第一类切比雪夫多项式
切比雪夫多项式的应用
4 3.5 3 2.5 2
←f(x)
1.5 1 0.5
→L3(x)
0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
对于连续函数 g ( x) = x 20 , e x , sin(5πx), e − x sin(2πx) ，分别绘出 n = 10,13,20,21 次拉格朗日 插值多项式 Ln ( x) 的图像和原函数的图像如图 1-4 所示
>> k=0:1:10; >> X=cos((2*k+1)*pi/22); >> %求出 10 次切比雪夫多项式的零点 syms x >> F=inline('x.^20'); >> %要插值的原函数 f(x)=x.^20 >> t=linspace(-1,1,100000); >> yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
k=0:1:20; X=cos((2*k+1)*pi/42); syms x >> F=inline('sin(5*pi*x)'); %要插值的原函数 f(x)=sin(5*pi*x) t=linspace(-1,1,100000); yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
Rn ( x ) =
1 f ( n +1) (ξ x )ω n ( x) (n + 1)!
切比雪夫和切比雪夫多项式的故事 述职报告
切比雪夫和切比雪夫多项式的故事述职报告切比雪夫是俄国现代数学的开创者之一，他是优秀的纯粹数学家，也是名副其实的应用数学家。
他创建的彼得堡学派具有鲜明的理论联系实际的特色。
著名的切比雪夫多项式就是从连杆设计中升华出来的理论精华。
19世纪前，俄国数学在欧洲一直处于落后地位，切比雪夫（Pafnuty Chebyshev，1821—1894）的出现从根本上改变了这种格局。
作为一流的数学家和力学家，切比雪夫在多个领域都有所建树，比如在数论方面推进了素数分布问题的研究，在概率论方面用初等方法证明了大数定律，在函数逼近论中建立了切比雪夫多项式，在积分方面证明了微分二项式可积性条件定理等。
他注重培养学生，团结有共同志趣的人士，创建了俄国最早的数学学派——彼得堡学派。
一个富末代的童年切比雪夫出生于俄国卡卢加省博罗夫斯克的奥卡多沃。
他的家庭是名副其实的贵族家庭，祖辈有很多人立过战功。
父亲列夫·切比雪夫（Lev Pavlovich Chebyshev）是沙皇时代的一名军官。
列夫和妻子一共育有9个孩子，切比雪夫排行第二。
切比雪夫身体残疾，从小就要借助一根拐棍行走，无法与其他的孩子一样自由自在地玩耍，大多时候自得其乐，偶尔会用小刀子制作心爱的玩具。
不过，这种身体的局限反而给了他心灵上更大的自由，他可以在独处中多一些畅想，对他以后走上独立的研究道路不无益处。
19世纪初的俄国还不太强大，当时的俄国人对欧洲其他国家既害怕又羡慕。
一些无知的人主张闭关锁国来抵御地域和文化侵略，而另一些受过良好教育的人了解欧洲的文化、文学和科学，主张俄国应该更加开放和西化。
幸运的是，切比雪夫的父母是后者，持开明的态度，使他从小受到了良好的教育，也有助于他开放思想与博大胸襟的养成。
他在家里启蒙，母亲和一位聪慧的表姐为他授课。
母亲教他读书写字，表姐教他法语、算术和唱歌，这为他以后了解法国乃至世界数学的研究进展创造了条件。
1832年，他们举家搬到俄国的科学和文化中心莫斯科。
python 切比雪夫多项式寻根
python 切比雪夫多项式寻根切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）是一类特殊的正交多项式，它们在数学和工程领域中具有广泛的应用。
本文将介绍切比雪夫多项式的定义、性质以及如何使用Python寻找其根。
一、切比雪夫多项式的定义切比雪夫多项式是定义在闭区间[-1, 1]上的一组正交多项式。
它们可以通过递归关系式来定义，其中第0阶切比雪夫多项式（T_0(x)）为常数1，第1阶切比雪夫多项式（T_1(x)）为x，而其他阶的切比雪夫多项式可以通过以下递归关系式得到：T_n(x) = 2x * T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)，其中n ≥ 2切比雪夫多项式具有许多重要的性质，如正交性、最佳逼近性等。
其中，最重要的性质之一是切比雪夫多项式的根在闭区间[-1, 1]上均匀分布。
二、切比雪夫多项式的性质1. 正交性：切比雪夫多项式满足正交性质，即在[-1, 1]上的权函数为1/√(1-x^2)，当m≠n时，∫(T_m(x) * T_n(x) * (1/√(1-x^2)))dx = 0。
2. 最佳逼近性：切比雪夫多项式在[-1, 1]上是最佳逼近一类特定函数的多项式，即对于任意给定的函数f(x)，存在唯一的切比雪夫多项式T_n(x)使得∥f(x) - T_n(x)∥_∞ = min。
3. 奇偶性：切比雪夫多项式的奇偶性与其阶数相关。
当n为偶数时，切比雪夫多项式为偶函数；当n为奇数时，切比雪夫多项式为奇函数。
三、使用Python寻找切比雪夫多项式的根在Python中，可以使用numpy库中的chebyshev函数来计算切比雪夫多项式的根。
该函数的使用方法如下：```pythonimport numpy as np# 计算n阶切比雪夫多项式的根def chebyshev_roots(n):return np.polynomial.chebyshev.chebroots([0] * n + [1])# 示例：计算第5阶切比雪夫多项式的根roots = chebyshev_roots(5)print(roots)```在上述代码中，我们使用了numpy库中的chebroots函数来计算切比雪夫多项式的根。
关于第一类Chebyshev多项式与Euler数的一个恒等式
设 x 为任意复数 , 著名的第一类和第二类 Che 2
byshev 多项式 T ( x ) = { T n ( x ) } 和 U ( x ) = { U n ( x ) }
同时 , Euler 数也可由如下函数所定义[ 8 ] :
sec x =
n=0
分别由如下递推公式给出 : T n+2 ( x ) = 2 x T n+1 ( x ) - T n ( x ) , U n+2 ( x ) = 2 xU n+1 ( x ) - U n ( x ) , 式中 n ≥ 0 , T0 ( x ) = 1 , T1 ( x ) = x , U 0 ( x ) = 1 , U 1 ( x ) = 2 x. 这些多项式在函数的正交性研究中起着非常 重要的作用 . 不仅如此 , 它们还与著名的 L ucas 数及 Fibo nacci 数密切相关 , 具体表现为
L a L b L c Ed Ee Ef a+ b+ c+ d+ e+ f = n a ! b ! c ! d ! e ! f !
