一元二次不等式知识点高一
高中 一元二次不等式及其解法 知识点+例题 全面
辅导讲义――一元二次不等式及其解法教学内容1．一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式. 2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1< x <x 2}∅ ∅[例1] 若不等式052>++c x ax 的解集是}2131{<<x x ，则a+c 的值为________.-7[巩固1] 已知不等式02<+-b x ax 的解集是}21{<<-x x ，则a ，b 的值为___________.a=1，b=-2[巩固2] 若关于x 的不等式0622<+-t x tx 的解集是),1(),(+∞-∞ a ，则a 的值为______.-3[例2] 若1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是____________.),2()2,(+∞--∞[巩固1] 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与直线25=y 有公共点，且不等式02>++c bx ax 的解是知识模块1三个“二次” 精典例题透析3121<<-x ，求a ，b ，c 的取值范围.[巩固2] 已知关于x 的不等式)(0222R a a ax x ∈≤++-的解集为M . （1）当M 为空集时，求实数a 的取值范围. （2）如果]4,1[⊆M ，求实数a 的取值范围.[例3] 关于x 的方程02=++c bx x 的两根分别为21-=x 和212-=x ，则关于x 的不等式02<+-c bx x 的解集是______________.)2,21([巩固1] 方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是____________.]4,5(--[巩固] 若关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好只有一个解，则实数.______=a 2±[例5] 若不等式02<--b ax x 的解集为}32{<<x x ，则.______=+b a 1-[巩固1] 若关于x 的不等式0322<+-a x x 的解集是)1,(m ，则实数.______=m 21[巩固2] 关于x 的不等式0)2)(1(>--x mx ，若此不等式的解集为}21{<<x mx，则m 的取值范围是__________. )0,(-∞[例6] 已知实数R a ∈，解关于x 的不等式.02)2(2<++-a x a x[巩固] 已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集是}1{b x x x ><或， （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式).(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-[例7] 若不等式02<--b ax x 的解集是)3,2(， （1）求a ，b 的值；（2）求不等式012>--ax bx 的解集.[巩固] 已知不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为43->x ，解不等式.0)2()1(2)2(2>-+--+-a x b a x b a题型一：一元二次不等式的解法 [例] 求下列不等式的解集：（1）－x 2＋8x －3>0； （2）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．[巩固]（1）若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．知识模块3经典题型11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是_______________.答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a=_______.答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为______________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．答案 21解析 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a >0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以。
高一数学一元二次不等式的解法知识点整理
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高一数学《一元二次不等式的解法》知识点整理
高一数学《一元二次不等式的解法》知识点整理
1.整式不等式的解法
根轴法(零点分段法)
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”;(为了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么?);
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
(自右向左正负相间)
则不等式的解可以根据各区间的符号确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+box>0(a>,高中语文;0)解的讨论.
2.分式不等式的解法
(1)标准化：移项通分化为 >0(或<0); ≥0(或≤0)的形式，
(2)转化为整式不等式(组)
3.含绝对值不等式的解法
(1)公式法： ,与型的不等式的解法.
(2)定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之。
高一必修5不等式知识点及
高一必修5不等式知识点及应用。
高一必修5不等式知识点及应用在高一数学课程中，不等式是一个重要的内容，也是学生们经常接触到的概念。
不等式是比较两个数的大小关系的数学语句。
