0的交点的直线系方程为：A 1x＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0，其中λ是待定的系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，因此它不表示l 2．当λ=0时，即得A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，此时表示l 1．(2)平行直线系方程：直线y=kx ＋b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ=0(λ≠C)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C=0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是：Bx－Ay ＋λ=0．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解．7．简单的线性规划(1)二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示直线Ax ＋By ＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题，例如，z=ax ＋by ，其中x ，y 满足下列条件：A xB yC 0(0)A x B y C 0(0)A x B x C 0(0)111222n n n ＋＋≥或≤＋＋≥或≤……＋＋≥或≤(*)求z 的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x 、y 的线性约束条件，z=ax ＋by 叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．三、曲线和方程1．定义在选定的直角坐标系下，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解(一点不杂)；(2)以方程f(x ，y)=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点(一点不漏)．这时称方程f(x ，y)=0为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)．设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x ，y)|f(x ，y)=0}，若设点M 的坐标为(x 0，y 0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：(1)M P (x y )Q PQ (2)(x y )QM P QP 0000∈，∈，即；，∈∈，即．以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：(1)(x y )Q MP (2)MP(x y )Q 0000，；，．显然，当且仅当且，即时，才能称方程，PQ Q P P =Q f(x y)=0为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)．2．曲线方程的两个基本问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤：①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x ，y)表示曲线上任意一点M 的坐标；②立式：写出适合条件p 的点M 的集合p={M|p(M)}；③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)=0；④化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式；⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．(2)由方程画曲线(图形)的步骤：①讨论曲线的对称性(关于x 轴、y 轴和原点)；②求截距：方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y y()0x方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y x()0y ③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．3．交点求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．4．曲线系方程过两曲线f 1(x ，y)=0和f 2(x ，y)=0的交点的曲线系方程是f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)=0(λ∈R)．四、圆1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．2．圆的方程(1)标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2．(a ，b)为圆心，r 为半径．