6
5
d+e+ f
=
β )n 8 (3 ′
n!
,
式中 n 为任意非负整数 . 下面给出定理 1 的证明过程 . 由于 [ 12 ] 1 ( 2 n 2 n T n ( x) = [ x + x - 1) + ( x x - 1) ] , 2 可作生成函数 ∞ ∞ n n α T n ( x) n 1 +β n T ( t , x) = 6 t = t , ( 3) 6 n! 2 n=0 n! n=0 式中α= x +
…
×
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
一、引言
在密码学中，困难问题是指难以在有效时间内求解的问题。
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题就是其中之一。
本文将对该问题进行详细介绍。
二、切比雪夫多项式
切比雪夫多项式是指具有最小无穷范数的实系数多项式。
它可以表示为以下形式：
T_n(x) = cos(n \arccos(x))
其中n为正整数，x为实数。
三、离散对数
离散对数是指在一个有限域上，求解给定元素的幂次方等于另一个给定元素的幂次方的问题。
具体地说，设p为一个质数，a和b为模p 意义下的整数，则求解x使得以下等式成立：
a^x \equiv b \pmod{p}
四、切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题就是求解以下等式：
T_n(a^x) \equiv T_n(b) \pmod{p}
其中a和b为模p意义下的整数，n为正整数。
该问题被证明是一个NP难问题，因此没有已知有效算法可以在多项
式时间内求解。
五、应用
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题在密码学中有广泛的应用。
例如，它可以用于构建安全的公钥密码体制，如ElGamal密码体制和Diffe-Hellman密钥交换协议。
六、总结
切比雪夫多项式离散对数基于的困难问题是一个NP难问题，在密码
学中有广泛的应用。
虽然没有已知有效算法可以在多项式时间内求解
该问题，但它仍然为构建安全的公钥密码体制提供了重要的理论支持。
第一类切比雪夫多项式
第一类切比雪夫多项式
切比雪夫多项式，是将切比雪夫函数递归地定义为多项式而得到
的一系列函数。
这些多项式常用于数值分析中，特别是近似函数和插
值函数的构造。
第一类切比雪夫多项式是在单位区间上定义的，其首项系数为1，递归式为T0(x) = 1, T1(x) = x, Tn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x)。
这些多项式的根点称为切比雪夫点，它们在数值计算和数值分析中具有
特殊的地位。
第一类切比雪夫多项式在数值计算和数值分析中的应用非常广泛，例如它们常被用来归一化数据，使其在单位区间上呈现出标准的分布。
此外，它们还可以在傅里叶分析中用于近似函数，因为它们在单位区
间上的最大偏差最小。
第一类切比雪夫多项式的一个重要特性是它们的导数具有对称性质，这意味着它们在所有切比雪夫点处的导数值相等。
因此，它们可
以用来构造具有高度对称特征的函数。
总而言之，第一类切比雪夫多项式是数值计算和数值分析中非常
有用的工具，它们被广泛应用于近似函数和插值函数的构造、数据归
一化以及傅里叶分析中。
掌握它们的性质和应用，对于数值计算和数
值分析的相关研究和实践非常重要。
高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理-教学文档
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n mm n m n m m n n C mααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，与零的偏差最小，其偏差为112n -． ()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为： 第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．3．函数列{}()n U x 的生成函数为4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则证明 由两类切比雪夫多项式的定义得而则比较式在子两边n t 项的系数，即有4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足其中插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
切比雪夫多项式定理
切比雪夫多项式定理切比雪夫多项式定理（Chebyshev Polynomial Theorem）是一个数学定理，由俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）首先提出。
它是关于多项式的定理，描述了多项式在有界域内的行为。
该定理可以用来证明许多关于多项式的性质，也可以用来解决许多多项式问题。
定理的形式如下：给定函数f(x)在区间[a,b]上单调，其中a<b，假设函数f(x)具有n次可导的连续导数，并且f(x)的n-1次导数在[a,b]上单调。
如果f(x)可以由n 次切比雪夫多项式Pn(x)表示，则有：f(x)=Pn(x)+Rn(x)其中，Pn(x)是n次切比雪夫多项式，Rn(x)是n次余项，称为切比雪夫多项式定理。
从定理可以看出，如果f(x)在[a,b]上可以由n次切比雪夫多项式表示，那么f(x)可以被分解为两部分，一部分是切比雪夫多项式Pn(x)，另一部分是余项Rn(x)。
