苏科版八年级下册 第10章《分式》考点+易错整理
苏科版数学八年级下册《分式》考点复习
2111331,,,;,22x xy a x x y m π+++分式复习考点一 分式的有关概念1．当x 时，分式11+x 有意义；当x 时，分式11+x 有意义． 2. 若分式293x x -+的值为0，则x =___________ 。
3. 在代数式23153********a b ab c x xy a y +++、、、、、中，分式有（ ）. （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个4. 在式子中，分式的个数是（ ）。
A.5B.4C.３D.２考点二 分式的基本性质1. 下列各式与x y x y-+相等的是（ ）。
（A ）()5()5x y x y -+++ （B ）22x y x y -+ （C ）222()()x y x y x y -≠- （D ） 2222x y x y-+ 2. 如果把分式2x y x+中的x y 和都扩大10倍，那么分式的值（ ）. （A ）扩大10倍 （B ）缩小10倍 （C ）扩大2倍（D ）不变考点三 分式的约分 1. 化简222a b a ab-+的结果是（ ）. （A ）2a b a - （B ）a b a - （C ）a b a + （D ）a b a b-+ 考点四 分式的乘除法 1. )9(322-•-x xx x 222251033b a b a ab b a -⋅-；考点五 分式的通分1. 分式1a b +、222a a b -、b b a-的最简公分母为（ ）. （A ）22()()()a b a b a b -+- （B ）22()()a b a b -+（C ）22()()a b b a -- （D ）22a b -考点六 分式的加减法 【实质：通分 注意：分式的运算不能去分母】1. 化简24142a a +-+的结果是（ ）。
（A ）－12a + （B ）12a - （C ）12a - （D ）264a a +- 2. 计算：=--+---+4822222a a a a a a ________。
苏科版八年级下册 第10章 分式 常考题型、重点题型归纳 讲义(无答案)
分式常考题型典例精讲（一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数. 举一反三1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x（二）分式的基本性质及有关题型题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a---（3）ba---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.举一反三1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分式)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.题型六：分式方程无解和增根例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
苏科版八年级下册第十章 分式 章节整理复习
第十章 中心对称图形——平行四边形一、知识结构梳理二、重点专题解析专题1 分式有意义的条件与分式的值例1：当x 时，分式xx112-有意义。
例2：若分式)3)(2(2-+-x x x的值为0,则x 的值为 专题2 分式的基本性质与化简 例3：化简：222n m mnn m n n m m --+--例4：如图①、图②，设图②中阴影部分的面积图①中阴影部分的面积=k 0＞＞b a ，则有（ ）A.k ＞2B.1＜k ＜2C.121＜＜k D.210＜＜k专题3 分式方程与增根 例5：已知关于x 的分式方程112=++x a 的解是非正数。
则a 的取值范围是专题4 运用整体思想化繁为简 例6:设m ＞n ＞0，m 2+n 2=4mn ，则mnn m 22-的值为例7：如图实数满足x2+2x-3=0,那么代数式11)2`1(2+÷++x x x 的值为专题5 数学建模类型例8：甲乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． （1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？三、中考能力达标1.下列运算正确的是( )A.x 10÷x 5=x 2B.x -4·x=x -3C.x 3·x 2=x 6D.(2x -2)-3=-8x 62. 一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时. A.11a b + B.1ab C.1a b + D.aba b+ 3.化简a b a b a b --+等于( )A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.222()a b a b +- 4.若分式2242x x x ---的值为零,则x 的值是( )A.2或-2 B.2 C.-2 D.45.不改变分式52223x yx y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( )A.2154x y x y -+ B.4523x y x y -+ C.61542x y x y -+ D.121546x yx y-+6.分式:①223a a ++,②22a b a b --,③412()a a b -,④12x -中,最简分式有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.计算4222xx x x x x⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭的结果是( )A. -12x + B. 12x + C.-1 D.1 8.若关于x 的方程x a cb x d-=- 有解,则必须满足条件( ) A. a ≠b ，c ≠d B. a ≠b ，c ≠-d C.a ≠-b , c ≠d C.a ≠-b , c ≠-d9.若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是( )A.a<3 B.a>3 C.a ≥3 D.a ≤3 10.解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个整式方程,得x=1D.原方程的解为x=111.把下列有理式中是分式的代号填在横线上 ．(1)－3x ；(2)y x ；(3)22732xy y x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7)－π-12m ； (8)5.023+m .12.当a 时，分式321+-a a 有意义． 13.若x=2-1,则x+x -1=__________. 14.某农场原计划用m 天完成A 公顷的播种任务,如果要提前a 天结束,那么平均每天比原计划要多播种_________公顷.15.计算1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭的结果是_________.16.已知u=121s s t -- (u ≠0),则t=___________. 17.当m=______时,方程233x mx x =---会产生增根. 18.用科学记数法表示:12.5毫克=________吨. 19.当x 时，分式xx--23的值为负数． 20.计算(x+y)·2222x y x y y x+-- =____________.2123651x x x x x+----; 22.2424422x y x y x x y x y x y x y ⋅-÷-+-+.23、（1）x x x x --=-+222； （2）41)1(31122=+++++x x x x（3）1131222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x （4）3124122=---x x x x24、已知方程11122-+=---x x x m x x ，是否存在m 的值使得方程无解？若存在，求出满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由。
2021苏教版八年级数学分式知识点总结
2021苏教版八年级数学分式知识点总结苏教版八年级数学分式知识点总结1分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即;当n为正整数时6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n是整数)(1)同底数的幂的乘法：;(2)幂的乘方：;(3)积的乘方：;(4)同底数的幂的除法：( a≠0);(5)商的乘方：();(b≠0)7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根.增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。
列方程应用题的步骤是什么? (1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.应用题有几种类型;基本公式是什么?基本上有五种：(1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.(2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法.(3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效. (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水. v逆水=v静水-v水.8.科学记数法：把一个数表示成的形式(其中，n是整数)的记数方法叫做科学记数法.用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)提高数学成绩诀窍联想与总结联想与总结贯穿与学习过程中的始终。
苏科版八年级下册 第10章《分式》考点+易错整理
当 x 1 时， (x 2)(x 1) 0 .故 x 1 是原分式方程的解.
2
2
【规律·技法】分式方程的解法主要用到转化的数学思想，通过方程两边同乘最简公分母， 把分式方程化为整式方程后再进行求解，检验是解分式方程必不可少的步骤. 【反馈练习】
5.若关于 x 的分式方程 m 1 x 2 有增根，则实数 m 的值是
式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了 10 元. (1)这两次各购进这种衬衫多少件? (2)若第一批衬衫的售价是 200 元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于 1 950
元，则第二批衬衫每件至少要售多少元?
点拨:(1)本题中的等量关系是“第二次进货数量=第一次进货数重× 1 ”，抓住等量关系列分 2
.
x2
分析:当分母 x 2 0 ，即 x 2 时，分式 1 有意义. x2
答案: x 2
【规律·技法】若分式有意义，则分母不等于零. 【反馈练习】
1.分式 2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
.
x9
点拨:当分母不为 0 时，分式有意义.
2.在代数式 x2 1, 3xy , 3 , a 1 中，分式的个数有( ) 2 xy m
式方程解答即可.(2)抓住“总利润≥1 950”列不等式解决. 易错题辨析 易错点 1 忽视分式值为 0 时需满足的条件
例1
当
x
为何值时，
x(x x2
3) 9
的值等于
0?
错误解答:由题意，得 x(x 3) 0 ，解得 x 0 或 x 3 .
得 t = 2.5.经检验， t = 2.5 是所列方程的解.则 1.4 t = 3.5.故 A 车行驶的时间为 3.5 h ,B 车行驶 的时间为 2.5 h .