特别地：当圆心为(0，0)时，方程为x 2＋y 2=r2(2)一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方()()xD yE DE F22442222当＋－＞时，方程表示以－，－为圆心，以为半径的圆；D E 4F 0()22D E DEF 2212422当＋－时，方程表示点－，－D E 4F =0()22D E 22当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，无轨迹．(3)参数方程以(a ，b)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为x a r ybr cos sin θθθ为参数()特别地，以(0，0)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为x r yr cos sin θθθ为参数()3．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ．(1)d r (2)d =r (3)d r 点在圆外＞；点在圆上；点在圆内＜．4．直线与圆的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C=0和圆C ：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，则dAa Bb C AB||22．(1)0d r (2)=0d =r (3)0d r 相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞或＜；相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△或；相离直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜或＞．5．求圆的切线方法(1)已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0．①若已知切点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条，其方程是x x y yD xx E yy F 0000220()()．当，在圆外时，＋＋＋＋表示(x y )x x y y D(x )E(y )F =000000x y22过两个切点的切点弦方程．②若已知切线过圆外一点(x 0，y 0)，则设切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③若已知切线斜率为k ，则设切线方程为y=kx ＋b ，再利用相切条件求b ，这时必有两条切线．(2)已知圆x 2＋y 2=r 2．①若已知切点P 0(x 0，y 0)在圆上，则该圆过P 0点的切线方程为x 0x ＋y 0y=r 2．②已知圆的切线的斜率为，圆的切线方程为±．k y =kx r k216．圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则(1)|O O |=r r (2)|O O |=|r r |(3)|r r ||O O |r r 12121212121212两圆外切＋；两圆内切－；两圆相交－＜＜＋．单元知识总结一、圆锥曲线1．椭圆(1)定义定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数＝＜＜时，这个点的轨迹是椭圆．e (0e 1)c a(2)图形和标准方程图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0)821(a b 0)x a y b xb ya22222222(3)几何性质条件{M|MF 1|+|MF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}{M||MF |M l =|MF |M l =e 0e 1}1122点到的距离点到的距离，＜＜标准方程x ay ba b 222210()＞＞x by aa b 222210()＞＞顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b)，B 2(0，b)A 1(0，－a)，A 2(0，a)B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)轴对称轴：x 轴，y 轴．长轴长|A 1A 2|=2a ，短轴长|B 1B 2|=2b焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c)，F 2(0，c)焦距|F 1F 2|=2c(c ＞0)，c 2=a 2－b 2离心率e (0e 1)＝＜＜c a准线方程l l 12x x ：＝；：＝a c a c22l l 12y y ：＝；：＝a c ac22焦点半径|MF 1|＝a ＋ex 0，|MF 2|＝a －ex 0|MF 1|＝a ＋ey 0，|MF 2|＝a －ey 0点和椭圆的关系＞外在椭圆上＜内x ay bx y 022022001(,)(k 为切线斜率)，y kx ＝±a kb222(k 为切线斜率)，y kx ＝±b k a222切线方程x x ay y b0202＋＝1(x 0，y 0)为切点x x by y a0202＋＝1(x 0，y 0)为切点切点弦方 程(x 0，y 0)在椭圆外x x ay y b0202＋＝1(x 0，y 0)在椭圆外x x by y a0202＋＝1弦长公式|x x |1+k |y y |1+1k212122－或－其中(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为割弦端点坐标，k 为割弦所在直线的斜率2．