第五章 一元一次方程

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北师大版七年级数学第五章-----一元一次方程

北师大版七年级数学第五章-----一元一次方程

第五章 一元一次方程
思维导图

方次一元
一⎪










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⎨⎧写出答案检验解一元一次方程列一元一次方程设出适当的未知数找出等量审清题意题的一般步骤列一元一次方程解应用未知数的系数化为
合并同类项移项去括号去分母
解一元一次方程的步骤
结果仍是等式,所得的数或除以同一个不为个数:等式两边同时乘同一
性质结果仍是等式同一个代数式,所得的或减:等式两边同时加性质等式的基本性质数的值右两边的值相等的未知方程的解:使方程左、
数的等式方程的概念:含有未知未知数的指数都是式方程中的代数式都是整只含有一个未知数一元一次方程的概念
1)0(2)(11
考点精讲。

2024年人教版七年级上册教学设计 第五章 一元一次方程第五章 一元一次方程

2024年人教版七年级上册教学设计 第五章  一元一次方程第五章  一元一次方程

一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的“一元一次方程”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数是数学知识体系的基础之一,是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石,可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界.数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.方程与不等式的教学应当让学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表达的未知数,建立两个量之间关系的过程,知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达,引导学生关注既含有已知数,又含有未知数的方程,感悟用字母表示数的意义,体会算术与代数的差异.在教学过程中,要关注数学知识与实际的结合,让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律;经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念;要关注基于代数的逻辑推理,能在比较复杂的情境中,提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力.2.本单元教学内容分析人教版教材七年级上册第五章“一元一次方程”,本章包括三个小节:5.1方程;5.2解一元一次方程;5.3实际问题与一元一次方程.“方程与不等式”是义务教育阶段数学课程中数与代数领域的一个重要内容,它揭示了数学中最基本的数量关系(相等关系和不等关系),是一类应用广泛的数学工具.从数学学科本身看,方程是代数学的核心内容,正是对于它的研究推动了整个代数学的发展;从代数中关于方程的分类看,一元一次方程是最简单的代数方程,也是所有代数方程的基础;从应用数学的角度看,方程是一个既方便又强大的数学工具,它能够有效地刻画现实世界中的数量关系,将实际问题转化为数学模型加以解决.本单元主要内容包括:一元一次方程及其相关概念、一元一次方程的解法和利用一元一次方程解决实际问题.其中,以方程为工具分析问题、解决问题,即根据问题中的相等关系建立方程模型是本单元的重点之一,同时也是主要难点.分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系,是始终贯穿于本单元的主线.对一元一次方程的有关概念和解法的讨论,是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的,它们在本单元前两节中占重要地位.解方程中蕴含的“化归思想”和列方程中蕴含的“数学建模思想”,是本单元中包含的主要数学思想,对于它们的体悟与内化,不仅对学生今后研究问题、解决问题以及终身的发展非常有益,而且也是深入贯彻实施《标准2022》的素养理念的渠道,与提高学生自身的数学素养有非常密切且直接的关系,更是促进学生思考、激发学生思维探究、教会学生学习方法、挖掘学生的学习潜力、有效提高初中数学教学质量和学生学业质量的重要保障.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学七年级上册第五章一元一次方程,从学生的认知基础上看,学生在前面学段中已经学过有关于简单方程的内容,对方程有了初步的认识,会用方程表示简单情境中的数量关系,会解简单的方程,同时通过对整式的学习,学生能够进行合并同类项,去括号等整式的加减运算,即对方程的认识已经历了入门阶段,又具备了一定的基础.这些基本的、朴素的认识为进一步学习方程奠定了基础.本单元的内容是在前面对方程学习的基础之上的进一步发展,是更系统、更深入、更复杂的讨论,更强调数学思想、数学模型的渗透,结合七年级学生的思维习惯,他们虽然已经具备了一定的学习能力,但仍处于感性认识向理性认识过渡的时期,抽象思维能力还有待提高,因此教学中对问题情境的选取要符合学生的认知水平,在学生的最近发展区创设情境,给他们创造自主学习、合作探究的机会,让学生在主动参与中体验到探索成功的喜悦,在经历数学知识的形成过程中逐步体会、感悟和理解这些数学内容的内涵.四、单元学习目标1.经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程,体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型,通过了解一元一次方程及其相关概念,完成从算式数学到方程式数学的进步,从而发展学生的抽象能力,培养学生的模型意识.2.掌握等式的性质,能利用它们探究一元一次方程的解法,进一步夯实学生的理论基础,培养学生的应用意识.3.了解解方程的基本目标,理解并掌握解一元一次方程的一般步骤和解法,培养学生的运算能力,进一步体会解法中蕴含的化归思想.4.能够通过“找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的关系,设未知数,列出方程表示问题中的相等关系”来体会数学建模的思想,培养学生的模型观念.5.通过探究实际问题与一元一次方程的关系,进一步体会利用一元一次方程解决实际问题的基本过程,感受数学的应用价值,提高学生分析问题、解决问题的能力.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。

