上海交大附中2022年初中数学自主招生试卷
2024初升高自主招生数学试卷(四)及参考答案
2024初升高自主招生数学模拟试卷（四）一、选择题1．将4046减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…依此类推，直至最后减去余下的则最后余下的数为()A.4B.3C.2D.12．若正实数a，b，c满足不等式组则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b3．若实数a，b满足等式2a-b=2a2-2则a b=()A. C. D.44．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=33，点D是平面内一动点，且上ADB=30°，连CD，则CD长的最大值是()A.8B.9C.10D.115．已知三个实数x1，x2，x3它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7，则这样的三元数组(x1，x2，x3)共有组()A.3B.4C.5D.66．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sin B=45，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰△ADE，使∠ADE=∠B，连CE，则CEBC ()A.65 B.56 C.58 D.5127．四边形ABCD 中，AC ，BD 是其两对角线，△ABC 是等边三角形，AD =6，BD =10，CD =8，则∠ADC =()A.30°B.45°C.60°D.75°二、填空题8．已知19个连续整数的和为380，则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__.9．已知x =54-，则(2x +1)(x +1)(2x +3)(x +2)=.10．在实数范围内因式分解：a 2-2b 2+3c 2-ab +bc +4ca =.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A (4，0)，B (4，)，连OB ，AB ，若线段OB ，AB 分别交双曲线(0k y k x =>，0)x >于点D ，E （异于点B ），若DE 丄OB ，则k 的值为.12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相外切，若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于.13．在菱形ABCD 中，∠A =60°，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，将△AEF 沿着EF 对折，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G ，若DG =4，BG =6，则△AEF 的面积等于.14．对于任意不为0的实数a ，b ，c 定义一种新运算“#”：①a #a =1；②a #(b #c )=(a #b )c ，则关于x 的方程(x 2)#2=x +4的根为.三、解答题15．回答下列问题：（1）解方程：x =(x 2+4x 一3)2+4x 2+16x 一15；（2）求所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2-(2a -1)x +4a -3=0的两根均为整数.16．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点（异于C，D），连BE，以BE为对角线作正方形BGEF，EF与BD交于点H，连AF.（1）求证：A，F，C三点共线；（2）若CE：DE=1：2，求DHBH的值.17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=ax2+bx+c(a>0)经过点(0，-3)和(4，-11)，且在x轴上截得的线段长为（1）求抛物线C1的解析式；（2）已知点A在抛物线C1上，且在其对称轴右侧，点B在抛物线C1的对称轴上，若△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；（3）将抛物线C1向左平行移动3个单位得到抛物线C2，直线y=kx(k≠0)与C2交于E，F两点，直线2y xk=-与C2交于G，H两点，若M，N分别为线段EF和线段GH的中点，连接MN.求证：直线MN过定点.18．如图，等边△ABC内有一动点D，△CDE是等边三角形（点B，E在直线AC两侧），直线BD与直线AE交于点F.（1）判断∠AFC的大小是否为定值？若是定值，求出其大小；若不是定值，请说明理由.（2）若AB=5，CD=3，求线段AF长的最小值.参考答案1．答案：C解析：令,第二次余下的数为,,.故选：C.2．答案：B解析：由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是因此,故选：B.3．答案：A,根据非负性可知,所以故选：A.4．答案：B解析：要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=11211123323a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c abc c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =连,则,,于是点D 在以为直径的圆上（与E 在直线同侧）,设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,故选：B.5．