圆的对称性—知识讲解(基础)

圆的对称性—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；
2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；
3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.
【要点梳理】
要点一、圆的对称性
圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．
圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
要点诠释：
圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
要点二、与圆有关的概念
1.弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点诠释：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
证明：连结OC、OD
∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
2.弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点诠释：
①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
要点三、垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
要点诠释：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
要点四、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
要点五、弧、弦、圆心角的关系
1.圆心角与弧的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2. 圆心角、弧、弦的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
要点诠释：
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
1．（巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．
【答案与解析】
解：∵E为弧AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴AD=AC=4cm，
∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，
∴在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE﹣2）2+42，
又知0A=OE，解得：OE=5，
∴OD=OE﹣DE=3cm．
【总结升华】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形. 举一反三：
【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。

【答案】1cm．
2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（）
A．MP与RN的大小关系不定 B．MP＝RN C．MP＜RN D．MP＞RN
【答案】B；
【解析】比较线段MP与RN的大小关系，首先可通过测量猜测MP与RN相等，
而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP≌△ONR，
如果联想到垂径定理，可过O 作OE ⊥MN 于E ，则ME ＝NE ，PE ＝RE ， ∴
ME －PE ＝NE －RE ，即MP ＝RN ．
【总结升华】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”. 举一反三：
【变式】已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5，且30DAC ︒
∠=，
AD=13. 求弦BC 的长.
【答案】6.
类型二、垂径定理的综合应用
3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m ，拱的半径为13m ，则拱高为（ ）
A ．5m
B ．8m
C ．7m
D ．53m
【思路点拨】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解. 【答案】B ；
【解析】如图2，
AB表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为AB的中点，
CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为AB的圆心，根据垂径定理的推论可知，
C、D、O三点共线，且OC平分AB．
在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．
∴ OD＝5，
∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．
【总结升华】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．
4．（蓬溪县校级模拟）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD 是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
【答案与解析】
解：（1）∵直径AB=26m，
∴OD=，
∵OE⊥CD，
∴，
∵OE：CD=5：24，
∴OE：ED=5：12，
∴设OE=5x，ED=12x，
∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，
解得x=1，
∴CD=2DE=2×12×1=24m；
（2）由（1）得OE=1×5=5m，
延长OE交圆O于点F，
∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，
∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
【总结升华】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．
举一反三：
【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【答案】不需要采取紧急措施
设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，
R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，
解得R=34(m).
连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，
342=162+(34-x)2，
x2-68x+256=0，
解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，
∴DE=4m＞3m，
∴不需采取紧急措施．
类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
5.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，求∠BCD的度数.
【思路点拨】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．
【答案与解析】
解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，
∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，
∴∠BCD=120°．
【总结升华】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°．
举一反三：
【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC.
【答案】
证法1：∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) ∴
∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)
证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC，
∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等)
∴
∴AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)。