在本文中，我们将介绍高一必修5中的一些重要的不等式知识点，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、一元二次不等式一元二次不等式是高一必修5中重要的不等式类型之一，也是解不等式的基础。
一元二次不等式是指类似于 ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx +c ≤ 0 的形式的不等式。
解一元二次不等式的关键是确定不等式的根号部分与零的关系，通过这个关系来确定不等式的解集。
一元二次不等式的应用非常广泛，尤其在实际问题中。
比如，我们可以利用一元二次不等式来描述一个物体的运动轨迹、确定一个方程的解集范围等等。
一元二次不等式的解集可以帮助我们更好地理解和分析实际问题，提高对问题的解决能力。
二、绝对值不等式绝对值不等式也是高一必修5中一个重要的不等式类型。
绝对值不等式是指类似于 |x - a| > b 或 |x - a| ≤ b 的形式的不等式，其中 a 和 b 是实数。
解绝对值不等式的关键是利用绝对值的定义和性质，将不等式转化为两个简单的不等式，并对每个不等式分别进行求解。
解绝对值不等式的过程可能会有一些繁琐，但是通过理解和掌握绝对值的性质和解绝对值不等式的方法，我们可以更加轻松地解决问题。
绝对值不等式在现实生活中也有广泛的应用。
比如，我们可以利用绝对值不等式来确定一个测量误差的范围、解决某些优化问题等等。
绝对值不等式的应用使我们能够更加准确地处理实际问题，提高解决问题的能力。
三、指数不等式指数不等式也是高一必修5中一个重要的不等式类型。
指数不等式是指形如 a^x > b 或a^x ≤ b 的不等式，其中 a 是正实数且不等于 1， b是正实数。
解指数不等式的关键是利用指数函数的性质和对数函数的性质，将不等式转化为对数形式，并利用对数的性质求解。
第2章一元二次函数方程和不等式知识点清单-高一上学期数学湘教版
新教材湘教版2019版数学必修第一册第2章知识点清单目录第2章一元二次函数、方程和不等式2. 1 相等关系与不等关系2. 1. 1 等式与不等式2. 1. 2 基本不等式2. 1. 3 基本不等式的应用2. 2 从函数观点看一元二次方程2. 3 一元二次不等式第2章 一元二次函数、方程和不等式 2. 1 相等关系与不等关系 2. 1. 1 等式与不等式一、不等式的性质及其推论 1. 不等式的性质性质1：如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b. 即a>b ⇔b<a. 性质2：如果a>b ，b>c ，那么a>c. 即a>b ，b>c ⇒a>c. 性质3：如果a>b ，那么a+c>b+c.性质4：如果a>b ，c>0，那么ac>bc. 如果a>b ，c<0，那么ac<bc. 性质5：如果a>b>0，那么√a n> √b n(n∈N +).性质6：如果a>b ，且ab>0，那么1a< 1b. 如果a>b ，且ab<0，那么1a >1b .2. 不等式性质的推论推论1：如果a+b>c ，那么a>c-b. 推论2：如果a>b ，c>d ，那么a+c>b+d. 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 推论4：如果a>b>0，那么a n >b n (n∈N +).（1）在应用不等式的性质及其推论时，一定要弄清它们成立的前提条件. （2）要注意各性质和推论是否具有可逆性. 二、比较实数(代数式)的大小 1. 作差比较法(1)依据：a-b>0⇔a>b ；a-b<0⇔a<b ；a-b=0⇔a=b.(2)应用范围：数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式. (3)步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论.(4)变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化.2. 作商比较法(1)依据：a>0，b>0且ab >1⇒a>b；a>0，b>0且ab<1⇒a<b.(2)应用范围：同号两数比较大小.(3)步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④下结论.三、利用不等式的性质求代数式的取值范围 1. 解决此类问题，一般先建立待求范围的整体与已知范围的关系，然后利用不等式的性质进行运算，求得待求式的范围.2. 同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.2. 1. 2 基本不等式 2. 1. 3 基本不等式的应用一、基本不等式一般地，对于正数a，b，我们把2称为a，b的算术平均数， √ab称为a，b的几何平均数.二、基本不等式与最值已知x，y都为正数，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2√p；(2)如果和x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值s 24. 上述结论可归纳为“和定积最大，积定和最小”.三、利用基本不等式求最值的注意事项 1. 利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”. (1)“一正”：各项必须都是正值.例如：代数式x+1x，当x<0时，绝不能认为x+1x≥2，即x+1x的最小值为2. 事实上，当x<0时，x+1x=-[(−x)+1−x]≤-2，当且仅当-x=1−x，即x=-1时，等号成立，此时x+1x取得最大值-2.(2)“二定”：各项之和或各项之积为定值.例如：已知0<x<52，求(5-2x)x 的最大值，需变形为(5-2x)·2x·12，这时2x+(5-2x)=5为定值，且2x>0，5-2x>0. 当2x=5-2x ，即x=54时，[(5-2x)x]max =258.(3)“三相等”：必须验证等号是否成立. 特别是在连续使用基本不等式求最值时，要求必须同时满足任何一步等号成立的字母取值存在且一致. 四、利用基本不等式求最值 1. 