答案：C 解析：由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得于是,或.当,解得或故选：C.6．答案：D解析：由条件知,,所以,所以,又公共,所以,所以也是等腰三角形,于是发现,故选：D.7．答案：A解析：以为一边在四边形外作等边,连,则可证,所以,又,,于是,所以,故选：A.AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=12321331267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒8．答案：1050解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,,解得,所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为30,32,34,,70,.9．答案：42解析：由条件得,又.10．答案：解析：利用待定系数法或双十字相乘法.解析：由条件知,设,则,,又,,所以,,于是于,所以（舍）或12．答案：18解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,解得.解析：作于点P ,设,则,,,,n 18n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦()()222522536742x x x x =++++=⨯=()()23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-在中,,即,解得所以14．答案：4或-2解析：令,因,由得,令,由得,于是,所以,解方程得两根分别为4或-2.15．答案：（1）解析：（1）原方程可化为令,则原方程可化为,于是,整理得,所以于是或,当时,,解得当时,,解得综上,原方程的根为（2）不妨设两根为,,则根据韦达定理可知,,于是,所以6PG x=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)2#2x x =+4x =+x ==()()222434433x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223x x --=因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时当时,解得,此时16．答案：（1）见解析解析：证明：（1）在正方形和正方形中,所以,即,所以,所以,又,所以A ,F ,C 三点共线（2）因,设,则,,因,,公共,所以,于是即,解得所以17．答案：（1）（2）或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩122321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩1211x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =DH BD BH =-=-==263y x x =--()7,4()6,3-（3）解析：（1）由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.（2）当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,综上所述,点A 的坐标为或.（3）由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得所以,其过定点.18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析()0,1316411,c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >163a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭:MN y px q =+222221k k p q p q kk ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k-=+()0,1AFC ∠120︒（2）解析：（1）的大小是定值,定值大小为,理由如下：在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是（2）由（1）知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,由（1）得,,于是在和中,,所以,所以,于是所以线段长的最小值为.4AFC ∠120︒ABC △CDE △AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。
上海四校自招-数学交附卷解析