2024年秋新人教版7年级上册数学课件 第5章 1元1次方程 5.2 解1元1次方程(第2课时)移项

2024年秋新人教版7年级上册数学课件 第5章 1元1次方程 5.2 解1元1次方程(第2课时)移项
回顾复习
1.等式的性质
等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子),结果仍相等
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等
如果a=b,那么a±c=b±c
问题导入
上一课时列方程解决例1时,题目中的相等关系为“各部分量的和=总量”,除此之外,实际问题中还有其他相等关系吗?
新知探究
问题2 把一些图书分给某班学生阅读.若每人分3本,则剩余20本;若每人分4本,则缺25本.这个班有多少学生?
溯源
约820年,阿拉伯数字家花拉子米著有《代数学》(又称《还原与对消计算概要》),其中,“还原”指的是“移项”,“对消”隐含着移项后合并同类项,我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章,更早使用了“对消”和“还原”的于中国古代数学中所说的“盈不足问题”. “盈”是分配中的多余情况,“不足”是分配中的缺少情况,有的题目不会出现“盈”或“不足”的字样. “盈不足”问题中,一般会给出两个条件:什么情况下会“盈”,“盈”多少;什么情况下会“不足”,“不足”多少.
5.2 解一元一次方程
第五章 一元一次方程
第2课时 移项
学习目标
1. 理解移项的意义,掌握移项的方法.
2. 学会运用移项、合并同类项解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程.
3. 进一步认识解方程的基本变形—移项,感悟解方程过程中的转化思想.
重点
重点
4. 能够抓住实际问题中的数量关系列一元一次方程解决实际问题.
3x+20=4x-25
3x -4x= -25-20
- x= -45
x=45
移项
系数化为1
合并同类项
由上可知,这个班有45名学生.
小结
(1) 总量=各部分量的和;

第五章 一元一次方程复习-

第五章 一元一次方程复习-

初一数学复习资料5 第五章:一元一次方程知识要求:1、能根据具体问题的数量关系,列出方程、建立模型、解方程和运用方程来解决实际问题。

2、了解一元一次方程及其有关概念,会解一元一次方程(数字系数)。

3、能一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题,包括列方程、求解方程和解释结果的实际意义及合理性,提高分析问题、解决问题的能力。

知识重点:掌握等式的基本性质、方程的概念、会解一元一次方程及应用一元一次方程来解应用题。

知识难点:灵活运用求解一元一次方程的步骤,应用一元一次方程来解应用题。

考点:解方程和运用方程解应用题是考试的重点内容。

知识点:一、方程的有关概念 1、方程的概念:(1)含有未知数的等式叫方程。

(2)在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,系数不为0,这样的方程叫一元一次方程。

2、等式的基本性质:(1)等式两边同时加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式。

若a=b ,则a+c=b+c 或a – c = b – c 。

(2)等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式。

若a=b ,则ac=bc 或cb ca(3)对称性:等式的左右两边交换位置,结果仍是等式。

若a=b ,则b=a 。

(4)传递性:如果a=b ,且b=c ,那么a=c ,这一性质叫等量代换。

二、解方程1、移项的有关概念:把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,叫做移项。

这个法则是根据等式的性质1推出来的,是解方程的依据。

要明白移项就是根据解方程变形的需要,把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边,移动的项一定要变号。

二、列方程解应用题1、列方程解应用题的一般步骤:(1)将实际问题抽象成数学问题;(2)分析问题中的已知量和未知量,找出等量关系; (3)设未知数,列出方程; (4)解方程; (5)检验并作答。

2、一些实际问题中的规律和等量关系:(1)日历上数字排列的规律是:横行每整行排列7个连续的数,竖列中,下面的数比上面的数大7。

第五章 一元一次方程

第五章 一元一次方程

第五章一元一次方程第1节认识一元一次方程知识点:1、方程:含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解:使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式。

(2)等式的两边同时乘以同一个数((或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式。

4、一元一次方程:只含有一个未知数,且未知数的指数都是1,这样的方程叫做一元一次方程。

一、判断下列各式是不是一元一次方程,是的打“√”,不是的打“x”(1) -2+5=3 ( ) (2) 3 x -1=0 ( ) (3) y=3 ( )(4) x +y=2 ( ) (5) 2 x -5 x +1=0 ( ) (6) x .y-1=0 ( ) (7) 2m -n ( ) (8) ( ) (9)1+3χ=7 ( ) (10)1+3x ( ) (11)42÷6=7 ( ) (12)x﹥ 3 ( )(13)3m+2=1-m ( ) (14) χ+y=8 ( ) (15)5x=0 ( )二、根据题意列出方程。

1、小华今年21岁,小华的年龄是小彬的年龄乘2减5。

小彬今年几岁?解:如果设小彬的年龄为x 岁,那么“乘 2 再减 5 ”就是,所以得到方程:。

2、小颖种了一株树苗,开始时树苗高为 40 cm,栽种后每周树苗长高约 5 cm,大约几周后树苗长高到 1 m?解:如果设x 周后树苗长高到 1 m,那么可以得到方程:。

3、甲、乙两地相距 22 km,张叔叔从甲地出发到乙地,每时比原计划多行走1 km,因此提前 12 min 到达乙地,张叔叔原计划每时行走多少千米?解:设张叔叔原计划每时行走x km,可以得到方程:。

4、根据第六次全国人口普查统计数据,截至 2010年11月1日0时,全国每 10 万人中具有大学文化程度的人数为8 930 人,与2000 年第五次全国人口普查相比增长了147.30%.解:如果设 2000 年第五次全国人口普查时每 10 万人中约有x 人具有大学文化程度,那么可以得到方程:。