双曲线(1)定义定义1：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．(2)图形和标准方程图8－3的标准方程为：x ayb2222－＝＞，＞1(a0b0)图8－4的标准方程为：y axb2222－＝＞，＞1(a0b0)(3)几何性质条件P ＝{M|MF 1|－|MF 2|＝2a ，a ＞0，2a ＜|F 1F 2|}．P {M||MF |M l |MF |M l e e 1}1122＝点到的距离＝点到的距离＝，＞．标准方程x ay b2222－＝＞，＞1(a 0b 0)y ax b2222－＝＞，＞1(a 0b 0)顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a)，A 2(0，a)轴对称轴：x 轴，y 轴，实轴长|A 1A 2|＝2a ，虚轴长|B 1B 2|＝2b 焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c)，F 2(0，c)焦距|F 1F 2|＝2c(c ＞0)，c 2＝a 2＋b 2离心率e (e 1)＝＞c a准线方程l l 12x x ：＝－；：＝a c ac 22l l 12y y ：＝－；：＝a c ac 22渐近线方程y x(0)＝±或－＝b a x ay b2222y x(0)＝±或－＝a b y ax b2222共渐近线的双曲线系方程x ay b2222－＝≠k(k 0)y ax b2222－＝≠k(k 0)焦点半径|MF 1|＝ex 0＋a ，|MF 2|＝ex 0－a |MF 1|＝ey 0＋a ，|MF 2|＝ey 0－a y kx ＝±a k b222(k 为切线斜率)k k ＞或＜－ba ba y kx ＝±b k a222(k 为切线斜率)k k ＞或＜－ab ab x x a y yb0202－＝1((x 0，y 0)为切点y y a x xb0202－＝1((x 0，y 0)为切点切线方程xy a a ((x y )2200＝的切线方程：＝，为切点x yy x002切点弦方程(x 0，y 0)在双曲线外x x ay y b0202－＝1(x 0，y 0)在双曲线外y y ax x b 0202－＝1弦长公式|x x |1+k |y y |1+1k212122－或－其中(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为割弦端点坐标，k 为割弦所在直线的斜率3．抛物线(1)定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离．③弦长公式：设直线为＝＋抛物线为＝，＝y kx b y 2px |AB|212k|x x ||y y |2121－＝－112k焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 24．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线．二、利用平移化简二元二次方程1．定义缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程．A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件．A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件．A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．2．对于缺xy 项的二元二次方程：Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A ，C 不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程，其方法有：①待定系数法；②配方法．椭圆：＋＝或＋＝()()()()x h ay k bx h by k a2222222211中心O ′(h ，k)双曲线：－＝或－＝()()()()x h ay k by k ax h b2222222211中心O ′(h ，k) 抛物线：对称轴平行于x 轴的抛物线方程为(y －k)2＝2p(x －h)或(y －k)2＝－2p(x －h)，顶点O ′(h ，k)．对称轴平行于y 轴的抛物线方程为：(x －h)2＝2p(y －k)或(x －h)2＝－2p(y －k)顶点O ′(h ，k)．以上方程对应的曲线按向量a ＝(－h ，－k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式．。