a 2 · a 2 3 = 四校自招-数学·交附卷学而思高中部 胡晓晨老师υυυρ 1. BP = 1 υυυρ BA + 1 υυυρ BC = 2 υυυρ BC + 1 υυυρCA = a - 2b3 3 3 3 3【高中知识点】向量的分解2. a + 2 ≥ 2 = 2a 【高中知识点】均值不等式3. 360 = 23 ⨯32 ⨯5约数个数为4⨯3⨯ 2 = 244. 所有可能的情况为1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 14322134, 2143, 2314, 2341, 2413, 24313124, 3142, 3214, 3241, 3412, 34214123, 4132, 4213, 4231, 4312, 432193全都发错有9 种可能，因此概率为 24 82 + 5.520136. 2014【高中知识点】裂项求和7. 设纸的厚度为r ，则2⨯80r = 10即 r = 1 16L = 2π (r + 2r + 3r +Λ+ 80r ) = 6480π r = 405π cm【高中知识点】等差数列求和8.(m - 4)(n - 2) = 8= 8⨯1 = 1⨯ 8= 2 ⨯ 4 = 4 ⨯ 2= (-8) ⨯(-1) = (-1) ⨯(-8)= (-4) ⨯(-2) = (-2) ⨯(-4)2依次检验，只有前 3 组符合题意，故(m , n ) 的个数为3 个9. 设 x 2 - 2x = t ，则2t = 6 -1 ，即2t 2 + t - 6 = 0 ，即(t + 2)(2t - 3) = 0 t ∴ t = -2 或 3 2又t = (x -1)2 -1 ≥ -1∴ t = 3210. 四11. 考虑四个角的小直角三角形，每个小直角三角形的斜边上的高为2则面积为( )2 = 2 4因此，重叠的面积为1- 3 - 2 2 =2 2 +1 4 42 9 412. 7 5 36 1 813. 一位数中，1 出现了1次两位数中 1 在十位上出现了10 次，在个位上，出现了9 次这样，前两位数共出现20 次三位数中，1 在百位上共出现了 100 次，十位和个位看成一个整体，共出现了数字 1 有20⨯9 = 180 次 最后数 1000 里面出现了 1 有1次一共有20 +100 +180 +1 = 301 次【高中知识点】组合计数14. 线段 AB 垂直平分线的方程为 y = -x + 2因此，设 P (t , -t + 2) ，则 PC 2 = (t -1)2 + (-t + 2 - 5)2= 8即 2t 2 + 4t +10 = 8 ，解得t = -1因此 P (-1,3)【高中知识点】解析几何——直线与圆的方程15. 两式相减，得97x = 97 y ，即 x = y2 -1 2 -13 - 2 2AB 2 - BE 2 5 -58 BA 2⎧x = ⎪ 因此方程的解为⎨ ⎪ y = ⎩ 2531253116. (-4, 4)【高中知识点】解析几何——点关于直线的对称17. 在ςABC 中作∠CAB 的角平分线 AD设 AB = x ，则∠C = 36︒ ， ∠CAB = ∠B = 72︒ ， ∠CAD = ∠BAD = 36︒可得ςBAD ∽ςBCA故 BA= BDBC BA2则 BD = = x BC ∴ CD = CB - BD =1- x 2又∠C = ∠CAD = 36︒ ，故 DA = DC =1- x 2又∠ADB = ∠B = 72︒ ，故 AB = AD ，即 x = 1- x 2∴ x 2 + x -1 = 0解得 x =∴ AB = 5 -1或 - 2 5 -125 -1（舍）2 过 A 作ςABC 的高 AE ，则AE = = x 2 = 3 - 5 2则 AE == = 10 - 2 54则 S = 1 CB ·AE = 10 - 2 5ς ABC2 818.(1)设 f (x ) = a (x + 3)(x -1) ，且 f (-1) = 4解得a = -1∴ f (x ) = -(x + 3)(x -1) = -x 2 - 2x + 3∴ a = -1， b = -2 ， c = 3(2) 依题意，当 S ςCDP 的面积最大时， P 到直线CD 的距离最大x - ( )2 x 222 3 - 5 - (3 - 5 )2 2 4 ⎪2 那么，过点 P 作平行于CD 的直线，必与抛物线相切（否则在平行线的上方，有到比CD 的距离更远的点） C (-4, -6)， D (1, -1) ，则直线CD 的斜率为k =-1- (-6) = 1 1- (-4)设过 P 的直线为 y = x + b ，代入 y = -x 2- 2x + 3 得 x 2 + 3x + (b - 3) = 0∴∆ = 9 - 4(b - 3) = 21- 4b = 0 ∴ b = 214方程即 x 2 + 3x + 9 = 0 ，所以得 x =- 34 2 则 y = - 3 + 21 = 152 4 4∴当 Sς PCD 面积最大时， P 的坐标为 P (- 3 ,15)2 4 【高中知识点】解析几何——直线的方程19. 假设 = p ，其中 p , q 为整数且互质 q则 p = 2q ， p 2 = 2q2 故 p 2 为偶数，则 p 为偶数设 p = 2m ，则(2m )2 = 2q 2 ，得 q 2 = 2m2则 q 2 为偶数，则q 为偶数 p , q 均为偶数，与 p , q 互质矛盾！故 不是有理数【高中知识点】反证法【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从设计到的高中知识点来说，交大附中的考察特点是“杂”，基本上都有涉及，无明显的针对性，如向量、均值不等式、反证法、数列求和、解析几何、组合计数等等，而且考察的也比较基础简单（例如数列求和的两道题可归类于小学奥数内容），涉及到的也不深，考试足以通过初中知识或小学奥数知识解决如 17 题，是初中讲过的“黄金三角形”，只要基础好，本题可秒杀19 题，是初中课本的拓展内容的原题，考生只要留心课本的拓展内容即可2. 初高衔接知识点分析2高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到95%，几何大约5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主在本卷中也有所体现，如第5, 8, 9, 10, 15, 18, 19 题，对于代数式变换和二次函数考察的较多，但不太深，只要接触过一点便能解决，建议学生在这方面平时稍加训练即可3.初中知识点分析初中知识以几何为主，本卷中几何考到的较多，如第1, 7, 10, 11, 14, 16, 17 都在考察平面几何知识，有一定难度但不偏不怪，想做对，要牢牢打好初中几何的基础，否则考试时会在这方面吃亏数论知识考察的不多，仅在第3,8 题涉及，而且考察点只有“质因数分解，约数个数”这些很基础的内容，建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏组合知识在第4, 13 题中考到，两道题都需要用枚举方法解决，但难度不算很低，建议考生在组合知识方面稍加训练以对应考试。
