矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案

习題1 解答

1.写出下列曲线的矢長方程，并说明它们規何种曲线。

(1)x=“cos/,y =bsinf

(2)x = 3sln/,j = 4sinf,z = 3cos/

解：(l)F=“cos〃+"siii{/,其图形是xOy平面上之椭圆。

(2) r = 3sinri +4sin//+ 3coszAr ,其图形是平面4x - 3j = 0 与圆柱面X2+Z2=32之交线，为一椭圆。

2.设有定圆O与动圆C ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点A/ 所描曲线的矢■方程。

解：设M点的矢径为OM ^r^xi + yj ,厶OC = 8,页7与兀轴的夹角为

28—希；因OM =OC + CM^

r = xi+yj = 2«cos^ + 2«sin^+acos(2&—7r)j +asin(2^—/r)j

则x = 2a cos 0-a cos 28, y = 2a sin& - a sin2&・

故r =(加cos&-acos2&” + (2«sin&-asin2&)

4.求曲线x = r,j = /2,z = |z3的一个切向单位矢。

2 2 , 解：曲线的

矢長方程为f=ti + t j + ~( k

则其切向矢長为^ = i + 2tj + 2t2k

模为I —-1= J1 + 4/2 + 4严=1 + 2/2 'dt

dr dr i + 2(/ + 2t 2k 于是切

向单位矢長为示/ I莎'= i +

2八—

6・求曲线x=asin t,y=asln2t,z=acost,在心二处的一个切向矢1L

4

解：曲线矢星方程为r=a sin2+«sin2(/^acostk

dr

7 •求曲线x=t 2 +l,y=4t-3.z = 2t 2 -6t 在对应于f = 2的点M 处的切线方程和 法平面方

程。

解：由题意得M (5,5,-4),曲线矢長方程为r = (r+1)/ + (4/ -3)j + (2/2-6f)忍

于是法平面方程为2(x 一 5) + 2(y 一 5) + (z + 4) = 0 ,即

2x + 2j + z — 16 = 0

8.求曲^r = ti + t 2j + ek±的这样的点，使该点的切线平行于平面x + 2y + z = 4。

平面的法矢長为n=i + 2j + k,由题知

Tn=^i + 2tj + 3t 2k)\i + 2j+k) = l + 4t + 3t 2 =0

习题2 解答

1. 说出下列数:B 场所在的空间区域，并求出其等值面。

⑴ U = Ax + By +Cz + D (2)w = urc sin —. w+b

dr

在t =2的点M 处，切向矢^T = — dt

4 + 4j + (4t-6)k]^2 = 4i +4j + 2k 于是切线方程为耳=罕=斗，即耳=

4

4

2

2

y-5 z + 4 ~2 S~

解：曲线切向矢呈为巧=

y- = i+ 2(/ + 3/2

Ar , 切向矢星为

T =

~^

= as\n2ti + 2a cos 2tj-asintk

得/=一1,-£。将此依次代入⑴式，得

故所求点为(-

解：(1)场所在的空间区域是除Ar + By + Cz + D = 0外的空间。

等值面为

--1--~~ =C%x + B_y + Cz + D_丄=0心0为任意常数)，这是与平Ax + By + Cz + D C[ ^Ax + By+Cz + D = 0平行的空间。

(2)场所在的空间区域是除原点以外的z2^x2 + j2的点所组成的空间部分。

等值面为才=(x2 + j2)sin2c9(x2 +j2#0),

当sine工0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外)；

当sinc = 0时，是除原点外的xQy平面。

2.求数星场“=斗丄经过点必(1,1,2)的等值面方程。

解：经过点M(1,1,2)等值面方程为

x2+ / 12 + 12,

u = --------- = --------- = 1 ,

Z 2

即2 = X + b ,是除去原点的旋捷抛物面。

3.巳知数畳场“ =求场中与直线x + 2j-4 = 0相切的辱值线方租。

解：设切点为(x0,j0),等值面方程为xy=c = x o y o ,因相切，则斜率为k =-— = -^ ,即心=2j0

入2

点(x0,j0)在所给直线上，有

兀。+2 儿一4 = 0

解之得J o = l,x0 =2

故xy = 2

4.求矢&A = xy2i + x2yj + zy2k的矢昼线方程。

解矢昱线满足的微分方程为

Ax (lr = O, dx dy dz 或 2 = ~2~ = 1

xy x y zy

有皿=则,冬=冬・

X z

解之得\xl ~yl=Ci \c x ,c 2^任意常数 v=c l x

5•求矢■场A = x 2i + y 2j + (x+ y)zk 通过点M (2,1,1)的矢畳线方程。

解 矢呈线满足的微分方程为笛=缪= 业 •

X 2 y 2 (x + y)z

故矢量线方程为£ 十5“(2M )求得―斗 jl [x-y=C 2z

丄丄]

故所求矢彊线方程为• x =y~2.

x-y=z

习題3解答

1 •求数星场“ =x 2z 3 + 2y 2z 在点M (2,0,-1)处沿xy 2j +丈k 的方向导 数。

解:因l\M =(2xi-xy 2j + 3z 4/r)|w =4/ + 3A:,其方向余弦为

在点M(2g)处有牛

=2xz 3 = —4,^^ = 4yz = 0^—- = 3X 2Z 2 + 2y 2 = 12,

dy

dz

「

所以—=—• (-4) + 0«0 + — »12 = 4 dl 5 5

丄^,即空二观

(x + y)z x-y

•解得x — y =C 2z

Z

COSQ =扌,COS0 = 0,cosy =

按等比定理有

d(x-y)