该定理的重要性在于它提供了一种精确的方法来表示函数f(x)的行为，而不必使用近似解法。
此外，该定理也显示了函数f(x)的收敛性，即当n越大时，Pn(x)越接近f(x)，Rn(x)越小。
根据切比雪夫多项式定理，可以得出一些有用的结论，如：（1）在[a,b]上，所有可导的函数f(x)都可以表示为一组切比雪夫多项式的和；（2）在[a,b]上，函数f(x)的收敛性，即当n越大时，Pn(x)越接近f(x)，Rn(x)越小；（3）在[a,b]上，f(x)的最大值和最小值可以由切比雪夫多项式的绝对值来确定，即f max=max{|Pn(x)|}， f min=min{|Pn(x)|}（4）在[a,b]上，有f'(x)=P'n(x)+R'n(x)其中，P'n(x)是n次切比雪夫多项式的导数，R'n(x)是n次余项的导数。
切比雪夫多项式定理的应用非常广泛，在许多领域都有着广泛的应用，如量子力学、量子物理、量子化学、量子计算机、光电子学、电磁学、可编程逻辑控制器、信号处理、机器人学、计算机图形学、计算几何学、数值分析、系统工程、模式识别等等。
切比雪夫多项式及其应用
切比雪夫多项式及其应用切比雪夫多项式是数学中的经典多项式之一，它是以俄罗斯数学家彼得·切比雪夫的名字命名的。
切比雪夫多项式在数学的多个领域有重要的应用，如在逼近论、信号处理、图像处理等方面发挥着重要的作用。
一、切比雪夫多项式的定义与性质切比雪夫多项式Tn(x)的定义如下：T0(x) = 1T1(x) = xTn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x), n ≥ 2切比雪夫多项式有许多重要的性质，其中最为著名的是切比雪夫多项式的最大值性质。
对于[-1,1]上的任意实值函数f(x)，存在唯一的多项式Pn(x)（n为正整数），使得||f(x) - Pn(x)|| ≤ (1/2)^n其中||·||表示函数的无穷范数。
这意味着切比雪夫多项式在区间[-1,1]上能够以任意高的精度逼近任意实值函数。
二、切比雪夫多项式的逼近应用1. 逼近论由于切比雪夫多项式的最大值逼近性质，它在逼近论中有着广泛的应用。
人们可以利用切比雪夫多项式来逼近任意实值函数，从而解决很多实际问题。
例如，在数值计算中，我们经常需要对函数进行近似计算，而切比雪夫多项式的逼近能力使得我们能够以较高的精度近似计算函数的值，从而提高计算的准确性。
2. 信号处理在信号处理领域，切比雪夫多项式可以用于信号的滤波和降噪。
由于切比雪夫多项式的性质，我们可以构造出一类特殊的滤波器，称为切比雪夫滤波器。
这种滤波器能够有效地去除信号中的噪声，同时保持信号的重要特征。
3. 图像处理在图像处理中，切比雪夫多项式可以应用于图像的压缩和恢复。
通过对图像进行切比雪夫变换，我们可以将图像转换为切比雪夫系数，从而实现对图像的压缩。
而通过反变换，我们可以将压缩后的图像恢复为原始图像。
切比雪夫多项式的应用能够大大节省图像的存储空间，并且保持压缩后图像的质量。
三、切比雪夫多项式的数值计算方法切比雪夫多项式可以通过递推关系计算得到，但对于较高阶的多项式计算来说，递推关系的计算量会很大。
切比雪夫多项式 [Chebyshev polynomial]
![切比雪夫多项式 [Chebyshev polynomial]](https://img.taocdn.com/s3/m/bfe7bedf76eeaeaad1f33023.png)
类似地， Un 的n个根分别是：
参看
◾ 切比雪夫节点 ◾ 切比雪夫滤波器
参考
◾ M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.
定义
第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定
也可以用母函数表示 第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出
此时母函数为
从三角函数定义
第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定
其中 n = 0, 1, 2, 3, .... .
是关于
的 n次多项式，这个事实可以这么看：
是:
的实部（参见棣莫弗公式），而
从左边二项展开式可以看出实部中出现含 的项中， 都是偶数次的，从而可以表
其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).
基本性质
对每个非负整数 ，和 Nhomakorabea都为 次多项式。 并且当 为偶（奇）数时，它们
是关于 的偶（奇）函数， 在写成关于 的多项式时只有偶（奇）次项。
时， 的最高次项系数为
，
时系数为 。
最小零偏差
对
，在所有最高次项系数为1的 次多项式中 ，
对零的偏差最
小，即它是使得 在
在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程
和
切比雪夫多项式指北
有关结论（不证明）
为偶函数，
为奇函数。
在
上有 个实根，第
个
。
在
上有
个极值点，轮流取最大值 和最小值 （谁是第一个由 奇偶性决定），第
个
为
。
次第一类切比雪夫多项式次数为 （这不是废话？），最高次项系数为
（
）。
推论. 任意最高次项系数为 的 次多项式在
上的最大值/最小值的绝对值的最小值为
一类切比雪夫多项式相对应时取最值。
任意最高次项系数为aa的nn次多项式在区间ilrilr上的最大值最小值的绝对值的最小值为ar?ln22n?1ar?ln22n?1当且仅当该多项式与等次的第一类切比雪夫多项式相对应时取最值
第一类切比雪夫多项式 比较常见的是第一类切比雪夫多项式（
切比雪夫多项式指北 ），其递推式为：
得”即可。
最小。
若
凹凸性不变化，那么即求解常数 满足：
则
取最大值的点即为这个函数（如果能换元成多项式函数）整理为第一类切比雪夫多项式的极值点。