上海交大附中2022年初中数学自主招生试卷
交大附中自主招生试卷第一局部 1.13x x +=-，求3311000x x ++.2.11(1)x x x t x x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和.3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .4. 346y x x =-+，假设a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.5. 22(2)y x m =-+，假设抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.6. DE 为BC 的切线，正方形ABCD 边长为200，BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长.7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =， 求M 的横坐标.8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.9. 横纵坐标均为整数的点为整点，〔12m a <<〕，y mx a =+〔1100x ≤≤〕，不经过整点，求a 可取到的最大值.10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.第二局部〔科学素养〕1. 直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长〔写出10组〕.2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第〔3〕小题为不等式证明 1212[(1)]()1()f bx b x bf x bf x ++<+-〔1〕14b =；〔2〕13b =.〔注：选〔1〕做对得10分，选〔2〕做对得20分〕3. 请用最优美的语言赞美仰晖班〔80字左右〕〔17分〕4. 附加题〔25分〕 〔2 points 〕 solve the following system of equations for 2122.2221w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 〔4 points 〕Compute 98212n n n n ∞++++ 〔6 points 〕Solve the 2018416431x x x x x +++⋅⋅⋅++=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to xA 〕〔3 points 〕Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B 〕〔4points 〕Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation23[]40x x --=，find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+C 〕〔6 points 〕Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =。
上海交通大学附属中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷带讲解
【答案】
【分析】利用配方法解方程即可．
【详解】解：
∴
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用配方法解一元二次方程是解题的关键．
24.已知 ，求 的值．
【答案】
分析】先化简 ，将 配方，然后代入即可求解．
【详解】解：∵
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
∴有 ，即 ，
解得：k 且k≠1．
答：k的取值范围为k< 且k≠1．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟练掌握有两个不等根的要求是解题的关键.
27.已知反比例函数 ，当 时， .
（1）求y关于x 函数表达式；
（2）当 且 时，求自变量x的取值范围.
【答案】（1）
（2） 或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
3.化简 （y＜0）的结果是（ ）
A.y B.y C.﹣y D.﹣y
【答案】D
【分析】根据二次根式的概念求出x的符号,根据二次根式的性质化简即可.
【详解】由二次根式的概念可知, ,又 ,
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可．
【详解】解：A、 a与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、 = |a|与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、 =|a| 与 被开方数相同，故是同类二次根式；
