信号与系统 第三章(第5-7讲)

第三章连续信号的正交分解§3-1 引言线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。

在上一章所述的时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。

然而，很多信号的特性与频率有着很重要的关系，因此研究信号在频域中的特性可以得到许多极具实用价值的结论，它在工程中也具有很重要的意义。

故此，从本章开始，我们就是研究这方面的问题。

在本章中，我们研究任何将信号分解成与频率有关的函数的叠加。

即在频域中，将信号分解为一系列与频率有关的正弦函数的和（或积分）。

然后，再研究如何通过系统对正弦信号的响应求解系统对原信号的响应。

类似上章所述，通过信号分解的方法求解响应要研究下面几个问题：1）如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和（或积分）。

2） 求解系统对各个正弦子信号的响应(这个内容在电路分析课程中已经有详细介绍)。

3） 将各子信号的响应相叠加，从而合成系统对激励信号的响应。

本章将要研究的就是如何对信号进行分解和合成。

§3-2 信号在正交函数集中的分解信号的分解，在某种意义上与矢量的分解有相似之处。

为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论矢量的分解。

一、矢量的分解1、矢量的定义：具有大小和方向的量叫做矢量。

2、矢量运算：加，矢量点乘（结果是标量），矢量叉乘。

3、矢量的分解：1） 矢量的单矢量基的分解：A 在1A 上的分量为A 在1A 上的投影：E +=11A A c其中，E 为误差矢量。

而A 在1A 上的垂直投影11c A 的模11A c ：11111A A Acos θA Acos θA AA ∙===1c ，从几何或者解析角度，都可以得到使误差E 最小的系数为：1112111A A A AA A A ∙∙=∙=c其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。

其它投影情况下误差E 不为最小，见上图。

如果0A 2πA c o s A A 211121=⎪⎭⎫⎝⎛=∙=A A 1c （或01=A A ），则表明A 和1A 相垂直（又称为正交）。

2） 矢量的多矢量基分解：将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合：11∑==+++=ni i i n n c c c c 12211...A A A A A✧ 显然，如果知道了标准矢量i A 和相应的系数i c ，就可以确定任意矢量。

✧ 如何确定最佳的系数i c ？如果矢量i A 两两正交，可以证明：ii i i c A A AA =4、标准矢量基的几个限制条件：1）归一化：标准矢量的模等于1——方便计算； 2）正交化：标准矢量两两正交；3）完备性：可以不失真地组合出任意矢量。

二、信号的分解用与矢量分解相类比的方法，我们也可以推导出信号分解。

1、单个标准信号下的分解：在时间区间),(21t t 内，用)(11t f c 近似任意函数)(t f ，并使误差尽可能小。

1） 如何衡量函数误差的大小？可以采用方均误差：⎰-=21)(1)(2122t t dt t t t t εε2） 最佳系数：⎰⎰=2121)()()()(1111t t t t dtt f t f dt t f t f c （也称为函数)(t f 和)(1t f 的相似系数。

3） 如果01=c （或0)()(211=⎰t t dt t f t f ），则称)(t f 和)(1t f 正交。

4） 如果)(t f 和)(1t f 是复函数，则其方均误差为：⎰⎰⋅-=-=2121)()(1)(1)(*122122t t t t dt t t t t dt t t t t εεεε最佳系数为：⎰⎰=2121)()()()(*11*11t t t t dtt f t f dt t f t f c2、多个标准信号下的分解：将信号表示为多个标准信号的线性组合：∑==+++=ni i i n n t f c t f c t f c t f c t f 12211)()(...)()()(这里的i c 同样难以确定。

但是如果标准函数)(t f i 之间两两正交，则可以证明：⎰⎰=2121)()()()(**t t i i t t i idtt f t f dt t f t f c例：标准信号集：泰勒级数,...,...,,,,132kx x x x ， 三角函数：,...sin ,cos ,...,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1kt kt t t t t3、对标准信号集的要求： 1）归一化：1)()(21*=⎰t t i i dt t f t f 2）正交化：0)()(21*=⎰t t j i dt t f t f ，j i ≠3）完备性：可以用其线性组合表示任意信号。

完备正交函数集一般都包含无穷多个函数，例如：三角函数集，沃尔什函数集等。

但在实际应用中不可能用无穷多个，只可能用有限个函数，只能近似表示任意函数。

附：矢量与函数的运算与分解比较：§3-3 信号表示为傅里叶级数傅里叶级数是最常用的一种正交函数集。

它在工程中有很广泛的用途。

一、三角函数形式的傅里叶级数这种正交函数集为：{},...sin ,cos ,...,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1t k t k t t t t ΩΩΩΩΩΩ其中：T t t ππ2212=-=Ω或将正交函数集表示为：{},...2,1,0)sin(),cos(=ΩΩn t n t n可以证明该函数集满足：1）正交性：函数集中的函数两两相正交。

