矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
电磁场与电磁波第四版谢处方版思考题目答案
一：1.7什么是矢量场的通量？通量的值为正，负或0分别表示什么意义？矢量场F穿出闭合曲面S的通量为：当大于0时，表示穿出闭合曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S内必有发出矢量线的源，称为正通量源。
当小于0时，小于有汇集矢量线的源，称为负通量源。
当等于0时等于、闭合曲面内正通量源和负通量源的代数和为0，或闭合面内无通量源。
1.8什么是散度定理?它的意义是什么？矢量分析中的一个重要定理：称为散度定理。
意义：矢量场F的散度在体积V上的体积分等于矢量场F在限定该体积的闭合积分，是矢量的散度的体积与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。
1.9什么是矢量场的环流？环流的值为正，负，或0分别表示什么意义？矢量场F沿场中的一条闭合回路C的曲线积分，称为矢量场F沿的环流。
大于0或小于0，表示场中产生该矢量的源，常称为旋涡源。
等于0，表示场中没有产生该矢量场的源。
1.10什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？该定理能用于闭合曲面吗？在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲面C为周界的曲面S，存在如下重要关系这就是是斯托克斯定理矢量场的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲面积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲面积分之间的一个变换关系。
能用于闭合曲面.1,11 如果矢量场F能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?=0,即F为无散场。
1.12如果矢量场F能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?=0即为无旋场1.13 只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？不对。
电力线可弯，但无旋。
1.14 无旋场与无散场的区别是什么？无旋场F的旋度处处为0，即，它是有散度源所产生的，它总可以表示矢量场的梯度，即 =0无散场的散度处处为0，即，它是有旋涡源所产生的，它总可以表示为某一个旋涡，即。
二章：2.1点电荷的严格定义是什么？点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。
电磁场与电磁波(第四版)谢处方_课后答案
电磁场与电磁波（第四版）谢处方 课后答案第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e 52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C g 和()⨯A B C g ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。
解 （1）23A x y z+-===+-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11（4）由 cos AB θ===A B A B g ，得 1cos AB θ-=(135.5=o（5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ==A B B g （6）⨯=A C 123502x y z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502xyz-=-e e e 8520x y z ++e e e⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502xyz---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520xy z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。
矢量分析与场论第四版_谢树艺习题答案
4i 4 j 12k,
4i 4 j 12k 方向的方向导数最大
M
176 4 11 。
1 2 1 3 ( x y 2 ) 中 u 0, ,1, ,2 的等值线，并画出场在 M 1 ( 2, 2 ) 与点 2 2 2
M 2 ( 3, 7 ) 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：
2 ；因 OM OC CM 有
r xi yj 2a cos i 2a sin j a cos 2 i a sin 2 j
则
x 2a cos a cos 2 , y 2a sin a sin 2 .
M
2 xi xy 2 j 3 z 4 k
M
4i 3k ，其方向余弦为