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学科：数学教学内容：简单的线性规划曲线和方程【基础知识精讲】1.知识的学习应遵循人类的认识规律和知识本身的渐近性；逻辑性.因此；建议同学们在学习本节时；应复习二元一次方程和平面直角坐标系中的直线的一种对应关系；在此基础上结合课本内容；理解二元一次不等式的解集在平面直角坐标系中对应的点(x；y)表示的区域.2.用二元一次不等式表示平面区域的主要应用；就是线性规划；线性规划问题主要解决的是在生产实际中的资源配置和降低资源消耗等方面的问题.因此；建议同学们在研究线性规划问题时；首先应掌握线性规划的理论方法；其次应培养自己建立数学模型的能力；在解决与线性规划有关的实际问题时；能抽象出数学本质；解决实际问题.3.教材开设简单的线性规划课程；是现代社会发展的需要；是纯理论性研究数学向应用数学知识解决实际问题发展的社会需要.所涉及的知识主要是平面线性区域的确定；建议同学们在学习本节时；要培养善于从实际问题抽象出数学模型的能力.平面区域二元一次不等式Ax+By+C≥0(A＞0；B＞0)Ax+By+C≤0(A＞0；B＞0)Ax+By+C≥0(A＞0；B＜0)Ax+By+C≤0(A＞0；B＜0＝说明对于二元一次不等式不带等号时；其表示的平面区域；应把边界直线画成虚线5.处理简单的线性规划的实际问题；关键之处在于从题意中建立目标函数；和相应的约束条件；实际上就是建立数学模型.这样解题时；将所有的约束条件罗列出来；弄清目标函数与约束条件的区别；得到目标函数的最优解；以理论指导实际生产需要.6.线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用；一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下；如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务；如何合理安排和规划；能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.常见类型有：(1)物资调运问题例如已知A1、A2两煤矿每年的产量；煤需经B1、B2两个车站运往外地；B1、B2两车站的运输能力是有限的；且已知A1、A2两煤矿运往B1、B2两上车站的运输价格；煤矿应怎样编制调运方案；能使总运费最少?(2)产品安排问题例如某工厂生产甲、乙两产品；每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A、B、C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的；这个厂每月应如何安排产品的生产；才能每月获得的总利润最大?(3)下料问题例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管；怎样下料能使损耗最小?本节学习要求：(1)画二元一次不等式表示平面区域是本节的重点；在学习思路上；应抓住“以线定界、以点(原点)定域”的思想；以Ax+By+C ≥0(A ＞0；B ＞0)为例.“以线定界”；即画二元一次方程Ax+By+c=0表示的直线定边界；其中；还要注意实线、虚线的画法.“以点定域”；由于对在直线Ax+By+C=0同侧的点；实数Ax+By+C 的值的符号都相同；故为了确定Ax+By+C 的值的符号；可采用取特殊点法；如取原点等.(2)在线性规划的实际应用中；由二元一次不等式组构成了约束条件；确定线性约束条件的可行域的方法；与由二元一次不等式表示平面区域方法相同；即由不等式组表示这些平面区域的公共区域.(3)线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值问题.在线性规划的实际应用中；建立数学模型是解决问题的关键.一般地；线性规划的数学模型是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++≤+++≤+++nm nm 22n 11n 1m m 22221211m m 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (这里“≤”也可以是“≥”或“=”；以下同) 其中a ij (i=1；2；…；n ；j=1；2；…；m)；b i (i=1；2；…；n)都是常量；x j (j=1；2；…；m)是非负变量；求Z=c 1x 1+c 2x 2+…+c m x m的最大值或最小值；这里C j (j=1；2；…；m)是常量 教科书讨论的是m=1；2的两个变量；即直角坐标系里的x ；y 两个变量的线性规划问题；这类问题常用图解法来求最优.涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法求解.(4)建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤： ①明确问题中有待确定的未知量；并用数学符号表示②明确问题中所有的限制条件(约束条件)；并用线性方程或线性不等式表示 ③明确目标函数；按问题的不同；求其最大值或最小值.培养学生研究、探索问题的积极态度；并运用所学知识解决实际问题的能力.线性规划问题；是运筹学中基础内容.线性规划的应用；主要有运输问题；生产组织问题；分配问题；合理下料等；此外；在经济领域中的布局问题、计划问题等；它们的数学家模型都是线性函数；因此；仍为线性规划问题.【重点难点解析】1.理解用二元一次不等式表示平面区域和线性规划的概念.2.掌握用二元一次不等式表示平面区域和应用线性规划的方法解决简单的实际问题的能力.3.掌握用线性规划的理论知识解决实际问题的能力.