利用基本不等式求最值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值，并保证等号成立，常见的方法技巧如下：(1)拆(裂项拆项)：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件.(2)并(分组并项)：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值.(3)配(配式、配系数，凑出定值)：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配出的式子与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.(4)换(常值代换、变量代换)：对条件变形，以进行“1”的代换，从而构造利用基本不等式求最值的形式. 常用于“已知ax+by=m(a ，b ，x ，y 均为正数)，求1x +1y 的最小值”和“已知a x +by=m(a ，b ，x ，y 均为正数)，求x+y 的最小值”两种类型.2. 2 从函数观点看一元二次方程 2. 3 一元二次不等式一、二次函数的零点1. 一般地，我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点. 这样，一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c的零点，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.二、一元二次不等式及其解法1. 一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2. 解形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0)的一元二次不等式的一般步骤：(1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根；(2)画出对应二次函数y=ax2+bx+c的大致图象；(3)由图象得出不等式的解集.对于二次项系数是负数(即a<0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解.三、三个“二次”之间的关系二次函数、一元二次方程、一元二次不等式(即三个“二次”)之间的关系如下(其中a，b，c为常数，a>0)：四、一元二次不等式的应用1. 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 (1)理解题意，分清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，结合实际检验，得到实际问题的解. 五、含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式的基本方法——分类讨论1. 解含参数的一元二次不等式时，为了做到分类不重不漏，讨论一般需从如下几个方面考虑：(1)关于二次项系数符号的讨论：分a>0，a<0. (注意，在未说明不等式为一元二次不 等式的情况下，还要考虑a=0的情况)(2)关于不等式对应方程的根的个数的讨论：分两根(Δ>0)，一根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)关于不等式对应方程的根x 1，x 2的大小的讨论：分x 1>x 2，x 1=x 2，x 1<x 2. 六、简单的分式不等式的解法 1. 解分式不等式的思路：先转化为整式不等式，再求解.2. 化分式不等式为“标准形式”的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f(x)g(x)的形式(f(x)，g(x)为关于x 的整式). (1)形如f(x)g(x)>a(a ≠0)的分式不等式可同解变形为f(x)−ag(x)g(x)>0，进而转化为g(x)[f(x)-ag(x)]>0. (2)解f(x)g(x)≥0(≤0)型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.七、一元二次不等式恒成立问题 1. 不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=0，且c>0；当a≠0时，a>0，且Δ<0.2. 不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=0时，b=0，且c<0；当a≠0时，a<0，且Δ<0.3. 解决恒成立问题一定要分清谁是自变量，谁是参数. 一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数.4. 若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；若f(x)有最小值f(x)min，则a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min. (f(x)是关于x的函数)。
一元二次不等式知识点归纳
一元二次不等式知识点归纳
一、一元二次不等式解集求解
【解题提示】通常的解题步骤为：求解对应方程的根、结合图像开口方向判定不等式解集具体是在两根之间还是两根两侧。
尤其注意函数开口向下时解集的判定。
在实际求解时，一、注意含有参数的一元二次不等式，运用十字分解求解;二、注意在题目中隐藏的根判别式小于0;
二、一元二次不等式恒成立
【解题提示】1、若一元二次不等式ax^2+bx+c>0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向上且无解;
2、若一元二次不等式ax^2+bx+c<0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向下且无解;
通常出题会出“无解”的如下两种方式：此时转化为题目的反面恒成立求解即可。
1、一元二次不等式ax^2+bx+c>0无解(a不为0)，此时即
ax^2+bx+c<=0恒成立，即：开口向下且根判别式小于等于0;
2、一元二次不等式
ax^2+bx+c<00=""2=""a=""ax=""bx=""c="">=0恒成立，即：开口向上且根判别式小于等于0;
【注】若不等式中的二次项含有未知系数时，务必要对二次项系数为0与不为0，进行分类讨论。
