《拓朴学》题库及答案

《拓扑学》题库及答案

一、单项选择

1．关于笛卡儿积，下面等式成立的是

（A ）)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯=-⨯- （B ）)()()()(D C B A D B C A I I I ⨯=⨯⨯ （C ）)()()()(D B C A D C B A ⨯⨯=⨯Y Y Y （D ）D B C A ⨯⊆⨯当且仅当D C B A ⊆⊆,

2．设Y X f →:是映射，)(,,X B A P ∈，)(,Y D C P ∈，则下面结论不成立的是： （A ）)()()(111D f C f D C f ---=Y Y （B ）)()()(111

D f C f D C f

---=I I

（C ）)()()(B f A f B A f Y Y = （D ）)()()(B f A f B A f I I =

3．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }2{是：

（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，也非闭集

4．设R R →2

:d 为映射，（R 表示实数集合），R ∈∀y x ,，下面关于d 的定义中是R 的度量的是：

（A ）2

(,)()d x y x y '=- （B ）2

2),(y x y x d -=

（C ）||||),(y x y x d += （D ）⎩⎨

⎧=≠=y

x y

x y x d 01),(

5．设)T ,(X 是平庸拓扑空间，b a X b a ≠∈,,，则交错序列Λb a b a ,,,在拓扑空间)T ,(X 中的收敛点集合是： （A ）∅ （B ）}{a （C ）},{b a （D ）X

6．设}},{},{,,{},3,2,1{},,,{1b a a X Y c b a X ∅===T ，}}2{},3,2{},2,1{,,{2Y ∅=T ，}{b A =，}1{=B ，则在积空间Y X ⨯中B A ⨯等于

（A ）)}1,{(b （B ）)}1,(),1,{(c b

（C ）)}2,(),1,{(b b （D ）)}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b

7．设},,,{d c b a X =，{,,{,,},{,,},{,}}x a b c b c d b c =∅T ，},,{d c a Y =，},{c a A =，则在子空间Y 中A 的内部等于：

（A ）∅ （B ）}{a （C ）}{c （D ）},{c a

8．拓扑空间的Lindel öff 性，可分性，紧致性，完全正则性中是有限可积性质的有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 9．下列拓扑空间的蕴涵关系中，成立的有

完全正则空间⇒正则空间，完全正则空间⇒正规空间，连通空间⇒局部连通空间， 度量空间⇒可分空间，度量空间⇒Lindel öff 空间

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

10．拓扑空间的可分性，紧致性，Lindel öff 性，连通性中在连续射下保持不变的性质有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 11．设X X R ⨯⊆是一个等价关系，则R 不满足的条件是

（A ）R X ⊆∆)( （B ）R ∩R -1=∅ （C ）R R R ⊆ο （D ）1

-=R R

12．设Y X f →:是映射，)(}|{X J A P ⊆∈αα，)(}|{Y r B r P ⊆Γ∈则下面等式中不成立的是 （A ）)()(ααααA f A f J

J

∈∈=Y Y （B ）)()(ααααA f A f J

J

∈∈=I

I

（C ）)()(11

r r r r B f B f

-Γ

∈Γ

∈-=Y Y （D ）)()(11r r r r B f B f -Γ

∈Γ

∈-I I

13．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }1{是：

（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，亦非闭集

14．设},,{c b a X =，}},{},{,,{b a a X ∅=T ，则在拓扑空间)T ,(X 中常值序列Λ,,a a 的 收敛点集合是 （A ）}{a （B ）},{c a （C ）},{b a （D ） X

15．设},,{c b a X =，}3,2,1{=Y ，}{},{},{,,{c b a X ∅=1T ，

}}3,2{},2{},2,1{,,{Y ∅=2T ，}2,1{},,{==B b a A ，则在积空间Y X ⨯中，0

)(B A ⨯等于：

（A ）∅ （B ）}{)2,(),1,(a a （C ）}{)2,(),1,(b b （D ）}{)2,(),1,(),2,(),1,(b b a a

16.设},,,{d c b a X =，}},{},,,{},,,{,,{d c d c a d c b X ∅=T ，}{},,,{c A d c a Y ==，则在子空间Y 中，A 的闭包等于

（A ）}{c （B ）},{a c （C ）},{b c （D ）},,{c d a

17．设)T ,(X 是拓扑空间，)T ,(X 是可度量空间是指存在X 的度量R →2:X d 使得由d 诱导的拓扑d T 满足： (A)T T ⊆d (B)d T T ⊆ (C)d T T = (D))(X P T d = 18．拓扑空间的可分性，Lindel öff 性, 正规性、完全正则性中是遗传性质的有 （A ）1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 19．下列拓扑空间的蕴涵关系中成立的有

满足第二可数理空间⇒可分空间 度量空间⇒Lindel öff 空间 正规空间⇒完全正则空间 度量空间⇒满足第一可数公理空间 正规空间⇒正则空间 完全正则空间⇒正则空间 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

20．设),(T X 是拓扑空间，则对X 中任意两个不相交闭集B A ,存在连续映射]1,0[:→X f 使得}0{)(⊆A f ，

}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是：

（A ）正则空间 （B ）完全正则空间 （C ）正规空间 （D ）4T 空间 21．设X 是全集，,()A B X ∈P ，A B ⊆则当且仅当

（A ）∅='B A I （B ）∅='B A I （C ）A B A =Y （D ）B B A =I 22．设Y X f →:是映射，,()A B y ∈P ，则下面结论不成立的是