多面体和旋转体--棱锥

[文件] sxgbk0015.doc[科目] 数学[关键词] 多面体/旋转体/棱锥/教法建议[标题] 多面体和旋转体--棱锥[内容]多面体和旋转体--棱锥一.教法建议【抛砖引玉】在学习棱柱的基础上，根据不同的实例模型，抽象出棱锥的本质特征是：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，从而形成棱锥的概念，一定要注意概念的形成过程。

定义了棱锥以后，就可以对棱锥根据不同的标准来进行分类，如以底面多边形的边数来分有三棱锥、四棱锥，……n棱锥，当底面多边形是正多边形，顶点向底面的投影在底面正多边形的中心，则称为正棱锥。

正棱锥有许多特性，从正棱锥的基本性质入手进行研究，是符合由特殊到一般的认识规律的，既然正棱锥的许多特性对一般棱锥是不适用的，但通过正棱锥的特殊性质研究，学会了研究问题的方法，类似地可以对一般棱锥进行探讨。

正棱锥的性质中，性质(2)叙述的内容是本单元的重点，也是本章的重点，更是学生理解掌握的难点，不仅需要通过空间想象来弄清这里的线面关系，而且由于其中有两个直角三角形，这里的六个量就有四个勾股定理的关系。

如图，P—ABCDE是正五棱锥，O是顶点P 点底面的投影，便是底面正五形的中心，OM⊥BC，于是M是BC的中点，PM是侧面△PBC的底边BC上的高，就是正五棱锥的一条斜高，这里的直角三角形有：Rt△PBO,Rt△PBM,Rt△PMO和Rt△OBM，因此有四个勾股定理的关系：PB2=PO2+OB2(侧棱平方等于锥高平方与底面正多边形半径平方之和)；PB2=PM2+BM2(侧棱平方等于斜高平方与底面正多边形半边长平方之和)；PM2=PO2+OM2(斜高平方等于锥高平方与底面正多边形边心距平方之和)；OB2=OM2+MB2(底面正多边形半径平方等于边心距平方与半边长平方之和)。

一般棱锥还有一个平行于底面的截面面积与底面面积之比的重要性质，都为从量的方面来研究棱锥提供了重要的手段，也为后面学习棱台埋下了伏笔。

最后是正棱锥的直观图的画法与正棱锥的侧面积计算公式。

这又是一个从量的方面研究正棱锥的重要结论。

教学过程中可给出不同类型的棱锥，根据不同的要求解决有关问题，包括前面尚未涉及到的一些其它性质，比如侧面与底面所成的二面角的问题，侧面积与底面积的数量关系等等。

【指点迷津】在解决棱锥的问题时，不论是计算题还是证明题，抓住前面说到的四个直角三角形就掌握了解决问题的钥匙，所以必须充分重视这四个直角三角形，但也不象死记硬背，象在理解的基础上根据实际问题给出不同的条件灵活地运用，并且通过解决各类棱锥的问题达到培养能力的目的。

二.学海导航【思维基础】棱锥是区别于棱柱的另一种重要几何体，比棱柱具有更重要的意义，又为后面学习棱台作好充分的准备。

因此本单元棱锥在多面体中占有承上启下的重要地位。

请判断下列命题的正误：1.底面是正三角形且侧棱都相等三棱锥是正三棱锥。

2.三棱锥的三个侧面与底面是全等的三角形，则这个三棱锥是正三棱锥。

答：1.正确；2.不正确。

要推翻2的判断，只要举出一个特例，如图，三棱锥P—ABC 中，PA=BC=1，PB=PC=AB=AC=2，四个面都是全等的等腰三角形，显然这不是正三棱锥。

思考问题中要全面考虑各种可能的位置，不能轻易地用想当然的方法来得到结论。

又例如，若三棱锥的顶点在底面的投影是底面三角形的内心，则下面命题中错误的是(A)侧面与底面所成的二面角相等(B)顶点到底面各边的距离相等(C)这个棱锥是正三棱锥(D)顶点在底面的投影到各侧面距离相等答：A、B、D均是正确的，C的结论是错误的。