cos
4 3 , cos 0, cos . 5 5
在点 M ( 2,0,1) 处有
u u u 2 xz 3 4, 4 yz 0, 3 x 2 z 2 2 y 2 12, x y z
x2 y2 2．求数量场 u 经过点 M 1,1, 2 的等值面方程。 z
解：经过点 M 1,1, 2 等值面方程为
ux Βιβλιοθήκη y 2 12 12 1， z 2
2 2
即 z x y ，是除去原点的旋转抛物面。 3．已知数量场 u xy ，求场中与直线 x 2 y 4 0 相切的等值线方程。 解：设切点为 x0 , y0 ，等值面方程为 xy c x0 y0 ，因相切，则斜率为
面 Ax By Cz D 0 平行的空间。
2 场所在的空间区域是除原点以外的 z 2 x 2 y 2 的点所组成的空间部分。
电磁场与电磁波第四版谢处方版思考题目标准答案
第四章
4.1在时变电磁场中是如何引入动态位A和的？A和不唯一的原 因何在？
答：根据麦克斯韦方程·B=0和*E=引入矢量位A和标量 位 ，使得：
A和 不唯一的原因在于确定一个矢量场需同时规定该矢量场的散 度和旋度，而B= A
2.2研究宏观电磁场时， 常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电 流分布模型？他们是如何定义的？
常用的电荷分布模型有 体电荷，，面电荷，线电荷和点电荷 常用的电流分布模型有体电流模型， 面电流模型和线电流模型他们是 根据电荷和电流的密度分布来定义的
2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场 强度又如何呢？
2.18麦克斯韦方程组的4个方程是相互独立的么？试简要解释 不是相互独立的， 其中表明时变磁场不仅由传导电
流产生，也是有移电流产生，它揭示的是时变电场产生时变磁场
表明时变磁场产生时变电场，电场和磁场是 相互关联的， 但当场量不随时间变化时， 电场和磁场又是各自存在的2.20什么是电磁场的边界条件？ 你能说出理想导体表面的边界条 件吗？
均匀媒质是指介电常数 或磁介质磁导率 处处相等。不是空间坐 标的函数
非均匀媒质是指介电常数 或磁介质的磁导率 是空间坐标的标量 函数
线性媒质是 与 的方向无关 是标量 和 的方 向相同
各向异性媒质是指 和 的 方向相同
2.15什么是时变电磁场？ 随时间变化的电荷和电流产生的电场和磁场也随时间变化， 而且电场 和磁场相互关联， 密布可分， 时变的电场产生磁场， 时变的磁场产生 电场，统称为时变电磁场
DA两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差 之比，即：
最新电磁场与电磁波第四版谢处方版思考题目答案
一：1.7什么是矢量场的通量？通量的值为正，负或0分别表示什么意义？矢量场F穿出闭合曲面S的通量为：当大于0时，表示穿出闭合曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S内必有发出矢量线的源，称为正通量源。
当小于0时，小于有汇集矢量线的源，称为负通量源。
当等于0时等于、闭合曲面内正通量源和负通量源的代数和为0，或闭合面内无通量源。
1.8什么是散度定理?它的意义是什么？矢量分析中的一个重要定理：称为散度定理。
意义：矢量场F的散度在体积V上的体积分等于矢量场F在限定该体积的闭合积分，是矢量的散度的体积与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。
1.9什么是矢量场的环流？环流的值为正，负，或0分别表示什么意义？矢量场F沿场中的一条闭合回路C的曲线积分，称为矢量场F沿的环流。
大于0或小于0，表示场中产生该矢量的源，常称为旋涡源。
等于0，表示场中没有产生该矢量场的源。
1.10什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？该定理能用于闭合曲面吗？在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲面C为周界的曲面S，存在如下重要关系这就是是斯托克斯定理矢量场的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲面积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲面积分之间的一个变换关系。
能用于闭合曲面.1,11 如果矢量场F能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?=0,即F为无散场。
1.12如果矢量场F能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?=0即为无旋场1.13 只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？不对。
电力线可弯，但无旋。
1.14 无旋场与无散场的区别是什么？无旋场F的旋度处处为0，即，它是有散度源所产生的，它总可以表示矢量场的梯度，即 =0无散场的散度处处为0，即，它是有旋涡源所产生的，它总可以表示为某一个旋涡，即。