第二类切比雪夫多项式
有两种求法比较好算（ 次第二类切比雪夫多项式记为
）：
与第一类切比雪夫多项式的关系：
其实还有一些关系应该是用不到的。 定义式为：
如果需要证明，象征性地“归纳得”即可。 有关结论（不常用更不用证明）
为定值。
又
，则定值为
。
于是有：
就可以像前面一样做了（即类第二类切比雪夫多项式 (记得给辛苦的博主 tlx 点赞哦>_<
、
的情况）。
为偶函数，
为奇函数。
在
上有 个实根，第
个
。
在
上有
个极值点，轮流取最大值和最小值 （谁是第一个由 奇偶性决定），第
关于切比雪夫型方程组的研究
ｇ ｘＹ （ ， ）＝ｂ（， ＋ｂ（ ） ＋… ＋ｂ （ ） ｏ ） ） ｌｙ ｘ 一 ｍｙ ，
其 中 ０（ ）（ ＝ ，， 凡 和 ６ ｙ ０ １ …， ｙ ｉ ０ １ …，） Ｊ ）（＝ ，， ｍ） （
）， （ ）＝ ｏ （ ａｃｏ ）＝ ｃ ｓ ｎ ｒｃｓ （一１ ｎ￣ｎ２／ ） － １ ｋ
一
引理 ２ 对 于 ｋ＝ｍ —ｔ ｍ，，，∈ ， ｊ ｉ ｔ ｉ ｚ 满足 ｍ； ， Ｊ （ ｏ ）则 若无 论 ｔ ｏ ｒ ｄｔ ， 为何 值 有 尼＝ｍ ｉ 成 立 ， ｊ—ｔ恒
中 图分 类 号 ： １４ ６ ０ ７ ． 文献 标 志 码 ： Ａ
以俄 国著名 数 学 家 切 比雪 夫 （ ｓｈｂｓｈｆ， Ｔｃｅｙｃｅ 又
，
Ｙ ）＝ａ（ ） ＋ａ（ ） ＋… ＋ａ（，， ０ｙ １ｙ ｘ一 ｎ） ）
译契贝雪夫等 ， ２ － １９ ） １ １ ８４ 的名字命名 的重要的特 ８
则 当 Ｊ Ｊ 时 ， ｋ＝ ． ＝ｏ 有
其 中 ｎ， ｍ∈Ｎ ； Ｃ． （ 称 为 第 ｎ个 切 比雪夫 多 Ｅ ）
项式 ．
证明 依题意设 ｍ＝ ｔ ｚ 中 ａ ． ａ＋ ， 其 代人ｋ ＝
ｍ ｔ， 理得 ： ｊ— ｉ整
定义 ２ 第 １ 类二 维切 比雪 夫 型方 程组 定义 为 ：
结论 １ 对其任 ２ 个复数解（０（ 。 ＋ ｊ ￣ ｔ １８ 后 ２ ｒ ／， ３ ６ ，） ＣＳ｝ ） ｅｓｋ ＋ ７／， Ｓ 必有 Ｉ —． ∈ Ｏ ｊ 和（ｏ（１ ￣ ｔ Ｏ ｌ ６ ） Ｃ １） Ｊｌ ｌ ２
一
’
㈩
般 的切 比雪夫 型方 程组 的解 ， 目前 尚未见 有报 道．
切比雪夫多项式的基础理论和实际应用
切比雪夫多项式的基础理论和实际应用切比雪夫多项式是数学中的一类特殊多项式，以俄罗斯数学家彼得·切比雪夫的名字命名。
它在数值分析和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍切比雪夫多项式的基础理论和实际应用。
一、切比雪夫多项式的定义和基本性质切比雪夫多项式可以定义为一个区间内的最大偏差最小的多项式。
它的形式可以写成如下的表达式：T_n(x)=cos(n\arccos x)其中，n是多项式的次数，x是自变量。
切比雪夫多项式具有如下的基本性质：1. 切比雪夫多项式的系数是实数。
2. 切比雪夫多项式的根在闭区间[-1,1]内。
3. 切比雪夫多项式T_n(x)满足如下的正交性质：\int_{-1}^1\frac{T_m(x)T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\begin{cases}0 & m\neq n \\\pi & m=n=0 \\\pi/2 & m=n\neq 0\end{cases}4. 切比雪夫多项式的最大绝对值为1，即|T_n(x)|\leq 1。
二、切比雪夫多项式的应用1. 逼近函数切比雪夫多项式可以用于逼近一定范围内的函数，即用一个切比雪夫多项式去拟合一个函数。
这种逼近方式有很多优点，比如逼近误差收敛速度很快，逼近效果非常好。
在计算机图形学中，切比雪夫多项式也常用于逼近和重构图像。
2. 数值计算切比雪夫多项式还可以用于数值计算中的数值积分和数值微分。
例如，对于比较复杂的函数，它的积分很难算出来，但是可以用一个切比雪夫多项式去逼近它，然后对这个多项式进行积分。
类似的，在数值微分中，可以用切比雪夫多项式逼近函数，然后对多项式进行微分。
3. 物理应用切比雪夫多项式在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在震动理论中，可以用切比雪夫多项式表示一个振动系统中的位移函数。
在量子力学中，切比雪夫多项式也可用于描述一维势场中电子的波函数。
三、总结切比雪夫多项式是数学中一类非常有用的特殊多项式，具有很好的正交性质和逼近性质，可以被广泛应用于数值计算、物理学和工程学中。
切比雪夫和切比雪夫多项式的故事
切比雪夫和切比雪夫多项式的故事打开文本图片集19世纪前，俄国数学在欧洲一直处于落后地位，切比雪夫（PafnutyChebyhev，1821—1894）的出现从根本上改变了这种格局。
作为一流的数学家和力学家，切比雪夫在多个领域都有所建树，比如在数论方面推进了素数分布问题的研究，在概率论方面用初等方法证明了大数定律，在函数逼近论中建立了切比雪夫多项式，在积分方面证明了微分二项式可积性条件定理等。
他注重培养学生，团结有共同志趣的人士，创建了俄国最早的数学学派，彼得堡学派。
一个富末代的童年切比雪夫出生于俄国卡卢加省博罗夫斯克的奥卡多沃。
他的家庭是名副其实的贵族家庭，祖辈有很多人立过战功。
父亲列夫·切比雪夫（LevPavlovichChebyhev）是沙皇时代的一名军官。
列夫和妻子一共育有9个孩子，切比雪夫排行第二。
切比雪夫身体残疾，从小就要借助一根拐棍行走，无法与其他的孩子一样自由自在地玩耍，大多时候自得其乐，偶尔会用小刀子制作心爱的玩具。
不过，这种身体的局限反而给了他心灵上更大的自由，他可以在独处中多一些畅想，对他以后走上独立的研究道路不无益处。
19世纪初的俄国还不太强大，当时的俄国人对欧洲其他国家既害怕又羡慕。