当顶点在底面的投影是内心时，底面三角形未必一定等边，不能得出正三棱锥的结论。

另外，立体几何除了依靠空间线面关系的公理、定理来解决问题以外，它还紧紧地依靠着平面几何的许多定理，学习中必须予以充分地重视。

例如，棱锥的底面是底边长BC=12=cm，腰长AB=AC=10cm的等腰三角形，它的各个侧面和底面都成45°的二面角，求棱锥的高。

因为侧面和底面所成的角都相等，且是45°，所以锥高就是底面△ABC的内切圆半径r。

在底面△ABC中，因为AB=AC，所以顶点P在底面的射影O在BC边的高AD上，且D是BC边的中点。

∵AC=10cm，CD=6cm，∴AD=8cm∵O是内心，OC平分∠ACD，∴AOODACCDAO ODODAC CDCDADODAC CDCD OD =⇒+=+⇒=+⇒=+81066∴OD=3cm，从而锥高PO=3cm此题的关键在于求底面等腰三角形的内切圆半径，除了前面部分以外，这是一个实足的平面几何问题、代数问题合比定等，应予重视。

【精典题解】例1.如图，平面α内有一个Rt△ABC，∠C=90°，平面α外有一点P到△ABC的三个顶点的距离都相等。

(1)求证：平面PAB⊥平面α；(2) 若AC=18cm，点P到平面α的距离为40cm，求点P到直线BC的距离。

解：(1) ∵P到△ABC的三个顶点的距离都相等，∴P在平面α的投影是△ABC的外心，又因为△ABC是∠C=90°的直角三角形，所以AB边的中点O是P在平面α内的投影，即连PO，则PO⊥平面αPO PAB PAB⊂∴⊥平面平面平面,α。

(2)在△ABC中，作OM⊥BC于M，则∵∠ACB=90°O是AB中点，∴OM∥AC且OM=12AC，即OM=9cm，由三垂线定理知PM⊥BC，即PM就是顶点P到BC边的距离，Rt△POM中，PM=41cm立体几何棱锥问题不仅是单纯的几何体的问题，往往带着直线与平面的位置关系等等概念，解题中必须注意图形作出过程的证明，怎么作？作什么？由已知条件还可得到什么重要结论，需要叙述论证，如这里(2)中，“在△ABC中作OM⊥BC于M”，还可以改为作OM∥AC，则∵O是AB中点，∴M也是BC的中点等等，而且应注意叙述的表达，要讲清楚，要讲得有理，而且要简洁明了。

例2.已知正三棱锥P—ABC的底面边长和锥高都等于a，求这个棱锥的全面积和体积。

解题思路的分析，要求侧面积必须用斜高，求出斜高便可求侧面积，乃至全面积。

设O是底面△ABC的中心，因为P—ABC是正三棱锥，则PO是棱锥的高，连AO并延长交BC于D，则D是BC边的中点。

且AD⊥BC，由三垂线定理知PD⊥BC，PD就是侧面PBC的斜高。

AD a OD a PO a PD a S BC PD a a S a S S S a V S h aa a =∴==∴=∴=⨯⋅=⨯===+=+=⋅=⋅⋅=3236396312323963943414339131334312222223,,]()又因此侧底全侧底锥底其实，此时这个三棱锥中其他的一些线段量和角量都是确定的，也是可求的，比如侧棱与底面所成的角α=∠PAO ，侧面与底面所成的角β=∠PDO ，都是可求的。

