分析椭圆中的垂径定理及其运用
垂径定理及其应用
垂径定理应用举例垂径定理是圆中最基本和最重要的定理之一，利用垂径定理，可以解决许多数学问题，如证明圆中线段相等，角相等，线段垂直，证明弧相等，也是后面学习圆的其他性质的重要依据，利用它可以综合运用勾股定理和三角函数，使解决问题的思路更宽。
在运用垂径定理的时候，必须掌握常见的辅助线的作法，那就是作过圆心的直线或直径、弦心距。
从而构造直角三角形来处理问题。
在垂径定理部分共涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h它们之间存在重要的关系式：r = h+d ; r2 = d2 + (a/2)2下面介绍一下垂径定理在解题中的应用。
1、应用公式r2 = d2 + (a/2)2 解决问题。
例1、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.解：分两种情况：（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（注意：作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）由EF过圆心O，EF⊥AB，AB = 6，得AE=3，在Rt△OEA中，由勾股定理，得，∴同理可得：∴EF=OE+OF=4+3=7．（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．∴．评析：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力．例2、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC = 15 .求：BC的长.解：过O作OE⊥AB于E ，则AE=BE=12，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE=9。
由已知条件可得四边形OEBF是矩形，则BF=OE=9，OF=BE=12。
在Rt△FCB中，由勾股定理，得BC =评析：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间建立关系.2、在实际问题中的应用例1、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．分析：要求油的最大深度，就是求有油的弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后垂径定理和勾股定理来解决．解：过O点作OC┷AB于E，交弧AB于D点，Rt△OBC中，由勾股定理可求OC=125，所以CD=OD-OC=200。
椭圆垂径定理
椭圆垂径定理
椭圆垂径定理是椭圆几何中最重要的定理之一，迄今为止仍然起着重要的作用。
椭圆垂径定理是数学家弗劳顿1748年发现的，他证明了任意两条椭圆上的弦距离
两个焦点距离的乘积等于椭圆垂径的平方。
椭圆垂径定理如下所示：
椭圆上任意两点P和Q之间的距离乘以把P和Q连接起来的弦的距离（即对椭
圆上任意点P，Q的焦点距为a，b，则PQ弦上距离为：PQ=(b^2-a^2)/2ab）等于
椭圆垂径（即a^2-b^2=c^2）的平方。
椭圆垂径定理的应用非常广泛，可以用于计算半径较大的圆的坐标，也可以应
用在空间几何中，比如判断空间两点之间的距离，可以通过它算出在法兰克福坐标系中求取空间点云的中心点，这也是它的重要应用。
总的来说，椭圆垂径定理不仅在椭圆几何中发挥重要作用，在空间几何中也有
着突出的应用，在今天的几何仿真技术中，椭圆垂径定理在空间几何中得到了更多的应用，一直是理解几何学发展趋势的重要参考。
垂径定理方法总结
垂径定理方法总结
垂径定理超厉害好不好！它可不仅仅是一个数学定理，更是解决很多问题的利器呢！那垂径定理到底咋用呢？首先，找到圆的一条弦和过圆心的垂线。
这就像在茫茫大海中找到一艘船和它的航线一样关键。
接着，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
这一步就如同找到了打开宝藏的钥匙，一下子就能得出好多重要的结论。
在运用垂径定理的过程中，安全性那是杠杠的。
只要找准了弦和直径，按照定理来操作，就不会出错。
稳定性也没得说，就像一座坚固的桥梁，稳稳地连接着各种数学问题。
那垂径定理都用在啥场景呢？在解决圆的相关问题时，它可是大显身手。
比如求弦长、弧长、圆心角等等。
优势那可多了去了，能快速准确地得出答案，让你在数学的海洋中如鱼得水。
举个实际案例吧！比如说有一个圆，已知一条弦长和圆心到弦的距离，让你求圆的半径。
这时候垂径定理就派上用场啦！通过垂直于弦的直径平分弦这个性质，再结合勾股定理，就能轻松求出半径。
哇塞，是不是超厉害？
垂径定理就是这么牛，用起来方便快捷，安全性和稳定性都超高，应
用场景广泛，优势明显。
赶紧把它用起来吧！。
垂径定理及推论证明方法
垂径定理及推论证明方法一、垂径定理的内容。
1.1 垂径定理简单来说就是在圆中，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
这就像是一个圆里的“公平分配原则”，直径就像一个公正的裁判，只要它垂直于弦，就会把弦和对应的弧都平均分成两份。
1.2 例如，我们有一个圆，画一条弦AB，再画一条直径CD，让CD垂直于AB于点E。
那么根据垂径定理，AE就等于BE，弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
这就好像把一块圆形的蛋糕（圆），用一把垂直于蛋糕中间一条线（弦）的长刀（直径）切开，两边的蛋糕（弧）和中间的线（弦）都被平均分开了。
二、垂径定理的证明方法。
2.1 我们可以利用等腰三角形的性质来证明。
连接圆心O与弦AB的两个端点A和B，这样就形成了两个等腰三角形，即△OAB。
因为OA = OB（圆的半径都相等，这是圆的基本性质，就像一个家族里的兄弟姐妹都有相同的地位一样），直径CD垂直于AB，根据等腰三角形三线合一的性质（这可是三角形里的一个“法宝”性质），就可以得出AE = BE，从而证明了垂径定理平分弦这一部分。
2.2 对于平分弧的证明，我们可以利用圆的对称性。
圆是一个非常对称的图形，就像一个完美的圆形镜子，任何一条直径都是它的对称轴。
因为直径CD垂直于弦AB，那么沿着直径CD对折这个圆，弧AC和弧BC会完全重合，弧AD和弧BD也会完全重合，这就证明了直径平分弦所对的两条弧。