二章：2.1点电荷的严格定义是什么？点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。
完整版电磁场与电磁波第四版谢处方版思考题目答案资料
一：1.7 什么是矢量场的通量？通量的值为正，负或 0 分别表示什么意义？矢量场F 穿出闭合曲面S 的通量为： 当 大于 0时，表示穿出闭合曲面 S 的通量多于进入的通量，此时 闭合曲面S 内必有发出矢量线的源，称为正通量源当 小于 0 时，有汇集矢量线的源，称为负通量源。
当 等于 0 时 闭合曲面内正通量源和负通量源的代数和为 源。
1.8 什么是散度定理 ?它的意义是什么？ 矢量分析中的一个重要定理：矢量场 F 在限定该体积的闭合积分， 是矢量的散度的体积与该矢量的 闭合曲面积分之间的一个变换关系。
1.9 什么是矢量场的环流？环流的值为正，负，或 0 分别表示什么意 义？ 矢量场F 沿场中的一条闭合回路 C 的曲线积分，称为矢量场F 沿的环流。
大于 0 或 小于 0，表示场中产生该矢量的源，常称为旋涡等于 0，表示场中没有产生该矢量场的源1.10 什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？该定理能用于闭合曲 面吗？ 称为散度定理。
意义：矢量场 F 的散度 在体积V 上的体积分等于 小于 等于 0，或闭合面内无通量在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲面C为周界的曲面S,存在如下重要关系这就是是斯托克斯定理矢量场的旋度在曲面S 上的面积分等于矢量场F 在限定曲面的闭合曲面积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲面积分之间的一个变换关系。
能用于闭合曲面.1.11如果矢量场F 能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?=0,即F 为无散场。
1.12如果矢量场F 能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?=0即为无旋场1.13只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？不对。
电力线可弯，但无旋。
1.14无旋场与无散场的区别是什么？无旋场F 的旋度处处为0，即，它是有散度源所产生的，它总可以表示矢量场的梯度，即=0二章：2.1 点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况， 可将它看做一个体积很小而电荷 密度很大的带电小球的极限。
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第1章 矢量分析【圣才出品】
（4）由 cos AB
AB AΒ
11 14 17
11 238
，得 AB
arccos
11 135.5o 238
v （5）在 B 上的分量 AB
A cos AB
AB B
11 17
（6）由矢量的叉积公式知
ex ey ez A C 1 2 3 ex 4 ey13 ez10
5 0 2
（7）由矢量的叉积公式知
ex ey ez B C 0 4 1 ex 8 ey 5 ez 20
5 0 2
A B C ex ey 2 ez 3 ex8 ey 5 ez 20 42 ,
ur ur ur ur ur ur ur ur ur 又因为 A (B C) C ( A B) ( A B) C
1.14 无旋场与无散场的区别是什么？
答：无旋场 F 的旋度处处为 0，即
它是由散度源所产生的，它总可以表示
为某一标量场的梯度，即▽×（▽u）＝0。
无散场 F 的散度处处为 0，即▽·F ≡0,它是由旋涡源所产生的，它总可以表示为某一矢
量场的旋涡，即▽·（▽A）＝0。
（二）习题 1.1 给定三个矢量 A、B 和 C 如下：
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解：（1） eA
A A
ex e台y 2 ez 3 12 22 32
ex
1 14
ey
2 14
ez
3 14
vv （2） A－B＝
evx
evy 6 evz 4 ,
vv A－B
12 62 42
53
（3） A B ex ey 2 ez 3 ey 4 ez 11
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谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)配套题库【课后习题(1-4章)】【圣才出品】
当
时，表示穿出闭合曲面 S 的通量等于进入的通量，此时闭合曲面内正通
量源与负通量源的代数和为 0，或闭合面内无通量源。
1.8 什么是散度定理？它的意义是什么？ 答：矢量分析中的一个重要定理：
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称为散度（高斯）定理。 意义：矢量场 F 的散度▽·F 在体积 V 上的体积分等于矢量场 F 在限定该体积的闭合面 S 上的面积分，是矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。