011=ΩΩ⎰+dt )t m sin()t n cos(Tt tnm dt )t m sin()t n sin(dt )t m cos()t n cos(T t t Tt t ≠⎪⎭⎪⎬⎫=ΩΩ=ΩΩ⎰⎰++0011112）当0≠n 时：2111122Tdt )t n (sin dt )t n (cos Tt tTt t=Ω=Ω⎰⎰++T dt Tt t=⎰+111可以将任意函数f (t)在这个正交函数集中展开（表示成该正交函数集函数的线性组合）：()()()()()()()()()∑∞+=Ω+Ω+=+Ω++Ω+Ω+Ω++Ω+Ω+=102121022n n n n n t n sin b t n cos a a ...t n sin b ...t sin b t sin b ...t n cos a ...t cos a t cos a a )t (f其中的系数可以根据§3-2节的结果计算出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠Ω=ΩΩ=⎰⎰⎰⎰++++Tt t Tt t T t t T t t n n dt)t (f T n dt )t n cos()t (f T dt )t n (cos dt )t n cos()t (f a 1111111101022⎰⎰⎰+++Ω=ΩΩ=Tt t Tt tTt tn dt )t n sin()t (f T dt)t n (sin dt )t n sin()t (f b 11111122其中n a 的表达不太方便。

为了方便表达，将分解式改写：()()()∑+∞=Ω+Ω+=102n n n t n sin b t n cos a a )t (f则系数为：⎰+Ω=Tt t n dt )t n cos()t (f T a 112⎰+Ω=Tt t n dt )t n sin()t (f T b 112其中，n =0，1，2，……。

所以，信号可以表示成为直流信号和一系列正弦信号之和。

另外一种分解方式：令：22n n n b a A +=，nnn a b arctan -=ϕ，则上面的分解式可以表达成：()∑+∞=ϕ+Ω+=10cos 2)(n n n t n A a t f它可以看成是下列正交信号集：{},...2,1,0)cos(=Ωn t n的平移后的线性组合。

在上面的系数中，n a 和n A 是n 的偶函数；n b 和n ϕ是n 的奇函数；——如果f (t)是实数信号。

上面的分解等式的左右两边的函数是否相等，没有误差？或者，是否随着n 趋向于无穷大，等式右边的函数收敛于左边的函数？Direchlet(狄利克雷)证明，只要满足下面三个条件，等式就收敛：1）f (t)绝对可积，即：∞<⎰+Tt t dt )t (f 112）f (t)在区间内有有限个间断点； 3）f (t)在区间内有有限个极值点。

实际信号大都满足这个条件。

✧ 等式右边是多个周期为T 的函数的和，它仍然是周期为T 的函数。

✧ 这种分解可以用在两个场合：1）研究函数在)T t ,t (+11区间内的分解；2）研究周期为T 的函数在整个时间区间内的分解。

本课程中研究的是2）。

✧ 如果f (t) 周期为T 的函数,为了方便讨论，一般函数的主值区间取⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2T T ✧ 在函数的分解中：20a 称为信号的直流分量；()t cos a Ω1、()t sin b Ω1或)cos(11ϕ+Ωt A 称为信号的基波分量；()t n cos a n Ω、()t n sin a n Ω或)cos(n n t n A ϕ+Ω称为信号的n (n 2≥时)次谐波分量；✧ 实际情况下，n 无法计算到无穷大，只能取有限。

这时，这种正交展开是有误差的。

n 越大，误差越小。

例：方波的傅里叶级数。

（P97）⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=T t T T t t f 21201)( 按照定义公式，可以计算出：()()[]0 2 22020=Ω-Ω=Ω=⎰⎰⎰/T T /T T n dt t n cos dt t n cos Tdt )t n cos()t (f Ta )cos(1)cos(12 )sin()sin(2 )sin()(22/2/02/02/0⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΩΩ+ΩΩ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω-Ω=Ω=⎰⎰⎰T T T T T T T n t n n t n n T dt t n dt t n T dt t n t f T b ⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω-ΩΩ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ΩΩ-=偶为数当为奇数当n n n )T n cos()T n cos(n )T n cos(n T 04 211212 π()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Ω+Ω+Ω=∴......5sin 513sin 31sin 4)(t t t t fπ对于具有不连续点的函数，即使所取级数的项数无限增大，在不连续处，级数之和仍不收敛于于原函数。

在跃变点附近，出现振荡、超过原函数幅度的过冲。

随着n 趋向于无穷，在函数的间断点附近，其过冲值收敛于函数在这点上的跳变值的8.948987%---Gibbs （吉布斯）现象。