教学课件第五章一元一次方程

教学课件第五章一元一次方程

与销售有关的几个概念:
进价:购进商品时的价格。(有时也叫成本价) 售价:在销售商品时的售出价。 标价:在销售商品时标出的价格。(有时也称原价) 利润:在销售商品过程中的纯收入。
利润=售价—成本价
利润率:利润占成本的百分比。 利润
利润率= 成 本 ×100%
进价(成本价)
商品利润 = 商品售价—商品进价
解方程,得x=_1_2_5___
因此每件服装的成本价是_1_2,后因季 节关系按标价的8折出售,每件以60元卖出, 这批夹克每件的成本价是多少元?
解:设每件夹克的成本价是x元,则: (1+50%) ·x·80%=60
解得, x=50 答:这批夹克每件的成本价是50元。
加提高价
减利润 商品售价 = 商品标价X 折扣 商品售价 = 成本 + 利润
标价
售价
(原价) 乘以打折数
= 成本(1+利润率)
打折是怎么回事?
所谓打折,就是商品以标价为基础,按 一定的比例降价出售,它是商家们的一种 促销行为。
例如:
一个滑板标价200元,若以九折出售, 则实际售价为 200 ×0.9 = 180(元),若打 七折,则实际售价为200 × 0.7 = 140(元)。
例.某商场将某种商品按原价的8折出售,此时商 品的利润率是10%,此商品的进价为1800元,那么 商品的原价是多少?
1.通过对打折销售问题的探讨研究,我们
知道成本、标价、售价、打折、利润、利润 率,等概念的含义.
2.用一元一次方程解决实际问题的关键:
(1)仔细审题.
(2)找等量关系.
(3)解方程并验证结果. 3.明确了用一元一次方程解决实际问题的 一般步骤是什么.

人教版七年级数学上册 5.1方程(第五章 一元一次方程 自学、复习、上课课件)

人教版七年级数学上册 5.1方程(第五章 一元一次方程 自学、复习、上课课件)

感悟新知
知2-练
(2)有一块长方形空地,长为20 m,宽为15 m. 在内部分割出一块小 正方形地用来放置杂物,其余部分种植草坪. 已知草坪的面积为 200 m2,求小正方形地的边长.
解题秘方:设未知数,用含有未知数的等式表示相等关系, 即得方程. 解:设小正方形地的边长为x m,那么草坪的面积为( 20×15 - x2)m2 . 根据“草坪的面积为200 m2”,列得方程20×15 -x2=200 .
感悟新知
特别提醒 1. ①②③是一元一次方程的三个基本特征,
其中特征①③是把方程化简后进行判断, 特征②是通过化简前的方程进行判断, 即必须满足分母中不能含有字母. 2. 判断一元一次方程的步骤:
5×2-2 =8,右边=7+2×2 =11 .
因为左边≠右边,所以x=2 不是方程5x-2 =7+2x 的解.
(2)x=3 .
将x=3 分别代入方程的左边和右边, 得左边=5×3 -2 =13 ,右边=7+2×3 =13 . 因为左边= 右边,所以x=3 是方程5x-2 =7+2x 的解.
感悟新知
感悟新知
知3-练
例 3 [母题 教材P114 例2]检验下列各未知数的值是不是方 程5x-2=7+2x 的解,并写出检验过程. 解题秘方:紧扣方程的解的定义,将未知数的值代 入方程左右两边,看方程左右两边的值是否相等进 行检验.
感悟新知
(1)x=2;
知3-练
解:将x=2 分别代入方程的左边和右边,得左边=
方法点拨:检验一个数是不是方程的解的方法: 把这个数分别代入方程的左右两边,当左边= 右边时, 这个数是方程的解,当左边≠右边时,这个数不是方 程的解.
感悟新知
3-1.下列方程中解为x=2 的是( D )

北师版初一数学第五章《一元一次方程》知识点总结

北师版初一数学第五章《一元一次方程》知识点总结

知识点总结第五章一元一次方程1、方程含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式。

(2)等式的两边同时乘以同一个数((或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式。

4、一元一次方程只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

5、移项:把方程中的某一项,改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项.6、解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母(2)去括号(3)移项(把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫移项。

)(4)合并同类项(5)将未知数的系数化为11、什么是一元一次方程?相信同学们都能踊跃的说出,“满足两个1即可,1个未知数且未知数指数是1的等式”,其实,在这里还要有一个前提条件:未知数的系数要不为0。

如果是0x,那就没有未知数了,就不是方程的。

2、求解一元一次的方法步骤是什么?方法:利用两条等式的性质把方程同等变形求解。

等式性质1:等式两边可以同加或同减一个代数式。

等式性质2:等式两边可以同乘或同除(除0)一个数。

步骤:(1)去分母:两边同乘分母的最小公倍数。

不能忘记还要给么有分母的项也要乘以最小公倍数。

(2)去括号:利用乘法分配率。

(3)移项:注意从等号一边跑到另一边要变号,当然,没有动的项就不要变号了。

(4)合并同类项:把同类型的系数进行相加计算。

(5)系数化为1:两边同除以系数或同乘以系数的倒数。

3、应用一元一次方程,你都记得都学习了哪些类型?(1)水箱变高了——有些题是体积,周长没变。

(2)打折销售——这些题,先要熟记公式,来,复习下售价=_________________________, 利润=____________ ,利润率=_______________然后,要根据题意看看都能表示出哪些量,最后,观察你表示出的这些量,往往等量关系就出来,方程也就出来了。

第五章一元一次方程整章教案

第五章一元一次方程整章教案
-举例:已知某物品A的价格比物品B贵20元,购买2个物品A和3个物品B共花费180元。引导学生正确列出方程组。
-特殊解的判断:一元一次方程组可能存在唯一解、无解或无穷多解,学生需要学会判断。
-举例:解方程组x + y = 4和2x + 2y = 8。指导学生分析此方程组为何有无穷多解。
-综合练习中的难点题型:选取典型例题,针对学生易错、难懂的题型进行详细讲解。
1.讨论主题:学生将围绕“一元一次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了一元一次方程的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元一次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的一元一次方程教学中,我发现学生们对于方程的概念和应用有着不错的接受程度,但在具体的解题方法和应用上,还存在一些问题。特别是在将实际问题转化为方程模型的过程中,部分学生感到困惑,这说明我们在教学中需要更多地联系实际,让学生感受到数学与生活的紧密联系。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与一元一次方程相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。例如,通过实物分配演示一元一次方程的基本原理。