1.7 什么是矢量场的通量？通量的值为正、负或 0 分别表示什么意义？ 答：矢量场 F 穿出闭合曲面 S 的通量为：
当
时，表示穿出闭合曲面 S 的通量多于进入的通量，此时闭合曲面 S 内
必有发出矢量线的源，称为正通量源。
当
时，表示穿出闭合曲面 S 的通量少于进入的通量，此时闭合曲面 S 内
必有汇集矢量线的源，称为负通量源。
1.5 在圆柱坐标系中，矢量 为什么？
其中 a、b、c 为常数，则 A 是常矢量吗？
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答：A 是常矢量。
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1.6 在球坐标系中，矢量 什么？
答：A 是常矢量。
其中 a 为常数，则 A 能是常矢量吗？为
∴A 为常矢量。
12 22 32
ex
1 14
ey
2 14
ez
3 14
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（2） A－B＝ex
ey 6 ez 4 ,
A－B
12 62 42
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(完整版)矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
4习题 1 解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1 x acost, y bsint2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost解： 1 r a costi bsin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。
2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ， 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面222x 2 z 2 32 之交线，为一椭圆。
2．设有定圆 O 与动圆 c ，半径均为 a ，动圆在定圆外相切而滚动， 所描曲线的矢量方程。
uuuur解：设 M 点的矢径为 OM rxi yj ， AOC与 x 轴的夹角为uuuur uuur ；因 OM OC uuuurCM 有r xi yj 2acosi 2asin j acos 2 asin 2则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acosacos2 )i (2asinasin2 )j4．求曲线 x t,y2,z 2t 3的一个切向单位矢量解：曲线的矢量方程为ti tdr则其切向矢量为 dt2t j模为|d d r t| 1 4t 24t 4dr 于是切向单位矢量为dt/ | d drt6．求曲线 x asin 2t,y23t 3k2t 2k2t2tj 2t 2k21 2t 2asin 2t,z acost,在 t处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 r asin2ti asin2tjacostk求动圆上一定点 Mdr asin2ti 2acos2tj asintk dt7. 求曲线 x t 2法平面方程。
解：由题意得 在 t 2 的点 dr dt t 4ai a 2k 22 1, y 4t 3,z 2t 2 6t M (5,5, 4), 曲线矢量方程为 rM 处，切向矢量 dr dt [2tit2在对应于t(t 21)i2 的点 M 处的切线方程和(4t 3)j(2t 26t)k ,4j (4t 6)k] t24i 4j 2kx5于是切线方程为4,即z4于是法平面方程为 2(x5) 2(y 5) (z 4) 0 ，即2x 2y16 0解：曲线切向矢量为dr i dt2tj 3t 2k ， ⑴平面的法矢量为 n i2j k ，由题知ni2tj 3t 2k i 2j k 1 4t 3t 2 0得 t 1,1。
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)章节习题-第1章 矢量分析【圣才出品】
=
2
xdx
2 22 dy
0
xdx
0
0dy 8
0
0
2
2 vv
vv
Ñ （2）要验证验证斯托克斯定理成立，只需要证明 Adl ( A)dS 即可。
l
S
因为
evx evy evz
v A
x y
z
evx 2 yz evz 2x
x x2 y2z
而且
v v ( A)dS
S
r
F
2z y2
r ex
6 yz2 2xy
r ey
2x 6y2z
r ez
r F
(1,1,1)
r 3ex
r 4ey
4
r ez
2．已知 f x2z y3z2 ， g 2yz2 xy2 ，求在点（1，0，2）的：（1） f g ； （2） f g 。