例1 某企业生产A 、B 两种产品；A 产品的单位利润为60元；B 产品的单位利润为80元；两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产；每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8h 和2.4h ；每件B 产品在两个车间都需经过1.6h ；在一定时期中；加工车间最大加工时间为240h ；装配车间最大生产时间为288h.已知销路没有问题；在此一定时期中应如何搭配生产A 产品和B 产品；企业可获得最大利润?分析 根据条件；首先应挖掘实际问题的数学本质；为此；我们通过列框图比较各因素间的关系；寻找解题的突破口.产品 单位利润 加工车间 装配车间(最大加工量240h) (最大装配量288h)A(x) 60 B(y) 80z=60x+80y 为线性目标函数.先由线性约束条件确定可行域；然后在可行域内求出目标函数的最优解.最大利润12600元.例2 设实数x 、y 满足不等式组(1)求点(x ；y)所在的平面区域(2)设a ＞-1；在(1)所求的区域内；求函数f(x ；y)=y-ax 的最大值和最小值.分析 必须使学生明确；求点(x ；y)所在的平面区域；关键是确定区域的边界线.可以去掉绝对值符号入手.解：(1)已知的不等式组等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+≤+≤03232241x x y y x 或⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+≤+≤03223241x x y y x解得点(x ；y)所在平面区域为如图1所示的阴影部分(含边界).其中AB ：y=2x-5;BC:x+y=4;CD:y=-2x+1;DA:x+y=1.图1(2)f(x ；y)表示直线l :y-ax=k 在y 轴上的截距；且直线l 与(1)中所求区域有公共点. ∵a ＞-1.∴当直线l 过顶点C 时；f(x ；y)最大. ∵C 点的坐标为(-3；7)； ∴f(x ；y)的最大值为7+3a.如果-1＜a ≤2；那么当直线l 过顶点A(2；-1)时；f(x ；y)最小；最小值为-1-2a. 如果a ＞2；那么当直线l 过顶点B(3；1)时；f(x ；y)最小；最小值为1-3a.说明：由于直线l 的斜率为参数a ；所以在求截距k 的最值时；要注意对参数a 进行讨论；方法是让直线l 动起来.例3 某工厂要安排一种产品生产；该产品有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号；生产这种产品需要两种主要资源：原材料和劳动力；每件产品所需资源数量以及每件产品出售价格如下表所示：型号货源ⅠⅡⅢ原材料(公斤/件)劳动力(小时/件)价格(元/件)424345655分析每天可利用的原材料为120公斤；劳动力为100小时；假定该产品只要生产出来即可销售出去；试确定三种型号产品的日产量；使总产值最大.建立数学模型：(1)用x1、x2、x3分别表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ种型号的日产量.(2)明确约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤++,0,0100542120634321321321xxxxxxxxx(3)明确目标函数：Z=4x1+5x2+3x3这样；这个资源利用问题的数学模型为求x1；x2；x3的值；使Z=4x1+5x2+3x3为最大；且满足约束条件.例4某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级；各级车工每人每天加工能力；成品合格率及级别加工能力(个/人天) 成品合格率(%) 工资(元/天)Ⅰ240 97Ⅱ160工厂要求每天至少加工配件2400个；车工每出一个废品；工厂要损失2元；现有Ⅰ级车工8人；Ⅱ级车工12人；且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工；试问如何安排工作；使工厂每天支出的费用最少.解析：Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x；y人.线性约束条件：目标函数：Z=［(1-97%)·240x+(1-95.5%)·160y］×和 Z=20x+18y.根据题意知即求目标函数Z的最小值.画出线性约束条件的平面区域如图2中阴影部分所示.据图(2)知、点A(6；6.3)应为既满足题意；又使目标函数最小.然而A点非整数点.故在点A上侧作平行直线经过可行域内的整点；且与原点最近距离；可知(6；7)为满足题意的整数解.图2此时Z min =20×6+18×7=246(元).即每天安排Ⅰ级车工6人；Ⅱ级车工7人时；工厂每天支出费用最少.例5 某钢厂两个炼钢炉同时各用一种方法炼钢；第一种方法；每炉用10小时；第二种方法用12小时.(这里包括清炉时间)假定这两种炼法每炉出钢都是5600公斤；而炼一公斤钢的平均燃料费：第一种方法为50元；第二种方法为70元；若要求在72小时内炼钢量不少于36720公斤；问应该怎样分配两种炼法的任务；才使燃料费最少?解：设第一种方法炼x 炉；第二种方法炼y 种；得目标函数z=5600(50x+70y)线性约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≥+0,0x 7212y 7210x 36720y)5600(x y据图解法可得整点解(6；1).即第一种方法炼6炉；第二种方法炼1炉时；燃料费最省.