苏科版八年级数学下册第10章分式知识点总结和易错点巩固(无答案)
分式知识点总结与易错点巩固知识点1分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式，如果除式B 中含有 ，那么称BA 为分式。
1. 下列各式中，3y x -，12-x a ，1π＋x ，b a 3-，y x ＋21，21x ＋y ，312-2＋＝x x 。
整式有 ，分式有 。
知识点2分式有意义、无意义、值为0，为正、为负2. 要使分式112＋x x -无意义，则x 的取值范围是 ，要使分式112＋x x -有意义，则x 的取值范围是 ，要使分式112＋x x -的值为0，则x 的值是 ，当x 时25-x x 值为负数。
3. 分式38＋m 表示一个正整数时，整数m 可取的值是 ，已知x 为整数，且分式4-632x x ＋的值为整数，则x 可取的值是 。
4. 当x 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ） A.11＋＋x x B.21x x ＋ C.9-12x x ＋ D.113＋＋x x 知识点3分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ，用式子表示为 。
5. 下列式子正确的是（ ）A. 022＝＋＋y x y xB.1---＝＋y a y aC.x z y x z x y -＋＝＋-D.0＝＋＝＋ad c d c a d c a d c ---- 6. 化简4422＋x x y xy --的结果是（ ）A.2-x y B.2-x x C.2＋x y D.2＋x x7. 约分①ba ab 2205＝ ； ②96922＋x x x --＝ ； ③22112m m m --＋＝ ；④若211＝y x -，则yxy x y xy x ---2232＋的值是 ； 8. 将ba ab a 2352-＋中的a ，b 都扩大为原来的4倍，则分式的值（ ） A. 不变 B.扩大原来的4倍 C.扩大原来的8倍 D.扩大原来的16倍9. 分式：①322＋＋a a ，②22b a b a --，③()b a a -124，④21-x 中，最简分式有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10. 填写出未知的分子或分母：（1）()223yx y x x -＝＋；（2）()11212＝＋＋＋y y y 11. 把y x y x 5225.05.051＋-分子和分母中各项系数化为整数 。
苏科版八年级下册期末复习第10章《分式》知识点及题型总结与巩固训练
八下第10章《分式》知识点与拓展训练一、分式的定义：一般地， 。
二、与分式有关的条件：①分式有意义： ；②分式无意义： ；③分式值为0： ；④分式值为正或大于0： ；⑤分式值为负或小于0： ；⑥分式值为1： ； ⑦分式值为-1： ；三、分式的基本性质：分式的 分式的值不变。
字母表示： 其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分：1．定义： 叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母 ，然后约去分子与分母的 。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义： ，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的 公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的 次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母 因式,然后判断公因式.五、分式的通分：1．定义： 叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的 次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的 公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的 次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母 因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方：① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的 ， 的积作为积的分母。
式子表示为：db ca d cb a ••=•分式除以分式：把除式的 、 颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为：cc ••=•=÷b da db a dc b a ② 分式的乘方：把 、 分别乘方。
苏科版八年级下册 第10章 分式知识点和典型例习题 讲义(无参考解答)
分式知识点和典型例习题【知识网络】第一讲 分式的性质【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x y x --+- （2）b a a--- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：311=+yx ，求y xy x y xy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简xx --2|2|x x x x |||1|1+---. 第二讲 分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2 题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值； （3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）ab abb b a a ----222；（3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；（4）ba b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-； （6）2121111x x x ++++-；（7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.第三讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）x x 311=-； （2）0132=--x x ； （3）114112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程 （1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程： （1）021211=-++-xxx x ； （2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ；（4）171372222--+=--+x x x x xx （5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x2．解关于x 的方程： （1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xbb x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数.5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值. （二）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
苏科版数学八年级下册 第10章 分式知识点总结
分式分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.注意：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母；（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况；（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果。
（判断一个数是分数还是整数，要化简）分式有意义，无意义或等于零的条件：1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.注意：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，避免分母的值为零；（2）遇到没有特殊说明的分式，都是有意义的，要注意隐含条件分式中的分母的值不等于零；（3）求分式的值，必须在分式有意义的前提下。
分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）.注意：（1）基本性质中的A 、B 、M 表示的是整式.其中B ≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M ≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M ≠0这个前提条件；（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.分式的变号法则：对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.分式的约分，最简分式:与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式。
苏科版数学八年级下册：第10章 分式 单元复习小结 (word版含答案)