解：（1）
2 / 18
当 0 ，表示流出多于流入，说明此时在 S 内有正源；
当 0 则表示流入多于流出，此时在 S 内有负源；
当 0 则表示流入等于流出，此时在 S 内无源。
3．设任一矢量场为 Av(rv) ，写出其穿过闭合曲线 C 的环量表达式，并讨论之。 v
答：定义矢量场 A 环绕闭合路径 C 的线积分为该矢量的环量，其表达式为 vv
CA dl
讨论：如果矢量的环量不等于零，则在 C 内必然有产生这种场的旋涡源；如果矢量的
环量等于零，则我们说在 C 内没有旋涡源。
四、计算与证明题
1．已知：
r F (x, y,z)
x
2
r zex
y 3 z 2er y
xy
2
r zez
大学_矢量分析与场论第三版(谢树艺著)课后习题答案下载
矢量分析与场论第三版（谢树艺著）课后习题答案下载矢量分析与场论第三版（谢树艺著）课后习题答案下载本书各章包括：矢量分析，场论，哈密顿算子V，梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示式。
此外，考虑到某些学科领域的需要，作为本书的附录，增讲了若干正交曲线坐标系。
《矢量分析与场论(第3版)》可作为一般工科院校本课程的教材使用。
矢量分析与场论第三版（谢树艺著）：图书信息第一章矢量分析第一节矢性函数1.矢性函数的概念2.矢端曲线3.矢性函数的极限和连续性第二节矢性函数的导数与微分1.矢性函数的导数2.导矢的几何意义3.矢性函数的微分4.矢性函数的导数公式5.导矢的物理意义6.拉格朗日中值定理第三节矢性函数的积分1.矢性函数的不定积分2.矢性函数的定积分习题1第二章场论第一节场1.场的概念2.数量场的等值面3.矢量场的矢量线4.平行平面场习题2第二节数量场的方向导数和梯度1.方向导数2.梯度习题3第三节矢量场的通量及散度1.通量2.散度3.平面矢量场的通量与散度习题4第四节矢量场的环量及旋度1.环量2.旋度习题5第五节几种重要的.矢量场1.有势场2.管形场3.调和场习题6第三章哈密顿算子▽习题7第四章梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示式第一节曲线坐标的概念第二节正交曲线坐标系中的弧微分1.坐标曲线的弧微分2.一般曲线的弧微分3.在正交曲线坐标系中矢量e1，e2，e3与矢量i，j，k之间的关系第三节在正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度与调和量的表示式1.梯度的表示式2.散度的表示式3.调和量的表示式4.旋度的表示式5.梯度、散度、旋度与调和量在柱面坐标系和球面坐标系中的表示式6.正交曲线坐标系中矢量场A的广义雅可比矩阵第四节正交曲线坐标系中的势函数和矢势量1.势函数2.全微分求积3.保守场中的曲线积分4.矢势量习题8附录若干正交曲线坐标系1.椭圆柱面坐标系2.抛物柱面坐标系3.双极坐标系4.长球面坐标系5.扁球面坐标系6.旋转抛物面坐标系7.圆环面坐标系8.双球面坐标系9.椭球面坐标系10.锥面坐标系11.抛物面坐标系习题9部分习题参考答案矢量分析与场论第三版（谢树艺著）：内容简介出版社: 高等教育出版社; 第4版 (5月1日)平装: 170页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7040348489, 9787040348484条形码: 9787040348484商品尺寸: 19.6 x 13.6 x 0.8 cm商品重量: 159 g品牌: 高等教育出版社ASIN: B0084XU730矢量分析与场论第三版（谢树艺著）：目录点击此处下载矢量分析与场论第三版（谢树艺著）课后习题答案。
第一章 矢量分析习题解答
A ( B C ) B( A C ) C ( A B)
1
3.三种常用的正交坐标系 1）直角坐标系
在直角坐标系内的任一矢量 A 可以表示为
A( x, y, z ) Ax ( x, y, z )e x Ay ( x, y, z )e y Az ( x, y, z )e z
与三个坐标面单位矢量相垂直的三个面积元分别为
2
d S d ， d dS z d dz ， dS z d d
体积元为
dV d d dz
同一空间位置点的圆柱坐标与直角坐标的关系为
x cos y sin z z
3）球坐标系
任一矢量场 A 在球坐标系中可表示为
A Ar er A e A e
式中 Ar , A , A 称为球坐标分量，是矢量 A 在该点的三个垂直坐标轴 er , e , e 上的投影。 在球坐标系中，位置矢量为
r rer
位置矢量的微分为
dr d (rer ) er dr rder drer rd e r sin de
与三个坐标面单位矢量相垂直的三个面积元分别为
dSr r 2 sin d d ， dS r sin drd ， dS rdrd
3
体积元为
dV r 2 sin drd d
同一空间位置点的球坐标与直角坐标的关系为
n x r s i n y r s i z r c os
k A kAx e x kAy e y kAz e z
若 k 0 ，则 kA 与 A 同方向；若 k 0 ，则 kA 与 A 与反方向。 2） 标量积
A B ABcos AB