例3.已知三棱锥P —ABC 中，PA =PB =PC =BC =a ，PB 与底面成60°，求此三棱锥的全面积。

根据已知条件，PA =PB =PC ，能得到P 点在底面的投影O 是△ABC 的外心，但是△ABC 中只知道边长BC =a ，外心何在？设顶点P 在底面ABC 中的投影为O ，∠PBO 就是侧棱PB 与底面所成的角，是60°；又∵PB =PC =BC =a ，∴∠PBC =60°，∴BO =CD =a 2，∵BC 就是a ，因此O 点就在底面△ABC 的BC 边上，且是BC 边的中点，故侧面PBC ⊥底面ABC 。

侧面PBC 的面积S PO BC a PAO AO a BO a PBC ∆=⋅=∠=︒∴==123460222又又 ,∴O 到AB 的距离OE =22a ，连PE ，由三垂线定理知PE ⊥AB ，是侧面PAB 的斜高PE PO OE a a a AB a S AB PE a S a S S S S a S S BC AD a PAB PAC PAB PBC PCA ABC =+=+===⋅===++=+==⋅=2222222342452221210810814310124而所以同理可知因此而侧底,()∆∆∆∆∆∆ 故三棱锥P —ABC 的全面积为1413102()++a 平方单位。

先作图，再证明，后计算是解决几何问题的一大特点，首先根据题意，图形要作出，空间线面关系要能够想象得出来，在作出判断的时候，要由题目已知条件出发给予必要的证明，方能得到可靠的结论。

例4.如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB =3，AD =4又PA ⊥AB ，PA =4，∠PAD =60°，(1)求四棱锥P —ABCD 的体积；(2)求二面角P —BC —D 的大小(用反三角函数表示)。

题中要求四棱锥的体积，很希望有高，根据条件PA ⊥AB ，能否有高呢，抱着试一试的心情，应该如此入手。

(1)在侧面PAD 中作PO ⊥AD 于点O ，∵PA ⊥AB ，DA ⊥AB ，PA ∩DA =点A ，∴AB ⊥平面PAD ，AB ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平ABCD 且相交于AD ，PO ⊂平面PAD ，∴PO ⊥底面ABCD ，PO 就是四棱锥P —ABCD 的高，且PO =PA ∠sin PAD =4sin60°=2312,S ABCD = ∴=⋅=⨯⨯=-V S PO P ABCD ABCD 1313122383(立方单位) (2)在底面作OE ∥AB 交BC 于E ，则因为ABCD 是矩形，所以OE ⊥BC ，连PE ，由三垂线定理知PE ⊥BC ，∴∠PEO =θ就是二面角P —BC —D 的平面角，PO =23，OE =AB =3，tg θ==PO OE 233，故θ=arctg 233。

深入研究题目条件与要求，进行沟通是解题的关键，根据条件试一试，有时会得到出奇的效果。

例5.正四棱锥S —ABCD 的侧棱和底面边长相等，E 、F 分别是SD 和BC 的中点。

(1)求异面直线EF 与SB 所成角的度数；(2)求三棱锥S —EBF 的体积与四棱锥S —ABCD 的体积之比。

解决异面直线之间所成角的问题是设法搬到一起来，取SA 的中点P ，连PB 、PE 则因为PE ∥AD ，PE =12AD ，BF ∥AD ，BF =12AD ，∴PBFE 是平行四边形，∵侧棱SA —SB 与底面边长AB 相等，所以BP 与SB 成30°角，即∠SBP =30°，因此异面直线EF 与SB 所成的角也是30°。

又因为E 是SD 的中点，所以S 到平面BEF 的距离等于D 到平面BEF 的距离， ∴V S —BEF =V D —BEF =V E —BDF ，E 到底面ABCD 的距离等于S 到底面ABCD 的距离的一半，S S DBF ABCD ∆=14 ∴=--V V E BDF S ABCD 18故 V S —BEF ∶V S —ABCD =18点睛：第(2)小题中求两个锥的体积比，除了设定边长，分别求出各自的体积，进行比较以外，利用等积变形，化到两个底可比，两条高也可以比，然后体积之比也办到了，此外的解法显然比较简便。