七年级数学上册第五章一元一次方程重点知识汇总

七年级数学上册第五章一元一次方程重点知识汇总

第五章 一元一次方程一、等式:1.定义:用等号“=”来表示相等关系的式子注意:勿将代数式与等式混淆。

等式含有等号,是表示两个式子的相等关系,而代数式不含等号,它只能做等式的一边,如2x+4,8-x 是代数式,而2x-5=6才是等式.2.性质:(1)等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;(2)等式的两边都乘上(或除以)同一个数(除数不能是0),所得结果仍是等式.二、方程1.含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

要检验未知数的某一个值是不是方程的解,就把这个值代入方程,看左、右两边的值是否相等.注意:方程的解和解的方程的区别:(1)方程的解是演算的结果,即求出的适合方程的未知数的值;(2)解方程是求方程的解的演算过程.3.等式与方程的关系方程是含有未知数的等式,也就是说方程一定是等式且必须含有未知数,这两个条件缺一不可。

所以等式不一定是方程,,但方程一定是等式.三、一元一次方程1.定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程.2.形式:(1)最简形式:b ax = (0≠a ).(2)标准形式:0=+b ax (其中x 是未知数,a 、b 是已知数,且0≠a ).3、解一元一次方程一般步骤:四、列一元一次方程解应用题1、水箱变高了——利用等积变换的思想2、打折销售商品利润= 商品售价-商品进价;利润率=商品利润÷商品进价×100%;商品售价=标价×折扣数÷10;商品售价=商品进价×(1+利润率)。

3、“希望工程”义演工作总量=工作时间×工作效率;工作时间=工作总量÷工作效率;工作效率=工作总量÷工作时间;甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量注意:工程问题常把工作总量看做“1”,解工程问题的关键是先找出单位时间内的工作效率。

人教版七年级数学上册 第五章 一元一次方程知识归纳与题型突破(单元复习 8类题型清单)

人教版七年级数学上册  第五章 一元一次方程知识归纳与题型突破(单元复习 8类题型清单)