单元复习小结类型之一 分式有意义、无意义的条件1.(2020南京)若式子1-1x -1在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 .类型之二 分式值为零的条件2.(2020宿迁沭阳县期末)当x= 时,分式|x |-6x+6的值为0.类型之三 分式的基本性质3.如图果把分式2mn m -n 中的m ,n 都扩大为原来的3倍,那么分式的值 ( )A .扩大为原来的9倍B .扩大为原来的6倍C .扩大为原来的3倍D .不变 4.分式x 2-y 2x 2-2xy+y 2约分的结果是 .类型之四 分式的混合运算5.(2021苏州)已知两个不等于0的实数a ,b 满足a+b=0,则b a +a b 等于( ) A .-2 B .-1C .1D .2 6.(2020南京)计算:a-1+1a+1÷a 2+2a a+1.7.(2021盐城)先化简,再求值:1+1m -1·m 2-1m ,其中m=2.类型之五 解分式方程8.(2020徐州)方程9x =8x -1的解为 . 9.(2021南京)解方程:2x+1+1=x x -1.类型之六 分式方程的应用10.(2021徐州)某网店开展促销活动,其商品一律按8折销售,促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件,则该商品打折前每件多少元?11.(2021扬州)为保障新冠病毒疫苗接种需求,某生物科技公司开启“加速”模式,生产效率比原先提高了20%,现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天.问原先每天生产多少万剂疫苗.12.(2020兴化期中)某文化用品商店用120元从某厂家购进一批套尺,很快销售一空,第二次购买时,该厂家回馈老客户,给予8折优惠,商店用100元购进第二批该款套尺,所购到的数量比第一批还多1套.(1)求第一批套尺购进时的进价;(2)若商店以每套5.5元的价格将第二批套尺全部售出,则可以盈利多少元?13.(2020泰州)近年来,我市大力发展城市快速交通,小王开车从家到单位有两条路线可选择,路线A为全程25 km的普通道路,路线B包含快速通道,全程30 km,走路线B比走路线A平均速度提高50%,时间节省6 min,求走路线B的平均速度.14.某校利用暑假对田径场进行改造维修,项目承包单位派遣一号施工队进场施工,计划用40天的时间完成整个工程.当一号施工队工作了5天后,承包单位接到通知,有一大型活动要在该田径场举行,要求比原计划提前14天完成整个工程,于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程,结果按通知要求如图期完成整个工程.(1)若由二号施工队单独施工,则完成整个工程需要多少天?(2)若此项工程由一号、二号两个施工队同时进场施工,则完成整个工程需要多少天?类型之七与分式方程增根有关的问题15.(2020泰州姜堰区期末)如图果关于x的分式方程mx-2+2xx-2=1有增根,那么m的值为 ()A.-2B.2C.4D.-416.当m为何值时,分式方程3x +6x-1=x+mx2-x有增根?答案单元复习小结1.x ≠1 分式有意义的条件是分母不能为0,故x-1≠0,解得x ≠1.2.6 由题意,得|x|-6=0,且x+6≠0,所以x=6.3.C4.x+y x -y 原式=(x+y )(x -y )(x -y )2=x+y x -y .5.A b a +a b =b 2+a 2ab =(a+b )2-2ab ab, 当a+b=0时,原式=02-2ab ab =-2. 故选A .6.解:原式=(a -1)(a+1)+1a+1·a+1a 2+2a =a 2a+1·a+1a (a+2)=a a+2. 7.解:原式=m -1m -1+1m -1·m 2-1m =m m -1·(m+1)(m -1)m=m+1.当m=2时,原式=2+1=3.8.x=9 方程两边同乘x (x-1),得9(x-1)=8x ,解得x=9.经检验,x=9是原分式方程的解.9.解:去分母,得2(x-1)+x 2-1=x (x+1),解得x=3,经检验,x=3是原方程的根,所以,分式方程的解为x=3.10.解:设该商品打折前每件x 元,则打折后每件0.8x 元.根据题意,得400x +2=4000.8x ,解得x=50.经检验,x=50是原方程的解,且符合题意.答:该商品打折前每件50元.11.解:设原先每天生产x 万剂疫苗.由题意,得240(1+20%)x +0.5=220x ,解得x=40,经检验,x=40是原方程的解且符合题意,答:原先每天生产40万剂疫苗.12.解:(1)设第一批套尺购进时的进价为x 元/套.由题意,得1000.8x -120x =1, 解得x=5.经检验,x=5是原方程的解,且符合题意.答:第一批套尺购进时的进价为5元/套.(2)第二批套尺购进时的进价为5×0.8=4(元/套).全部售出后的利润为100÷4×(5.5-4)=25×1.5=37.5(元).答:可以盈利37.5元.13.解:设走路线A 的平均速度为x km/h,则走路线B 的平均速度为(1+50%)x km/h . 由题意,得25x -30(1+50%)x =660,解得x=50. 经检验,x=50是原方程的解,且符合题意,∴(1+50%)x=75.故走路线B 的平均速度为75 km/h .14.解:(1)设由二号施工队单独施工,完成整个工程需要x 天.依题意可得 140×5+140+1x ×(40-5-14)=1, 解得x=60.经检验,x=60是原分式方程的解且符合题意.答:若由二号施工队单独施工,则完成整个工程需要60天.(2)由题意可得1÷140+160=24(天). 答:若此项工程由一号、二号两个施工队同时进场施工,则完成整个工程需要24天.15.D 去分母,得m+2x=x-2,由分式方程有增根,得x-2=0,解得x=2.把x=2代入整式方程m+2x=x-2,得m+4=0,解得m=-4.故选D .16.解:方程两边同乘x(x-1),得3(x-1)+6x=x+m,.解得x=m+38因为原分式方程有增根,所以x=0或x=1.当x=0时,即m+3=0,解得m=-3;8=1,解得m=5.当x=1时,即m+38综上所述,当m=-3或m=5时,原分式方程有增根.。
2020-2021学年八年级数学苏科版下册《第10章分式》单元综合高频易错培优提升训练(附答案)
2021学年苏科版八年级数学下册《第10章分式》单元综合高频易错培优提升训练（附答案）1．下列各式正确的是（）A．＝﹣B．＝﹣C．＝﹣D．＝﹣2．计算的结果是（）A．1B．﹣1C．D．3．若x、y的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．B．C．D．4．使得关于x的分式方程﹣2＝有正整数解，且关于x的不等式组至少有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣20B．﹣17C．﹣9D．﹣55．若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（）A．7B．11C．12D．136．关于分式方程的解，下列说法正确的是（）A．解是x＝2B．解是x＝4C．解是x＝﹣4D．无解7．一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了%．【注：销售利润率＝（售价﹣进价）÷进价】．8．计算（xy2）2÷×的结果是．9．当x＝时，分式无意义；当x＝时，分式的值为零．10．A、B两个港口相距300公里．若甲船顺水自A驶向B，乙船同时自B逆水驶向A，两船在C处相遇．若乙船顺水自A驶向B，甲船同时自B逆水驶向A，则两船于D处相遇，C、D相距30公里．已知甲船速度为27公里/小时，则乙船速度是公里/小时．11．若分式的值是负数，则x的取值范围是．12．若关于x的分式方程有正整数解，则整数a＝．13．若（m+n）人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要天．（假定每个人的工作效率相同）14．若关于x的方程的解是x＝2，则a＝．15．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值．16．已知x+y＝2，x﹣y＝，则分式的值是．17．若关于x的方程+2＝会产生增根，则m的值为．18．已知实数m、n均不为0且＝2，则﹣＝．19．先化简，再求值：，其中a的值在0，1，﹣1，2，5中选出一个合适的值．20．解下列方程：（1）；（2）．21．先化简，再求值：，其中x满足x2+7x＝0．22．为了开阔学生视野，我校组织学生从学校出发，步行6千米到安棚碱矿参观．返回时比去时每小时少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时．求学生返回时步行的速度．23．我们课本中有这样一段叙述“要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正数，负数还是零．”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了．试问：甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购买粮食用去100元．（1）假设x，y分别表示两次购粮的单价（单位：元/千克），试用含x，y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款元，乙两次共购买千克粮食；若甲两次购粮的平均单价为每千克Q1元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元，则Q1＝元，Q2＝元．（2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判定甲，乙两人的购粮方式哪一个更合算，并说明理由．24．阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为＝＝x+﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．应用上面的结论解答下列问题：（1）方程x+＝6的两个解中较大的一个为；（2）关于x的方程x+＝的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），若x1与x2互为倒数，则x1＝，x2＝；（3）关于x的方程2x+＝2n+3的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值．25．小芳每次骑车从家到学校都要经过一段坡度相同的上坡路和下坡路，假设她骑车坡度相等的上坡路与下坡路平均速度基本相同，且上坡路骑行50米与下坡路骑行80米所用的时间相等．当她从家到学校时，下坡路的长为400米，下坡路比上坡路多花一分钟，设她骑行下坡路的速度为x米/分钟．（1）用含x的代数式表示她从家到学校时上坡路段的路程．（2）当她从学校回家时，在这两个坡道所花的时间为10分30秒，请求出她回家时在下坡路段所花的时间．26．为全力助推九龙华岩板块建设，大力发展美丽的新华岩，现招标建设某全长480米绿化带，A，B两个工程队的竞标，A队平均每天绿化长度是B队的2倍，若由一个工程队单独完成绿化，B队比A队要多用8天，（1）分别求出A，B两队平均每天绿化长度．