三、不等式解集端点值为对应方程的根
【解析提示】不等式解集的端点值为对应方程的根，结合韦达定理求解。
求解时注意二次项前系数的正负号判别。
高一二次函数与一元二次方程不等式
高一二次函数与一元二次方程不等式摘要：一、二次函数与一元二次方程不等式的基本概念1.二次函数的定义及性质2.一元二次方程的基本概念3.不等式的基本概念二、高一阶段二次函数与一元二次方程不等式的学习内容1.二次函数的图像与性质2.一元二次方程的解法与判别式3.不等式的基本性质与解法4.二次函数与一元二次方程不等式的关系三、高一阶段二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中的应用1.利用二次函数解决实际问题2.利用一元二次方程不等式解决实际问题3.二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中的综合运用正文：在高一阶段，我们开始接触到二次函数与一元二次方程不等式这两个重要的数学概念。
它们不仅在初高中数学知识体系中占有重要地位，同时也广泛应用于实际生活问题中。
首先，我们需要了解二次函数与一元二次方程不等式的基本概念。
二次函数是指形如f(x) = ax + bx + c 的函数，其中a、b、c 为常数，x 为自变量。
二次函数的性质包括开口方向、对称轴、顶点等。
一元二次方程是指形如ax + bx + c = 0 的方程，其中a、b、c 为常数，x 为未知数。
不等式是指用不等号连接的数学表达式，表示大小关系。
在高一阶段，我们会学习到二次函数的图像与性质，如何通过二次函数的图像来判断其开口方向、对称轴、顶点等性质。
同时，我们也会学习一元二次方程的解法与判别式，了解如何通过判别式判断方程有没有实数解，以及如何求解一元二次方程。
此外，我们还会学习不等式的基本性质与解法，如何通过移项、合并同类项等操作简化不等式，以及如何求解包含一元二次方程的不等式。
二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中也有广泛应用。
例如，我们可以利用二次函数来描述抛物线运动，从而解决物理、化学等领域的相关问题。
同时，一元二次方程不等式也可以帮助我们解决实际问题，例如在经济学、社会学等领域中常常需要通过不等式来描述资源分配、收入差距等问题。
此外，二次函数与一元二次方程不等式还可以在实际问题中进行综合运用，例如在解决与增长率相关的问题时，我们可以将二次函数与一元二次方程不等式结合起来，更准确地描述问题的特点。
一元二次不等式高一知识点
一元二次不等式高一知识点一元二次不等式是高中数学中重要的知识点之一，它是由一元二次方程推导而来，是解决实际问题的有力工具。
本文将介绍一元二次不等式的定义、性质和解法，并附带例题进行讲解。
一、一元二次不等式的定义一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0（或<、≥、≤）的不等式，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，ax^2表示二次项，bx表示一次项，c是常数项。
在解一元二次不等式时，首先要判别一元二次不等式的开口方向，即判断不等式的二次项系数a的正负性。
当a>0时，二次不等式开口朝上；当a<0时，二次不等式开口朝下。
二、一元二次不等式的性质1. 不等式两边加（或减）同一个实数时，不等关系不变。
2. 不等式两边乘（或除）同一个正实数时，不等关系不变。
3. 不等式两边乘（或除）同一个负实数时，不等关系改变。
三、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的关键在于找到x的取值范围。
解的步骤如下：1. 将不等式中的所有项移到一边并合并同类项，化为一元二次不等式标准形式ax^2+bx+c>0（或<、≥、≤）。
2. 利用一元二次不等式的性质，将一元二次不等式转化为等价的形式，以便求解。
例如，可以将二次项提取因式，将不等式转化为两个一次不等式的交集或并集。
3. 解二次不等式的交集或并集，得到x的取值范围。
4. 根据开口方向判断不等式的解集情况。
当二次项系数a>0时，解集为x在某一区间内的所有实数；当二次项系数a<0时，解集为x不在某一区间内的所有实数。
四、例题解析例题1：解不等式x^2-4x+4≥0。
解：首先将不等式化为标准形式，得到x^2-4x+4≥0。
然后，将等式两边化简并提取因式，得到(x-2)^2≥0。
由于平方值不可能小于0，所以(x-2)^2≥0对任意实数x成立。
因此，解集为实数集R。
例题2：解不等式2x^2+3x-2>0。
解：首先将不等式化为标准形式，得到2x^2+3x-2>0。
高一数学一元二次不等式的解法
则
-12
,b
-2
.
.
4、若不等式x 2 ax (a 3) 0的解集是，则实数a的 取值范围是
-2≤a≤6
小结:
1.一元二次不等式的概念与标准形式
2.三个“二次”的关系 3.一元二次不等式的解法及其步骤
一.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系
b2 4ac(a 0)
0
0
0
y ax2 bx c
两个不等实根 ax 口诀：两根之 bx c 0 （设 x1 x2 ） 间 2
2
口诀：两根之 外 两个相等实根 没有实根
ax bx c 0 x x x1或x x2 ax bx c 0
练习2：
1、已知函数 当
-1＜x＜2
y x 2 bx c 的图象与x轴的交 时，y 0； 时，y 0.
x 2 mx n 0的 .
2
点横坐标为 1和2, 则当 x＞2或x＜-1
2、若方程 解集是
x 2 mx n 0 无实数根，则不等式
R
a
1， 3、已知不等式ax bx 2 0的解是 1 x 2 3
1 2
1 3
式x2-bx-a<0的解集是
A.(2,3) 1 1 C. ( , ) 3 2
（ A ）
B.(-∞,2)∪(3,+∞)
D.( , 1 ) ( 1 , ) 3 2 1 1 解析 由题意知 , 是方程ax2-bx-1=0的根,所 2 3 1 1 b 1 1 1 以由韦达定理得 ( ) , ( ) . 2 3 a 2 3 a 解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集 为(2,3).