这就好比把一张圆形的纸沿着直径对折，两边的图案（弧）会严丝合缝地重合在一起，这就是圆的对称性在起作用。
2.3 从全等三角形的角度也能证明。
在前面连接OA、OB后，在Rt△OAE和Rt△OBE中，OA = OB（半径），OE是公共边，根据HL（斜边直角边）定理，可以得出这两个直角三角形全等。
全等三角形对应边相等，所以AE = BE。
而且全等三角形对应角相等，那么对应的圆心角相等，圆心角相等所对的弧就相等，也就证明了弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
椭圆中的垂径定理
椭圆中的垂径定理椭圆的定义椭圆是一个几何图形，它由一个平面上的点集构成，这些点到两个定点的距离之和保持不变。
其中，这两个定点称为焦点，而这个距离之和称为焦距。
通过运用垂径定理，可以探讨椭圆的性质和特点。
垂径定理垂径定理是指，椭圆上的任何一条线段与圆心到该线段中点的连线垂直。
也就是说，如果我们在椭圆上选择一个点，然后从圆心到该点作一条线段，该线段与椭圆上的切线垂直。
垂径定理的分析证明为了证明垂径定理，我们需要运用一些数学知识和推理。
设想一个椭圆，然后取圆心C和椭圆上的一点D。
我们需要证明线段CD与切线ACB垂直。
设椭圆的焦点为F1和F2，椭圆的半径长度为a和b（a大于b）。
假设椭圆上的点D坐标为(x,y)，圆心C的坐标为(0,0)。
由椭圆的定义可知，焦点F1的坐标为(c,0)，焦点F2的坐标为(-c,0)。
设椭圆的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1。
根据椭圆的定义，我们可以求解出点D的坐标(x,y)。
根据点D处的切线方程可得斜率为k，切线方程为y = kx + b1。
其中，b1为切线的截距。
利用数学知识和推导，我们可以得出椭圆的半焦距为c = sqrt(a^2 - b^2)。
由此可得出切线的斜率为k = -x y/(b^2 sqrt(a^2 - x^2))。
将点D的坐标(x,y)带入切线方程可得y = -x b^2 sqrt(a^2 - x2)/(b2 * sqrt(a^2 - x^2)) = -x。
这表明切线与x轴垂直，证明垂径定理。
椭圆的特性应用垂径定理的实际应用非常广泛。
在数学、物理、工程等领域中，我们经常需要利用椭圆的特性来解决实际问题。
以下是椭圆的一些特性及其应用场景：1.椭圆的离心率：离心率是椭圆的一个重要特性，它描述了椭圆的扁平程度。
离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。
离心率的计算与垂径定理的应用息息相关，可用于工程测量和轨道设计等领域。
2.椭圆的焦距：焦距是椭圆的另一个重要特性，它描述了一个点到两个焦点的距离之和。
圆、椭圆、双曲线中的垂径定理.doc
圆、椭圆、双曲线中的垂径定理
1.圆中的垂径定理
如图，设A、B是圆O的一条弦，P为AB的中点，则AB⊥OP，即：kAB·kOP=-1；
类比，在圆锥曲线中是否有相似的性质呢？
2.椭圆、双曲线中的垂径定理
思考：什么情况下适合使用这个结论？
本结论联系的弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系，故涉及到两者有关的问题时，适合使用该结论解题。
Ps:相信同学们对“点差法”一点都不陌生，但能将点差法的运算过程跳过，而抽象出该结论直接用于解题的同学会少很多！“学无止境”，想得比别人多一点、深一点，你就会更有优势。
3.其它更多的结论
下面我们把弦AB往外平移到与圆O相切时，又有怎样的性质呢？
童鞋们自主完成吧，我提供一个框架给大家吧：
圆中：
如图，设直线l与圆O相切于点P，则l⊥OP，即：kl·kOP=-1；
为更好的理解以上性质，可以从多角度思考结论怎么得来？比如我们知道当a=b时，椭圆就变成了圆，结论中的，
两者就完美的无缝衔接了，这样能否更好的记忆了呢？另外，这里叙述时的细节很多，本文没有交待的很仔细，比如弦不过原点，过原点时OP重合了，等等……
最后，我们的重点还是在于如何应用。
请童鞋们自主思考：什么样的情况下，会利用得上这些结论帮助熟练、快速的解题呢？
4.应用举例，高考真题一例
一般解答过程：
利用椭圆的垂径定理的快速解答：。
椭圆垂经定理
椭圆垂经定理椭圆垂经定理是一个数学定理，表示直线和椭圆之间的关系。
它提供了一种方法来找到两个点之间的垂直距离，可以应用于统计学和定位的测量计算。
一、定理概述椭圆垂经定理规定：任意给定的椭圆和任意给定的一条直线，他们的垂直距离（称为垂经距离，也叫"垂距"）满足：$$d^2=2a h$$其中，a为椭圆的长半轴，h为圆心到直线的垂直距离。
二、椭圆定义椭圆是一个二维几何图形，由椭圆方程定义：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴，它们之间的比值称为椭圆的偏心率。
三、应用场景椭圆垂经定理与椭圆方程息息相关，适用于统计学分析、测量计算及房地产专业等各个领域。
比如，用椭圆垂经定理可以定下椭圆周边最大最小垂经距离；配合椭圆方程可以精准测量出椭圆边长；在二元统计学中，也可以用椭圆垂经定理拟合数据；椭圆还是一条线路规划的重要工具，从前往后规划经纬度路线可以用椭圆垂经定理来确定距离最短的航线。
四、定理演变椭圆垂经定理最早由伊萨克•约翰•特洛斯（Isaac John Trusses）提出，1900年由荷兰数学家Christophe Leibniz建立了垂经的定理。
自今之后，椭圆垂经定理也被广泛应用于回归分析、线性规划、人工智能、信息论等领域。
虽然椭圆垂经定理被广泛运用，但是其可行性及准确性尚有待进一步验证。
总结椭圆垂经定理是一个数学定理，它可以用来找出椭圆和直线之间的垂经距离，应用范围涉及统计学、测量计算等领域，并已广泛应用于回归分析、线性规划、人工智能、信息论等领域，其可行性及准确性尚有待进一步验证。
垂径定理及其应用
垂径定理及其应用一．垂径定理的应用1． 半径、弦心距、弦长、弓形高之间的计算：求半径、求弦心距、求弦长、求弓形高、求角、求平行弦的之间的距离 2． 证明线段相等、角相等、弧相等 3． 解决实际问题 二．垂径定理的推论的应用 1． 求半径、求弦心距、求弦长、求弓形高、求角 2． 等分弧（作图） 3． 确定圆心与半径（作图） 4． 解决实际问题 思想方法：分类讨论、数形结合1． 已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。