（2）若决定由两个工程队共同合作绿化，要求至多7天完成绿化任务，两队都按（1）中的工作效率绿化完2天时，现又多出180米需要绿化，为了不超过7天时限，两队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，且A队平均每天绿化长度仍是B队的2倍，则A队提高工作效率后平均每天至少绿化多少米？参考答案1．解：A，故A错误；B，故B正确；C，故C错误；D，故D错误；故选：B．2．解：，故选B．3．解：根据分式的基本性质，若x，y的值均扩大为原来的3倍，则A.＝；B.＝；C.＝；D.＝；故选：A．4．解：分式方程去分母得：﹣6﹣2（x﹣1）＝ax+2，即（a+2）x＝﹣6，由分式方程有正整数解，得到a+2≠0，解得：x＝﹣＞0，得a＜﹣2，不等式组整理得：，即≤x＜5，由不等式组至少有4个整数解，得到，解得：a≤﹣4，由x为正整数，且﹣≠1，得到a+2＝﹣1，﹣2，﹣3，解得：a＝﹣4或﹣3或﹣5，∵a≤﹣4，∴a＝﹣4或﹣5，﹣4﹣5＝﹣9，则符合条件的所有整数a的和为﹣9，故选：C．5．解：解分式方程﹣2＝，得：x＝，∵分式方程的解为整数，且x≠2，∴a＝﹣1，1，2，4，7．故符合条件的所有a之和为：﹣1+1+2+4+7＝13．故选：D．6．解：去分母得：1﹣x＝﹣1，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．故选：D．7．解：设原售价为x，原进价为y；依题意有：＝47%，解得：x＝1.47y；∴＝＝＝40%；故进价提高后，该商品的销售利润率变成了40%．故答案为：40%．8．解：原式＝x2y4××＝4y4，故答案为：4y49．解：当分母x﹣1＝0，即x＝1时，分式无意义；当＝0时，，解得x＝3．故答案是：1；3．10．解：已知A、B两港相距300公里，甲船速为27公里/小时．设乙船速为v公里/小时，水流速为x公里/小时，则甲船顺水速为（27+x）公里/小时，逆水速为（27﹣x）公里/小时．乙船顺水速为（v+x）公里/小时，逆水速为（v﹣x）公里/小时．甲船自A顺水，乙船自B逆水同时相向而行，相遇在C处时间为：同理，乙船自A顺水，甲船自B逆水同时相向而行，相遇在D处所需时间为：可见，两个时间相等．由图易见，小时中，乙船比甲船多走30公里，即：，，，v＝33．如果C在D的右边，由图易见，小时中，甲船比乙船多走30公里，即：，v＝22．答：若C在D的左边，乙船速度是33公里/小时；若C在D的右边，乙船速度是22公里/小时．故答案为33或22．11．解：∵分式的值是负数，2x2+5＞0，∴2﹣3x＜0．x＞，故答案为：x．12．解：方程两边都乘以（x﹣2）得，1﹣ax+2（x﹣2）＝﹣1，整理得，（2﹣a）x＝2，所以x＝，∵分式方程有正整数解，∴2﹣a＝1或2﹣a＝2，解得a＝1或a＝0，检验：当a＝1时，x＝2，此时x﹣2＝0，方程无解；当a＝0时，x＝1，此时x﹣2＝1﹣2＝﹣1≠0，所以x＝1是原分式方程的解，所以a＝0．故答案为：0．13．解：∵（m十n）人完成一项工程需要m天，∴1个人的工效为，∴n个人的工效为，∴n个人完成这项工程需要的天数为1÷＝，故答案为．14．解：方程两边都乘以2（ax﹣1），得2（x﹣a）＝ax﹣1，x＝＝2，a＝，故答案为：．15．解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x＝2（x﹣3）（2m+1）x＝﹣6x＝﹣，当2m+1＝0，方程无解，解得m＝﹣．x＝3时，m＝﹣，x＝0时，m无解．故答案为：﹣或﹣．16．解：原式＝＝，当x+y＝2，x﹣y＝时，原式＝＝．故答案为：．17．解：方程两边都乘（x﹣1），得m+2（x﹣1）＝3，∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1，把x＝1代入整式方程，得m＝3，故答案为：3．18．解：已知等式变形得：＝2，去分母得：m﹣n﹣2mn＝4（m﹣n）+14mn，整理得：3（m﹣n）＝﹣16mn，即m﹣n＝﹣mn，则原式＝＝﹣＝．故答案为：．19．解：÷+（1+﹣）•，＝•+•，＝2a+•，＝2a+，根据分式有意义的条件，a+1≠0，a﹣1≠0，a（a﹣2）≠0，解得a≠1，a≠﹣1，a≠0，a≠2，∴当a＝5时，原式＝2a+＝2×5+＝10﹣15＝﹣5．故答案为：﹣5．20．解：（1）1﹣＝，方程的两边都乘以（x﹣3）得：x﹣3﹣2＝﹣2x，解得：x＝，检验：把x＝代入x﹣3得：x﹣3≠0，∴x＝是原方程的解．解：（2）方程化为：+＝，方程两边都乘以x（x+1）（x﹣1）得：7（x﹣1）+3（x+1）＝6x，解得：x＝1，检验：把x＝1代入x（x+1）（x﹣1）得：x（x+1）（x﹣1）＝0，∴x＝1是增根，即原方程无解．21．解：原式＝＝÷＝×＝；又∵x2+7x＝0，∴x（x+7）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣7；当x＝0时，原式0做除数无意义；故当x＝﹣7时，原式＝﹣＝．22．解：设学生返回时步行的速度为x千米/时，则学生去时步行的速度是（x+1）千米/时；根据题意得，整理，得x2+x﹣12＝0，解得x1＝3，x2＝﹣4，经检验，x1＝3，x2＝﹣4都是原方程的根，但x2＝﹣4不符合题意，舍去，∴x＝3．答：学生返回时步行的速度为3千米/时．23．解：（1）甲每次购买粮食共需要付款（100x+100y）元；乙两次共购买（）千克的粮食；，；故答案为：（100x+100y）；（）；；；（2）乙购买粮食的方式更合算些，理由为：Q1﹣Q2＝＝，∵x≠y，x＞0，y＞0，∴（x﹣y）2＞0，2（x+y）＞0，∴＞0，∴Q1﹣Q2＞0，即Q1＞Q2，∴乙购买粮食的方式更合算些．24．解：（1）方程x+＝6变形得：x+＝2+4，根据题意得：x1＝2，x2＝4，则方程较大的一个解为4；（2）方程变形得：x+＝+2，由题中的结论得：方程有一根为2，另一根为，则x1＝，x2＝2；故答案为：（1）4；（2）；2（3）方程整理得：2x﹣1+＝n﹣1+n+3，得2x﹣1＝n﹣1或2x﹣1＝n+3，可得x1＝，x2＝，则原式＝＝．25．解：（1）设小芳从家到学校时上坡路段的路程为y米，根据题意可得：﹣1＝，整理，得y＝﹣x+250，故小芳从家到学校时上坡路段的路程为﹣x+250米．（2）∵放学从学校到家正好与上学从家到学校相反，上下坡颠倒，∴放学回家上坡路程为400米，下坡路程为﹣x+250米，根据题意，得+＝10.5，整理，得890﹣x＝x，解得：x＝80，下坡所花时间为＝﹣＝（分）答：小芳回家时在下坡路段所花的时间为分．26．解：（1）设B队平均每天绿化长度是x米，则A队平均每天绿化长度是2x米，依题意得，解得x＝30，经检验x＝30是原方程的根且符合题意，∴2x＝60，答：A，B两队平均每天绿化长度分别为60米和30米．（2）两队都按（1）中的工作效率绿化2天完成：2（60+30）＝180（米），2天后需要绿化：480﹣180+180＝480（米），设B队提高工作效率后平均每天至少绿化a米，则A队平均每天绿化长度是2a米，依题意得5（a+2a）≥480，解得a≥32，∴2a≥64，∴A队提高工作效率后平均每天至少绿化64米。
八年级数学下册 10.1 分式 初学分式纠错集素材 (新版)苏科版
初学分式纠错集分式是分数运算的进一步延伸，对于初学者来说，由于对分式概念和性质掌握理解的不够深入，也会受到分数的迁移等因素的影响，往往会出现以下几类错错，现总结整理，希望对同学位有所帮助.一、误解概念致错例1 判断代数式2x x是整式还是分式？ 错解：因为2x x x =，由于x 是整式，所以2x x是整式. 分析：分式的概念是从形式上定义的，只要符合A B（A 、B 表示整式，且B 中含有字母）的形式就是分式，也就是说，判断一个式子是不是分式不能先对它进行化简再判断.正解：因为2x x的分子、分母均为整式，且分母中含有字母x ，符合分式的概念，所以2x x是整式. 二、扩大范围致错例2 当x 为何值时，分式2(3)(2)x x x -+-无意义？ 错解：因为21(3)(2)3x x x x -=+-+，所以当3x =-时，分式2(3)(2)x x x -+-无意义. 分析：分式无意义是指分式的原分母等于0，由于错解约去了分子、分母的公因式，扩大了x 的取值范围，从而导致出错.正解：由分母(3)(2)0x x +-=，得3x =-或2x =.所以当3x =-或2x =时，原分式无意义.三、叙述不当致错例3 当x 为何值时，分式(3)(2)x x x +-有意义？ 错解：由分母(3)(2)0x x +-=，得3x =-或2x =.所以当3x ≠-或2x ≠时，分式(3)(2)x x x +-有意义. 分析：“或”表示选择关系，“且”表示并列关系.本题3x =-或2x =都能使(3)(2)0x x +-=，但满足(3)(2)0x x +-≠的x 应为3x ≠-且2x ≠.要注意与例2的区别.正解：当3x ≠-且2x ≠时，原分式有意义.四、分母为0致错例4 当x 为何值时，分式222x x x--的值为0？ 错解：由分子20x -=，得2x =±，所以当2x =±时，分式的值为0.分析：解“分式的值为0”的问题时，既要考虑到分子等于0，又要考虑到分母不等于0，这样才能全面正确地解答问题.正解：由20x -=，得2x =±，而当2x =时，分母2222220x x -=-⨯=，故2x =应舍去. 所以当2x =-时，原分式的值为0.五、讨论不全致全例5 当x 满足什么条件时，分式124x x ++的值为正？ 错解：当10240x x +>⎧⎨+>⎩时，分式124x x ++的值为正. 解这个不等式组， 得1,2.x x >-⎧⎨>-⎩所以此不等式组的解集为1x >-. 故当1x >-时，分式124x x ++的值为正. 分析：根据同号相除得正的法则易知，当分式的分子、分母的值同时为正或同时为负时，分式的值都为正，而错解只考虑了一种情况.正解：当10240x x +>⎧⎨+>⎩或10240x x +<⎧⎨+<⎩时，分式124x x ++的值为正. 解这两个不等式组，得1x >-或2x <-.所以当1x >-或2x <-时，原分式的值为正.评注：在分式的概念和性质中常出现的题目一是对概念和性质的直接判断,二是对性质和概念的运用.所以概念和性质是本节内容的根本,只要同学们牢固掌握概念和性质这一根本,就能以不变应万变.。
苏科版八年级下册第十章分式 易错题整理(Word版含答案)