一元二次不等式的经典高一数学考点
一元二次不等式的经典高一数学考点高一数学知识点整理概念含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0(a不等于0),其中ax^2+bx+c实数域上的二次三项式。
一元二次不等式的解法 1)当V("V"表示判别是，下同)=b^2-4ac>=0时，二次三项式，ax^2+bx+c有两个实根，那么ax^2+bx+c总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。
这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。
一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的并集。
还是举个例子吧。
2x^2-7x+6<0利用十字相乘法2 -31 -2得(2x-3)(x-2)<0然后，分两种情况讨论：一、2x-3<0，x-2>0得x<1.5且x>2。
不成立二、2x-3>0，x-2<0得x>1.5且x<2。
得最后不等式的解集为：1.5另外，你也可以用配方法解二次不等式：2x^2-7x+6=2(x^2-3.5x)+6=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)^2-0.125<02(x-1.75)^2<0.125(x-1.75)^2<0.0625两边开平方，得x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25x<2且x>1.5得不等式的解集为1.5我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的.在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如，在图6-1中，点A表示实数a，点B表示实数b，点A在点B右边，那么a>b.我们再看图6-1，a>b表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：如果a>b，那么a-b是正数;逆命题也正确.类似地，如果a这就是说：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.例1 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.解：(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0，∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).例2 已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.由x≠0，得x2>0，从而(x2+1)2>x4+x2+1.想一想：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?练习1.比较(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小.利用比较实数大小的'方法，可以推出下列不等式的性质.定理1 如果a>b，那么bb.证明：∵a>b，∴a-b>0.由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0，即b-a<0，∴b(定理1的后半部分请同学们自证.)定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向①.①在两个不等式中，如果每一个的左边都大于(或小于)右边，这两个不等式就是同向不等式，例如a2+2>a+1，3a2+5>2a是同向不等式;如果一个不等式的左边大于(或小于)右边，而另一个不等式的左边小于(或大于)右边，这两个不等式就是异向不等式，例如a2+3>2a，a2定理2 如果a>b，且b>c，那么a>c.证明：∵a>b，b>c，∴a-b>0，b-c>0.根据两个正数的和仍是正数，得(a-b)+(b-c)>0，即a-c>0，∴a>c.根据定理1，定理2还可以表示为：如果c定理3 如果a>b，那么a+c>b+c.证明：∵(a+c)-(b+c)=a-b>0，∴a+c>b+c.定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.想一想：如果a利用定理3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b.也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边.推论如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d.证明：∵a>b，∴a+c>b+c. ①∵c>d，∴b+c>b+d. ②由①、②得 a+c>b+d.很明显，这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加.这就是说，两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向.定理4 如果a>b，且c>0，那么ac>bc;如果a>b，且c<0，那么ac证明：ac-bc=(a-b)c.∵a>b，∴a-b>0.根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当c>0时，(a-b)c>0，即ac>bc;当c<0时，(a-b)c<0，即ac由定理4，又可以得到：推论1 如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bd.同学们可以仿照定理3的推论证明定理4的推论1.很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.由此，我们还可以得到：推论2 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，且n>1).我们用反证法来证明.这些都同已知条件a>b>0矛盾.利用以上不等式的性质及其推论，就可以证明一些不等式.例3 已知a>b，cb-d.证明：由a>b知a-b>0，由c0.∵(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0，∴a-c>b-d.证明：∵a>b>0，即又 c<0，解不等式1.解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式.(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.①解一元高次不等式;②解分式不等式;③解无理不等式;④解指数不等式;⑤解对数不等式;⑥解带绝对值的不等式;⑦解不等式组.2.解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质.(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.(3)注意代数式中未知数的取值范围.3.不等式的同解性(1)|f(x)|0)(2)|f(x)|>g(x)①与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)≥0)同解;②与g(x)<0同解.(3)当a>1时，af(x)>ag(x)与f(x)>g(x)同解，当0ag(x)与f(x)函数1、若集合A中有n 个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有非空真子集的个数是。
高一数学不等式知识点整理归纳
高一数学不等式知识点整理归纳一、不等式的基本性质1. 对称性：若 \(a > b\)，则 \(b a\)；若 \(a b\)，则\(b > a\)。
2. 传递性：若 \(a > b\) 且 \(b > c\)，则 \(a > c\)；若\(a b\) 且 \(b c\)，则 \(a c\)。