D、 =a2与 被开方数不同，故不是同类二次根式．
16.已知反比例函数 的图象如图所示，则实数m的取值范围是______．
上海市交通大学附属中学(交大附中)2019年-自主招生数学试卷 (PDF版 含答案)
2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。
篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等；一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有人.7、已知,,,a b c n 是互不相等的正整数，且1111a b c n +++也是整数，则n 的最大值是.8、如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为.9、若关于x 的方程()()2460x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m =.10、设ABC 的三边,,a b c 均为正整数，且40a b c ++=，当乘积abc 最大时，ABC 的面积为.11、如图，在直角坐标系中，将AOB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -，()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为.二、解答题12、如图，数轴上从左到右依次有,,,A B C D 四个点，它们对应的实数分别为,,,a b c d ，如果存在实数λ,满足：对线段AB 和CD 上的任意M W，其对应的数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(),,,,a b c d λ为“完美数组”。
交大附中自招真题试卷卷
交大附中自招真题卷整理【例 1】已知甲、乙、丙三个电荷，依次排列在同素来线上，且都处于静止状态，由此可以判断（）A.甲、乙、丙带同种电荷B.甲、丙带同种电荷，甲、乙带异种电荷C.甲、丙带同种电荷，甲、乙可能带同种电荷，也可能带异种电荷D.无论甲、乙、丙带何种电荷，均可能使它们同时静止【例 2】以下列图，作用在杠杆一端且向来与杠杆垂直的力F，将杠杆缓慢地由地址 A 拉至地址 B，在这个过程中，力 F 的大小（）A. 变小B.不变C.变大D.先变大后变小【例 3】人们常常用充气泵为金鱼缸内的水补充氧气，以下列图为充气泵气室的工作原理图。
设大气压强为P0，气室中的气体压强为P，气体经过阀门S1、S2与空气导管相连接，以下选项中正确的选项是（）A.当橡皮碗被拉伸时， P>P0， S1开通 ,S 2关闭B.当橡皮碗被拉伸时， P<P0， S1开通， S2关闭C.当橡皮碗被压缩时， P>P0， S1关闭， S2开通D.当橡皮碗被压缩时， P<P0， S1关闭， S2开通【例 4】以下列图，静止的传达带上有一木块 A 正在匀速下滑, 当传达带突然向上开动时，木块滑终究部所需的时间t 与传达带静止不动时所需时间t 0对照（）A.t=t 0B.t>t 0C.t<t 0D.无法判断【例5】某旅客在火车车厢内以米/ 秒的速度行走。
当车厢静止时，他从车厢头走到车厢尾需要 20 秒。
当火车以10 米/ 秒的速度向前匀速行驶时，则他从车厢头走到车厢尾需要的时间是 ______秒，站在地面上的人看见该旅客经过的行程为______米。
【例 6】以下列图，将一块重为3N，体积为100cm3的石块，用细线系着吞没在装有水的圆柱形容器中，容器中水的深度由10cm上升到 12cm。
则石块所受浮力大小为______牛；细线松动，石块沉到容器底静止后，容器对水平川面的压强为______帕 ( 容器的重力和容器壁的厚度， g=10N/kg) 。
交大附中初三数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 3.14D. 0答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数比的数，0可以表示为0/1，因此是有理数。
2. 下列各式中，正确的是（）A. a^2 = b^2，则a = bB. a^2 = b^2，则a = ±bC. a^2 = b^2，则a = ±b，且a ≠ bD. a^2 = b^2，则a = ±b，且a = b答案：B解析：根据平方根的定义，a^2 = b^2可以推出a = ±b。
3. 已知方程x^2 - 4x + 3 = 0，则该方程的解为（）A. x1 = 1，x2 = 3B. x1 = 3，x2 = 1C. x1 = -1，x2 = -3D. x1 = -3，x2 = -1答案：A解析：使用配方法或公式法解方程，得到x1 = 1，x2 = 3。
4. 若等腰三角形底边长为8，腰长为10，则该三角形的面积为（）A. 32B. 40C. 48D. 56答案：C解析：根据等腰三角形的性质，底边上的高是腰长的一半，即4。
面积公式为S = 1/2 底高，代入数值计算得S = 1/2 8 4 = 16。
5. 下列函数中，单调递增的是（）A. y = x^2B. y = -x^2C. y = 2xD. y = -2x答案：C解析：单调递增的函数其导数大于0。
对于选项C，导数y' = 2 > 0，因此是单调递增的。
6. 若sinθ = 1/2，则cosθ的值为（）A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2答案：A解析：sinθ = 1/2对应的角度是π/6，cosθ的值为√3/2。