苏科版八年级下册第十章分式易错题整理一、选择题1、计算xx -++1111的正确结果是（ ） A ．0 B ．212x x - C ．212x - D ．122-x 2、分式a xy 与b yz的最简公分母是 ( ) A.abxyz B.2abxy z C.xyz D.2xy z3、若分式有意义，则x 2-x 的值不能是（ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 24、若121442=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-w a a ，则w 的值为 （ ） A ．()22-≠+a a B ．()22≠+-a a C ．()22≠-a a D ．()22±≠--a a5、若关于x 的方程3333x m m x x++=--的解为正数，则m 的取值范围是 A ．92m < B ．92m <且32m ≠ C ．94m >- D ．94m >-且34m ≠- 6、对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b=21a b -，这里等式右边是通常的实数运算．例如：81311312-=-=⊗．则方程142)2(--=-⊗x x 的解是（ ） A ．x=4 B ．x=5C ．x=6D ．x=7 7、已知小明上学时，走上坡路，速度为m 千米／时；放学回家时，沿原路返回，速度为n 千米／时，则小明上学和放学时的平均速度为 ( ) A. 2m n +／时 B. mn m n+千米／时 C ．2mn m n +／时 D. m n mn +千米／时 8、今年我市工业试验区投资50 760万元开发了多个项目，今后还将投资106 960万元开发多个新项目，每个新项目平均投资比今年每个项目平均投资多500万元，并且新增项目数量比今年多20个.假设今年每个项目的平均投资是x 万元，那么下列方程符合题意的是( )A.1069605076020500x x -=+B.5076010696020500x x -=+ C.1069605076050020x x -=+ D.5076010696050020x x -=+二、填空题9、已知a b a b +＝0，则ab ab的值为_______． 10、若221,0,xy y x y x y x x x ⎛⎫+++=≠÷ ⎪⎝⎭且则x+的值为 ． 11、已知关于x 的分式方程22024mx x x +=--无解且m ≠0，则m ＝ ． 12、如图，甲，乙两人分别从A 、B 两地同时出发去往C 地，在距离C 地2500米处甲追上乙；若乙提前10分钟出发，则在距离C 地1000米处甲追上乙。
苏科版八年级数学下册《第10章分式》章末综合知识点分类训练
2021年度苏科版八年级数学下册《第10章分式》章末综合知识点分类训练（附答案）一．分式的定义1．下列式子中是分式的是（）A．B．C．D．2．在有理式﹣π，中，分式有个．3．阅读材料，完成下列任务：部分分式分解我们知道，将一个多项式转化成若干整式的积的形式，叫做分解因式．分解因式的结果中，每一个因式的次数都低于原来多项式的次数．而有一些特殊的分式可以分解成若干分式的和的形式，我们称之为部分分式分解．例如：将部分分式分解的方法如下：因为x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），所以设＝+．去分母，得6＝A（x﹣3）+B（x+3）．整理，得6＝（A+B）x+3（B﹣A）．所以，解得．所以＝+，即＝﹣．显然，部分分式分解的结果中，各分母的次数都低于原分式分母的次数．任务：（1）将部分分式分解；（2）已知部分分式分解的结果是+，则M+N的值为．二．分式有意义的条件4．若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠﹣1C．x≥1D．x＞﹣15．要使有意义，则x的取值范围是．三．分式的值为零的条件6．若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣3B．2C．3D．0 7．当x的值为时，分式的值为0．8．当x为何值时，分式的值为0？四．分式的值9．若5a﹣6b＝0，且ab≠0，则的值等于（）A．B．C．1D．﹣1 10．若分式的值大于0，则x满足的条件是．11．已知实数x，y，a，b满足a﹣b＝x﹣y＝3，ax+by＝7．（1）求ay+bx的值；（2）求的值．五．分式的基本性质12．下列变形一定正确的是（）A．B．C．D．13．若成立，则x的取值范围是．14．在括号内填上适当的数：＝．六．约分15．化简分式的结果是（）A．B．C．y+1D．16．化简：＝．17．约分：（1）；（2）；（3）．七．通分18．把，通分，下列计算正确是（）A．＝，＝B．＝，＝C．＝，＝D．＝，＝19．，，的最简公分母是．20．把、和通分，并比较它们的大小．八．最简分式21．下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．22．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有个．九．最简公分母23．分式与的最简公分母是（）A．12xy2B．24xy2C．6y2D．4xy24．分式与的最简公分母是．十．分式的乘除法25．化简的结果是（）A．y B．C．D．26．已知：×2＝+2，×3＝+3，×4＝+4，…，若×10＝+10（a、b都是正整数），则a+b的值是．27．计算：÷．十一．分式的加减法28．化简：＝（）A．1B．0C．x D．﹣x29．计算+的结果是．30．计算：﹣．十二．分式的混合运算31．下列计算正确的是（）A．1+＝B．C．a÷b•＝a D．32．计算：（+）÷（）＝．33．计算：（1）a（a﹣2b）﹣（a+b）2；（2）÷（﹣x+2）．十三．分式的化简求值34．若a＝1，则的值为（）A．2B．﹣2C．D．35．如图，若x＝，则表示÷（1﹣）的值的点落在．（填序号）36．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝（2021﹣π）0．十四．列代数式（分式）37．某河两地相距s千米，船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，船往返一次所用的时间为（）小时A．B．C．+D．+38．一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，若A、B两个港口之间的距离为50千米，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口之间一次需小时．十五．分式方程的定义39．下列方程是分式方程的是（）A．B．C．x2﹣1＝0D．2x+1＝3x十六．分式方程的解40．若分式方程＝无解，则实数a的值为（）A．1B．1或C．D．1或241．关于x的分式方程＝﹣1的解是负数，则m的取值范围是．十七．解分式方程42．解分式方程2﹣＝，去分母得（）A．2（2﹣6x）﹣1＝1B．2（2﹣6x）﹣2＝1C．2（2﹣6x）+2＝1D．2（2﹣6x）+2＝﹣143．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小值，如：min{1，2}＝1，按照这个规定，方程min{x，﹣x}＝的解为．十八．换元法解分式方程44．用换元法解方程，设＝y，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（）A．3y+＝B．2y2﹣7y+2＝0C．3y2﹣7y+1＝0D．6y2﹣7y+2＝0 45．用换元法解方程﹣＝3时，如果设＝y，那么原方程化成以y为“元”的方程是．十九．分式方程的增根46．方程﹣＝增根为（）A．1B．±1C．﹣1D．047．如果在解关于x 的分式方程+＝2时出现了增根x＝1，那么常数k的值为．二十．由实际问题抽象出分式方程48．2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：月份5月12月类别厨余垃圾分出量（千克）6608400其他三种垃圾的总量（千克）x x如果厨余垃圾分出率＝×100%（生活垃圾总量＝厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是（）A．×14＝B．×14＝C．＝×14D．×14＝49．某工厂生产一批零件，计划20天完成，若每天多生产5个，则16天完成且还多生产8个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为．二十一．分式方程的应用50．某班在植树节时需完成一批植树任务，若由全班学生一起完成每人需植树8棵；若由女生单独完成每人需植树12棵，则由男生单独完成每人需植树棵．参考答案1．解：A、它的分母中不含有字母，是整式，故本选项不符合题意；B、它的分母中不含有字母，是整式，故本选项不符合题意；C、它是分式，故本选项符合题意；D、它是分数，故本选项不符合题意；故选：C．2．解：分式有，，，共3个，故答案为：3．3．解：（1）∵x2﹣4x＝x（x﹣4），∴设，去分母，得8＝A（x﹣4）+Bx，整理，得8＝（A+B）x﹣4A，所以，，解得，，所以，，即．（2）＝＝，∵，∴，∴M+N＝1，故答案为：1．二．分式有意义的条件4．解：若分式在实数范围内有意义，则x+1≠0，解得：x≠﹣1．故选：B．5．解：由题意得，2x﹣3≠0，解得，．故答案为：．三．分式的值为零的条件6．解：∵分式的值为0，∴x+3＝0，x﹣2≠0，解得，x＝﹣3，故选：A．7．解：由题意得：x+4＝0，且x≠0，解得：x＝﹣4，故答案为：﹣4．8．解：∵分式的值为0，∴，解得x＝0且x≠3，∴x＝0．∴当x＝0时，分式的值为0．四．分式的值9．解：∵5a﹣6b＝0，∴5a＝6b，∴＝＝＝．故选：B．10．解：∵＞0，∴x﹣1＞0，∴x＞1，∵x﹣1≠0，∴x≠1；故答案为：x＞1．11．解：（1）∵a﹣b＝x﹣y＝3，∴a＝3+b，x＝3+y，∵ax+by＝7，∴（3+b）（3+y）+by＝7，∴3b+3y+2by＝﹣2，∵ay+bx＝y（3+b）+b（3+y）＝3y+3y+2by＝﹣2；（2）原式＝＝＝＝﹣．五．分式的基本性质12．解：A、分式的分子分母都乘减去2，分式的值改变，故A错误；B、分式的分子分母都乘以同一个不为零的整式，分式的值不变，而c可能为0，故B错误；C、分式的分子分母都乘以同一个不为零的整式，分式的值不变，而x不为0，故C正确；D、分子分母都平方，分式的值可能改变，故D错误；故选：C．13．解：由题意可知：x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为：x≠114．解：＝＝．故答案为：12．六．约分15．解：＝＝，故选：B．16．解：原式＝＝．故答案为：．17．解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝m；（3）原式＝＝．