1第五章一元一次方程知识归纳与题型突破(题型清单)01思维导图02知识速记一、基本概念1、等式的概念:含有等号,表示相等关系的式子2、方程的概念:含有未知数的等式3、一元一次方程的概念:(1)只含有1个未知数;(2)未知数的最高次数为1次;(3)等式两边都是整式.二、等式的性质若b a =,则c b c a +=+、c b c a -=-、bc ac =、cbc a =.特别注意:等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数.三、解一元一次方程1、去分母(不漏乘不含分母的项,去分母应加括号)2、去括号(带着符号计算,不要漏乘)3、移项(移项要变号;未知数移到左边,常数移到右边;先后顺序不重要)4、合并同类项5、系数化为1(系数不能为0,若未知数的系数含有字母则需要讨论)四、列方程解应用题的步骤①审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间关系②设:设未知数(一般求什么,就设什么为x )③找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列:根据这个相等关系列出需要的代数式,进而列出方程⑤解:解所列出的方程,求出未知数的值⑥答:检验所求解是否符合题意,写出答案(包括单位名称)五、一元一次方程的应用(4)工程问题(①工作量=人均效率×人数×时间;②如果一件工作分几个阶段完成,那么各阶段的工作量的和=工作总量);(5)行程问题(路程=速度×时间);(6)等值变换问题;(7)和,差,倍,分问题;(8)分配问题;(9)比赛积分问题;(10)水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度).03题型归纳题型一判断是否是一元一次方程例题:(24-25七年级上·全国·单元测试)下列各式:①236x y -=;②2430x x --=;③()2353x x +=-;④310x+=;⑤()3425x x --.其中,一元一次方程有()A .1个B .2个C .3个D .4个巩固训练1.(23-24七年级下·全国·期中)下列各式中,属于一元一次方程的是()A .6518x y -=B .242715x x =+-C .438x x+=D .94x x-=2.(23-24七年级上·全国·单元测试)在方程①231325x +=,②=0,③235x y +=,④3120x+=中,一元一次方程共有()A .1个B .2个C .3个D .4个3.(23-24七年级上·全国·单元测试)①12x x -=;②0.31x ≤;③243x x -=;④512x x =-;⑤6x =;⑥20x y +=.其中一元一次方程的个数是()A .2B .3C .4D .5题型二根据一元一次方程的定义求参数的值例题:(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知1320m x --=是关于x 的一元一次方程,则m 的值是.巩固训练1.(23-24七年级上·全国·单元测试)若()1246a a x--+=-是关于x 的一元一次方程,则a =.2.(23-24七年级上·河南漯河·期中)已知关于x 的方程()||233m m x m --+=是一元一次方程,则m 的值为.3.(23-24七年级上·全国·单元测试)若关于x 的方程()21120m mx m x -+--=是一元一次方程,则m 的值为.题型三已知一元一次方程的解求参数的值例题:(23-24七年级下·全国·期中)关于x 的一元一次方程213mx x -=-有解,则m 的值为.巩固训练1.(23-24七年级上·浙江金华·期末)已知3x =是方程26ax a -=-+的解,则a =.2.(23-24七年级下·四川宜宾·期中)整式ax b +的值随着x 的取值的变化而变化,下表是当x 取不同的值时对应的整式的值:x 1-0123ax b+8-4-048则关于x 的方程8ax b +=的解是.3.(23-24七年级上·浙江·期末)若关于x 的方程30ax +=的解为2x =,则方程()130a x -+=的解为.题型四列一元一次方程例题:(23-24六年级下·全国·单元测试)设某数为x ,如果某数的2倍比它的相反数大1,那么列方程是.巩固训练1.(23-24七年级上·福建福州·期末)“x 的5倍与2的和等于x 的13与4的差”,用等式表示为2.(2024·湖南益阳·模拟预测)《孙子算经》中有一道题,原文是:今有三人共车,二车空:二人共车,九人步,问人车各几何?译文为:今有若干人乘车,每3人共乘一车,刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐;若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘只能步行,问共有多少人,多少辆车?设共有x 辆车,则可列方程.3.(2023·吉林长春·模拟预测)《算法统宗》是中国古代重要的数学著作,其中记载:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空,其大意为:今有若干人住店,若每间住7人,则余下7人无房可住:若每间住9人,则余下一间无人住,设店中共有x 间房,可列方程为.题型五等式的基本性质例题:(23-24七年级上·天津·期中)下列说法错误的是()A .若22x y -=-,则x y =B .若25x x =,则5x =C .若a b =,则66a b -=-D .若2211a bc c =++,则a b =巩固训练1.(23-24七年级下·广西南宁·开学考试)下列是根据等式的性质进行变形,正确的是()A .若x y =,则33x y -=+B .若a b =,则32a b =C .若22x y=,则x y =D .若ax ay =,则x y=2.(23-24七年级上·安徽·单元测试)下列运用等式的性质变形中正确的是()A .如果a b =,则a c b c +=-B .如果23x x =,则3x =C .如果a b =,则22a bc c =D .如果22a b c c =,则a b =3.(22-23七年级上·山东济南·阶段练习)下列变形正确的是()A .4532x x -=+变形得4325x x -=-+B .211332x x -=+变形得4633x x -=+C .3(1)2(3)x x -=+变形得3126x x -=+D .32x =变形得23x =4.(2024·贵州贵阳·一模)用“□”“△”“○”表示三种不同的物体,现用天平称了两次,情况如图所示.设a ,b ,c 均为正数,则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为()A .如果a c b c +=+,那么a b =B .如果a b =,那么a c b c +=+C .如果22a b =,那么a b=D .如果a b =,那么22a b=题型六解一元一次方程巩固训练题型七解一元一次方程中的错解复原问题巩固训练(2)仿照上例解方程:0.2 0.3x+题型八用一元一次方程解决实际问题例题:(2024上·辽宁大连·七年级统考期末)某车间生产一批螺钉和螺母,由一个人操作机器做需要200h完成.现计划由一部分人先做4h,然后增加5人与他们一起做6h,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同.(1)求具体应先安排多少人工作?(2)在增加5人一起工作后,若每人每天使用机器可以生产1200个螺钉或2000个螺母,1个螺钉需要配2个螺母成为一个完整的产品,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名?(3)若该车间有10台A型和11台B型机器可以生产这种产品,每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品.已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个,7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个,且每箱装的产品数相同.某天有6台A型机器和m台B型机器同时开工,请问一天生产的产品能否恰好装满29箱.若能,请计算出m的值;若不能,请说明理由.巩固训练1.(2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末)合肥庐阳区实验学校七(6)班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔,若干本笔记本(笔记本数量超过签字笔数量),用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者,甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本,甲店的优惠方式是签字笔打九折,笔记本打八折;乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本,签字笔不打折,购买的笔记本打七五折.(1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用;(2)如果购买笔记本数量为60本,并且只在一家店购买的话,请通过计算说明,到哪家店购买更合算?(2)小亮家—年缴纳水费1180元,则小亮家这一年用水多少立方米?(3)小红家去年和今年共用水520立方米,共缴纳水费2950元,并且今年的用水量超过去年的用水量,则小红家今年和去年各用水多少立方米?第五章一元一次方程知识归纳与题型突破(题型清单)01思维导图02知识速记一、基本概念1、等式的概念:含有等号,表示相等关系的式子2、方程的概念:含有未知数的等式3、一元一次方程的概念:(1)只含有1个未知数;(2)未知数的最高次数为1次;(3)等式两边都是整式.二、等式的性质若b a =,则c b c a +=+、c b c a -=-、bc ac =、cbc a =.特别注意:等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数.三、解一元一次方程1、去分母(不漏乘不含分母的项,去分母应加括号)2、去括号(带着符号计算,不要漏乘)3、移项(移项要变号;未知数移到左边,常数移到右边;先后顺序不重要)4、合并同类项5、系数化为1(系数不能为0,若未知数的系数含有字母则需要讨论)四、列方程解应用题的步骤①审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间关系②设:设未知数(一般求什么,就设什么为x )③找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列:根据这个相等关系列出需要的代数式,进而列出方程⑤解:解所列出的方程,求出未知数的值⑥答:检验所求解是否符合题意,写出答案(包括单位名称)五、一元一次方程的应用(4)工程问题(①工作量=人均效率×人数×时间;②如果一件工作分几个阶段完成,那么各阶段的工作量的和=工作总量);(5)行程问题(路程=速度×时间);(6)等值变换问题;(7)和,差,倍,分问题;(8)分配问题;(9)比赛积分问题;(10)水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度).03题型归纳题型一判断是否是一元一次方程例题:(24-25七年级上·全国·单元测试)下列各式:①236x y -=;②2430x x --=;③()2353x x +=-;④310x+=;⑤()3425x x --.