例6 某工厂要制造A 种电子装置45台；B 电子装置55台；为了给每台装配一个外壳；要从两种不同的薄钢板上截取；已知甲种薄钢板每张面积为2平方米；可作A 的外壳3个和B 的外壳5个；乙种薄钢板每张面积3平方米；可作A 和B 的外壳各6个；用这两种薄钢板各多少张；才能使总的用料面积最小?解：设需甲、乙两种钢板分别为x 、y 张；得目标函数Z=2x+3y ；即求Z 的最小值.据图解法易得最优整点解(5；5)；即目标函数Z 的最小值为25.即需甲、乙钢板各5张.【难题巧解点拨】例 私人办学是教育发展的方向；某人准备投资1200万元兴办一所完全中学；为了考虑社会效益和经济效益；对该地区教育市场进行调查；得出一组数据列表(以班级为单位)：班级学生数 配备教师数 硬件建设 (万元) 教师年薪 (万元)初中 50 28 高中4058根据物价部门的有关文件；初中是义务教育阶段；收费标准适当控制；预计除书本费、办公费以外每生每年可收取600元；高中每生每年可收取1500元.因生源和环境等条件限制；办学规模以20至30个班为宜；教师实行聘任制.初、高中的教育周期均为三年；请你合理地安排招生计划；使年利润最大；大约经过多少年可以收回全部投资?解：设初中编制为x 个班；高中编制为y 个班；则(x>0；y>0；x ；y ∈Z)记年利润为S ；那么S ＝3x+6y-2.4x-4y ；即 S ＝0.6x+2y. 如下图所示；作出①；②表示的平面区域；问题转化为在图中阴影部分求直线0.6x+2y-S ＝0截距的最大值；过点A 作0.6x+2y ＝0的平行线即可求出S 的最大值.联立⇒⎩⎨⎧=+=+12005828,30y x y x A 的坐标为(18；12).将x ＝18；y ＝12代入③；得S max ＝34.8. 设经过n 年可收回投资；则 11.6+23.2+34.8(n-2)＝1200； 所以 n ＝33.5.【课本难题解答】Ⅰ2.(2)答：当x ＝5；y ＝1时；z min ＝60； (3)答：当x ＝6；y ＝9时；z max ＝195； Ⅱ教材第64页；练习题第2题解：设每天应配制甲种饮料x 杯；乙种饮料y 杯；咖啡馆每天获利z ＝0.7x+1.2y(元)x 、y 满足约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0030001032000543600479y x y x y x y x最优解为(200；240) (图略)【命题趋势分析】掌握二元一次不等式表示的平面区域；理解线性规划的意义和线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；掌握线性规划问题的图解法；并能应用线怀规划的方法解决一些简单的实际问题.【典型热点考题】例1 在直角坐标平面上；求满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤100,3,3y x x y x y 的整点的个数.导析 数字较大；不易逐一清点；关键是引导学生找出规律；分别令y=0；1；2；……；找出这些线上的整点数；然后把它们相加即可；如图2.解：两条坐标轴及直线x+y=100所围成区域(含边界)上的整点共有 1+2+3+…+101=2102101⨯=5151(个). 而直线y=31x ；x+y=100及x 轴所围区域(边界不包括直线y=31x)上的整点共有： (1+1+1+1)+(2+2+2+2)+…+(25+25+25+25)=4(1+2+…+25)=1300(个)由对称性知；直线y=3x ；x+y=100及y 轴所围区域(边界不包括直线y=3x)上的整点也有1300个.故满足题条件的整点共有 5151-2×1300=2551(个)说明：先求正方形区域上的整点数；有(100+1)2=10201(个)；则半个正方形区域(含对角线)上的整点有210110201-+101=5151(个).又直线x+y=100和y=31x 的交点为B(75；25).令y=1；有101-1=100个(不含OB 上的点)；令y=1；则直线y=1与y=31x 、x+y=100的交点横坐标分别为3和99；所以3＜x ≤99；有96个点；y=2时；6＜x ≤98；有92个点；…；y=24时；72＜x ≤76；有4个点.故直线y=31x 、x+y=100及y=0所围成的区域内共有2)4100(25+△AOB 内(含边界)共有5151-2×1300=2551个整点.例2 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘；根据需要；软件至少买3片；磁盘至少买2盒；则不同的选购方式有( )A.5种B.6种C.7种 解：选C.设买单片软件x 片；盒装磁盘y 盒；则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,2,3,5007060y x y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,2,3(*),5076y x y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.7322,63y x因为x ；y 均为整数；所以x ＝3；4；5；6;y ＝2；3；4.这样(x ；y)共有12个；结合条件；肯定有些不合题意；经代入不等式(*)检验知；只有7个(x ；y)正确.说明：本题具有浓厚的时代气息；要求考生思路清晰；有良好的数学应用意识；主要考查分类讨论思想以及分析问题、解决问题的能力.