3. 加法性质：若 \(a > b\)，则 \(a + c > b + c\)。
4. 乘法性质：若 \(a > b\) 且 \(c > 0\)，则 \(ac > bc\)；若 \(a > b\) 且 \(c 0\)，则 \(ac bc\)。
二、一元一次不等式形如 \(ax + b > 0\) 或 \(ax + b 0\)（\(a \neq 0\)）的不等式。
解法步骤：1. 移项：将常数项移到不等式的另一边。
2. 化简：将 \(x\) 的系数化为 \(1\)，注意当系数为负数时，不等号方向改变。
三、一元二次不等式形如 \(ax^2 + bx + c > 0\) 或 \(ax^2 + bx + c 0\)（\(a \neq 0\)）的不等式。
解法：1. 求出方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的根（可用求根公式 \(x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}\) ）。
2. 根据二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的图像与 \(x\) 轴的交点，确定不等式的解集。
当 \(a > 0\) 时：若方程有两个不同实根 \(x_1\) ， \(x_2\) （\(x_1x_2\)），则不等式 \(ax^2 + bx + c > 0\) 的解集为 \(x x_1\)或 \(x > x_2\) ；不等式 \(ax^2 + bx + c 0\) 的解集为 \(x_1x x_2\) 。
一元二次不等式高中知识点
一元二次不等式是高中数学中的一个重要知识点，它与一元二次方程和二次函数密切相关。
以下是一元二次不等式的知识点概括：
一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式。
一般形式为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0（a≠0）。
一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解法与一元二次方程的解法密切相关，通过求解一元二次方程，可以得到一元二次不等式的解集。
一元二次不等式的应用：一元二次不等式可以应用于很多领域，例如物理学、工程学、经济学等。
一元二次不等式的图像：一元二次不等式的图像是一个抛物线，根据抛物线的开口方向和与x轴的交点，可以确定一元二次不等式的解集。
一元二次不等式的解集：一元二次不等式的解集通常是一个区间或几个区间的组合，根据一元二次不等式的图像和开口方向，可以确定解集的范围。
一元二次不等式的符号规则：一元二次不等式的符号规则与一元二次方程相同，即当判别式△>0时，不等式的解集为两个区间；当判别式△=0时，不等式的解集为一个区间；当判别式△<0时，不等式的解集为空集。
一元二次不等式的实际应用：一元二次不等式可以应用于很多实际问题中，例如求解函数的极值点、最值点，求解物理中的速度、加速度等问题。
以上是一元二次不等式的主要知识点概括，掌握这些知识点可以帮助学生更好地理解一元二次不等式的概念和应用。
高一解高次不等式知识点
高一解高次不等式知识点不等式是数学中重要的概念之一，而解高次不等式是高中数学中的一项重要内容。
在高一学年，同学们需要通过学习解高次不等式的方法和技巧，来掌握解不等式的基本思路和步骤。
本文将介绍高一解高次不等式的知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这部分内容。
一、解一元二次不等式一元二次不等式是指不等式中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2。
解一元二次不等式的方法和解一元二次方程类似，主要是运用因式分解、配方法等来求解。
对于形如ax²+bx+c>0（<0）的一元二次不等式，通常可以按照以下步骤进行求解：1. 将不等式化为ax²+bx+c=0的形式；2. 求出方程的解x₁和x₂，得到x轴的划分点；3. 根据二次函数图像的凹凸性质和系数a的正负情况，确定不等式的解集。
需要注意的是，解一元二次不等式时，要注意对解集进行验证，并且区间开闭的问题要根据具体不等式的表达式来确定。
二、解一元高次不等式一元高次不等式是指不等式中只有一个未知数，并且未知数的最高次数大于2。
解一元高次不等式的关键在于通过因式分解和区间判断来求解。
对于形如P(x)>0（<0）的一元高次不等式，其中P(x)为一元高次多项式，通常可以按照以下步骤进行求解：1. 将不等式化为P(x)=0的形式，并求出P(x)的零点，得到x轴的划分点；2. 针对每个划分区间，判断P(x)的符号，并根据符号的变化确定不等式的解集。
需要注意的是，解一元高次不等式时，要注意对解集进行验证，并且区间开闭的问题要根据具体不等式的表达式来确定。
三、解多元不等式多元不等式是指不等式中有两个或两个以上的未知数。
解多元不等式时，需要根据不同的不等式表达式和条件，灵活运用代数、图像和区间判断等方法。
对于多元不等式的解法，通常需要注意以下几个问题：1. 确定未知数的取值范围，考虑边界条件；2. 利用图像解析法或代数运算法，化简不等式；3. 对每个未知数进行区间判断，根据区间的交集确定不等式的解集。
高中数学一元二次不等式知识点总结
高中数学一元二次不等式知识点总结一元二次不等式知识点总结（人教版）一、一元二次不等式的基本形式。
1. 定义。
- 一元二次不等式的一般形式为ax^2+bx + c>0或ax^2+bx + c<0（a≠0），其中a、b、c是实数。
- 例如x^2-3x + 2>0，这里a = 1，b=-3，c = 2。
二、一元二次方程与一元二次不等式的关系。
1. 一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的根与一元二次不等式解集的联系。
- 当Δ=b^2-4ac>0时，一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)有两个不同的实根x_1,x_2(x_1。
- 对于不等式ax^2+bx + c>0(a>0)，其解集为{xx或x>x_2}；对于不等式ax^2+bx + c<0(a>0)，其解集为{xx_1。
- 当Δ=b^2-4ac = 0时，一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)。
- 对于不等式ax^2+bx + c>0(a>0)，其解集为{xx≠ x_0}；对于不等式ax^2+bx + c<0(a>0)，其解集为varnothing。
- 当Δ=b^2-4ac<0时，一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)没有实根。
- 对于不等式ax^2+bx + c>0(a>0)，其解集为R；对于不等式ax^2+bx +c<0(a>0)，其解集为varnothing。
三、一元二次不等式的解法。
1. 因式分解法（当二次三项式容易因式分解时）- 例如解不等式x^2-3x + 2>0。
- 先将二次三项式因式分解为(x - 1)(x - 2)>0。
- 则有x - 1>0 x - 2>0或x - 1<0 x - 2<0。
- 解x - 1>0 x - 2>0得x>2；解x - 1<0 x - 2<0得x<1。
高一数学下册讲义 一元二次不等式的性质及解法
一元二次不等式的性质及解法一、不等式基本性质1.不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇔a >c ；(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ，a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇔ac >bc ；a >b ，c <0⇔ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇔ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇔a n >b n (n ⇔N ，n ≥2)；(6)可开方：a >b >0⇔n a >n b (n ⇔N ，n ≥2);(7) a >b,ab>0⇔11a b < ；a >b >0,0<c<d⇔a b c d> . 【例1】判断下列命题的真假。