其中,一元一次方程有()A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】A【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题考查的是一元一次方程的定义,掌握一元一次方程的定义是解题的关键.根据一元一次方程的定义进行判定.【详解】解:①是二元一次方程,不符合题意;②是一元二次方程,不符合题意;③是一元一次方程,符合题意;④是分式方程,不符合题意;⑤是代数式,不是方程,不符合题意.故选:A .巩固训练1.(23-24七年级下·全国·期中)下列各式中,属于一元一次方程的是()A .6518x y -=B .242715x x =+-C .438x x+=D .94x x-=2.(23-24七年级上·全国·单元测试)在方程①231325x +=,②=0,③235x y +=,④120x+=中,一元一次方程共有()A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】A【知识点】一元一次方程的定义3.(23-24七年级上·全国·单元测试)①2x x -=;②0.31x ≤;③243x x -=;④512x x =-;⑤6x =;⑥20x y +=.其中一元一次方程的个数是()A .2B .3C .4D .5题型二根据一元一次方程的定义求参数的值例题:(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知1320m x --=是关于x 的一元一次方程,则m 的值是.【答案】2【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题考查了一元一次方程的概念,根据一元一次方程的定义得到11m -=,求出m 即可.【详解】解:根据题意得:11m -=,解得:2m =,故答案为:2.巩固训练1.(23-24七年级上·全国·单元测试)若()1246a a x --+=-是关于x 的一元一次方程,则a =.2.(23-24七年级上·河南漯河·期中)已知关于x 的方程()||233m m x m --+=是一元一次方程,则m 的值为.故答案为:13.(23-24七年级上·全国·单元测试)若关于x 的方程()21120m mx m x -+--=是一元一次方程,则m 的值为.【答案】1或0【知识点】一元一次方程的定义【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式,只含有一个未知数,且未知数的指数是1,一次项系数不是0,这是这类题目考查的重点.根据一元一次方程的一般形式即可判定有3种情况,分别讨论①当0m ≠且10m -≠时,②当0m =且10m -≠时,③当10m -=时是否满足该方程为一元一次方程即可.【详解】解: 关于x 的方程()21120m mxm x -+--=是一元一次方程,可考虑三种情况,①当0m ≠且10m -≠时,即0m ≠且1m ≠,则211m -=,解得:1m =,此时1m ≠,故排除;②当0m =且10m -≠时,即0m =且1m ≠,∴0m =,符合条件;③当10m -=即1m =时,211m -=,符合条件;综上:m 的值为1或0,故答案为:1或0.题型三已知一元一次方程的解求参数的值例题:(23-24七年级下·全国·期中)关于x 的一元一次方程213mx x -=-有解,则m 的值为.1.(23-24七年级上·浙江金华·期末)已知3x =是方程26ax a -=-+的解,则a =.【答案】2【知识点】方程的解【分析】本题考查了方程解的定义,使方程的左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.将3x =代入原方程,可得出关于a 的一元一次方程,解之即可得出a 的值.【详解】解:将3x =代入原方程得326a a -=-+,解得:2a =,∴a 的值为2.故答案为:2.2.(23-24七年级下·四川宜宾·期中)整式ax b +的值随着x 的取值的变化而变化,下表是当x 取不同的值时对应的整式的值:x 1-0123ax b+8-4-048则关于x 的方程8ax b +=的解是.【答案】3x =【知识点】方程的解【分析】此题考查了方程的解,根据表格中的数据求解即可.【详解】根据题意可得,当3x =时,8ax b +=∴关于x 的方程8ax b +=的解是3x =.故答案为:3x =.3.(23-24七年级上·浙江·期末)若关于x 的方程30ax +=的解为2x =,则方程()130a x -+=的解为.题型四列一元一次方程例题:(23-24六年级下·全国·单元测试)设某数为x ,如果某数的2倍比它的相反数大1,那么列方程是.【答案】21x x =-+【知识点】列方程【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用,数x 的2倍为2x ,相反数为x -,据此根据题意列出方程即可.【详解】解:由题意得,21x x =-+,故答案为:21x x =-+.巩固训练1.(23-24七年级上·福建福州·期末)“x 的5倍与2的和等于x 的13与4的差”,用等式表示为2.(2024·湖南益阳·模拟预测)《孙子算经》中有一道题,原文是:今有三人共车,二车空:二人共车,九人步,问人车各几何?译文为:今有若干人乘车,每3人共乘一车,刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐;若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘只能步行,问共有多少人,多少辆车?设共有x 辆车,则可列方程.【答案】()3229x x -=+【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程.根据人数不变,即可得出关于x 的一元一次方程,此题得解.【详解】解:依题意,得:()3229x x -=+.故答案为:()3229x x -=+.3.(2023·吉林长春·模拟预测)《算法统宗》是中国古代重要的数学著作,其中记载:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空,其大意为:今有若干人住店,若每间住7人,则余下7人无房可住:若每间住9人,则余下一间无人住,设店中共有x 间房,可列方程为.【答案】()7791x x +=-【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的应用,理清题中的等量关系是解题的关键.由等量关系“一房七客多七客,一房九客一房空”,即可列出一元一次方程即可.【详解】解: 每间住7人,则余下7人无房可住:若每间住9人,则余下一间无人住,∴客人可表示为()77x +个,也可表示为()91x -个,()7791x x ∴+=-,故答案为:()7791x x +=-.题型五等式的基本性质例题:(23-24七年级上·天津·期中)下列说法错误的是()A .若22x y -=-,则x y =B .若25x x =,则5x =C .若a b =,则66a b -=-D .若2211a bc c =++,则a b =【答案】B1.(23-24七年级下·广西南宁·开学考试)下列是根据等式的性质进行变形,正确的是()A .若x y =,则33x y -=+B .若a b =,则32a b =C .若22x y=,则x y =D .若ax ay =,则x y=2.(23-24七年级上·安徽·单元测试)下列运用等式的性质变形中正确的是()A .如果a b =,则a c b c+=-B .如果23x x =,则3x =C .如果a b =,则22a b c c =D .如果22a b c c =,则a b =3.(22-23七年级上·山东济南·阶段练习)下列变形正确的是()A .4532x x -=+变形得4325x x -=-+B .211332x x -=+变形得4633x x -=+C .3(1)2(3)x x -=+变形得3126x x -=+D .32x =变形得23x =4.(2024·贵州贵阳·一模)用“□”“△”“○”表示三种不同的物体,现用天平称了两次,情况如图所示.设a ,b ,c 均为正数,则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为()A .如果a c b c +=+,那么a b=B .如果a b =,那么a c b c +=+C .如果22a b =,那么a b=D .如果a b =,那么22a b=【答案】A【知识点】等式的性质【分析】本题考查等式的性质,根据天平两端相等即可求得答案.【详解】解:由图形可得如果a c b c +=+,那么a b =,故选:A .题型六解一元一次方程例题1:解方程:(1)25433x x -=-;(2)576132x x -=-+.【答案】(1)35x =(2)415x =【分析】()1方程移项合并,把x 系数化为1,即可求解;()2方程移项合并,把x 系数化为1,即可求解.【详解】(1)移项,得24353x x -+=-,合并同类项,得1023x -=-,系数化为1,得35x =.(2)移项,得756123x x -+=-,合并同类项,得5223x -=-,系数化为1,得415x =.【点睛】此题考查了解一元一次方程,熟练掌握运算法则是解本题的关键.例题2:解方程:(1)5(1)2(31)41---=-x x x ;(2)23(1)12(10.5)-+=-+x x .题型七解一元一次方程中的错解复原问题巩固训练(2)仿照上例解方程:0.2 0.3x+【答案】(1)③④①②(2)3x=-题型八用一元一次方程解决实际问题1.(2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末)合肥庐阳区实验学校七(6)班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔,若干本笔记本(笔记本数量超过签字笔数量),用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者,甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本,甲店的优惠方式是签字笔打九折,笔记本打八折;乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本,签字笔不打折,购买的笔记本打七五折.答:小红家去年和今年用水分别为245立方米、275立方米.。