七．通分18．解：两分式的最简公分母为3a2b2，A、通分后分母不相同，不符合题意；B、＝，＝，符合题意；C、通分后分母不相同，不符合题意；D、通分后分母不相同，不符合题意，故选：B．19．解：，，的公分母是12（x﹣y）x2y．故答案为：12（x﹣y）x2y．20．解：＝，＝，＝，∵＜＜，∴＜＜．八．最简分式21．解：A、，分式的分子和分母（除1外）没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意；B、，不是最简分式，故本选项不符合题意；C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；D、，不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：A．22．解：①是最简分式；②＝＝，不是最简分式；③＝，不是最简分式；④是最简分式；最简分式有①④，共2个；故答案为：2．九．最简公分母23．解：6和4的最小公倍数是12，则分式与的最简公分母是12xy2，故选：A．24．解：分式与的最简公分母是2a2b2c．故答案为2a2b2c．十．分式的乘除法25．解：原式＝（﹣）÷＝•＝，故选：C．26．解：∵×2＝+2，×3＝+3，×4＝+4，…，若×10＝+10（a、b都是正整数），∴a＝10，b＝10﹣1＝9，∴a+b＝19．故答案为：19．27．解：原式＝÷＝•＝．十一．分式的加减法28．解：原式＝＝＝x，故选：C．29．解：原式＝﹣＝＝＝，故答案为：．30．解：原式＝﹣＝＝＝﹣．十二．分式的混合运算31．解：（A）原式＝，故A错误．（B）原式＝+＝，故B错误．（C）原式＝aו＝，故C错误．故选：D．32．解：原式＝[﹣]÷＝•＝﹣．故答案为：﹣．33．解：（1）原式＝a2﹣2ab﹣a2﹣2ab﹣b2＝﹣4ab﹣b2；（2）原式＝÷＝÷＝•＝﹣．十三．分式的化简求值34．解：原式＝＝＝a﹣3，当a＝1时，原式＝1﹣3＝﹣2，故选：B．35．解：原式＝÷＝•＝x﹣1，当x＝时，原式＝﹣1≈2.235﹣1＝1.235，则表示÷（1﹣）的值的点落在③．故答案为：③．36．解：（1﹣）÷＝•＝•＝，当a＝（2021﹣π）0＝1时，原式＝＝﹣．十四．列代数式（分式）37．解：∵船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，∴船顺流航行的速度是：（a+b）千米/时，船逆流航行的速度是：（a﹣b）千米/时，∵两地相距s千米，∴船顺流航行的时间是小时，船逆流航行的时间是小时，∴船往返一次所用的时间为+小时；故选：D．38．解：由题意可得，假设A到B顺流，则B到A逆流，轮船往返两个港口之间需要的时间为：＝小时，故答案为：．十五．分式方程的定义39．解：A、该方程属于一元一次方程，不符合题意．B、该方程属于分式方程，符合题意．C、该方程属于一元二次方程，不符合题意．D、该方程属于一元一次方程，不符合题意．故选：B．十六．分式方程的解40．解：＝，去分母得：x﹣2＝ax﹣3，（a﹣1）x＝1，∵分式方程＝无解，∴把x＝2代入得：2（a﹣1）＝1，解得：a＝；或a﹣1＝0，解得：a＝1．故实数a的值为1或．故选：B．41．解：∵＝﹣1，∴x＝﹣2m﹣1，∵关于x的分式方程＝﹣1的解是负数，∴﹣2m﹣1＜0，解得：m＞﹣0.5，当x＝﹣2m﹣1＝﹣1时，方程无解，∴m≠0，∴m的取值范围是：m＞﹣0.5且m≠0．故答案为：m＞﹣0.5且m≠0．十七．解分式方程42．解：方程两边都乘以（2﹣6x），去分母得：2（2﹣6x）+2＝1．故选：C．43．解：当x＞﹣x，即x＞0时，方程变形得：﹣x＝，整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣1，不符合题意，舍去；当x＜﹣x，即x＜0时，方程变形得：x＝，方程整理得：x2﹣2x＝1，即（x﹣1）2＝2，解得：x1＝1+（不符合题意，舍去），x2＝1﹣，经检验x＝1﹣是分式方程的解，综上，方程的解为x＝1﹣．十八．换元法解分式方程44．解：，设＝y，则原方程化为3y+＝，即6y2﹣7y+2＝0，故选：D．45．解：﹣＝3时，如果设＝y，那么原方程化成以y为“元”的方程是y﹣＝3，故答案为：y﹣＝3．十九．分式方程的增根46．解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：12﹣6（x+1）＝x﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1不是原方程的根，是原方程的增根，故选：A．47．解：分式方程去分母得：x﹣k＝2x﹣2，解得：x＝2﹣k，由分式方程的增根为x＝1，得到2﹣k＝1，解得：k＝1，故答案为：1二十．由实际问题抽象出分式方程48．解：根据题意知，×14＝．故选：B．49．解：设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为，故答案为：．二十一．分式方程的应用50．解：设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程：+＝，解得：x＝24．检验得x＝24是方程的解．因此单独由男生完成，每人应植树24棵．故答案为：24．。
八年级数学下册10.5分式方程分式方程解法易错点分析素材苏科版
分式方程解法易错点分析一、去分母时常数漏乘公分母【例1】解方程23132--=--xx x . 错解：方程两边都乘以(x-3),得2—x=-1—2,解这个方程,得x=5。
错解分析：解分式方程需要去分母，根据等式的性质,在方程两边同乘以(x —3）时，应注意乘以方程的每一项。
错解在去分母时，—2这一项没有乘以（x-3），另外，求到x=5没有代入原方程中检验。
正解：方程两边都乘以（x-3)，得2-x=-1-2（x —3），解得x=3检验：将x=3代入原方程，可知原方程的分母等于0,所以x=3是原方程的增根,所以原方程无解.二、去分母时，分子是多项式不加括号【例2】解方程011132=+--x x 错解：方程化为011)1)(1(3=+--+x x x ， 方程两边同乘以(x ＋1）（x －1），得3—x-1=0，解得x=2。
所以方程的解为x=2.错解分析:当分式的分子是一个多项式，去掉分母时,应将多项式用括号括起来.错解在没有用括号将(x －1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验。
正解：方程两边都乘以（x ＋1）（x －1)，得3—（x －1）=0，解这个方程，得x=4．检验:当x=4时,原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根。
三、方程两边同除可能为零的整式【例3】解方程323423+-=--x x x x 。
错解：方程两边都除以3x —2，得3141+=-x x , 所以x+3=x —4，所以3=-4,即方程无解。
错解分析：错解的原因是在没有强调（3x —2）是否等于0的条件下，方程两边同除以（3x-2)，结果导致方程无解．正解：方程两边都乘以（x-4）（x+3），得(3x-2）(x+3）=（3x-2）(x-4），所以（3x —2）(x+3）－（3x —2）（x —4）=0．即（3x —2）(x+3－x ＋4）=0．所以7（3x —2）=0．解得x=32。
检验:当x=32时，原方程的左边=右边=0，所以x=32是原方程的解 四、忽视“双重”验根【例4】解方程627132+=++x x x 错解 去分母，得4x ＋1=7．程的根．错解分析：这里求出方程的根之后，又经过检验，似乎没有问题．但只母的过程中，把方程两边都乘以最简公分母2(x＋3），没有将2(x＋3）与1相乘，因而所得的方程与原方程不同解了．那么,为什么“检验”没有发现呢？这是因为这种验根方法必须以解题过程没有错误为前提，否则，即使将求得的未知数的值代入所乘的整式，整式的值不为零,也不能断定未知数的这个值是原方程的根．正确解法去分母，得4x＋2x＋6=7．说明解分式方程时要注意的是:检验未知数的值是不是原方程的根,不仅要检验是否有增根(代入公分母），而且要代入原方程,检验原方程两边的值是否相等．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
八年级数学下册10_5分式方程分式运算误区警示素材新版苏科版
分式运算误区警告分式是在整式运算、 多项式因式分解、 一元一次方程的解法基础上学习的。
分式的运算与整式的运算对比，运算步骤显然增加，符号更为复杂，解法更为灵巧；因此更简单出现这样或那样的错误， 为帮助同学们弄清分式运算中的错误所在， 本文概括小结几种错误原由以下，供同学们学习时参照．一、忽略隐含条件例 1当 x=______ 时，分式x 2 4的值为零。
2 5xx14错解 ：当 x 2－ 4＝ 0，即 x=± 2 时，上述分式的值为零．2评析 ：因为 x=2 时，分母 x +5x － 14=0，所以分式无心义．故正确答案为： x=－ 2．例 2． a 为什么值时，分式a 2a 2无心义？a 2 4a 3错解： 因为 a2a 2 (a 2)( a 1) a2, 由 a+3=0 得 a ＝－ 3，∴当 a=－3 时 a 24a 3(a 3)(a 1)a 3分式没存心义．评析 ：剖析：议论分式有无心义及分式的值能否为零，必定要对原分式进行议论，而不能议论化简后的分式． 误会的原由是轻易的约掉分子、 分母中的公因式 (a ＋ 1) ，相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式， 扩大了分式中字母的取值范围， 即放宽了分式建立的条件。
正确答案应为： a ＝－ 3 或 a=－ 1．三、符号上的错误：例 3化简4 1 的结果是（ ）42m 2 mA 、1 B 、1 2C 、m 6D 、12m 2m m 24m错解 ：原式 =4 1 4 ( m 2) m 6，选C(m 2)( m 2) m 2 (m 2)( m 2) m 24评析： 错误的原由是因为把 (2-m) 变形为（ m-2）时没有改变分式的符号。
正解应为414 (m2)(m 2) 1m 24，故应选(m 2)(m 2) m 2 (m 2)( m 2)m 2A 。
四、通分时误去分母x3例 4．计算：x x 13错解：原式 =x (x x122x 1x 1) x3(x 1)( x2x 1) x3( x 31)1评析：错解把分式的化简与解方程去分母混同一体，分式化简的每一步变形的依照都是依赖分式的基天性质，通分要保存分母，而不是去分母；正解应为：原式x3( x31)1 =x 1x 1五、违反运算次序例 5．计算：a2b2a22ab b21 a3b3a2ab b2(b a)2错解：原式=(a b)( a b)a2(a b)21a bb2(a 2ab b 2 )(a b)(a 2ab b 2 )ab b2( a b)2 a 2ab =a b .评析：乘除法是同级运算，谁在前先作谁，而不该违犯运算次序。