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习題1 解答1.写出下列曲线的矢長方程，并说明它们規何种曲线。
(1)x=“cos/,y =bsinf(2)x = 3sln/,j = 4sinf,z = 3cos/解：(l)F=“cos〃+"siii{/,其图形是xOy平面上之椭圆。
(2) r = 3sinri +4sin//+ 3coszAr ,其图形是平面4x - 3j = 0 与圆柱面X2+Z2=32之交线，为一椭圆。
2.设有定圆O与动圆C ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点A/ 所描曲线的矢■方程。
解：设M点的矢径为OM ^r^xi + yj ,厶OC = 8,页7与兀轴的夹角为28—希；因OM =OC + CM^r = xi+yj = 2«cos^ + 2«sin^+acos(2&—7r)j +asin(2^—/r)j则x = 2a cos 0-a cos 28, y = 2a sin& - a sin2&・故r =(加cos&-acos2&” + (2«sin&-asin2&)</4.求曲线x = r,j = /2,z = |z3的一个切向单位矢。
2 2 , 解：曲线的矢長方程为f=ti + t j + ~( k则其切向矢長为^ = i + 2tj + 2t2k模为I —-1= J1 + 4/2 + 4严=1 + 2/2 'dtdr dr i + 2(/ + 2t 2k 于是切向单位矢長为示/ I莎'= i +2八—6・求曲线x=asin t,y=asln2t,z=acost,在心二处的一个切向矢1L4解：曲线矢星方程为r=a sin2+«sin2(/^acostkdr7 •求曲线x=t 2 +l,y=4t-3.z = 2t 2 -6t 在对应于f = 2的点M 处的切线方程和 法平面方程。
解：由题意得M (5,5,-4),曲线矢長方程为r = (r+1)/ + (4/ -3)j + (2/2-6f)忍于是法平面方程为2(x 一 5) + 2(y 一 5) + (z + 4) = 0 ,即2x + 2j + z — 16 = 08.求曲^r = ti + t 2j + ek±的这样的点，使该点的切线平行于平面x + 2y + z = 4。
平面的法矢長为n=i + 2j + k,由题知Tn=^i + 2tj + 3t 2k)\i + 2j+k) = l + 4t + 3t 2 =0习题2 解答1. 说出下列数:B 场所在的空间区域，并求出其等值面。
⑴ U = Ax + By +Cz + D (2)w = urc sin —. w+bdr在t =2的点M 处，切向矢^T = — dt4 + 4j + (4t-6)k]^2 = 4i +4j + 2k 于是切线方程为耳=罕=斗，即耳=4422y-5 z + 4 ~2 S~解：曲线切向矢呈为巧=y- = i+ 2(/ + 3/2Ar , 切向矢星为T =~^= as\n2ti + 2a cos 2tj-asintk得/=一1,-£。
将此依次代入⑴式，得故所求点为(-解：(1)场所在的空间区域是除Ar + By + Cz + D = 0外的空间。
等值面为--1--~~ =C%x + B_y + Cz + D_丄=0心0为任意常数)，这是与平Ax + By + Cz + D C[ ^Ax + By+Cz + D = 0平行的空间。
(2)场所在的空间区域是除原点以外的z2^x2 + j2的点所组成的空间部分。
等值面为才=(x2 + j2)sin2c9(x2 +j2#0),当sine工0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外)；当sinc = 0时，是除原点外的xQy平面。
2.求数星场“=斗丄经过点必(1,1,2)的等值面方程。
解：经过点M(1,1,2)等值面方程为x2+ / 12 + 12,u = --------- = --------- = 1 ,Z 2即2 = X + b ,是除去原点的旋捷抛物面。
3.巳知数畳场“ =求场中与直线x + 2j-4 = 0相切的辱值线方租。
解：设切点为(x0,j0),等值面方程为xy=c = x o y o ,因相切，则斜率为k =-— = -^ ,即心=2j0入2点(x0,j0)在所给直线上，有兀。
+2 儿一4 = 0解之得J o = l,x0 =2故xy = 24.求矢&A = xy2i + x2yj + zy2k的矢昼线方程。
解矢昱线满足的微分方程为Ax (lr = O, dx dy dz 或 2 = ~2~ = 1xy x y zy有皿=则,冬=冬・X z解之得\xl ~yl=Ci \c x ,c 2^任意常数 v=c l x5•求矢■场A = x 2i + y 2j + (x+ y)zk 通过点M (2,1,1)的矢畳线方程。
解 矢呈线满足的微分方程为笛=缪= 业 •X 2 y 2 (x + y)z故矢量线方程为£ 十5“(2M )求得―斗 jl [x-y=C 2z丄丄]故所求矢彊线方程为• x =y~2.x-y=z习題3解答1 •求数星场“ =x 2z 3 + 2y 2z 在点M (2,0,-1)处沿xy 2j +丈k 的方向导 数。
