课时作业8：高考专题突破六 高考中的概率与统计问题

高考专题突破六 高考中的概率与统计问题

1.(2020·湖北省七市联考)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.

(1)求进入决赛的人数；

(2)若从该校学生(人数很多)中随机抽取2人，记X 表示2人中进入决赛的人数，求X 的分布列及均值；

(3)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率.

解 (1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴总人数为70.14

＝50.

由题图易知第4,5,6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.

(2)由题意可知X 的可能取值为0,1,2，

∵进入决赛的概率为3650＝18

25

，∴X ～B ⎝⎛⎭⎫2，1825， P (X ＝0)＝C 02×⎝⎛⎭⎫7252＝49625

， P (X ＝1)＝C 12×

725×1825＝252

625

， P (X ＝2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫18252＝324625

， ∴X 的分布列为

X

1

2

P

49625 252625 324625

∴E (X )＝2×1825＝36

25

.

(3)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足的区域为⎩

⎪⎨⎪

⎧

8≤x ≤10，9.5≤y ≤10.5，事件

A “甲比乙跳得远的概率”满足的区域为x >y ，如图所示，

∴由几何概型得P (A )＝12×12×

1

21×2＝1

16.

即甲比乙跳得远的概率为1

16

.

2.为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：

优秀 非优秀 总计 男生 15 35 50 女生 30 40 70 总计

45

75

120

(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关？

(2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列和均值． 附：K 2＝

n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

.

P (K 2≥k 0)

0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 0

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

解 (1)因为k ＝120×(15×40－35×30)2

50×70×45×75≈2.057，

且2.057<2.706.

所以没有90%的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关．

(2)用分层抽样的方法抽取时抽取比例是645＝2

15，

则抽取女生30×215＝4(人)，抽取男生15×2

15＝2(人)．

由题意，得X 可能的取值为0,1,2.

P (X ＝0)＝C 24C 26＝615＝25，P (X ＝1)＝C 14C 1

2

C 26＝815

，

P (X ＝2)＝C 22

C 26＝115.

故X 的分布列为

X 的均值E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝2

3

.

3.(2019·石家庄模拟)东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的).根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如表：

(视样本频率为概率)

(1)根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与均值；

(2)以两天内该产品所获得的利润均值为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？

解 (1)ξ的可能取值有30,31,32,33,34,35,36， 其中P (ξ＝30)＝0.2×0.2＝0.04， P (ξ＝31)＝2×0.2×0.3＝0.12，

P (ξ＝32)＝0.3×0.3＋2×0.2×0.4＝0.25， P (ξ＝33)＝2×0.2×0.1＋2×0.3×0.4＝0.28， P (ξ＝34)＝0.4×0.4＋2×0.3×0.1＝0.22， P (ξ＝35)＝2×0.4×0.1＝0.08， P (ξ＝36)＝0.1×0.1＝0.01， ∴ξ的分布列为

ξ 30 31 32 33 34 35 36 P

0.04

0.12

0.25

0.28

0.22

0.08

0.01

∴E (ξ)＝30×0.04＋31×0.12＋32×0.25＋33×0.28＋34×0.22＋35×0.08＋36×0.01＝32.8. (2)当一次性购进32份食品时，设每两天的利润为X ，则X 的可能取值有104,116,128， 且P (X ＝104)＝0.04，P (X ＝116)＝0.12，P (X ＝128)＝1－0.04－0.12＝0.84， ∴E (X )＝104×0.04＋116×0.12＋128×0.84＝125.6.

当一次性购进33份食品时，设每两天的利润为Y ，则Y 的可能取值有96,108,120,132. 且P (Y ＝96)＝0.04，P (Y ＝108)＝0.12，P (Y ＝120)＝0.25，P (Y ＝132)＝1－0.04－0.12－0.25＝0.59，

∴E (Y )＝96×0.04＋108×0.12＋120×0.25＋132×0.59＝124.68. ∵E (X )>E (Y )，

∴东方商店一次性购进32份食品时得到的利润更大.

4.某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：

消费次数 第1次 第2次 第3次 不少于4次

收费比例

1

0.95

0.90

0.85

该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员统计他们的消费次数，得到数据如下：

消费次数 1次 2次 3次 不少于4次

频数

60

25

10

5

假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元．根据所给数据，回答下列问题： (1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；

(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；

(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X ，求X 的分布列和均值E (X )． 解 (1)25＋10＋5＝40，

即随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有40位， 所以估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率P ＝40100＝2

5

.

(2)第1次消费时，80－30＝50(元)，所以游泳馆获得的利润为50元，