例3 对平面区域D ；用N(D)表示属于D 的所有整点的个数；若A 表示由曲线y=x 2(x ≥0)和两直线x=10；y=1所围成的区域(包括边界)；B 表示曲线y=x 2(x ≥0)和两直线x=1；y=100所围成的区域(包括边界).试求N(A ∪B)+N(A ∩B)的值.导析 先画出示意图(如图)；其中A 表示由曲线y=x 2(x ≥0)和两直线x=10；y=1所围成的区域(包括边界)；B 表示由曲线y=x 2(x ≥0)和两直线x=1；y=100所围成的区域；由于102∪B 所围成的区域恰好为矩形PQRS ；其中PQ=99；QR=9；且点Q 、S 均在曲线y=x 2(x ≥0)上.因此；有N(A ∪B)=(99+1)×(9+1)=1000又A ∩B 形成的区域为抛物线弧段SQ ；它上面的整点个数为N(A ∩B)=9+1=10 ∴ N(A ∪B)+N(A ∩B)=1000+10=1010.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.已知点(3；1)和(-4；6)在直线3x-2y+a=0的两侧；则a 的取值范围是( ) A.a ＜-1或a ＞24 B.a=7或a=24 C.-7＜a ＜24 D.-24＜a ＜7⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x 则目标函数Z=x+2y 的取值范围是( ) A.［2；6］ B.(2；5) C.(3；6) D.(3；5)3.满足｜x ｜+｜y ｜≤4的整点(横纵坐标均为整数)的点(x ；y)的个数是( )二、填空题4.点P(a ；4)到直线x-2y+2=0的距离等于25且在不等式3x+y-3＞0表示的平面区域内；则点P 的坐标为 .5.在直角坐标平面上；满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-≤+--+332046422y x y x y x 面积是 .三、解答题6.求Z=8x+9y 的最大值；使式中的x ；y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥6325400y x y x y x7.有一批钢管；长度都是4000mm ；要截成500mm 和600mm 两种毛坯；且这两种毛坯数量比大于31配套；怎样截得合理.AA 级一、选择题1.不等式x-2y+6＞0表示的平面区域在直线x-2y+6=0的( )⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 表示的平面区域的面积等于( ) A.28B.16C.4393.在直角坐标平面上；由不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<-+>-0015530632032y y x y x y x 所确定的平面区域内；整点有( )A.3个B.4个C.5个二、填空题1.变量x ；y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x 设Z=x y ；则Z min = ；Z max = .2.已知集合A={(x ；y)｜｜x ｜+｜y ｜≤1}；B={(x ；y)｜(y-x)(y+x)≤0}；m=A ∩B ；则m 的面积为 .三、解答题x (log x y 2)＞0的点(x ；y)表示的平面区域.2.试求三边长均为整数；且最大边长为11的三角形的个数.3.某工厂库存A 、B 、C 三种原料；可用来生产Z ；Y 两种产品；市场调查显示可获利润问：若市场调查情况如(Ⅰ)；怎样安排生产能获得最大利润?若市场调查情况如(Ⅱ)；怎样安排生产能获得最大利润?【素质优化训练】1.设m 为平面内以A(4；1)；B(-1；-6)；C(-3；2)三点为顶点的三角形区域内(包括边界)；当点(x ；y)在区域m 上变动时；4x-3y 的最小值是 .2.设P(x ；y)是区域｜x ｜+｜y ｜≤1内的动点；则函数f(x ；y)=ax+y(a ＞0)的最大值是 .3.已知函数f(x)=x 2-6x+5；问满足⎩⎨⎧≥-≤+0)()(0)()(y f x f y f x f 的点(x ；y)在平面上的什么范围?并作图.4.某工厂生产A 、B 两种产品；已知制造A 产品1kg 要用煤9t ；电力4kw ；劳力(按工作日计算)3个；制造B 产品1kg 要用煤4t ；电力5kw ；劳力10个；又知制成A 产品1kg 可获利7万元；制成B 产品1kg 可获利12万元；现在此工厂由于受某种条件限制；只有煤360t ；电力200kw ；劳力300个；在这种条件下应生产A 、B 产品各多少kg 能获得最大经济效益?参考答案：【同步达纲练习】A 级π-18 区域为圆面(x-2)2+(y-3)2max =599 7.截500mm 钢管6节和600mm 钢管1节最合理.AA 级min =0 Z max三、1.区域如图中阴影部分(不包括边界) 2.36个；设三角形另两边长为x ；y ；问题转化为求由x ≥1；y ≤11；及x+y ＞11所围成区域内整点的个数.3.在(Ⅰ)种情况下获得最大利润为238000元；在第(Ⅱ)种情况下获得最大利润为479000元.【素质优化训练】1.最小值为-18.2.当0＜a ≤1时；最大值为1；当a ＞1时；最大值为a.3.满足条件的点(x ；y)在图中的扇形PAB 和扇形PCD 内(包括边界)；其中P 点的坐标为(3；3)4.生产A 、B 产品分别为20kg 和24kg 时；获得最大效益为420万元.。