7. 下列各式中，错误的是（）A. 2a + 3b = 5a - 2bB. 3x^2 - 2x + 1 = 0C. 2x^2 + 5x + 3 = 0D. 4x^2 - 4x + 1 = 0答案：A解析：选项A中的等式两边不是同类项，不能直接合并。
2022年度上海中学自主招生数学试题
上海中学自主招生试卷答案 一、填空题 1、计算111++...+1+22+32012+2013=_____________.【答案】20131-【解析】运用分母有理化进行计算可得成果;2、设x,y,z 为整数且满足201220131x yy z -+-=,则代数式333x y y z z x -+-+-值为_____________.【答案】2【解析】3.若有理数a,b 满足21334a b -=+,则a ＋b ＝_____________. 【答案】32【解析】4.如图,ABC中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,线段DE⊥AB,且△BDE面积是△ABC面积三分之一,那么线段BD长为_____________.ED BA【答案】43 3【解析】5、二次函数2y ax bx c =++图像与x 个交点M 、N,顶点为R,若△MNR 正好是等边三角形,则24b ac -＝_____________.【答案】12【解析】6.如图为25个小正方形构成5×5棋盘,其中具有符号“#”各种正方形共有______个.#【答案】19【解析】7.平面上有n 个点,其中任意三点都是直角三角形顶点,则n 最大值为____________.【答案】4 【解析】8.若方程()()2214x x k --=有四个非零实根,且它们在数轴上相应四个点等距排列,则实数k ＝____________.【答案】74【解析】9、一种老人有n匹马,她把马全某些给两个儿子,大儿子得x匹,小儿子得y匹,(x＞y≥1),并且满足x是n＋1约数,y也是n＋1约数,则正整数n共有_____种也许取值?【答案】2【解析】10.已知a ＞0,且不等式1＜ax ＜2恰有三个正数解,则当不等式2＜ax ＜3具有最多整数解时,正数a 取值范畴为_____________.【解析】解答题11.设方程210x x --=两个根为a,b,求满足f(a)＝b,f(b)＝a,f(1)＝1二次函数f(x ).【解析】12、已知1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +,这里n 为任意正整数,请你运用恒等式()3321331n n n n+=+++,推导出2222123n+++⋅⋅⋅+计算公式. 【解析】13.解方程组2222221()2()3() x y z y z x z x y ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩【解析】14.已知△ABC,CA＝5,AB＝6,BC＝7,△A'B'C'中,∠A'＝∠A,∠B'＝∠B,但△A'B'C'大小和位置不定,当A'到BC距离为3,B'到AC距离为1(如图),问:C'到AB距离与否定值?若是,求出此定值;若不是,阐明理由.B CAC'A'B'【答案】不是【解析】如图,在ABC 中,构造直线m 、l 平行于AC 且距离为3,构造直线k 、i 平行于BC 且距离为1,则在直线m 、l 上任取一点'A ,在直线k 、i 上取一点'B ,找到相应点'C ,则'C 位置不固定,因此'C 到AB 不是固定长度附:无答案试卷一、填空题1.1+22+32012+2013=_____________2.设x,y,z 为整数且满足|x －y|＋|y －z|＝1,则代数式|x －y|3＋|y －z|3＋|z －x|3值为_____________3.若有理数a,b 21334a b -=+则a ＋b ＝_____________.4.如图,ABC 中,AC ＝3,BC ＝4,AB ＝5,线段DE ⊥AB,且△BDE 面积是△ABC 面积三分之一,那么线段BD 长为_____________.CED BA5.二次函数y＝ax2＋bx＋c图像与x个交点M、N,顶点为R,若△MNR正好是等边三角形,则b2－4ac＝_____________6.如图为25个小正方形构成5×5棋盘,其中具有符号“#”各种正方形共有______个.#7.平面上有n个点,其中任意三点都是直角三角形顶点,则n最大值为____________8.若方程(x2－1)(x2－4)＝k有四个非零实根,且它们在数轴上相应四个点等距排列,则实数k＝____________.9.一种老人有n匹马,她把马全某些给两个儿子,大儿子得x匹,小儿子得y匹,(x＞y≥1),并且满足x是n＋1约数,y也是n＋1约数,则正整数n共有_____种也许取值?10.已知a＞0,且不等式1＜ax＜2恰有三个正数解,则当不等式2＜ax＜3具有最多整数解时,正数a取值范畴为_____________.二、解答题11.设方程x2－x－1＝0两个根为a,b,求满足f(a)＝b,f(b)＝a,f(1)＝1二次函数f(x).已知1＋2＋3＋…＋n＝(1)2n n+,这里n为任意正整数,请你运用恒等式(n＋1)3＝n3＋2n2＋3n＋1,推导出12＋22＋32＋…＋n2计算公式.13.解方程组2222221()2()3() x y z y z x z x y ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩14.已知△ABC,CA ＝5,AB ＝6,BC ＝7,△A'B'C'中,∠A'＝∠A,∠B'＝∠B,但△A'B'C'大小和位置不定,当A'到BC 距离为3,B '到AC 距离为1(如图),问:C'到AB 距离与否定值?若是,求出此定值;若不是,阐明理由.B CAC'A'B'。
2022年上海中考自主招生试卷精选