八年级数学下册 10.1 分式 掌握分式的概念应注意哪些问题素材 苏科版(2021学年)
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掌握分式的概念应注意哪些问题？难易度：★★★关键词:分式答案:掌握分式的概念应注意:判断一个式子是否是分式,不要看式子是否是A/B的形式，关键要满足。
(１)分式的分母中必须含有未知数。
（2）分母的值不能为零,如果分母的值为零,那么分式无意义。
【举一反三】典例：当时,下面分式的值为零的只有一个是( )A B ＣＤ思路导引:一般来讲,解决本题要会正确判断分式,这里错解认为“只要分子的值为零,”而忽略了“分母不为零”,事实上取时,分式本身已经没有意义；因为将分别代入A，发现分母不为零,分子为零,故选Ａ;标准答案：A以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
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第10章《分式》考点+易错整理知识梳理重难点分类解析考点1 分式的概念及性质【考点解读】分式的概念主要内容包括分式的定义、分式有意义的条件、分式的值等;分式的性质包括分式的基本性质、通分和约分.中考中对该知识点要求较低，多以基础题的形式出现.例1 (2018·盐城)要使分式12x -有意义，则x 的取值范围是 . 分析:当分母20x -≠，即2x ≠时，分式12x -有意义.答案: 2x ≠【规律·技法】若分式有意义，则分母不等于零. 【反馈练习】 1.分式29x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 . 点拨:当分母不为0时，分式有意义.2.在代数式21331,,,2x xy a x y mπ+++中，分式的个数有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个点拨:根据分式是分母中含有字母的式子进行判断即可. 考点2 分式的运算 【考点解读】分式的运算包括分式的加减和分式的乘除，分式的基本性质是解决分式运算问题的关键，在中考中分式的运算多以计算题出现，属于简单题.例2 (2018·泰州)化简: 22169(2)11x x x x x -++-÷+-. 分析:本题考查分式的化简，先算括号内的减法，把除式分子和分母中多项式因式分解，同时把除法变为乘法再约分化简. 解答:原式= 222(1)1(1)(1)3(1)(1)1[]11(3)1(3)3x x x x x x x x x x x x x x +-+-++---⋅=⋅=++++++【规律·技法】整式与分式进行运算时，常把整式化为分式形式后再进行通分. 【反馈练习】3.化简：11(2)()a a a a++÷-.点拨:先算括号内加减法，再利用除法法则把除法运算变为乘法运算，并且因式分解分式中复杂的因式最后约分化为最简分式. 4. (2018·淮安)先化简，再求值: 212(1)11a a a -÷+-，其中3a =-.点拨:先把括号中的式子通分，再把除法转化为乘法进行化简，最后把a 的值代入化简后的式子计算求值. 考点3 分式方程【考点解读】分式方程的解法主要利用转化的数学思想，即把分式方程转化为整式方程，再进行求解，转化过程中可能会出现增根，故在解分式方程时一定要检验.中考中常以简单的计算题出现，遗忘检验是失分的主要原因. 例3 (2018·镇江)解方程:2121x x x =++-. 分析:两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后解答，检验后确定方程的解.解答:两边同时乘(2)(1)x x +-，得(1)2(2)(2)(1)x x x x x -=+++-.去括号，得22242x x x x x -=+++-.移项、合开同类项，得42x =-.系数化为1,得12x =-.检验:当12x =-时，(2)(1)0x x +-≠.故12x =-是原分式方程的解.【规律·技法】分式方程的解法主要用到转化的数学思想，通过方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程后再进行求解，检验是解分式方程必不可少的步骤. 【反馈练习】5.若关于x 的分式方程1244m xx x-=---有增根，则实数m 的值是 . 点拨:先去分母转化为整式方程，利用方程有增根，使分式方程的分母为0的x 的值，代入整式方程即可解决问题. 6.解方程:14555x x x-+=--.点拨:先去分母化为整式方程，再解方程，最后检验方程的根是否是增根. 考点4 列分式方程解决问题 【考点解读】列分式方程解决问题的关键是要找出问题的等量关系，根据等量关系列出方程从而解决问题，在解方程时要注意进行检验.例4 (2018·徐州)徐州至北京的高铁里程约为700 km ，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A 与“复兴号”高铁B 前往北京.已知A 车的平均速度比B 车的平均速度慢80 km/h, A 车的行驶时间比B 车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少? 分析:解题关键是找出解决问题的等量关系列出方程.设B 车行驶的时间为t h ，则A 车行驶的时间为1.4t h ，根据速度=路程÷时间得出关于t 的分式方程，解此分式方程并检验即可得出结论.解答:设B 车行驶的时间为t h ，则A 车行驶的时间为1.4t h.由题意，得700700801.4t t-=，解得t = 2.5.经检验，t = 2.5是所列方程的解.则1.4t = 3.5.故A 车行驶的时间为3.5h ,B 车行驶的时间为2.5h .【规律·技法】行程问题的等量关系主要体现在速度、时间和路程的关系，如速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，掌握基本的等量关系是解题的关键. 【反馈练习】7.某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原 来每天多50%，结果提前10天完成任务，原来每天制作多少件?点拨:本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意列出符合等量关系的分式方程并正确求解检验。
本题中的等量关系是“原计划的天数－实际的天数=10”，然后用代数式分别表示原计划的天数和实际的天数.8.某服装店用4 500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2 1 00元购进第二批该款 式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元. (1)这两次各购进这种衬衫多少件?(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1 950 元，则第二批衬衫每件至少要售多少元?点拨:(1)本题中的等量关系是“第二次进货数量=第一次进货数重×12”，抓住等量关系列分式方程解答即可.(2)抓住“总利润≥1 950”列不等式解决. 易错题辨析易错点1 忽视分式值为0时需满足的条件 例1 当x 为何值时，2(3)9x x x +-的值等于0? 错误解答:由题意，得(3)0x x +=，解得0x =或3x =-.错因分析:造成错误的原因是使分式的值为0，必须是分式的分子为0，而分母不能为0，但分式的分母不为0有时容易被忽略. 正确解答:由题意，得2(3)090x x x +=⎧⎨-≠⎩，解得0x =.易错辨析:分式的值为0必须同时满足以下两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.即要使分式0AB=.则0A =且0B ≠,也就是说，必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值等于或不等于0的条件.易错点2 不能正确运用分式的基本性质例2 不改变分式的值，把分式11341123m nm n +-的分子、分母中的各项系数都化为整数. 错误解答: 1111()12433434111132()62323m n m n m n m n m n m n ++⨯+==---⨯. 错因分析:错解中，分子、分母所乘的不是同一个数，虽然把各项系数化成了整数，但分式的值改变了.正确解答: 1111()12433434111164()122323m n m n m n m n m n m n ++⨯+==---⨯. 易错辨析:将各项系数化为整数的前提条件是不能改变分式的值.由分式的基本性质可知，若分式的值不变，则分式的分子和分母所乘(或除以)的必须是同一个不等于0的数或整式. 易错点3 分式化简时的错误 ①通分时去分母 例3 化简:23211x x x ---+. 错误解答:原式=32(1)32(1)1(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ---=---=--+-+-.错因分析:上述化简过程从第2步开始就出现了错误，错误的原因是通分时去分母了，为了防止此类错误的发生，要理解分式化简每一步的变形依据都是分式的基本性质，通分要保留分母，而不是去分母. 正确解答:原式=32(1)32(1)1(1)(1)(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x x ------==-+-+-+--.易错辨析:为了防止通分时去分母，就要注意使用分式的基本性质，只能约分，而不能去分母.②忽视分数线的括号作用例4 化简:26193x x ---. 错误解答:原式= 2263999x xx x -+-=--.错因分析:本题忽视了分数线的括号功能，在通分时，应将3x +用括号括起来. 正确解答:原式=226(3)3(3)199(3)(3)3x x x x x x x x -+---===---+-+.易错辨析:分数线有时起到括号的作用. ③运算顺序出错例5 化简：22221()()2a b a b a ab b a b-+÷⋅-++错误解答:原式= 22221()1()()()a b a b a b a b a b a b a b-+÷⋅=+⋅=++++. 错因分析:运算顺序不对，没有按照从左到右的运算顺序计算，而错误地用“结合律”导致出错.