（1）若a >b ，那么ac >2bc 2。
（） （2）若ac >2bc 2，那么a >b 。
（） （3）若a >b ，c >d ，那么a -c >b -d 。
（） （4）若c d a b <，那么ad bc <。
（ ）（5）若b a R b a >∈,,，那么n n b a >。
（ ）（6）若1,,<<∈b a R b a ，那么b a ->-11。
（）【例4】给出下列命题：①a ＞b ①ac 2＞bc 2；①a ＞|b |①a 2＞b 2；①a ＞b ①a 3＞b 3；①|a |＞b ①a 2＞b 2.其中正确的命题是 ( )．A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①二、比较大小比较两式大小的方法常见的有两种：作差法、作商法作差法：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较；注2：如果式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．【例6】已知0＜a ＜1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M 、N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ＜NC ．M ＝ND ．不能确定三、一元二次不等式解法1.一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．【例1】解下列不等式(1)()()x x x 2531-<--； (2)()()21311+>+x x x ； (3)()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x .2．含参的一元二次不等式含参数的不等式应适当分类讨论。
人教版高一数学上学期高频考点专题05 二次函数与一元二次方程、不等式
高一数学上学期高频考点专题05 二次函数与一元二次方程、不等式专题05 二次函数与一元二次方程、不等式考点1：二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅题型1：解不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)－x2＋5x－6>0；(2)3x 2＋5x －2≥0； (3)x 2－4x ＋5>0.解 (1)不等式可化为x 2－5x ＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .变式 解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0； (2)－x 2＋6x －10>0.解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0，∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.题型2：三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围． 解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512. 所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .变式 已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤1.题型3：含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}． (2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a<x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >2.变式 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集； (2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集． 解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0⇔⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )≤0， ①当0<a <1时，a <1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ≤x ≤1a ； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ≤x ≤a .综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ≤x ≤1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a≤x ≤a .考点1：练习题1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎫x －1m <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m <x <m B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1m 或x <m C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >m 或x <1m D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m 答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}答案 C解析 由题意知－2＋3＝－b a ，－2×3＝ca ，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0， 又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0， ∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( )A ．5B ．－5C ．－25D ．10 答案 B解析 由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根， ∴－1＋3＝b 5，－3＝c5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2} C ．{m |m <－2或m >2} D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ， ∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B. 6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________． 答案 {2}解析 原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2. 7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________． 答案 {x |－4<x <1}解析 易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________． 答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． 解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝{x |－1<x <3}． 由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．。