《第五章 一元一次方程》知识归纳

《第五章 一元一次方程》知识归纳

《第五章一元一次方程》知识归纳(一)、方程的有关概念1.方程:含有未知数的等式就叫做方程.2.一元一次方程:只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程.例如:1700+50x=1800,2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程.3.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.注:⑴方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.(二)、等式的性质等式的性质(1):等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等.等式的性质(1)用式子形式表示为:如果a=b,那么a±c=b±c等式的性质(2):等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,等式的性质(2)用式子形式表示为:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么a b c c .(三)、移项法则:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.(四)、去括号法则1.括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.2.括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.(五)、解方程的一般步骤1.去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数).2.去括号(按去括号法则和分配律).3.移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号).4.合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=b a .一、列一元一次方程解应用题的一般步骤(1)审题:弄清题意.(2)找出等量关系:找出能够表示本题含义的相等关系.(3)设出未知数,列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解方程:解所列的方程,求出未知数的值.(5)检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案.二、一元一次方程的实际应用1.和、差、倍、分问题:增长量=原有量×增长率现在量=原有量+增长量(1)倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现.(2)多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.2. 等积变形问题:(1)“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为:①形状面积变了,周长没变;②原料体积=成品体积.(2)常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.①圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S·h=hr2②长方体的体积 V=长×宽×高=abc3. 工程问题:工程问题:工作量=工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和=总工作量=14.行程问题:路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间(1)相遇问题:快行距+慢行距=原距(2)追及问题:快行距-慢行距=原距(3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.5. 商品销售问题(1)商品利润率=商品利润/商品成本价×100%(2)商品销售额=商品销售价×商品销售量(3)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量(4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.有关关系式:商品售价=商品标价×折扣率(5)商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价6.储蓄问题⑴顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税⑵利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率(20%)(3)利润=每个期数内的利息/本金×100%7.数字问题(1)要搞清楚数的表示方法:一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c.十位数可表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a.然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)(2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示.。

