分析椭圆中的垂径定理及其运用

分析椭圆中的垂径定理及其运用

1 椭圆的垂径定理

正如我们初中所学垂径定理是圆的特性其定理为：垂直于弦的直径平分这条弦，显然这在椭圆中并不成立，那么我们该如何在椭圆中运用垂径定理呢？首先我们就必须作如下的变换：

先对椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1做x=ax’，y=by’的坐标转换。在这种转换下，xoy 平面内的任一点P（x，y）转换为x'o’y'平面内的点P’（x'，y'）。椭圆方程

x^2/a^2+y^2/b^2=1也就转换为x'o’y’[1]

平面内的单位圆x'^2+y'^2=1。需要注意的是被转化的椭圆的方程是标准方程。而关于椭圆的一般方程我们可以现将其经过坐标转换，转换成标准方程，由于高中一般不接触一般方程就不在赘述。

2 椭圆垂径定理的证明

设椭圆方程为x^2/a^2+y^/b^2=1求椭圆所有斜率为k的弦的中点轨迹方程。

运用点差法设弦（x1，y1），（x2，y2）与椭圆分别交于不同的两点由于点在直线上有x1^2/a^2+y1^2/b^2=1，x2^2/a^2+y2^2/b^2=1两式相减两边同除（x1-x2）得（两点不重合）：（x1-x2）（x1+x2）/a^2+（y1-y2）（y1+y2）/b^2=0。我们注意到（y1-y2）/（x1-x2）是弦的斜率为k。那么设弦的中心点为（x0，y0）则有x0=（x1+x2）/2，y0=（y1+y2），带入上式可得y0=-x0b^2/ka^2[2]。

至此题目已经解完了我们可以看出弦中点的轨迹是一条过原点的线段，注意到y0/x0是轨迹直线的斜率，若设其为k′则有我们得到平行弦斜率kk′与轨迹直线斜率b^2/a^2乘积的一个关系。

因为对于这个结论的认识不够深刻，许多同学在进行记忆的时候会遇到一些困难。但如果从垂径定理的角度进行类比便会发现较大的相似。如果我们使用上面的转换方法将椭圆转化成圆那，那么在新的坐标系中原来得出斜率关系也发生了一定的变化，根据两个坐标系的长度关系可以得出在新坐标系中y'/x'=1，k·k'=-b^2/a^2。

這与之前推导的结论一致，从中我们可以看出无论在圆中还是在椭圆中两条直线都是垂直的，只是由于坐标系做了伸缩变换使得原先的乘积发生了改变。事实上双曲线中也存在类似的结论。

3 椭圆垂径定理的运用

将椭圆方程转化成圆的标准方程后，椭圆就被我们“转化成了”圆，那么在解决一些问题时，我们就可以使用圆的垂径定理来解决。

3.1 判断直线和椭圆位置关系

常规解法应该是直线与椭圆方程联立根据方程解的个数来判断直线与椭圆的位置关系。显然这样是很复杂的。但如果把椭圆圆化，此问题便转化为直线与圆的位置关系了。一般化情况下，直线Ax+By+C=0与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的位置关系讨论如前所述，首先作变换x=ax'，y=by'，那么直线和椭圆分别转化为直线aAx’+bBy'+

C=0和单位圆x’^2+y’^2=1。得到圆心到直线距离公式d=|C|/（a^2A^2+b^2B^2）[3-4]。（这个公式是不改变的）原来的直线和椭圆相交，就是转化后的直线和圆相交，那么d<1，得到a^2A^2+b^2B^2-C^2>0。同理，直线和椭圆相切，就是转化后的直线和圆相切，a^2A^2+b^2B^2-C^2=0；直线和椭圆相离，a^2A^2+b^2B^2-

C^2<0。又或者已知椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1，过椭圆上任意一点P（x0，y0）的切线方程是x0x/a^2+y0y/b^2=1作变换x=ax'，y=by'，椭圆转化为单位圆x′^2+y'2=1，P（x0，y0）转化为P’（x0/a，y0/b），此题就变为求在单位圆x′^2+y'^2=1上一点P′（x0/a，y0/b）的切线方程，易知是x0 x'/a+y0y'/b=1。又因为x′=x/a，y'=y/b，所以原来椭圆的切线方程是x0x/a^2+y0y/b^2=1[5]。

4 结论

通过第一节的论证我们知道垂径定理在椭圆里也是可以使用的，而且从第二节中的分析我们可以看出：如果使用得当那么垂径原理对简化运算有着很大帮助，此外在双曲线中垂径原理也可以得到一定的运用。读者可自行尝试。

参考文献

[1] Kaufmann H，Schmalstieg D.Mathematics and geometry education with collaborative augmented reality[J].Computers&Graphics，2003，27（3）：339-345.

[2] 唐天晓.由一道习题想到的——垂径定理等性质的应用[J].中学课程辅导：初三版，2004（9）：13.

[3] 袁亚平.竞赛中与“垂径定理”有关的证明题[J].中学生数学，2006（12）：26-27.

[4] 石高安.数形结合，例谈垂径定理在椭圆问题中的高效作用[J].数理化解题研究：高中版，2013（4）：10-11.