2． 在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝_____。
3． 已知圆内接△ABC 中，AB ＝AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，半径r＝7cm ，则腰长AB 为_________。
4． 已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为_______。
5． ⊙O 的半径OA ＝1，弦AB 、AC 的长分别是3,2，则∠BAC 的度数为______。
6． 已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_____。
7． 在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为______。
8． 如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。
9． 在⊙O 中，半径OA ＝10cm ，AB 是弦，C 是AB 弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。
10．已知以O 为圆心两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点。
求证：AC ＝BD11．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为_____。
垂径定理_精品文档
垂径定理垂径定理是解决几何问题中常用的一个定理，它和“垂直”有关。
垂径定理的全称是“垂直于直径的半径必垂直于圆”。
垂径定理的内容简单而明确，但它却具有重要的意义和应用价值。
本文将从垂径定理的定义、证明以及几个典型的应用来介绍垂径定理，并解释为什么它在解决几何问题中具有重要意义。
首先，我们来了解一下垂径定理的定义。
垂径定理主要是指：如果在一个圆上，有一个半径垂直于直径，那么这个半径和这个直径在圆上的交点之间的弧长就是90度。
换句话说，半径与直径的交点和圆上的其他点之间的弦垂直。
这是垂径定理的基本内容。
接下来，让我们来看一下垂径定理的证明。
首先，我们假设在一个圆上，有一个半径OA垂直于直径BC，如下图所示。
这是一个坐标证明的图。
为了简化问题，我们可以假设圆的半径为1。
因此，点O的坐标就是(0，1)，点B的坐标就是(-1，0)，点C 的坐标就是(1，0)。
我们知道，在直角三角形中，直角的两条边的斜率乘积为-1。
我们可以计算出OA的斜率为-1，而BC的斜率为0，因此满足垂径定理的条件。
我们可以继续应用几何知识来证明垂径定理。
根据半径垂直于弦的定义，我们知道OA垂直于BC。
根据直径的定义，我们知道BC就是圆的直径。
因此，根据垂直定理，我们可以得出结论，OA是圆的半径，它与直径BC垂直。
接下来，我们将介绍几个典型的应用垂径定理的例子。
例1：证明对称圆上的两条弦垂直在一个圆上，有两条弦AB和CD，且AB与CD以圆心为中点。
我们需要证明这两条弦互相垂直。
根据问题的设定，我们知道AB和CD以圆心O为中点。
因此，OA 等于OC，OB等于OD。
根据垂径定理的定义，OA垂直于AB，OC垂直于CD。
进一步观察，我们可以发现OA和OC重合，因为它们都是圆的半径，长度相等，方向相同。
同理，OB和OD重合。
因此，根据重合线段垂直定理，我们可以得出结论，AB垂直于CD。
例2：证明正方形的对角线相互垂直在一个正方形中，连接两个相对顶点的线段被称为对角线。
解析几何第8讲-中点弦问题--椭圆垂径定理
第8课：中点弦问题--椭圆垂径定理一．学习目标:掌握点差法，能够在不同情境中用点差法解决中点弦问题，会推导椭圆垂径定理.二.知识梳理: 1.中点弦公式：（所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解） 椭圆：交点在x 轴上时直线m kx y +=与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于点A 、B设点A(11,y x ),B(22,y x )∵A 、B 在椭圆上∴1221221=+b y a x ……① 则2222122221-b yy a x x -=- 1222222=+b y a x ……② 即 2222212221-a b x x y y =-- ①-②得：02222122221=-+-b y y a x x 即2221212121))((ab x x y y x x y y -=++-- 则 22ab k k OMAB -=（其中M 为A 、B 中点，O 为原点）同理可以得到当焦点在y 轴上，即椭圆方程为)0(12222>>=+b a bx a y当直线交椭圆于A 、B 两点，M 为A 、B 中点 则22ba k k OMAB -=2.椭圆垂径定理：直线AB 的斜率与中点M 和原点O 所成直线斜率的乘积等于2y 下的系数比上2x 下的系数的相反数. 三.典例分析例1.已知椭圆193622=+y x ，弦AB 的中点是)1,3(M ,求弦AB 所在的直线方程.例2.已知椭圆),0(12222>>=+b a by a x 直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点B A ,,假设线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.四.练习题.1．已知椭圆22:14x C y +=，直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则l 的方程为( )A ．4250x y -+=B ．220x y -+=C ．4230x y +-=D ．20x y +=2.已知椭圆221369x y +=，椭圆内一点(4,2)P ,则以P 为中点的弦所在的直线的斜率是 A.21 B.－21C.2D.－23．若椭圆122=+ny mx 与直线01=-+y x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 的中点的直线的斜率为22，则mn的值为( ) A ．22 B ．2C ．23 D ．92 4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆交于A ，B 两点，若AB 的中点)21,1(-P ，且直线AB 的倾斜角为4π，则此椭圆的方程为（ ） A ．1949222=+y x B ．19922=+y x C ．15922=+y x D ．192922=+y x5．中心在原点，一个焦点为1F ()50,0的椭圆截直线23:-=x y l 所得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程．6.已知椭圆C 的两个焦点分别为()1,0F c -、()()2,00F c c >，短轴的两个端点分别为1B 、2B ，且112F B B 为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C 的方程；（2）如果在椭圆C 上存在不同的两点P 、Q 关于直线112y x =+对称，求实数c 的取值范围；7．已知椭圆E 的焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为2． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）直线l ：12y x m =+与椭圆E 相交于A ，B 两点，且弦AB 中点横坐标为1，求m 值．8.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．第9课：面积计算一．学习目标: 二. 知识梳理: 1.三角形面积直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积 处理方法： ①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离） =20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++（直线为斜截式y=kx+m ） =m y kx x x x x +--+00112214)(21②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此 时，便于找到两个三角形的底边长。
垂径定理及其应用
垂径定理及其应用
几何学中的极径定理是一种推论，它说明两个曲线之间的距离就是它们间的极径的差值，在数学和几何学中有着重要应用。
极径定理也被称为径距定理，指的是两个曲线之间的距离是它们极坐标系中极径之差，两条曲线极壬心其依据其相交点在由给定半径和极角构成的极坐标系中关于轴心的曲线。
在平面几何学中，极径定理定义了两个曲线的距离，这两个曲线一般是给定的圆或椭圆，以及其他任意的曲线，它们由具有极径r和极角theta的坐标系描述。
据此，当一条曲线从它原先的极坐标上移动到另一个极坐标时，它们之间的距离就是这两个极坐标之间的极径差。
极径定理也可以应用到复平面几何学中，比如用来解决椭圆的离心率的问题。
考虑一个椭圆，它由一对极坐标表示，其中a和b分别是椭圆的长短轴，极径定理可以用来求解该椭圆的离心率。
事实上，只要椭圆的两个极点以及中心点的极径差值都已知，就可以用极径定理直接求解离心率，而不需要借助其他公式或数学方法。
另外，除了应用于圆椭圆，极径定理也可以用来解决一类具有一般曲线的椭球形物体的问题。
比如，椭球形物体的极径定义了它们两个极点之间的距离。
若要计算椭球形物体的极长一般只要使用极径定理就可以得到。
极径定理也可以解答其他一些复杂的数学-几何学问题。
比如说，如果两个几何图形分别为极坐标和极坐标的直角坐标，极径定理可以用来求出这两个几何图形的距离。
还有，极径定理可以用来得出给定角度下另一极轴上一段旋转距离的结果，而这在从旋转几何学中得出的重要结果有着举足轻重的作用。
总之，极径定理是圆椭圆，椭球，旋转几何学以及另外一些数学几何学问题研究中不可或缺的理论。
尽管它简单，但它是几何学基础理论的一个建立者，。
垂径定理说课稿
垂径定理说课稿垂径定理是几何学中的一个重要定理，它描述了圆的直径与通过直径两端的圆周上任意两点的连线之间的关系。
在本节课中，我们将深入探讨垂径定理的定义、性质以及应用。
首先，我们需要明确垂径定理的定义。
垂径定理指出：在圆中，直径与通过直径两端的圆周上任意两点的连线垂直相交。
换句话说，如果一条线段是圆的直径，那么它与通过其两端点的圆周上任意两点的连线垂直。
接下来，我们来探讨垂径定理的性质。
根据定理，我们可以得出以下结论：1. 直径是圆中最长的弦。
2. 直径将圆分成两个相等的半圆。
3. 通过直径的两端点的圆周上任意两点的连线，都会与直径垂直相交。
在理解了垂径定理的定义和性质之后，我们可以进一步学习其应用。
垂径定理在解决几何问题时非常有用，尤其是在计算圆的弧长、圆周角以及圆心角时。
例如，当我们需要计算圆周上两点之间的弧长时，我们可以利用垂径定理来确定这两点所对应的圆心角，从而计算出弧长。
此外，垂径定理还可以帮助我们解决一些实际问题，比如在设计圆形花园时，确定花园的直径可以帮助我们计算出花园的面积。
在教学过程中，我们可以通过以下步骤来引导学生理解和掌握垂径定理：1. 引入圆的定义和性质，为学生提供必要的背景知识。
2. 通过图形演示，直观地展示垂径定理的几何意义。
3. 通过实例练习，让学生在实际操作中应用垂径定理，加深理解。
4. 鼓励学生提出问题和讨论，以促进他们对定理的深入思考。
最后，我们可以通过一些典型的练习题来巩固学生对垂径定理的掌握。
这些练习题可以包括计算圆的弧长、圆周角和圆心角，以及解决与圆相关的实际问题。
通过本节课的学习，学生应该能够理解垂径定理的含义，掌握其性质，并能够灵活地应用到各种几何问题中去。
分析椭圆中的垂径定理及其运用
分析椭圆中的垂径定理及其运用1 椭圆的垂径定理正如我们初中所学垂径定理是圆的特性其定理为：垂直于弦的直径平分这条弦，显然这在椭圆中并不成立，那么我们该如何在椭圆中运用垂径定理呢？首先我们就必须作如下的变换：先对椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1做x=ax’，y=by’的坐标转换。
在这种转换下，xoy 平面内的任一点P（x，y）转换为x'o’y'平面内的点P’（x'，y'）。
椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1也就转换为x'o’y’[1]平面内的单位圆x'^2+y'^2=1。
需要注意的是被转化的椭圆的方程是标准方程。
而关于椭圆的一般方程我们可以现将其经过坐标转换，转换成标准方程，由于高中一般不接触一般方程就不在赘述。
2 椭圆垂径定理的证明设椭圆方程为x^2/a^2+y^/b^2=1求椭圆所有斜率为k的弦的中点轨迹方程。
运用点差法设弦（x1，y1），（x2，y2）与椭圆分别交于不同的两点由于点在直线上有x1^2/a^2+y1^2/b^2=1，x2^2/a^2+y2^2/b^2=1两式相减两边同除（x1-x2）得（两点不重合）：（x1-x2）（x1+x2）/a^2+（y1-y2）（y1+y2）/b^2=0。
我们注意到（y1-y2）/（x1-x2）是弦的斜率为k。
那么设弦的中心点为（x0，y0）则有x0=（x1+x2）/2，y0=（y1+y2），带入上式可得y0=-x0b^2/ka^2[2]。
至此题目已经解完了我们可以看出弦中点的轨迹是一条过原点的线段，注意到y0/x0是轨迹直线的斜率，若设其为k′则有我们得到平行弦斜率kk′与轨迹直线斜率b^2/a^2乘积的一个关系。
因为对于这个结论的认识不够深刻，许多同学在进行记忆的时候会遇到一些困难。
但如果从垂径定理的角度进行类比便会发现较大的相似。
如果我们使用上面的转换方法将椭圆转化成圆那，那么在新的坐标系中原来得出斜率关系也发生了一定的变化，根据两个坐标系的长度关系可以得出在新坐标系中y'/x'=1，k·k'=-b^2/a^2。
椭圆中的垂径定理
椭圆中的垂径定理椭圆是一种具有特殊形状的几何图形，它在数学和几何学中具有重要的应用。
在研究椭圆性质时，垂径定理是一个重要的定理，它描述了椭圆中垂直于切线的直径之间的关系。
本文将详细介绍椭圆中的垂径定理。
一、椭圆的基本定义与性质1.1 椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F1和F2以及一个常数d（表示焦点到直线l距离），椭圆是到焦点F1和F2距离之和等于常数d的所有点P构成的集合。
1.2 椭圆的基本性质椭圆具有以下基本性质：- 椭圆上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数d。
- 椭圆上任意一点P到两个焦点F1和F2连线所在直线l的距离等于常数d。
- 椭圆上任意一条切线与过焦点F1和F2连线所在直线l垂直。
二、垂径定理2.1 定理表述垂径定理描述了椭圆中垂直于切线的直径之间的关系。
具体而言，如果从椭圆上任意一点P引出两条切线，并且这两条切线与通过两个焦点F1和F2的连线所在直线l垂直，则这两条切线所对应的直径之间成立以下关系：这两条直径的乘积等于焦距的平方。
2.2 定理证明为了证明垂径定理，我们需要利用椭圆的基本性质和一些几何推理。
设椭圆的焦距为2c，焦点F1和F2之间的距离为2a。
假设我们有一个任意点P(x, y)在椭圆上，并且通过该点引出两条切线。
设这两条切线分别与过F1和F2连线所在直线l相交于点A和B。
由于A、P、B三个点共线，根据几何学基本原理，我们可以得到以下结论：- 三角形AF1P与三角形BF2P相似。
- 三角形AF1P与三角形BF2P对应边长成比例。
进一步推导，我们可以得到以下结论：- AP / BP = AF1 / BF2 = AF1 + BF2 / AF1 - BF2 (根据椭圆性质) - AP / BP = (a + c) / (a - c)另根据椭圆的定义，我们知道焦点F1和F2到直线l的距离之和等于常数d，即：- AF1 + BF2 = d将上述结果代入，我们可以得到：- AP / BP = d / 2c由于AP和BP是切线所对应的直径，我们可以表示为：- AP = 2r1- BP = 2r2其中r1和r2分别表示直径AP和BP的长度。
新课改下椭圆中的垂径定理分析
活用教材高效完成初中数学的教与学■罗永强 （四川省南充市西充县双凤中学 ６３７２００）【摘 要】新课标下数学教学过程是教师组织和引导学生主动掌握数学知识，发展数学能力，形成良好的个性心理品质的认识与发展相统一的过程，而教师的“教”和学生的“学”的双边活动要以教材为中介，教材把他们紧密地联系在一起。
教材的编写在一定程度上决定着教师的“教”和学生的“学”法。
【关键词】引导；延伸；高效【中图分类号】Ｇ６３２．０ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５－３０８９（２０１８）２５－０１４４－０１ 新课程标准的观念强调我们教师要变“教教材”为用“教材教”。
在传统教育观念下所编写的旧教材，过于注重知识编写，其逻辑严密、高度抽象概括、知识环环相扣，使学生感到惧怕。
在教材的“指引”下教师把知识源源不断地硬塞给学生，然后通过强化训练而达到学生对基础知识的掌握，而过去历来学生数学期末考试平均分均不合格，大大打击了学生学习数学的兴趣和信心。
而在新课标的观念下所编写的新教材将数学知识形成的基本过程和基本方法贯穿始终，教师善于发掘出新教材优点，转变教育观念，培养出适应时代要求的新型人材。
我本人的教学，主要从新教材具有的几个突出的优点着手，进行教学。
一、新教材从学生的身边出发，确实把知识体现在现实生活中，教师引导学生回忆，让学生产生对知识的浓厚兴趣“教学课程标准指出，教学课程不仅要考虑教学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已在的生活经验出发。
数学教材每一章开始，都是一个典型的例子引入，体现整章的核心，而每节课开始，也安排生活中的例子。
在学习平面直角坐标系时，教材创设电影院的情境。
在电影院内如何找到电影票上所指的位置？此时学生七嘴八舌地说出自己的意见，有的说先看第几排再看第几号，而有的同学说还要看是几楼（因为有的电影院是两层甚至是多层的）这是每一位同学都很熟悉的，即使平时考试成绩很差的同学也不陌生，能充分引起学生学习的愿望和增强学好数学的信心。
椭圆垂径定理公式
椭圆垂径定理公式椭圆垂径定理是椭圆的一个重要性质，可以用来计算椭圆周长和面积，其公式为：垂径定理：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离和等于椭圆的长半轴长。
设椭圆的中心为O，长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c （c^2 = a^2 - b^2）。
点P(x,y)是椭圆上的一点，设点F1和F2分别是椭圆的左右焦点。
根据垂径定理，有公式：PF1 + PF2 = 2a即：√((x+c)^2 + y^2) + √((x-c)^2 + y^2) = 2a这就是椭圆的垂径定理公式。
我们可以通过这个公式来解决一些与椭圆相关的计算问题。
例如，我们可以通过已知椭圆的长半轴长和焦距来求解短半轴长。
或者，通过已知椭圆上一点的坐标和长半轴长，来求解该点到两个焦点的距离之和。
除了椭圆的垂径定理公式，还有一些相关的内容可以作为参考。
1. 椭圆的几何性质：椭圆是一个平面上的闭合曲线，可以看作是平面上与两个定点（焦点）F1和F2到定点与给定常数之和等于该常数的点的轨迹。
椭圆还具有对称性、切线性质等一系列几何性质。
2. 椭圆的参数方程：椭圆可以用一组参数方程表示，在直角坐标系中，椭圆上的点可以表示为参数方程：x = a*cosθ, y =b*sinθ，其中a为长半轴长，b为短半轴长，θ为参数角。
3. 椭圆的面积和周长：椭圆的面积公式为S = πab，周长公式为C = 4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分，e为椭圆的离心率（e^2 = 1 - b^2/a^2）。
4. 椭圆的离心率与焦距的关系：椭圆的离心率e与焦距的关系为e = c/a，其中c为焦距，a为长半轴长。
5. 椭圆与直线的关系：椭圆与直线的交点可以有0个、1个或2个，这取决于直线与椭圆的位置关系。
当直线与椭圆相切时，直线为椭圆的切线。
以上是与椭圆垂径定理相关的一些参考内容，通过这些内容，我们可以更好地理解和应用椭圆垂径定理。
巧用椭网、双曲线的垂径定理与第三定义解题
ʏ湖南省郴州市第二中学 曹美莲解析几何是中学数学的重要组成部分,也是高考数学中的重点㊁难点和热点之一㊂新高考更加注重考查同学们对所学知识的探究能力,考查将数学知识灵活运用到生活中的能力,考查同学们的创新意识,能从数学的角度发现问题㊁提出问题并解决问题㊂下面我们来探索用椭圆和双曲线中的垂径定理㊁第三定义来解决圆锥曲线的一些相关问题㊂一、椭圆和双曲线的垂径定理图1椭圆的垂径定理:如图1,已知直线l 与椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点,P 为线段A B 的中点,O 为坐标原点,且k O P ,k A B 都存在,则k O P ㊃k A B =-b 2a 2=e 2-1㊂图2双曲线的垂径定理:如图2,已知直线l 与双曲线E :x2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)相交于A ,B 两点,P 为线段A B 的中点,O 为坐标原点,且k O P ,k A B 都存在,则k O P ㊃k A B =b 2a2=e 2-1㊂图3例1 如图3,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (1,0),离心率为12,әA B C 的三个顶点都在椭圆上,设әA B C 的三条边A B ,B C ,C A 的中点分别为D ,E ,M ,三条边所在直线的斜率分别为k 1,k 2,k 3,且均不为0,O 为坐标原点,若直线O D ,O E ,O M 的斜率之和为1,则1k 1+1k 2+1k 3=㊂解析:由椭圆的垂径定理得k O D ㊃k A B =e 2-1=-34,所以1k A B =-43㊃k O D ㊂同理可得1k B C=-43㊃k O E ;1k A C =-43㊃k O M ㊂所以1k 1+1k 2+1k 3=-43(k O D +k O E +k O M )=-43㊂点评:由题意知,三角形的三条边分别是椭圆的三条弦,而其中点都与原点相连,求解的问题也是与斜率有关,因此容易想到用椭圆的垂径定理来解决问题㊂例2 已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),点P 在x 轴上,过点P 的直线与双曲线的右支交于M ,N 两点(点M 在第一象限),直线M O 交双曲线的左支于点Q ,O 为坐标原点,连接Q N ,若øM P O =60ʎ,øMN Q =30ʎ,则该双曲线的离心率为( )㊂A.2 B .3 C .2 D .4图4解析:如图4,设弦MN 的中点为R ,连接O R ,则O R 为әMN Q 的中位线,所以øM R O =øMN Q =30ʎ㊂因为øM P O =60ʎ,由三角形的外角定理得øP O R =30ʎ,即直线O R 的倾斜角为150ʎ㊂因为øM P O =60ʎ,所以直线MN 的倾斜角为120ʎ㊂由双曲线的垂径定理得k MN ㊃k O R=b 2a2=e 2-1,即t a n 120ʎˑt a n 150ʎ=e 2-1,解得e =2㊂故选A ㊂点评:由题意知,点M ,Q 关于原点对称,MN 为双曲线上的弦,已知øM P O =60ʎ,可得直线MN 的斜率㊂O 为Q M 的中点,只需作出MN 的中点R ,连接O R ,由øMN Q =30ʎ易求得直线O R 的斜率,再利用双曲线的垂径定理,即k MN ㊃k O R =b 2a2=e 25知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年4月-1,可求得双曲线的离心率㊂二、椭圆和双曲线的第三定义图5椭圆的第三定义:如图5,已知A ,B 为椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的端点(或短轴的端点),P 是椭圆上异于A ,B的点,且k P A ,k P B 均存在,则k P A ㊃k P B =-b 2a2=e 2-1㊂图6双曲线的第三定义:如图6,已知A ,B 为双曲线E :x2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)长轴的端点(或短轴的端点),P 是双曲线上异于A ,B 的点,且k P A ,k P B 均存在,则k P A ㊃k P B =b 2a2=e 2-1㊂例3 已知双曲线C :x 2-y 22=1,设A ,B 分别为C 的左右顶点,P 为C 上一点,若t a nøP A B =13,则t a nøA P B =㊂图7解析:如图7,设点P 在第一象限,由题意知k P A =t a n øP A B =13,e =a 2+b2a=3,由双曲线的第三定义知k P A ㊃k P B =e 2-1=2,所以k P B =6,即t a n øP B A =-6㊂所以t a n øA P B =-t a n (øP A B +øP B A )=-13-61-13ˑ(-6)=179㊂点评:因为题中给出的t a nøP A B =13与直线A P 的斜率有关,点P 在双曲线上,A ,B 为双曲线的顶点,这些因素符合双曲线的第三定义,由此可求出直线P B 的斜率,再应用三角形中角的关系求出t a nøA P B 的值,使得计算更加简洁㊂例4 已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点(-2,0),且离心率为22㊂过坐标原点O 的直线交椭圆E 于A ,P 两点,点P 在第一象限,过点P 作x 轴的垂线,垂足为C ,连接A C ,当C 为椭圆E 的右焦点时,әP A C 的面积为2㊂(1)求椭圆E 的方程㊂(2)若B 为A C 的延长线与椭圆E 的交点,试问:øA P B 是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,请说明理由㊂解析:(1)易得椭圆E 的方程为x 24+y 22=1㊂(过程略)图8(2)如图8,设P (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A (-x 1,-y 1),C (x 1,0),所以k A B ㊃k P B =-y 1-y 2-x 1-x 2㊃y 1-y 2x 1-x 2=y 21-y22x 21-x 22㊂因为P ,B 在椭圆上,所以x 214+y 212=1,x 224+y 222=1,两式相减得x 21-x 224+y 21-y 222=0,则y 21-y 22x 21-x 22=-12,所以k A B ㊃k P B =y 21-y 22x 21-x 22=-12,所以k P B =-12k A B㊂因为k P A =y 1x 1,k A B =k A C =y 12x 1,所以k P A =2k A B ㊂所以k P A ㊃k P B =2k A B ㊃-12k A B=-1,所以P A ʅP B ,即øA P B 为定值90ʎ㊂点评:在解答题中用到椭圆的第三定义时,需要借助点差法先推导出结论后再应用㊂本题中要判断øA P B 是否为定值,可以知道øA P B 必然为特殊角,由 点A ,P 关于原点对称,B 为椭圆上的点 容易想到椭圆的第三定义,用斜率来证明øA P B 为直角㊂这样避免了设直线方程与联立方程组的烦琐计算过程,能够快速地得到答案㊂(责任编辑 王福华)6知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年4月。
椭圆垂径定理证明
椭圆垂径定理证明椭圆垂径定理证明椭圆是一种具有特殊几何性质的曲线，它的形状类似于拉长的圆形。
在椭圆中，有一个重要的定理——椭圆垂径定理。
该定理描述了在椭圆上任意一点处，通过该点作出的两条互相垂直的直线（即垂径）与该点所在的切线三者共面。
下面，我们将详细介绍这个重要定理的证明过程。
第一部分：引入基本概念在证明椭圆垂径定理之前，我们需要先引入一些基本概念。
1. 椭圆：具有特殊几何性质的曲线，它是平面上到两个固定点距离之和等于常数的点集。
2. 切线：与曲线相切且方向与曲线相同的直线。
3. 垂径：通过某点作出的两条互相垂直的直线。
第二部分：证明过程接下来，我们将开始证明椭圆垂径定理。
首先，我们需要描述一个引理：引理1：如果两条互相垂直的直线AB和CD分别与曲线y=f(x)相交于点P和Q，则有AP·CQ=BP·DQ。
证明：假设直线AB和CD的方程分别为y=k1x+b1和y=k2x+b2，曲线y=f(x)的方程为y=f(x)。
由于直线AB和CD互相垂直，因此k1k2=-1。
将这些条件代入到点P(x1,y1)和Q(x2,y2)中，得到以下两个方程：y1=k1x1+b1y2=k2x2+b2根据曲线方程得到：y1=f(x1)y2=f(x2)我们可以将上述四个方程联立起来，得到以下两个等式：k1x1+b1=f(x1)k2x2+b2=f(x2)将这两个等式移项并相乘，得到以下结果：(k1x-b)(k2x-d)=(f(x)-b)(f(y)-d)展开后整理可得：(k12+13)x^3+(k11+f^{\prime}(b))x^2+(f(b)k22+k21)x-bd=0注意到上述结果是一个三次多项式，因此它有三个根。
设这三个根分别为α、β、γ，则有：α+β+γ=-\frac{k11+f^{\prime}(b)}{k12+k13}αβ+βγ+γα=\frac{k21+f(b)k22}{k12+k13}αβγ=\frac{bd}{k12+k13}由于直线AB和CD互相垂直，因此有：k1k2=-1将上述等式代入到该式中，得到：\frac{f^{\prime}(b)}{k1}+\frac{f(b)}{k2}=-\frac{1}{k1k2}=1移项并整理可得：f^{\prime}(b)·k2+f(b)·k1=k12+k13将上述结果代入到引理1中的等式中，得到：AP·CQ=BP·DQ证毕。
椭圆中的垂径定理
椭圆中的垂径定理有童鞋在朋友圈留言，希望我写写圆锥曲线综合题的解法.的确，这个部分有写头.前天写了椭圆的直径，我们发现椭圆和圆有不少相似之处；今天继续谈它们的另一个相似点----垂径定理.一、什么是椭圆中的垂径定理？为把问题讲清楚，先说说“点差法”.高中阶段，处理直线和圆锥曲线的方法主要有两个：1是联立方程法；2是点差法.点差法顾名思义就是，取点代入，然后作差.如上图所示.下面我们来实施点差法.观察（4）式的特点.由此我们得到下面的结论.我们和圆作类比.如果MN为圆中非直径的弦，P为MN的中点，有什么结论呢？我们能自然联想到圆中的垂径定理及其推论.大家比较上面椭圆中的结论和圆中的结论，是不是很像？在椭圆的直径中，我们讲过这样的观点：圆可以看做椭圆的一个特例，即当短半轴b无限趋近于长半轴a时，椭圆近似可看做圆.所以，我们形象地把这个小结论称为椭圆中的垂径定理.请大家注意，如果椭圆的焦点在y轴上，从推导过程可以看出，小结论有点变化.也就是说，当焦点位置变化时，结论中的a,b要互换位置.二、什么情况下用这个小结论？从结论的描述中，我们能够看到：如果遇到弦的中点，需要解决斜率相关问题，考虑使用椭圆中的垂径定理.看一个栗子.分析：这道题每一问都设计到弦的中点，简直为我们的小结论设计的.各位看官，请自觉解题5分钟.首先分析焦点位置，以便于判断采用哪一个结论.下面利用小结论解题.注意，这里有一个检验过程，确保直线与椭圆是相交的.不然的话，结论是海市蜃楼.注意讨论B点是否和原点重合，注意标注轨迹方程的范围.同样，注意讨论平行于坐标轴的情况，注意本问中轨迹方程也有范围限制，需强调在椭圆内的部分.当然，你能够精确计算出坐标的范围最好.亲爱的读者，在圆锥曲线中，双曲线和椭圆最为类似，你能写出在双曲线中类似的结论吗?。
椭圆中的垂径定理
椭圆中的垂径定理
椭圆中的垂径定理可以用来描述椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为一个常数，即椭圆的直径。
具体来说，该定理表述如下：
设椭圆方程为 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，F1和F2分别为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，则
|MF1|+|MF2|=2a。
证明：
由于椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a，我们可以将椭圆上的点M(x,y)与焦点F1和F2连接起来，得到两个线段MF1和MF2。
由于椭圆上每个点到两个焦点的距离之和都为2a，因此我们可以将线段MF1和MF2分成两部分，即MF1=a+d1 和 MF2=a+d2，其中d1和d2分别为线段MF1和MF2上的垂直距离。
由于椭圆是旋转对称的，因此垂径定理不仅适用于上下顶点，也适用于其他椭圆上的点。
应用：
垂径定理在椭圆的许多应用中非常有用，例如在测量椭圆的直径、计算椭圆的面积和确定椭圆的形状等方面。
该定理也是研究椭圆上任意一点的性质和变化的重要工具。
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分析椭圆中的垂径定理及其运用
1 椭圆的垂径定理
正如我们初中所学垂径定理是圆的特性其定理为：垂直于弦的直径平分这条弦，显然这在椭圆中并不成立，那么我们该如何在椭圆中运用垂径定理呢？首先我们就必须作如下的变换：
先对椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1做x=ax’，y=by’的坐标转换。
在这种转换下，xoy 平面内的任一点P（x，y）转换为x'o’y'平面内的点P’（x'，y'）。
椭圆方程
x^2/a^2+y^2/b^2=1也就转换为x'o’y’[1]
平面内的单位圆x'^2+y'^2=1。
需要注意的是被转化的椭圆的方程是标准方程。
而关于椭圆的一般方程我们可以现将其经过坐标转换，转换成标准方程，由于高中一般不接触一般方程就不在赘述。
2 椭圆垂径定理的证明
设椭圆方程为x^2/a^2+y^/b^2=1求椭圆所有斜率为k的弦的中点轨迹方程。
运用点差法设弦（x1，y1），（x2，y2）与椭圆分别交于不同的两点由于点在直线上有x1^2/a^2+y1^2/b^2=1，x2^2/a^2+y2^2/b^2=1两式相减两边同除（x1-x2）得（两点不重合）：（x1-x2）（x1+x2）/a^2+（y1-y2）（y1+y2）/b^2=0。
我们注意到（y1-y2）/（x1-x2）是弦的斜率为k。
那么设弦的中心点为（x0，y0）则有x0=（x1+x2）/2，y0=（y1+y2），带入上式可得y0=-x0b^2/ka^2[2]。
至此题目已经解完了我们可以看出弦中点的轨迹是一条过原点的线段，注意到y0/x0是轨迹直线的斜率，若设其为k′则有我们得到平行弦斜率kk′与轨迹直线斜率b^2/a^2乘积的一个关系。
因为对于这个结论的认识不够深刻，许多同学在进行记忆的时候会遇到一些困难。
但如果从垂径定理的角度进行类比便会发现较大的相似。
如果我们使用上面的转换方法将椭圆转化成圆那，那么在新的坐标系中原来得出斜率关系也发生了一定的变化，根据两个坐标系的长度关系可以得出在新坐标系中y'/x'=1，k·k'=-b^2/a^2。
這与之前推导的结论一致，从中我们可以看出无论在圆中还是在椭圆中两条直线都是垂直的，只是由于坐标系做了伸缩变换使得原先的乘积发生了改变。
事实上双曲线中也存在类似的结论。
3 椭圆垂径定理的运用
将椭圆方程转化成圆的标准方程后，椭圆就被我们“转化成了”圆，那么在解决一些问题时，我们就可以使用圆的垂径定理来解决。
3.1 判断直线和椭圆位置关系
常规解法应该是直线与椭圆方程联立根据方程解的个数来判断直线与椭圆的位置关系。
显然这样是很复杂的。
但如果把椭圆圆化，此问题便转化为直线与圆的位置关系了。
一般化情况下，直线Ax+By+C=0与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的位置关系讨论如前所述，首先作变换x=ax'，y=by'，那么直线和椭圆分别转化为直线aAx’+bBy'+
C=0和单位圆x’^2+y’^2=1。
得到圆心到直线距离公式d=|C|/（a^2A^2+b^2B^2）[3-4]。
（这个公式是不改变的）原来的直线和椭圆相交，就是转化后的直线和圆相交，那么d<1，得到a^2A^2+b^2B^2-C^2>0。
同理，直线和椭圆相切，就是转化后的直线和圆相切，a^2A^2+b^2B^2-C^2=0；直线和椭圆相离，a^2A^2+b^2B^2-
C^2<0。
又或者已知椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1，过椭圆上任意一点P（x0，y0）的切线方程是x0x/a^2+y0y/b^2=1作变换x=ax'，y=by'，椭圆转化为单位圆x′^2+y'2=1，P（x0，y0）转化为P’（x0/a，y0/b），此题就变为求在单位圆x′^2+y'^2=1上一点P′（x0/a，y0/b）的切线方程，易知是x0 x'/a+y0y'/b=1。
又因为x′=x/a，y'=y/b，所以原来椭圆的切线方程是x0x/a^2+y0y/b^2=1[5]。
4 结论
通过第一节的论证我们知道垂径定理在椭圆里也是可以使用的，而且从第二节中的分析我们可以看出：如果使用得当那么垂径原理对简化运算有着很大帮助，此外在双曲线中垂径原理也可以得到一定的运用。
读者可自行尝试。
参考文献
[1] Kaufmann H，Schmalstieg D.Mathematics and geometry education with collaborative augmented reality[J].Computers&Graphics，2003，27（3）：339-345.
[2] 唐天晓.由一道习题想到的——垂径定理等性质的应用[J].中学课程辅导：初三版，2004（9）：13.
[3] 袁亚平.竞赛中与“垂径定理”有关的证明题[J].中学生数学，2006（12）：26-27.
[4] 石高安.数形结合，例谈垂径定理在椭圆问题中的高效作用[J].数理化解题研究：高中版，2013（4）：10-11.。