一些无知的人主张闭关锁国来抵御地域和文化侵略，而另一些受过良好教育的人了解欧洲的文化、文学和科学，主张俄国应该更加开放和西化。
幸运的是，切比雪夫的父母是后者，持开明的态度，使他从小受到了良好的教育，也有助于他开放思想与博大胸襟的养成。
他在家里启蒙，母亲和一位聪慧的表姐为他授课。
母亲教他读书写字，表姐教他法语、算术和唱歌，这为他以后了解法国乃至世界数学的研究进展创造了条件。
1832年，他们举家搬到俄国的科学和文化中心莫斯科。
他的父母继续让他在家里接受教育，所不同的是，给他聘请了当时莫斯科最好的家庭老师波戈列利斯基（P。
N。
Pogorelki）。
这位老师文理兼修，写作、数学和物理都很棒，写过几本畅销的初等数学教科书，他为小切比雪夫打下了坚实的数学和人文基础。
切比雪夫多项式零点证明
切比雪夫多项式零点证明切比雪夫多项式（Chebyshev polynomial）是一类在数学中具有重要应用的特殊多项式。
在实分析和数值计算中，切比雪夫多项式的零点分布具有独特的性质，可以用于插值、逼近和优化等领域。
本文将详细介绍切比雪夫多项式的零点证明。
首先，我们来定义切比雪夫多项式。
切比雪夫多项式可以用递归的方式定义，如下：T0(x) = 1T1(x) = xTn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x) (n ≥ 2)切比雪夫多项式的零点通常被称为切比雪夫节点。
切比雪夫多项式的第n个零点可以表示为：xk = cos(π(k + 0.5)/n) (0 ≤ k < n)为了证明这一结论，我们可以通过数学归纳法来进行证明。
首先，我们可以验证n=1和n=2的情况，这是基本情况。
当n=1时，切比雪夫多项式为T1(x) = x，其零点为x0 = 0，与结论一致。
当n=2时，切比雪夫多项式为T2(x) = 2x^2 - 1，其零点为x0 = -1/√2 和x1 = 1/√2，也与结论一致。
接下来，我们假设对于任意的n≥2，切比雪夫多项式的零点公式成立。
我们要证明对于n+1的情况，也能得到相应的结论。
假设切比雪夫多项式Tn(x)的零点为x0, x1, ..., xn-1。
我们定义新的多项式Un(x) = Tn(x) - λ，其中λ为待确定的常数。
根据切比雪夫多项式的递推关系，我们有：Un+1(x) = 2xUn(x) - Un-1(x)假设Un(x)有m个零点，我们用y0, y1, ..., ym-1来表示。
因为Un(x) = Tn(x) - λ，所以Un(x)的零点与Tn(x)的零点相同。
我们还可以得到：Un+1(yi) = 2yiUn(yi) - Un-1(yi) = 0现在，我们来确定λ的值，使得Un+1(x)的零点为切比雪夫多项式Tn+1(x)的零点。
我们假设Un(x)的零点在[-1,1]之间，因为切比雪夫多项式的定义域为[-1,1]。
第一类切比雪夫多项式方程的重根规律
第一类切比雪夫多项式方程的重根规律
凌明灿;吴康
【期刊名称】《五邑大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(000)002
【摘要】All complex roots of Type I Chebyshev Polynomials equation
Tn(χ)=Tm(χ) and Tn(χ)+Tm(χ)=0 are given, the multiplicity phenomena of the equations are explored, and some funny laws are derived.% 给出一类切比雪夫多项式方程Tn(χ)=Tm(χ) 及Tn(χ)+Tm(χ)=0 的全体复根，探讨了方程的重根现象，得到一些有趣的重根规律。
【总页数】3页(P13-15)
【作者】凌明灿;吴康
【作者单位】华南师范大学数学科学学院，广东广州 510631;华南师范大学数学科学学院，广东广州 510631
【正文语种】中文
【中图分类】O174.6
【相关文献】
1.第一类切比雪夫型基本方程的重根规律 [J], 陈珊丽;方金财;吴康
2.第二类切比雪夫多项式方程的重根规律 [J], 凌明灿;吴康
3.具有重退化根的奇摄动方程的Neumann边值问题 [J], 孙玉娇;陈松林;
4.求无重根时代数方程根的一种数值迭代方法 [J], 张志海;田伶改
5.可化为一元一次方程的分式方程的增根和无解的求法和规律 [J], 李振华
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第一类切比雪夫多项式方程的重根规律
第一类切比雪夫多项式方程的重根规律凌明灿;吴康【摘要】All complex roots of Type I Chebyshev Polynomials equationTn(χ)=Tm(χ) and Tn(χ)+Tm(χ)=0 are given, the multiplicity phenomena of the equations are explored, and some funny laws are derived.% 给出一类切比雪夫多项式方程Tn(χ)=Tm(χ) 及Tn(χ)+Tm(χ)=0 的全体复根，探讨了方程的重根现象，得到一些有趣的重根规律。