解:因l\M =(2xi-xy 2j + 3z 4/r)|w =4/ + 3A:,其方向余弦为在点M(2g)处有牛=2xz 3 = —4,^^ = 4yz = 0^—- = 3X 2Z 2 + 2y 2 = 12,dydz「所以—=—• (-4) + 0«0 + — »12 = 4 dl 5 5丄^,即空二观(x + y)z x-y•解得x — y =C 2zZCOSQ =扌,COS0 = 0,cosy =按等比定理有d(x-y)2 •求数三场w = 3x 2z-xj+z 2在点处沿曲线x=t,y = -t\z = e 朝『増 大一方的方向导数。
解：所求方向导数，等于函数"在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导教。
曲线上点M 所对应的参数为f = 1,从而在点M 处沿所取方向，曲线的切向方向导教为1 23 其方向余弦为cos “顶,COS " 一帀,COS "祜3・求数星场"=*屛在点A/（2.1.-1）处沿哪个方向的方向导数屡大?解：因—= (gradw)-/° =|grad u\cos0 , dl 当& = 0时，方向导数員大。
.du . du • du 1.=(2xyz y i + x 2z s j + 3x 2yz 2k^f =-4z-4j + 12k,即函数“沿梯度gradu|w =「Q —4/ +1%方向的方向导敌最大 晟大值为 |grad u|w | =、丽=4 JU 。
4.画出平面场“=£（宀丿2）中“=o,£,i,专,2的等值线，并画出场在M ］（2,、/J ）与点 乙 乙 乙旳2（3八厅）处的梯度矢長，看其是否符合下面事实：（1） 梯度在等值线较密处的模较大，在校稀处的模较小；（2） 在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向“增大的方向。
duI又石=⑴□一刃「= 7, M于是所求方向导数为du¥duduy=(—cosa + —.W & 勿du COS/7 + —cos/) =7X -^L + (-1)X X + 5X 2 = 41 ~ 辰 、14 、/14 <14dz.x 2 — y 2 = 0, x 2 — y 2 = 1,解：所述等值线的方程为：x 2-y 2 =l,x 2-y 1其中第一个又可以写为宀宀4,x-y = 0,x + y == 0为二直线，其余的都是以Ox 轴为实轴的等轴双曲线由图可见，其图形都符合所论之事实。
5. 用以下二法求数畳场“=弓+ W+zr 在点卩(1,2,3)处沿其矢径方向的方向导数。
(1) 直接应用方向导数公式； (2) 作为梯度在该方向上的投影。
解：(1)点P 的矢径厂=F + 2/ + 3«,其模H =、五.其方向余弦为1 c23 cosa = -^=,cos J3 = -^=,cos/ = —=.^詈广卜 + 叽=5,詈=(x + z)|p =4,^ * + 虬= 3(如下图，G 2=gradu|v/ ,)dx dy g= 5i+4j + 3k,1.2.36,求数畳场w = x 2 +2y 2 +3Z 2 +xy + 3x-2y-6z 在点0(0,0,0)与点A(l,14)处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为0?解：grad u = (2x + y+ 3) i + (4j + x-2)j + (6z -6)k,grad u|f> =3i 一 2/- 6k,grad u. =6I +3J + 0Z C ,其模依次为：y/32 +(-2)2 +(-6)2 = 7^I62 +32 +O 2 = 3頁. 3 26于是grad u\o 的方向余弦为cos a =〒cos/?= —尹cosy = —亍. 2 1 gradu|A 的方向余弦为cos a =「亍,cos 戸=市,cosy = 0.y/5 y/52x + y + 3 = 0,4y + x-2 = 0,之点，由此解得6z — 6 = 0x = -2,y = l.z = i 故所求之点为(一 2,1,1).7・通过梯度求曲面+ 2xz = 4上一点M(l,_2,3)处的法线方程。
解：所给曲面可视为数呈场u = x 2y + 2xz 的一张等值面，因此，场“在点M 处的梯度，就是曲面在该点的法矢長，即gradu|w = (2xy + 2z)i + x 2j + 2xk\ =2i + j + 2k,x — 1 V 4- 27 — 3故所求的法线方程为—-8・求数星场“ =3x 2 + 5j 2 - 2z 在点M (1,1,3)处等值面朝Oz 轴正向一方的法线方 向导数＜。
解：因 grad u = —i + —j + —k = 6xz + lOyj-2k dx dy' dzgrad u =6i + 10j-2kM梯度与z 夹角为钝角，所以沿尊值面朝。
轴正向一方的法线方向导数为dii 故寻厂映略•八％靑 di+ 4x2 + 3x 亠=豐。
<14 、14 <14求使gm 〃u = O 之点，即求坐标满足＜= — |grad i/| = —2\/?5习题41 •设S为上半球面X彳+ J，? +才=“2(z n °),求矢畳场广=灯+方+伙向上穿过S的通■①。