2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第12讲 函数模型及其应用

第9讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型一次函数模型二次函数模型指数函数模型对数函数模型幂函数模型2.三种函数模型性质比较函数解析式f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)f(x)＝ax2＋b x＋c(a，b，c为常数，a≠0)f(x)＝b a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)f(x)＝b logax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)在(0，＋∞)上的单调性增长速度y＝a x(a>1)增函数越来越快y＝logax(a>1)增函数越来越慢y＝x n(n>0)增函数相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y随x值增大，图象与x轴接近平行轴接近平行随n值变化而不同导师提醒1．掌握求解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：2．关注解决函数应用问题应注意的3个易误点(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．(2)解应用题建模后一定要注意定义域．(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比直线增长更快．()(2)不存在x，使ax<x n<logax.()(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．()(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()xy4155176197218239251027A.一次函数模型C．指数函数模型B．幂函数模型D．对数函数模型解析：选A.根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发C．甲、乙两人的速度相同B．乙比甲跑的路程多D．甲比乙先到达终点答案：D(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为解析：依题意得⎨，即⎨2解得a＝2，b＝－2.所以y＝2log x－2，当y＝8时，即2log x－2＝8，解得x＝1024(万元)．解析：设矩形的长为x m，宽为m，则S＝x·＝(－x2＋200x)．⎪⎩＝2500(m2)．8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x ＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．⎧alog8＋b＝1⎧3a＋b＝1，4⎩alog464＋b＝4⎪3a＋b＝4.44答案：1024有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形场地的最大面积为________m2.(围墙厚度不计)200－x4200－x144当x＝100时，S答案：2500max用函数图象刻画变化过程(自主练透)1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()解析：选B.v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：选D.对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km，则A错；对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错；对于C选项：甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率为10km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(升)，则C错；对于选项D：速度在80km/h以下时，丙车比乙车燃油率更高，所以更省油，故D对．3．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析：选B.由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选B.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．Q2，则总利润L(Q)的最大值是＝⎛40Q－Q2⎫－10Q－2000＝－1(Q－300)2＋2500，20⎭a，所以b＝＝1a，解得t＝24，应用所给函数模型解决实际问题(师生共研)(1)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120________万元．(2)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．【解析】(1)由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－20001⎝20所以当Q＝300时，L(Q)max＝2500(万元)．(2)依题意有a·e－b×8＝1ln2，28所以y＝a·e－ln28t.若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则有a·e－ln28t8所以再经过的时间为24－8＝16(min)．【答案】(1)2500(2)16求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()⎧⎪0.7＝a×3＋b×3＋c，故p＝－0.2t＋1.5t－2，其对称轴方程为t＝＝15＝3.75.2×（－0.2）4⎩解得A＝5，B＝1，C＝4，所以f(x)＝⎨所以f(20)＝4＋1(20－5)＝11.5.1（x－5），x＞5，⎪⎩4＋2A．3.50分钟C．4.00分钟B．3.75分钟D．4.25分钟解析：选B.由题中图象可知点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)在函数图象上，2因此有⎨0.8＝a×42＋b×4＋c，⎪⎩0.5＝a×52＋b×5＋c，⎧⎪a＝－0.2，解得⎨b＝1.5，⎪⎩c＝－2.2－1.5所以当t＝3.75时，p取得最大值．⎧⎪C，0＜x≤A，2．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)＝⎨已⎪C＋B（x－A），x＞A.知某家庭2016年前三个月的煤气费如表：月份一月份二月份三月份用气量4m325m335m3煤气费4元14元19元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元C．10.5元B．11元D．10元解析：选A.根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，⎧⎪4，0＜x≤5，22构建函数模型解决实际问题(多维探究)角度一构建二次函数模型R 元)，若年销售量为(30－ R)万件，要使附加税不少于 128 万元，则 R 的取值范围是()需⎛30－ R ⎫×160×R%≥128，b 每年投入的研发资金组成一个等比数列{a }，其中，首项 a ＝130，公比 q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由 130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得 n －1> lg 2－lg 1.3某城市对一种售价为每件 160 元的商品征收附加税，税率为 R%(即每销售 100 元征税52A ．