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5.2求解一元一次方程(1)
要点一、移项
1、在解方程的过程中,等号的两边加上(或减去)方程中某一项的变形过程,相当于将这一项改变符号后,从等号的一边移到另一边.这种变形过程叫做移项.
要点诠释:移项通常是指把含有未知数的项移到方程的一边,其他项移到方程的另一边,但无论是移含有未知数的项还是其他项都要改变符号,然后再进行移项.
②原体积=变化后体积.
常用的面积、体积公式:
长方形的周长公式:(长+宽)×2;面积公式:长×宽
长方体的体积公式:长×宽×高
正方形的周长公式:边长×4;面积公式:边长×边长
正方体体积公式:边长×边长×边长
圆的周长公式:C= ;面积公式: ;
圆柱的体积公式:V柱=底面积×高;圆锥的体积公式:V锥= ×底面积×高
要点诠释:寻找等量关系的方法,抓住两个等量关系:第一,形变体积不变;第二,形变体积也变,但重量不变.
5.4一元一次方程的应用——打折销售
要点一、打折销售(利润问题)
1、利润产生的两种方式
(1)进价——标价(售价)——利润(超市)
(2)进价——提价——标价——打折——售价——利润
示范:假设进价为 元,提价 标价,然后打9折得到售价,表示利润
如果 ,那么 ;如果 ,那么 .
要点诠释:
(1)根据等式的两条性质,对等式进行变形,等式两边必须同时进行完全相同的变形;
(2)等式性质1中,强调的是整式,如果在等式两边同加的不是整式,那么变形后的等式不一定成立,
如x=0中,两边加上 得x+ ,这个等式不成立;
(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时,这个除数不能为零.
5.1认识一元一次方程(2)
要点一、等式的性质
1.等式的概念:用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2.等式的性质:
等式的性质1:等式两边加上(或减去)同一个数或同一个整式,结果仍ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等式,即:
如果 ,那么 (c为一个数或一个式子).
等式的性质2:等式两边乘(或除以)同一个数(除数不等于0),结果仍是等式,即:
(2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数;
(3)“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量,列出方程,同时注意方程两边是同一类量,单位要统一;
(4)“解”就是解方程,求出未知数的值;
(5)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,及时指出,舍去即可;
(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
(1)移项要变号
(2)不要丢项
合并同类项
把方程化成ax=b(a≠0)的形式
字母及其指数不变
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解 .
不要把分子、分母写颠倒
要点诠释:
第二,同时不同地出发:前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.
③航行问题:Ⅰ.基本量及关系:顺流速度=静水速度+水流速度,
逆流速度=静水速度-水流速度,
顺水速度-逆水速度=2×水速;
Ⅱ.寻找相等关系:抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.
(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析.
要点三、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去,使之成为一般的一元一次方程,化去绝对值的依据是绝对值的意义.
要点诠释:此类问题一般先把方程化为 的形式,再分类讨论:
(1)当 时,无解;(2)当 时,原方程化为: ;(3)当 时,原方程可化为: 或 .
2.含字母的一元一次方程
要点诠释:
(1)“元”是指未知数,“次”是指未知数的次数,一元一次方程满足条件:
①是一个方程;②必须只含有一个未知数;③含有未知数的项的最高次数是1;④分母中不含有未知数.
(2)一元一次方程的标准形式是:ax+b=0(其中a≠0,a,b是常数) .
(3)一元一次方程的最简形式是:ax=b(其中a≠0,a,b是常数).
此类方程一般先化为最简形式ax=b,再分三种情况分类讨论:
(1)当a≠0时, ;(2)当a=0,b=0时,x为任意有理数;(3)当a=0,b≠0时,方程无解.
5.3一元一次方程应用——水箱变高了
要点一、水箱变高了(等积变形问题)
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型:①形状面积变了,周长没变;
3.工程问题
如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1.基本关系式:
(1)总工作量=工作效率×工作时间;
(2)总工作量=各单位工作量之和.
4.等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.
①圆柱体的体积公式V=底面积×高=S·h= r2h
②长方体的体积V=长×宽×高=abc
进价——提价——标价——打折——售价————————利润
2、公式
(1)
(2)标价=成本(或进价)×(1+利润率)
(3)实际售价=标价×折扣
(4)利润=售价-成本(或进价)=成本×利润率
注意:“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;当右边为负时,就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.
2、依据:等式的性质1.
3、目的:将含有未知数的项移到方程的左边,将不含未知数的项移到方程的右边,使方程更接近于 的形式。
4、注意事项:(1)移项要变号;
(2)方程中的项包含了它前面的符号;
(3)不要混淆移项和加法交换律.
5.2求解一元一次方程(2)
要点一、去括号
1、当方程中有括号时,在解方程的过程中把方程中含有的括号去掉的过程叫做去括号.
要点诠释:寻找等量关系的方法,抓住价格升降对利润的影响来考虑.
注意:求打折问题时,设折扣为 ,代入时应代入 .
要点二、方案问题
选择设计方案的一般步骤:
(1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.
(2)用特殊值试探法选择方案,取小于(或大于)一元一次方程解的值,比较两种方案的优劣性后下结论.
2、利用列表的方法是解决此类问题的良好途径。
要点二、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为:问题 方程 解答.由此可得解决此类
题的一般步骤为:审、设、列、解、检验、答.
要点诠释:
(1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,寻找等量关系;
(6)“答”就是写出答案,注意单位要写清楚.
5.6一元一次方程应用----追赶小明
要点一、常见列方程解应用题的几种类型
1.和、差、倍、分问题
(1)基本量及关系:增长量=原有量×增长率,
现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量.
(2)寻找相等关系:抓住关键词列方程,常见的关键词有:多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增长率等.
(1)解方程时,表中有些变形步骤可能用不到,而且也不一定要按照自上而下的顺序,有些步骤可以合并简化.
(2)去括号一般按由内向外的顺序进行,也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时,一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母,注意去分母的依据是等式的性质,而分母化整的依据是分数的性质,两者不要混淆.
5.1认识一元一次方程(1)
要点一、方程的有关概念
1.定义:含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释:
判断一个式子是不是方程,只需看两点:一是等式;二是含有未知数.
2.方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.
要点诠释:
判断一个数(或一组数)是否是某方程的解,只需看两点:①它(或它们)是方程中未知数的值;
5.5一元一次方程应用----“希望工程”义演
要点一、“希望工程”义演(分配问题)
1、分配(调配或比例)问题在日常生活中十分常见,比如合理安排工人生产,按比例选取工程材料,调剂人数或货物等.这类问题与生活密切相关,考察大家分析问题能力的同时,也考察了同学们的日常生活知识.
要点诠释:
分配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系,在分配问题中主要考虑“总量不变”;而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系,或是量与量之间的比例关系.
2.行程问题(追赶小明)
(1)三个基本量间的关系:路程=速度×时间
(2)基本类型有:
①相遇问题(或相向问题):Ⅰ.基本量及关系:相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ.寻找相等关系:甲走的路程+乙走的路程=两地距离.
②追及问题:Ⅰ.基本量及关系:追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ.寻找相等关系:
第一,同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;
2、依据:等式的性质2.
3、去分母步骤:(1)确定分母的最小公倍数;
(2)方程两边同时乘以最小公倍数约去分母.
要点二、解一元一次方程的一般步骤
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的,去分母后应加上括号
去括号
先去小括号,再去中括号,最后去大括号
2、依据:乘法分配律.
3、目的:便于移项、合并同类项的操作,使方程更接近于 的形式.
4、去括号顺序:一般由内到外.
5、注意事项:(1)括号外的因数连同它前面的符号看成一个整体;
(2)去括号法则.
5.2求解一元一次方程(3)
要点一、去分母
1、定义:方程中有分母时,在方程两边同时乘以这个方程中各分母的最小公倍数,约去分母的过程叫做去分母.
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