正确解答:原式=22222421()()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b--+÷⋅=+⋅-⋅=+--++. 易错辨析:乘除运算是同级运算，运算顺序是从左向右依次计算.由于受“结合律”的影响而容易出现忽视运算顺序的错误.乘除运算的规律一般是先把除法转化为乘法，再按照乘法法则进行计算.若乘方与乘除混合，要先乘方，再乘除. 易错点4 解分式方程时忽视对根的检验 例6 解方程：22011x x x -=+-. 错误解答: 方程两边同乘(1)(1)x x -+，得2(1)0x x --=，解这个方程，得2x =.所以2x =是原方程的解.错因分析:此题错在没有检验，解分式方程必须要验根.正确解答:方程两边同乘(1)(1)x x -+，得2(1)0x x --=，解这个方程，得2x =. 检验:当2x =时，(1)(1)0x x -+≠，所以2x =是原方程的解.易错辨析:通过“去分母”把分式方程转化为整式方程，但这个整式方程的解可能使原分式方程的分母为零，因而一定要验根. 【反馈练习】1.当x = 时，分式242x x -+的值为零.点拨:必须在分式有意义的前提下讨论分式的值是否等于0，易错的地方是忽视分式有意义时分母不为0这个条件. 2.计算: 111a a ++-.点拨:本题易混淆分式的运算与通分，错误地得到2211(1)(1)1111a a a a a a ++=+-+=-+=-，分式的加减运算应先通分.3.计算: 221112111x x xx x x x-+-÷⋅-+-+.点拨:本题易错的是先把后面两个分式相乘使运算简便，忽视了运算顺序. 4.计算:11()222x x x x x x +-÷++-+.点拨:本题易出现错解: 原式=1122(2)22222121(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x+--+-÷+÷=⋅+⋅=++-+++++-++-， 错误的原因是把分式的乘法分配律用在除法上. 5.当k 为何值时，关于x 的方程123(2)(3)x x x kx x x x ++-=-+-+的解为负数?点拨:对于求含有字母的分式方程的解，考虑问题一定要全面，若未知数的取值使得原分式方程中的分母为零，则应舍去. 探究与应用探究1 整体代换求值例1 (1)若20(0)x y x -=≠，则2222323x xy y x xy y -++-= ;(2)若115x y+=，则2522x xy y x xy y -+++= ;(3)若210x x --=，则4521x x x ++= .点拨:观察题干条件，可用消元思想与整体代换法，计算分式的值.(1)由条件，得2(0)x y x =≠,所以原式=222222(2)3212(2)2377y y y y y y y y y y -⋅⋅+-==-+⋅-.(2)方法一:因为115x y +=,所以5x y xy +=.所以原式= 2555527xy xy xy xy ⋅-=+. 方法二:由分式性质，将分子、分母同时除以xy ，所以原式=2251055115272y x y x-+-==+++. (3)由210x x --=，得21x x =+.所以原式=222222222()21(1)214214253531()(1)(21)(121)323(1)2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++++++++++++======+++++++++ 答案:(1) 17-(2) 57(3) 1 【规律·提示】在解答分式题时，适当运用整体思想，会使问题巧妙解决，如分式化简求值中经常运用整 体代换法.分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类，给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值.解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件.常常用到如下策略:①适当引入参数;②拆项变形或拆分变形;③整体代入;④取倒数或利用倒数关系等. 【举一反三】1. (1)已知2310a a -+=，则代数式361a a +的值为 .(2)已知112a b +=，则a b a ab b+-+= . (3)已知1xy =，则11x yx y+++= . 探究2 类比转化、归纳猜想等数学思想解决问题 例2 解方程:18272938x x x x x x x x +++++=+++++. 点拨:如果本题直接去分母，运算量较大，但联想到分数中，当分子大于分母时，如83， 可化为823222333⨯+==+，类比到分式中，当分子的次数不小于分母的次数时 可分离系数，即12111222x x x x x ++-==-+++，从而减少运算量. 解答:原方程可化为111111112938x x x x -+-=-+-++++.移项，得11113298x x x x -=-++++.整理，得2211561772x x x x --=++++.所以22561772x x x x++=++，解得112x=-.经检验，112x=-是原方程的解.【规律·提示】本章知识一般情况下都要通过类比才可以发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知识.由分数的定义、基本性质、通分、约分、分数的加减乘除等运算法则类比引入学习分式的相关知识;从分数的一些运算技巧类比引入了分式的运算技巧.例3 设223()121a aA aa a a-=÷-+++.(1)化简A;(2)记()A f a=.当3a=时，记此时A的值为(3)f;当4a=时，记此时A的值为(4)f;...;解关于x的不等式:27(3)(4)(11)4x xf f fx---≤++⋅⋅⋅+，并将解集在数轴上表示出来.点拨:本题第(2)小题属于新定义型，对于本题中的()f a，可利用“一分为二”的裂项法进行化简,即21111()(1)1f aa a a a a a===-+++.解答:(1)2222(1)32111(1)1(1)(2)(1)a a a a a aAa a a a a a a a a-+--+=÷=⋅==+++-++(2)因为当3a=时，211(3)3312f==+;当4a=时，211(4)4420f==+，当5a=时，211(5)5530f==+;….因为27(3)(4)(11)24x xf f f---≤++⋅⋅⋅+，即271112434451112x x---≤++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯，所以271111112434451112x x---≤-+-+⋅⋅⋅+-，所以271124312x x---≤-，所以271244x x---≤，解得4x≤.所以原不等式的解集是4x≤，在数轴上表示如图所示:【规律·提示】在有关分式的运算中，当项数较多时，可利用归纳与猜想的思想寻找这些式子的一般规律，从而减少运算量.【举一反三】2.一列数123,,,a a a⋅⋅⋅，其中1111,(21nna a na-==+为不小于2的整数)，则4a等于( )A.58 B. 85 C. 138 D. 8133.若关于x 的方程213224k x x x +=-+-无解，求k 的值.探究3 特殊方法解决实际问题例4 某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队单独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队单独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，则111111a b c +++++的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4点拨:本题属于工程类应用题，不妨设甲、乙、丙三队的工作效率分别为,,x y z .再根据条件列方程，将,,a b c 用,,x y z 表示，即可求值.设甲、乙、丙三队的工作效率分别为,,x y z ,则111,,a b cx y z y x z z x y ===+++.所以y z a x +=.所以1x y z a x+++=，即11x a x y z =+++.同理可得11,11y z b x y z c x y z==++++++.三式相加、整理，得1111111a b c ++=+++. 答案:A【规律·提示】在分式运算及解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过模型去解决实际问题.经历“实际问题—分式方程模型—求解—检验解的合理性”的“数学化”过程，体会分式方程模型的思想. 【举一反三】4.某商场在一楼和二楼之间安装了一个自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一个男孩和一个 女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯).如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍.已知男孩走了27级到达扶梯顶部， 而女孩走了18级到达顶部.(1)扶梯露在外面的部分有多少级?(2)现扶梯旁有一个从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人 各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)，如此反复.求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶?参考答案知识梳理A CBC ÷÷ b c a ± bd ac ad ± bd ac bcad未知数 整式 分式 方程 检验 重难点分类解析 【反馈练习】 1.9x ≠ 2. A 3.11a a +- 4. 212(1)11a a a -÷+-12a -=. 当3a =-时，原式2=-. 5. 36. 无解7. 原来每天制作16件.8. (1) 第一批衬衫购进30件，第二批购进15件. (2)第二批衬衫每件至少要售170元. 易错题辨析 【反馈练习】 1. 22. 21a a -3. 11x x --+ 4. 26x -5. 当3k <且12k ≠-时，方程的解为负数.探究与应用 【举一反三】 1. (1)118(2) 2 (3) 1 2. A3. 1k =-或34k =-时，方程无解 4. (1) 扶梯露在外面的部分有54级.(2) 男孩第一次追上女孩时走了198级台阶.。