高二数学简单的线性规划 曲线和方程

学科：数学

教学内容：简单的线性规划曲线和方程

【基础知识精讲】

1.知识的学习应遵循人类的认识规律和知识本身的渐近性；逻辑性.因此；建议同学们在学习本节时；应复习二元一次方程和平面直角坐标系中的直线的一种对应关系；在此基础上结合课本内容；理解二元一次不等式的解集在平面直角坐标系中对应的点(x；y)表示的区域.

2.用二元一次不等式表示平面区域的主要应用；就是线性规划；线性规划问题主要解决的是在生产实际中的资源配置和降低资源消耗等方面的问题.因此；建议同学们在研究线性规划问题时；首先应掌握线性规划的理论方法；其次应培养自己建立数学模型的能力；在解决与线性规划有关的实际问题时；能抽象出数学本质；解决实际问题.

3.教材开设简单的线性规划课程；是现代社会发展的需要；是纯理论性研究数学向应用数学知识解决实际问题发展的社会需要.所涉及的知识主要是平面线性区域的确定；建议同学们在学习本节时；要培养善于从实际问题抽象出数学模型的能力.

平面区域

二元一次不等式Ax+By+C≥0

(A＞0；B＞0)

Ax+By+C≤0

(A＞0；B＞0)

Ax+By+C≥0

(A＞0；B＜0)

Ax+By+C≤0

(A＞0；B＜0＝

说明对于二元一次不等式不带等号时；其表示的平面区域；应把边界

直线画成虚线

5.处理简单的线性规划的实际问题；关键之处在于从题意中建立目标函数；和相应的约束条件；实际上就是建立数学模型.这样解题时；将所有的约束条件罗列出来；弄清目标函数与约束条件的区别；得到目标函数的最优解；以理论指导实际生产需要.

6.线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用；一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下；如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务；如何合理安排和规划；能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.常见类型有：

(1)物资调运问题

例如已知A1、A2两煤矿每年的产量；煤需经B1、B2两个车站运往外地；B1、B2两车站的运输能力是有限的；且已知A1、A2两煤矿运往B1、B2两上车站的运输价格；煤矿应怎样编制调运方案；能使总运费最少?

(2)产品安排问题

例如某工厂生产甲、乙两产品；每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A、B、C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的；这个厂每月应如何安排产品的生产；才能每月获得的总利润最大?

(3)下料问题

例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管；怎样下料能使损耗最小?

本节学习要求：

(1)画二元一次不等式表示平面区域是本节的重点；在学习思路上；应抓住“以线定界、以点(原点)定域”的思想；以Ax+By+C ≥0(A ＞0；B ＞0)为例.“以线定界”；即画二元一次方程Ax+By+c=0表示的直线定边界；其中；还要注意实线、虚线的画法.“以点定域”；由于对在直线Ax+By+C=0同侧的点；实数Ax+By+C 的值的符号都相同；故为了确定Ax+By+C 的值的符号；可采用取特殊点法；如取原点等.

(2)在线性规划的实际应用中；由二元一次不等式组构成了约束条件；确定线性约束条件的可行域的方法；与由二元一次不等式表示平面区域方法相同；即由不等式组表示这些平面区域的公共区域.

(3)线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值问题.在线性规划的实际应用中；建立数学模型是解决问题的关键.一般地；线性规划的数学模型是：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++≤+++≤+++n

m nm 22n 11n 1

m m 22221211m m 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (这里“≤”也可以是“≥”或“=”；以下同) 其中a ij (i=1；2；…；n ；j=1；2；…；m)；b i (i=1；2；…；n)都是常量；x j (j=1；2；…；m)是非负变量；求

Z=c 1x 1+c 2x 2+…+c m x m

的最大值或最小值；这里C j (j=1；2；…；m)是常量 教科书讨论的是m=1；2的两个变量；即直角坐标系里的x ；y 两个变量的线性规划问题；这类问题常用图解法来求最优.涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法求解.

(4)建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤： ①明确问题中有待确定的未知量；并用数学符号表示

②明确问题中所有的限制条件(约束条件)；并用线性方程或线性不等式表示 ③明确目标函数；按问题的不同；求其最大值或最小值.

培养学生研究、探索问题的积极态度；并运用所学知识解决实际问题的能力.

线性规划问题；是运筹学中基础内容.线性规划的应用；主要有运输问题；生产组织问题；分配问题；合理下料等；此外；在经济领域中的布局问题、计划问题等；它们的数学家模型都是线性函数；因此；仍为线性规划问题.

【重点难点解析】

1.理解用二元一次不等式表示平面区域和线性规划的概念.

2.掌握用二元一次不等式表示平面区域和应用线性规划的方法解决简单的实际问题的能力.

3.掌握用线性规划的理论知识解决实际问题的能力.

例1 某企业生产A 、B 两种产品；A 产品的单位利润为60元；B 产品的单位利润为80元；两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产；每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8h 和2.4h ；每件B 产品在两个车间都需经过1.6h ；在一定时期中；加工车间最大加工时间为240h ；装配车间最大生产时间为288h.已知销路没有问题；在此一定时期中应如何搭配生产A 产品和B 产品；企业可获得最大利润?

分析 根据条件；首先应挖掘实际问题的数学本质；为此；我们通过列框图比较各因素间的关系；寻找解题的突破口.

产品 单位利润 加工车间 装配车间

(最大加工量240h) (最大装配量288h)