上海中考自主招生试卷精选[复旦附中]考智慧、测文理知识综合运用能力自主招生题：■说游戏每一个人都玩过游戏，从纵向旳角度来看，游戏有时代特性，有年龄特点；从横向旳角度来看，游戏有益智类、竞技类、休闲类等等。
固然，在游戏中，也有某些趣味低下、恶作剧旳内容。
请谈谈你对“游戏”旳思量。
题目暗地里：初三学生特殊喜欢这道题目，她们谈杀人游戏、弄堂游戏、CS 等电脑游戏、魔兽世界等网络游戏，甚至有人说出“传承网络游戏”等另类观点。
复旦附中副校长吴坚说，出这道贴近生活旳题目，就是让学生有话可说，充足发挥出学生各自旳个性。
■说外语随着全球化时代旳到来，作为最古老而又最基本旳交流工具，语言旳重要性显得日益突出。
“英语热”在目前上海中学生中持续升温。
你是如何看待“母语”学习与“外语”学习之间旳关系旳？可不可以借用数学名词或者符号来回答这一题目？题目暗地里：题目出得有点刁难学生，可学生们旳回答却弥漫了智慧。
有学生用“正比例函数”指出母语、外语学习旳相辅相成，有同窗用“2 条平行线”体现母语、外语学习同样重要，尚有同窗用“母语学习在底层、外语学习在上层，共同构成圆柱体”，来强调学好母语是学好外语旳基本。
吴坚说，该题重要考察学生文理知识综合运用旳能力。
--推优题：■学生、家长对于学校旳选择热情高涨。
小学生要进名气大旳中学往往是几十个人争一种位子；在今年旳自主招生和推优生招生工作中也可以看到人们对名校趋之若鹜。
针对这种现状，请你谈谈进“名校”旳利弊。
题目暗地里：该题重要通过学生对进“名校”利弊旳辨析，理解学生对于“名校”旳定义以及对于自己将来旳设计。
■总是觉得别人自私旳人，普通看待她人也不免有些自私之嫌；总是觉得别人对不起自己旳人，自己对别人也未必厚道；总是觉得别人没有趣味旳人，自己也普通是令人烦闷旳。
读了这段话，你有什么感想与启示？题目暗地里：现代学生大多是独生子女，遇到问题往往只考虑自己旳利益，很少考虑她人旳感受。
该题重要检测学生旳自省态度，让学生懂得“你对别人旳观感和态度其实很大限度上取决于别人对你旳观感和态度”。
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交大附中自主招生试卷
第一局部 1.
13x x +=-，求3311000x x ++.
2.
11(1)
x x x t x x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和.
3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .
4. 346y x x =-+，假设a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.
5. 22(2)y x m =-+，假设抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.
6. DE 为BC 的切线，正方形ABCD 边长为200，BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长.
7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =， 求M 的横坐标.
8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.
9. 横纵坐标均为整数的点为整点，〔
12
m a <<〕，y mx a =+〔1100x ≤≤〕，不经过整
点，求a 可取到的最大值.
10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.
第二局部〔科学素养〕
1. 直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长〔写出10组〕.
2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第〔3〕小题为不等式证明 1212[(1)]()1()f bx b x bf x bf x ++<+-
〔1〕14
b =
；〔2〕13b =.〔注：选〔1〕做对得10分，选〔2〕做对得20分〕
3. 请用最优美的语言赞美仰晖班〔80字左右〕〔17分〕
4. 附加题〔25分〕 〔2 points 〕 solve the following system of equations for 2122.2221
w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 〔4 points 〕Compute 98212n n n n ∞
++++ 〔6 points 〕Solve the 2018416431x x x x x +++⋅⋅⋅++=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.
The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to x
A 〕〔3 points 〕Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦
B 〕〔4points 〕Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation
23[]40x x --=，find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+
C 〕〔6 points 〕Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：
[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =。