高中数学复习学案(第9讲)反函数

题目 第二章函数反函数

高考要求

1 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x f y -=的性质解决一些问题 2不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数

3 其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合

知识点归纳

1反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；

2定义域、值域：反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1()y f x -=互为反函数，函数()y f x =的定义域为A 、值域为B ，则1[()]()f f x x x B -=∈，

1[()]()f f x x x A -=∈； 3单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称 4求反函数的一般方法：

（1）由()y f x =解出1()x f y -=，（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=，

（3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域

题型讲解

例1 求下列函数的反函数：

（1）()1)f x x =≤-；（2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<； （3）32331y x x x =-++

解：（1）由1)y x =≤-得2211()(1)24

y x x =+-≤-，

∴10)2x y +=≥，

∴所求函数的反函数为10)2y x =-

≥

（2）当01x ≤≤时，得10)x y -≤≤，当10x -≤<时，

得1)x y =<≤，

∴所求函数的反函数为10)1)

x y x -≤≤=<≤⎪⎩

（3）由32331y x x x =-++得3(1)2y x =-+

，∴1)x y R =∈，

∴所求反函数为1()1)f x x R -=∈

例2函数11(,)1ax y x x R ax a -=

≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值 解：由11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+得1(1)(1)

y x y a y -=≠-+， ∴11()(1)(1)

x f x x a x --=≠-+， 由题知：1()()f x f x -=，

11(1)1x ax a x ax --=++，∴1a = 例3 若(2,1)

既在()f x =,m n 的值 解：∵(2,1)

既在()f x =

∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩

，∴21

==，∴37m n =-⎧⎨=⎩

例4 设函数x

x x f +-=121)(，又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g 的值 解法一：由121x y x -=+得12

y x y -=+，∴11()2x f x x --=+，1(1)3x f x x --+=+， ∴)(x g 与3x y x -=+互为反函数，由23

x x -=+，得(2)2g =- 解法二：由1(1)y f x -=+得()1x f y =-，∴()()1g x f x =-，

∴(2)(2)12g f =-=-

例5 已知21()()21

x x a f x a R -=∈+，是R 上的奇函数 （1）求a 的值，

（2）求()f x 的反函数，

（3）对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log x f x k

-+> 解：（1）由题知(0)0f =，得1a =，此时

21212112()()021212112

x x x x

x x x x f x f x ------+-=+=+=++++， 即()f x 为奇函数

（2）∵21212121x x x y -==-++，得12(11)1x y y y

+=-<<-， ∴12

1()log (11)1x f x x x

-+=-<<- （3）∵121()log x f x k -+>， ∴11111

x x x k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，∴111x k x >-⎧⎨-<<⎩， ①当02k <<时，原不等式的解集{|11}x k x -<<，

②当2k ≥时，原不等式的解集{|11}x x -<<

例6 已知函数13)(-=x x f 的反函数)(1x f y -=，)13(log )(9+=x x g

（１）若)()(1x g x f ≤-，求x 的取值范围D ； （２）设函数)(2

1)()(1x f x g x H --=，当D x ∈时，求)(x H 的值域 解：∵ 13)(-=x x f ，∴ )1(log )(31+=-x x f

（１）∵)()(1x g x f ≤- 即)13(log )1(log 93+≤+x x

∴)13(log )1(log 929+≤+x x ，

∴2(1)31,10.

x x x ⎧+≤+⎨+>⎩ 解之得10≤≤x ，

∴[]1,0=∈D x

（２）∵ )(21)()(1x f x g x H --=)1(log 2

1)13(log 39+-+=x x )1(log )13(log 99+-+=x x 1

13log 9++=x x []1,0∈x