【期刊名称】《五邑大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)002【总页数】3页(P13-15)【关键词】切比雪夫多项式方程;全体复根;重根规律【作者】凌明灿;吴康【作者单位】华南师范大学数学科学学院，广东广州 510631;华南师范大学数学科学学院，广东广州 510631【正文语种】中文【中图分类】O174.6切比雪夫多项式源于多倍角余弦函数的展开式，它简单、对称的特点表现了独特的数学之美，是计算数学中一类重要的特殊函数. 目前关于切比雪夫多项式的方程和方程组研究有了一定的成果[1-6]，下面着重介绍第一类切比雪夫多项式方程的重根规律.定义1[7-8] 第一类切比雪夫多项式序列定义为：其中，（实数集），且.该定义也拓广为：其中表示组合数或，；（复数集）.当且仅当且时式（1）与式（2）等价.称为第个第一类切比雪夫多项式，前8个第一类切比雪夫多项式为：，，，，，，，.文献[3]提出了切比雪夫多项式方程这一课题，并给出的全体复根. 类似地，可以求得切比雪夫多项式方程的全体复根，并可以进一步探讨其根的分布规律，即方程何时全是单根，何时存在重根以及其重数又是多少等等. 首先由引理1、2给出方程及的全体复根，证明过程可参考文献[3]，不赘. 为方便讨论，本文记整数集为，. 引理1 设，切比雪夫多项式方程的全体复根为，或. 详述为：当时，全体复根为，及单根；当时，全体复根为，及单根1.引理2 设，切比雪夫多项式方程全体复根为，或. 详述为：当时，全体复根为及. 当时，全体复根为，及单根.经研究，笔者发现此类方程的重根现象形如一盘散沙，较为复杂，要全面统一地概括其重根现象是困难的. 但经仔细推敲，仍可得到一些颇为有趣的规律，具体表述为以下定理.定理1 设，若方程及在内有重根，则必为二重根.证明由引理1知，方程在内的全体根在内取到.当时，首先必有二重根1. 因余弦函数在上是单调递减的，故有个互异复根，有个互异复根. 若方程有重根，则只能为两个系列中的相同值者，故必为二重根.同理，当时，方程的重根只能为两个系列和的相同值者，故也必为二重根. 方程同理可证.定理2 设，切比雪夫多项式方程的重根现象统一概述为：当为奇数且时，方程的全体复根均为单根；当为偶数时，若且，则方程的重根为；若或，则方程的全体复根均为单根.证明当时，假设方程有重根，由引理1有，则. 由于，所以，又，所以，，矛盾，故方程无重根.当时，首先若，由引理1知方程全体复根为单根. 假设且方程有重根，由引理1有，则. 若，则，，于是重根为；若，因为，，所以，，与假设矛盾，故方程的全体复根均为单根.定理3 设，若使得与同为奇数，则切比雪夫多项式方程的全体复根均为单根.证明用反证法证明. 事实上，记，则，均为奇数，为偶数，奇偶性未定.若方程有重根，由及引理2有，则. 因为奇数，故，，矛盾，故方程无重根，证毕. 由以上定理可编拟一些有趣的题目.例1 证明多项式方程全体复根均为单根. （定理2）例2 证明多项式方程的全体复根均为单根. （定理2）例3 证明三角方程在内的二重复根为和. （定理2）例4 设，若使得与同为奇数，证明在内的全体复根均为单根. （定义1及定理3）切比雪夫多项式方程的求解虽较为简单，但其重根现象庞大而丰富，可挖掘出许多有趣的规律. 更一般地，还可以研究多项式方程的重根现象.参考文献[责任编辑：熊玉涛]Root and Multiplicity of Type I Chebyshev Polynomials EquationLING Ming-can, WU Kang(School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)Abstract: All complex roots of Type I Chebyshev Polynomials equation and are given, the multiplicity phenomena of the equations are explored, and some funny laws are derived.Key words: Type I Chebyshev Polynomials equation; all complex roots; root and multiplicity文章编号：1006-7302（2013）02-0013-03中图分类号：O174.6文献标志码：A收稿日期：2013-03-04作者简介：凌明灿（1990—），男，广东高州人，在读硕士生，研究方向为初等数学；吴康，副教授，硕士生导师，通信作者，主要研究方向为组合数学、初等数学、竞赛数学.文献[3]提出了切比雪夫多项式方程这一课题，并给出的全体复根. 类似地，可以求得切比雪夫多项式方程的全体复根，并可以进一步探讨其根的分布规律，即方程何时全是单根，何时存在重根以及其重数又是多少等等. 首先由引理1、2给出方程及的全体复根，证明过程可参考文献[3]，不赘. 为方便讨论，本文记整数集为，. 引理1 设，切比雪夫多项式方程的全体复根为，或. 详述为：当时，全体复根为，及单根；当时，全体复根为，及单根1.引理2 设，切比雪夫多项式方程全体复根为，或. 详述为：当时，全体复根为及. 当时，全体复根为，及单根.经研究，笔者发现此类方程的重根现象形如一盘散沙，较为复杂，要全面统一地概括其重根现象是困难的. 但经仔细推敲，仍可得到一些颇为有趣的规律，具体表述为以下定理.定理1 设，若方程及在内有重根，则必为二重根.证明由引理1知，方程在内的全体根在内取到.当时，首先必有二重根1. 因余弦函数在上是单调递减的，故有个互异复根，有个互异复根. 若方程有重根，则只能为两个系列中的相同值者，故必为二重根.同理，当时，方程的重根只能为两个系列和的相同值者，故也必为二重根. 方程同理可证.定理2 设，切比雪夫多项式方程的重根现象统一概述为：当为奇数且时，方程的全体复根均为单根；当为偶数时，若且，则方程的重根为；若或，则方程的全体复根均为单根.证明当时，假设方程有重根，由引理1有，则. 由于，所以，又，所以，，矛盾，故方程无重根.当时，首先若，由引理1知方程全体复根为单根. 假设且方程有重根，由引理1有，则. 若，则，，于是重根为；若，因为，，所以，，与假设矛盾，故方程的全体复根均为单根.定理3 设，若使得与同为奇数，则切比雪夫多项式方程的全体复根均为单根.证明用反证法证明. 事实上，记，则，均为奇数，为偶数，奇偶性未定.若方程有重根，由及引理2有，则. 因为奇数，故，，矛盾，故方程无重根，证毕. 由以上定理可编拟一些有趣的题目.例1 证明多项式方程全体复根均为单根. （定理2）例2 证明多项式方程的全体复根均为单根. （定理2）例3 证明三角方程在内的二重复根为和. （定理2）例4 设，若使得与同为奇数，证明在内的全体复根均为单根. （定义1及定理3）切比雪夫多项式方程的求解虽较为简单，但其重根现象庞大而丰富，可挖掘出许多有趣的规律. 更一般地，还可以研究多项式方程的重根现象.参考文献[责任编辑：熊玉涛]Root and Multiplicity of Type I Chebyshev Polynomials EquationLING Ming-can, WU Kang(School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)Abstract: All complex roots of Type I Chebyshev Polynomials equation and are given, the multiplicity phenomena of the equations are explored, and some funny laws are derived.Key words: Type I Chebyshev Polynomials equation; all complex roots; root and multiplicity文章编号：1006-7302（2013）02-0013-03中图分类号：O174.6文献标志码：A收稿日期：2013-03-04作者简介：凌明灿（1990—），男，广东高州人，在读硕士生，研究方向为初等数学；吴康，副教授，硕士生导师，通信作者，主要研究方向为组合数学、初等数学、竞赛数学.证明用反证法证明. 事实上，记，则，均为奇数，为偶数，奇偶性未定.若方程有重根，由及引理2有，则. 因为奇数，故，，矛盾，故方程无重根，证毕.由以上定理可编拟一些有趣的题目.例1 证明多项式方程全体复根均为单根. （定理2）例2 证明多项式方程的全体复根均为单根. （定理2）例3 证明三角方程在内的二重复根为和. （定理2）例4 设，若使得与同为奇数，证明在内的全体复根均为单根. （定义1及定理3）切比雪夫多项式方程的求解虽较为简单，但其重根现象庞大而丰富，可挖掘出许多有趣的规律. 更一般地，还可以研究多项式方程的重根现象.【相关文献】[1] 吴康，龙开奋. 关于切比雪夫多项式的一些研究[J]. 中学数学研究，2006(3): 29.[2] 黎海燕，吴康. 关于切比雪夫型方程组的研究[J]. 华南师范大学学报：自然科学版，2011(1): 25-28.[3] 李静洁，吴康. 关于切比雪夫递推方程组的若干研究[J]. 汕头大学学报：自然科学版，2012(2): 5-8.[4] 凌明灿，吴康. 第二类切比雪夫型和式方程的研究[J]. 河南教育学院学报：自然科学版，2012(12): 11-13.[5] 凌明灿，吴康. 第二类切比雪夫多项式方程的重根规律[J]. 惠州学院学报：自然科学版，2012(12): 37-39.[6] 凌明灿，吴康. 一类切比雪夫型方程组的通解[J]. 江苏师范大学学报：自然科学版，2012(12): 46-49.[7] 刘式适，刘式达. 特殊函数[M]. 北京：气象出版社，2002: 314-361.[8] 叶其孝，沈永欢. 实用数学手册[M]. 2版. 北京：科学出版社，2006: 687-689.。
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第一类切比雪夫多项式第一种的切比雪夫多项式是一组正交多项式定义解决方案切比雪夫微分方程和表示。
他们是作为一个近似最小二乘适合,的一个特例盖根堡多项式与。
他们用三角也密切相关多角度的公式。
第一类切比雪夫多项式表示和实现Wolfram语言作为ChebyshevT[n x]。
归一化,这样。
最初几个多项式上面和,2,…5。
第一种的切比雪夫多项式可以定义的围道积分(1)轮廓包含原点和遍历在逆时针方向(Arfken 1985,p . 1985)。
最初几个第一类切比雪夫多项式(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)命令从最小到最大的权力时,三角形的非零系数是1;1;,2;4,18;5、16岁……(OEIS A008310).一个美丽的情节可以通过策划径向,增加每个值的半径,并填写曲线之间的区域(Trott 1999,pp。
10和84年)。
切比雪夫多项式的第一种定义的身份(9)切比雪夫多项式的第一种可以获得的生成函数(10)(11)和(12)(13)为和(分为et al . 1972,15项)。
(密切相关生成函数的定义的基础吗第二类切比雪夫多项式.)一种是直接表示(14)中定义的多项式也可以总结(15)(16)(17)在哪里是一个二项式系数和是层功能,或产品(18)(Zwillinger 1995,p . 1995)。
也满足好奇行列式方程(19)(1986年纳什)。
第一种的切比雪夫多项式的一个特例雅可比多项式与 ,(20)(21)在哪里是一个超几何函数(Koekoek 和Swarttouw 1998)。
0时(22)为2……。
极值出现的(23)在哪里。
在最大,,至少, .切比雪夫多项式是正交多项式关于权重函数(24)在哪里是克罗内克符号。
第一类切比雪夫多项式满足额外的离散的身份(25)在哪里为 , ...,是0的 .他们也满足递归关系(26)(27)为,以及(28)(29) (沃特金斯和蔡Rivlin 1993;1990年,p . 5)。
他们有一个复杂的积分表示(30)和一个罗德里格斯表示(31)使用一个快速斐波那契变换与乘法法律(32)给了(33)使用gram - schmidt正规化的范围(,1)权重函数给了(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)等等这样正常化给出了第一类切比雪夫多项式。
第一种是切比雪夫多项式的相关第一类贝塞尔函数和修改后的第一类贝塞尔函��的关系(41)(42)让允许将第一类切比雪夫多项式写成(43)(44)第二次转换后的微分方程线性相关的解决方案(45)然后由(46)(47)也可以写吗(48)在哪里是一个第二类切比雪夫多项式。
请注意,因此不是一个多项式.的三角形角度是由 , , , ,,……(OEIS A054375).的多项式(49)的程度,前几(50)(51)(52)(53)(54)是多项式的程度而保持接近在这一期间。
最大偏差在点,(55)为1……(分为et al . 1972年)。
参见:盖根堡多项式Gegenbauer多项式的解决方案是Gegenbauer微分方程为整数。
他们是相关联的概括勒让德多项式来- d空间,是成正比的(或者根据正常化,等于)特种球多项式 .Szego之后,在这个工作中,Gegenbauer多项式给出的雅可比多项式与通过(1) (Szego 1975,p . 80),从而使它们相当于Gegenbauer多项式的实现Wolfram语言作为GegenbauerC(n,λ,x)。
这些多项式给出的生成函数(2)最初几个Gegenbauer多项式(3)(4)(5)(6)的超几何函数,(7)(8)(9)他们规范化(10)为 .导数的身份包括(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18) (Szego 1975,页80 - 83)。
一个递归关系是(19)为 3 ....特殊的双-公式也存在(20)(21)(22)(23) Koschmieder(1920)表示的椭圆函数为和 .参见:合成给定一个多项式(1)的程度与根 , , ...,和一个多项式(2)的程度与根 , , ...,,合成,也表示也被称为消元式,被定义为(3) (Trott 2006年,p . 26)。
雅可比多项式雅可比多项式,也被称为超几何多项式,发生在研究旋转组和解决运动方程的对称。
他们的解决方案雅可比方程,并给其他一些特殊命名多项式作为特殊情况。
实现它们Wolfram语言作为JacobiP[n,a、b z]。
为 ,减少到一个勒让德多项式。
的盖根堡多项式(1)和第一类切比雪夫多项式也可以被视为雅可比多项式的特殊情况。
堵塞(2)到雅可比方程给出了递归关系(3)为,1,…,在那里(4)解决递归关系给了(5)为。
它们形成一个完整的正交系统的时间间隔对权重函数(6)规范化的根据(7)在哪里是一个二项式系数。
雅可比多项式也可以写(8)在哪里是γ函数和(9)雅可比多项式是正交多项式并满足(10)的系数这个词的在是由(11)他们满足递归关系(12)在哪里是一个Pochhammer 象征(13)的导数是由(14)的正交多项式与权重函数在闭区间可以表达形式(15)(Szego 1975,p . 58)。
特殊情况,是(16)(17)(18)(19)进一步的身份(20)(21)(22)(Szego 1975,p . 1975)。
的内核多项式是(23)(Szego 1975,p . 1975)。
的多项式判别是(24)(Szego 1975,p . 1975)。
的超几何函数,(25)(26)(27)在哪里是Pochhammer 象征(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 561;Koekoek 和Swarttouw 1998)。
让0的数量 ,0的数量,0的数量。
定义克莱因的象征(28)在哪里是层功能,(29)(30)(31)如果情况下 , , ..., , , , ...,, , , ...,被排除在外,那么0的数量在相应的时间间隔(32)(33)(34)(Szego 1975,页144 - 146),在那里再次的层功能.最初的几多项式是(35)(36)(37)(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 793)。
阿布拉莫维茨和Stegun(1972年,页782 - 793)和Szego(1975年,Ch 。
4)额外的身份。
第二类切比雪夫多项式一组修改的切比雪夫多项式的定义略有不同生成函数。
他们出现在四维的发展球面谐波角动量理论。
他们的一个特例盖根堡多项式与。
他们用三角也密切相关多角度的公式。
第二类切比雪夫多项式表示和实施Wolfram 语言作为ChebyshevU [n x]。
的多项式说明上面和,2,…5。
最初几个第二类切比雪夫多项式(1)(2) (3)(4) (5)(6)(7)命令从最小到最大的权力时,三角形的非零系数是1;2;4;,8;16日,6,32岁,…(OEIS A053117).定义生成函数第二类切比雪夫多项式的(8)(9)为和。
看到的关系第一类切比雪夫多项式,取方程(9)获得(10)(11)(◇)乘以然后给了(12)并添加(12)和(◇)(13)(14)这是相同的生成函数至于第一类切比雪夫多项式除了一个额外的因素在分母.的罗德里格斯表示为是(15)中定义的多项式也可以总结(16)(17)在哪里是层功能和是天花板上的函数,或产品(18)(Zwillinger 1995,p . 1995)。
也遵守有趣行列式身份(19)第二类切比雪夫多项式的一个特例雅可比多项式与,(20)(21)在哪里是一个超几何函数(Koekoek和Swarttouw 1998)。
让允许将第二类切比雪夫多项式写成(22)第二个线性相关的解决方案转换然后给出的微分方程(23)也可以写吗(24)在哪里是一个第一类切比雪夫多项式。
请注意,因此不是一个多项式.的三角形角度是由 , , , ,,……(OEIS A054376).。