北航数值分析大作业三

一、题目：

关于x, y, t, u, v, w 的下列方程组

0.5cos 2.670.5sin 1.070.5cos 3.740.5sin 0.79

t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=⎧⎪+++-=⎪

⎨

+++-=⎪⎪+++-=⎩

1、试用数值方法求出f(x, y)在区域 {(,)|00.8,0.5 1.5}D x y x y =≤≤≤≤上的一个近似表达式

,0

(,)k

r s rs

r s p x y c

x y ==

∑

要求(,)p x y 一最小的k 值达到以下的精度

1020

2700

((,)(,))10i j i j i j f x y p x y σ-===-≤∑∑

其中，0.08,0.50.05i j x i y j ==+。

2、计算****

(,),(,)i j i j f x y p x y （i = 1, 2, …，8；j = 1, 2,…，5）的值，以观察(,)p x y 逼近(,)f x y 的效果，其中，*

i x =0.1i , *

j y =0.5+0.2j 。

说明：1、用迭代方法求解非线性方程组时，要求近似解向量()k x 满足

()(1)()12||||/||||10k k k x x x --∞∞-≤

2、作二元插值时，要使用分片二次代数插值。

3、要由程序自动确定最小的k 值。

4、打印以下内容：

●算法的设计方案。

●全部源程序（要求注明主程序和每个子程序的功能）。

●数表：,,i j x y (,)i j f x y （i = 0,1,2,…,10；j = 0,1,2,…,20）。 ●选择过程的,k σ值。

●达到精度要求时的,k σ值以及(,)p x y 中的系数rs c （r = 0,1,…,k;s = 0,1,…,k ）。

●数表：**,,i j x y ****

(,),(,)i j i j f x y p x y （i = 1, 2, ...,8；j = 1, 2, (5)

。 5、采用f 型输出,,i j x y **,i j x y 的准确值，其余实型数采用e 型输出并且至少显示12位有效数字。

二、算法设计方案

1.使用牛顿迭代法，对原题中给出的i x i 08.0=，j y j 05.05.0+=，(010,020i j ≤

≤≤≤)的11*21组j i y x ,分别求出原题中方程组的一组解，于是得

到一组和i i y x ,对应的j i t u ,。

2.对于已求出的j i t u ,，使用分片二次代数插值法对原题中关于u t z ,,的数表进行插值得到

ij z 。于是产生了z=f(x,y)的11*21个数值解。

3.从k=1开始逐渐增大k 的值，并使用最小二乘法曲面拟合法对z=f(x,y)进行拟合，得到每次的σ,k 。当7

10-<σ时结束计算，输出拟合结果。

4.计算)5,,2,1,8,,2,1)(,(),,(*

***⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=j i y x p y x f j i j i 的值并输出结果，以观察),(y x p 逼近),(y x f 的效果。其中j y i x j i 2.05.0,1.0*

*

+==。 三、算法实现方案 1、求(,)f x y ：

（1）Newton 法解非线性方程组

0.5cos 2.670.5sin 1.07(1)0.5cos 3.740.5sin 0.79

t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=⎧⎪+++-=⎪

⎨

+++-=⎪⎪+++-=⎩， 其中，t, u, v ,w 为待求的未知量，x, y 为代入的已知量。

设(,,,)T

t u v w ξ=，给定精度水平12110ε-=和最大迭代次数M ，则解该线性方程组的

迭代格式为：

*(0)(0)(0)(0)(0)(k+1)

()()1()(,,,)()()0,1,T k k k t u v w F F k ξξξ

ξξξ-⎧=⎪'=-⎨⎪=

⎩

在附近选取初值， 迭代终止条件为()(1)()

1/k k k ξξξε-∞

∞

-≤，若k M >时仍未达到迭代精度，则迭代计算失

败。

其中，雅可比矩阵

0.5*cos(t) + u + v + w - x - 2.67t + 0.5*sin(u) + v + w - y - 1.07()0.5*t + u + cos(v) + w - x - 3.74t + 0.5*u + v + sin(w) - y - 0.79F ξ⎡⎤⎢⎥

⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

， 0.5*sin()11110.5*cos()11()0.51sin()110.51cos()t u F v w ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥-⎢⎥

⎣

⎦， （2）分片双二次插值：

根据题目给出的表格，

(0,1,,5)(0,1,

,5)

i i t ih i u j j τ= == =（其中，0.2h τ= =0.4，）

对于给定的(,)t u ,如果(,)t u 满足

,322

,322

i i j j h h

t t t i u u u j τ

τ

-

<≤+ 2≤≤-

<≤+ 2≤≤

则选择(,)(1,,1;1,,1)k r t u k i i i r j j j =-+=-+为插值节点，相应的插值多项式为

1

111

(,)()()(,)j i k

r

k

r

k i r j h t u l t l u g t u ++=-=-=

(2) ∑∑

其中，

1

11

1()(1,,1)()(1,,1)i m

k m i k m

m k

j n

r n j r n

n r

t t l t k i i i t t u u l u r j j j u u +=-≠+=-≠-= =-+--=

=-+-∏∏

如果1422h h t t t t ≤+

>+或,则在式（2）中取i=1或i=4; 如果1422

u u u ττ

≤+>+或u ,