第九章 变量之间的关系

第九章变量之间的关系

1 用表格表示变量之间的关系

1.变量、自变量和因变量

在某一变化过程中不断变化的量叫做,若两个变量x,y,其中y随着变量x的变化而变化,则把x叫做,y叫做.

2.常量

在变化过程中数值始终不变的量叫做.

3.用表格表示变量之间的关系

借助表格,我们可以表示随的变化而变化的情况.

变量与常量、自变量与因变量

[典例1]某品牌豆浆机成本为150元,销售商对其销量、定价的关系进行了调查,结果如表:

下列说法正确的是( )

A.定价是常量,销量是变量

B.定价是变量,销量是不变量

C.定价与销量都是变量,定价是自变量,销量是因变量

D.定价与销量都是变量,销量是自变量,定价是因变量

[变式1]“早穿皮袄,午穿纱,围着火炉吃西瓜.”这句谚语反映了我国新疆地区一天中, 随变化而变化,其中自变量是,因变量是.

[变式2]某工厂有一个容积为280 m3的水池,现用3台抽水机从蓄满水的池中同时抽水,已知每台抽水机每小时抽水15 m3.

(1)抽水2 h后,池中还有水m3.

(2)在这一变化过程中哪些是变量?哪些是常量?

用表格表示变量之间的关系

[典例2]在烧水时,水温达到100 ℃就会沸腾,下表是某同学做“观察水的沸腾”试验时记录的数据:

(1)上表反映了哪两个量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?

(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的?

(3)时间每过1 min,水的温度变化情况如何?

(4)时间为8 min时,水的温度为多少?你能得出时间为9 min时水的温度吗?

(5)根据表格,你认为时间为16 min和 18 min 时水的温度分别为多少?

(6)为了节约能源,你认为应在什么时间停止烧水?

[变式3]如表所示为某商店薄利多销的情况.某商品原价为560元,随着不同幅度的降价,日销量(单位:件)发生相应的变化:

这个表反映了个变量之间的关系, 是自变量, 是因变量.从表中可以看出每降价5元,日销量增加件,从而可以估计降价之前的日销量为件;据此估计当售价为500元时,日销量为件.

2 用表达式表示变量之间的关系

表达式是我们表示之间关系的另一种方法,利用表达式,我们可以根据任何一个的值求出相应的的值.

用表达式表示变量之间的关系

[典例]如图所示,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,点P在BC上运动,点P不与点B,C重合.在点P的运动过程中,△APB的面积随着CP的变化而变化.

(1)在这个变化过程中,CP的长和△APB的面积哪个是自变量?哪个是因变量?

(2)设CP=x cm,若用y(cm2)表示△APB的面积,则y与x之间的关系式为_____

.

(3)在CP从3 cm变化到6 cm的过程中,△APB的面积从cm2变化到 cm2.

[变式1]某产品每件成本为10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表,下面能表示日销售量y(件)与销售价x(元)的关系式是( )

A.y=x+15

B.y=-x+15

C.y=x+40

D.y=-x+40

[变式2]为了增强公民的节水意识,某市制定了如下用水收费标准:

(1)该市某户居民5月份用水x t(x>5),应交水费y元,求出y与x之间的关系式.

(2)如果某户居民某月应交水费24元,请你帮忙算出这个月这户居民用了多少吨水.

3 用图象表示变量之间的关系

图象是表示变量之间关系的又一种方法,它的特点是非常直观.

在用图象表示变量之间的关系时,通常用的数轴(称为横轴)上的点表示自变量,用的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.

用曲线型图象表示变量之间的关系

[典例1]某地区一天的气温变化较大,如图所示表示该地区一天24小时的气温变化情况.

(1)图中描述的两个变量中自变量是什么?因变量是什么?

(2)一天中哪个时间气温最高、最低?分别是多少?

(3)在什么时间范围内气温上升?什么时间范围内气温下降?

(4)该地区一天的温差是多少?若该地区是一旅游景点,你应向到该地旅游的游客提出怎样的合理化建议?

[变式1]如图所示,是一台自动测温记录仪的图象,它反映了某县冬季某天气温随时间变化而变化的关系,观察图象得到下列信息,其中错误的是( )

A.凌晨4时气温最低,为-3 ℃

B.从0时至14时,气温一直在上升

C.14时气温最高,为8 ℃

D.从14时至24时,气温一直在下降

用直线或折线型图象表示变量之间的关系

[典例2]如图所示的是一辆汽车在行驶途中的速度v(km/h)随时间t(min)的变化示意图,请根据图象回答下列问题:

(1)从点A到点B,点E到点F,点G到点H分别表明汽车是什么状态?

(2)点A表明汽车的速度是多少?点C呢?

(3)汽车在哪段时间停车休息?休息了多长时间?

(4)司机在第28 min时开始匀速先行驶了4 min,之后立即减速行驶2 min停止,请你在图中补上从28 min以后表示汽车速度与行驶时间关系的图象.

[变式2]如图①所示,在长方形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC,CD,DA运动至点A停止.设点P运动的路程为x,三角形ABP的面积为y,如果y关于x的图象如图②所示,那么长方形ABCD的周长是( )

A.13

B.17

C.18

D.26