高一数学两种不等式的解法知识精讲
高一数学两种不等式的解法【本讲主要内容】两种不等式的解法绝对值不等式、一元二次不等式的解法【知识掌握】 【知识点精析】1.的解集是；2.的解集是{}x x a x a＞，或＜-解绝对值不等式时要注意不要丢掉这部分解集。
或型的绝对值不等式，若把看成一个整体一个字母，就可以归结为或型绝对值不等式的解法。
3. 一元二次不等式的解法：一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a>0),△＝b 2－4ac,（1）△>0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)的两个根为：x 1,x 2，设x 1<x 2一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：{x ∣x<x 1或x>x 2}一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：{x ∣x 1<x<x 2}（2）△＝0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)的两个根为：x 1＝x 2一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：{x ∣x ≠x 1} 一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：。
（3）△<0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)无实根，一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：实数集R 一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：【解题方法指导】例1. 解不等式（）分析：此题关键在于绝对值符号里有字母系数，解题过程中要注意分类讨论． 解：原不等式可化为即当时，解集为x a x a --⎧⎨⎩⎫⎬⎭51＜＜ 当时，解集为x a x a --⎧⎨⎩⎫⎬⎭15＜＜ 评析：1. 遇到字母系数要合理进行讨论，尤其是字母系数为负时，利用不等式性质化简不等式时一定要改变不等号的方向。
2. 若遇的系数为负的含绝对值不等式，如，等，可利用绝对值的性质将其转化为系数为正的情况去解，如将上述两不等式变为，后再解，以减小错误的发生率。
例2. 解不等式x x ++-214＜点拨一 这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论。
高一学的不等式知识点总结
高一学的不等式知识点总结不等式在数学中占据着重要的地位，它是数学推理和证明中经常出现的一种形式。
作为高一学生，我们需要系统地了解和掌握不等式的相关知识点。
本文将对高一学的不等式知识点进行总结，帮助同学们巩固和深化对于不等式的理解。
一、不等式的基本概念不等式是用不等号（>, <, ≥, ≤）将两个数或者两个代数式连接起来的数学表达式。
它描述了两个数之间的大小关系。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个变量的一次方程。
如下所示：ax + b > 0 (a ≠ 0)解一元一次不等式时，我们可以通过图像法、逆运算法或者数轴法来进行求解。
其中，图像法是将不等式所对应的不等式图像绘制出来，通过观察图像得到解的范围；逆运算法是对不等式中包含的运算进行逆运算，从而得到解的范围；数轴法是将解的范围在数轴上表示出来，通过观察得到解的范围。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个变量的二次方程。
如下所示：ax^2 + bx + c > 0 (a ≠ 0)解一元二次不等式时，我们可以通过图像法、逆运算法或者配方法进行求解。
其中，图像法是将不等式对应的曲线绘制出来，通过观察曲线得到解的范围；逆运算法是对不等式中包含的运算进行逆运算，从而得到解的范围；配方法是将不等式转化为完全平方的形式，进而简化不等式的求解过程。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
如下所示：|f(x)| > g(x)解绝对值不等式时，我们需要根据绝对值的性质进行分类讨论。
具体而言，对于不等式中引入绝对值的部分，分别考虑绝对值大于零、绝对值等于零和绝对值小于零的情况，并针对每种情况进行解析。
五、不等式的性质和运算规则1. 不等式加减运算规则：对不等式的两边同时加上或减去一个相同的数，不改变不等式的性质。
2. 不等式乘法运算规则：如果不等式中的一个数大于零，那么两边同时乘以这个数，不等式的方向保持不变；如果不等式中的一个数小于零，那么两边同时乘以这个数，不等式的方向发生改变。
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一元二次不等式知识点高一
在高一数学学习中，我们接触到了一元二次不等式，它是一种重要
的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。
本文将从三个方面
来介绍一元二次不等式的知识点。
一、一元二次不等式的基本性质
一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、
b、c为实数，且a ≠ 0。
我们先来了解一下一元二次不等式的基本性质。
1. 一元二次不等式存在两种形式，即大于号（>）和小于号（<），
分别对应着解集是开区间和闭区间。
2. 一元二次不等式的解集可用数轴上的点表示。
通过求解一元二次
不等式的根，就可以确定解集在数轴上的位置。
如果根为实数r1和r2，并且a > 0，那么解集为(r1, r2)；如果根为实数r1和r2，并且a < 0，那
么解集为(-∞, r1)∪(r2, +∞)。
3. 一元二次不等式的解集与系数a的正负有关。
当a > 0时，解集
向上开口；当a < 0时，解集向下开口。
这一性质也可以通过函数图像
的凹凸性来理解。
二、解一元二次不等式的方法
在解一元二次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。
下面将分
别介绍这两种方法。
1. 图像法：根据一元二次不等式与二次函数的关系，我们可以通过
绘制二次函数的图像，并观察函数与x轴的交点来确定解集。
2. 代数法：通过变形、移项和配方法等代数运算来求解一元二次不
等式。
具体步骤为：将一元二次不等式变形为一个完全平方相等式；
求解该相等式得到根，并画出根的数轴；根据系数a的正负以及根的
位置来确定解集。
三、一元二次不等式的应用
一元二次不等式在实际问题中有着广泛的应用，特别是在优化问题
和约束问题中。
1. 优化问题：一元二次不等式可以用来表示某个自变量的取值范围，使得目标函数取得最大（或最小）值。
例如，在某个产品的生产过程中，通过一元二次不等式确定生产数量的上下限，从而达到最大利润
或最小成本。
2. 约束问题：一元二次不等式可以用来表示某个变量的约束范围。
例如，在某个建筑设计中，通过一元二次不等式限制房间的面积、高
度或价格，使其符合实际需求。
总结
本文从一元二次不等式的基本性质、解一元二次不等式的方法以及
一元二次不等式的应用三个方面对其进行了介绍。
一元二次不等式是
高一数学学习中的重点内容，掌握了这些知识点后，我们就能更好地
应用数学来解决实际问题。
希望通过本文的介绍，对一元二次不等式有更加深入的理解。