信号与系统 第三章(第5-7讲)

第三章连续信号的正交分解

§3-1 引言

线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。

在上一章所述的时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。

然而，很多信号的特性与频率有着很重要的关系，因此研究信号在频域中的特性可以得到许多极具实用价值的结论，它在工程中也具有很重要的意义。故此，从本章开始，我们就是研究这方面的问题。在本章中，我们研究任何将信号分解成与频率有关的函数的叠加。即在频域中，将信号分解为一系列与频率有关的正弦函数的和（或积分）。然后，再研究如何通过系统对正弦信号的响应求解系统对原信号的响应。

类似上章所述，通过信号分解的方法求解响应要研究下面几个问题：

1）如何将任意信号分解为一系列正弦信号

之和（或积分）。

2） 求解系统对各个正弦子信号的响应(这个

内容在电路分析课程中已经有详细介绍)。

3） 将各子信号的响应相叠加，从而合成系统

对激励信号的响应。

本章将要研究的就是如何对信号进行分解和合成。

§3-2 信号在正交函数集中的分解

信号的分解，在某种意义上与矢量的分解有相似之处。为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论矢量的分解。

一、矢量的分解

1、矢量的定义：具有大小和方向的量叫做矢量。

2、矢量运算：加，矢量点乘（结果是标量），矢

量叉乘。 3、矢量的分解：

1） 矢量的单矢量基的分解：

A 在1A 上的分量为A 在1A 上的投影：

E +=11A A c

其中，E 为误差矢量。而A 在1A 上的垂直投影

11c A 的模11A c ：

11111A A Acos θA Acos θA A

A ∙=

==1c ，

从几何或者解析角度，都可以得到使误差E 最小的系数为：

1112

111A A A A

A A A ∙∙=∙=c

其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。其它投影情况下误差E 不为最小，见上图。

如果0A 2πA c o s A A 211121=⎪

⎭⎫

⎝⎛=∙=A A 1c （或01=A A ），则表明A 和1A 相垂直（又称为正交）。

2） 矢量的多矢量基分解：

将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合：

11

∑==+++=n

i i i n n c c c c 1

2211...A A A A A

✧ 显然，如果知道了标准矢量i A 和相应的系数i c ，就可以确定任意矢量。 ✧ 如何确定最佳的系数i c ？如果矢量i A 两两正交，可以证明：

i

i i i c A A A

A =

4、标准矢量基的几个限制条件：

1）归一化：标准矢量的模等于1——方便计算； 2）正交化：标准矢量两两正交；

3）完备性：可以不失真地组合出任意矢量。

二、信号的分解

用与矢量分解相类比的方法，我们也可以推导出信号分解。

1、单个标准信号下的分解：在时间区间),(21t t 内，用)(11t f c 近似任意函数)(t f ，并使误差尽可能小。

1） 如何衡量函数误差的大小？可以采用方均误

差：⎰-=21)(1)(2

1

22

t t dt t t t t εε

2） 最佳系数：

⎰

⎰=

2

1

2

1)()()()(1111

t t t t dt

t f t f dt t f t f c （也称为函数

)(t f 和)(1t f 的相似系数。

3） 如果01=c （或

0)()(2

1

1=⎰

t t dt t f t f ），则称)

(t f 和)(1t f 正交。

4） 如果)(t f 和)(1t f 是复函数，则其方均误差为：

⎰⎰⋅-=-=21

21)()(1)(1)(*122122

t t t t dt t t t t dt t t t t εεεε最佳系数为：

⎰

⎰=

2

1

2

1)()()()(*1

1*

11

t t t t dt

t f t f dt t f t f c

2、多个标准信号下的分解：将信号表示为多个标

准信号的线性组合：

∑==+++=n

i i i n n t f c t f c t f c t f c t f 1

2211)

()(...)()()(这里的i c 同样难以确定。但是如果标准函数)(t f i 之间两两正交，则可以证明：

⎰

⎰=2

1

2

1)()()()(*

*

t t i i t t i i

dt

t f t f dt t f t f c

例：标准信号集：

泰勒级数

,...,...,,,,132k

x x x x ， 三角函数：

,...sin ,cos ,...,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1kt kt t t t t

3、对标准信号集的要求： 1）归一化：1)()(2

1*

=⎰

t t i i dt t f t f 2）正交化：

0)()(2

1

*

=⎰

t t j i dt t f t f ，j i ≠

3）完备性：可以用其线性组合表示任意信号。

完备正交函数集一般都包含无穷多个函数，例如：三角函数集，沃尔什函数集等。但在实际应用中不可能用无穷多个，只可能用有限个函数，只能近似表示任意函数。