[4，8]C ．[4%，8%]B ．[6，10]D ．[6%，10%]【解析】 根据题意，要使附加税不少于 128 万元，5 ⎝ 2 ⎭整理得 R 2－12R ＋32≤0，解得 4≤R ≤8，即 R ∈[4，8]．【答案】 A角度二 构建指数函数、对数函数模型(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司 2016 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是()(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018 年C ．2020 年B ．2019 年D ．2021 年(2)某食品的保鲜时间 y(单位：小时 )与储藏温度 x(单位：℃ )满足函数关系 y ＝e kx ＋(e＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃的保鲜时间是()A ．16 小时C ．24 小时B ．20 小时D ．28 小时【解析】 (1)根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从 2016 年起，n 1lg 2－lg 1.3，又 ≈lg 1.12 lg 1.120.30－0.11＝3.8，则 n >4.8，即 a 开始超过 200，所以 2020 年投入的研发资金开始超过 200 万元，0.055故选 C.(2)由已知得 192＝e b ，①48＝e 22k ＋b ＝e 22k e b ，②将①代入②得 e 22k ＝1，则 e 11k ＝1，4 2当 x ＝33 时，y ＝e 33k ＋b ＝e e ＝⎛33k ⎝2⎭×192＝24，所以该食品在 33 ℃的保鲜时间是 24 小1300300从而有 y ＝ (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝ ＋3x ＋357≥417，当且仅当 ＝3x ，即 x ＝10 角度三构建函数 y ＝ax ＋ (a ＞0，b ＞0)模型1⎫3时．故选 C.【答案】 (1)C (2)Cbx某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料 200 千克，每千克饲料的价格为1.8 元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天 0.03 元，购买饲料每次支付运费 300 元．求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【解】 设该场 x(x ∈N *)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为 y 元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 200×0.03＝6(元)，所以 x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x)(元)．xx x时，y 有最小值．故该场 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．角度四 构建分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每超过 1 元，租不出的自行车就增加 3 辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分 )．(1)求函数 y ＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】 (1)当 x ≤6 时，y ＝50x －115，令 50x －115＞0，解得 x ＞2.3，因为 x 为整数，所以 3≤x ≤6，x ∈Z.当 x ＞6 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有 3x 2－68x ＋115＜0，结合 x 为整数得 6＜x ≤20，x ∈Z.⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ），所以 y ＝f(x)＝⎨⎩－3x 2＋68x －115（6＜x ≤20，x ∈Z ）.(2)对于 y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z)，＝－3⎛x－⎝3⎭＋3(6＜x≤20，x∈Z)，流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)＝⎝600x2＋x＋150⎭万元．⎩解：(1)由总成本p(x)＝⎝600x2＋x＋150⎭万元，可得每台机器人的平均成本＝1x＋150＋1≥2x⎧⎪8m（60－m），1≤m≤30，q(m)＝⎨当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为144000件．若传统人工分拣144000件．则需要人数为144000＝120(人)．所以日平均分拣量达显然当x＝6时，ymax＝185；对于y＝－3x2＋68x－11534⎫2811当x＝11时，ymax＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物⎛1⎫(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝⎧⎪8m（60－m），1≤m≤30，⎨15⎪480，m＞30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？⎛1⎫y＝p（x）x＝1600x2＋x＋150x600x1150＋1＝2.当且仅当1x＝150，即x＝300时，上式等600x600x号成立．所以若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量15⎪⎩480，m＞30，160m(60－m)＝－160m2＋9600m，所以当m＝30时，日平均分拣量有最大值144000件．当m＞30时，日平均分拣量为480×300＝144000(件)．所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为1200最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少 ×100%＝75%.⎧1＝3k ＋b ，⎧k ＝1，得⎨解得⎨所以 y ＝1x －1.⎩b ＝－12，⎩2＝5k ＋b ，⎧1＝ab 3， ⎧a ＝ 2，x －3 得⎨ 解得⎨ 所以 y ＝ 2( 2)x ＝2 2 .⎩2＝ab 5， ⎪⎩b ＝ 2，将(3，1)，(5，2)代入 y ＝log (x ＋b )(a ＞0，且 a ≠1)，⎧1＝log （3＋b ）， ⎧a ＝2，得⎨ 解得⎨ 所以 y ＝log (x －1)．⎩2＝log a （5＋b ）， ⎩b ＝－1， 当 x ＝9 时，y ＝log 8＝3；当 x ＝17 时，y ＝log 16＝4.故可用③来描述 x ，y 之间的关系． 2120－30120函数建模在实际问题中的应用某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润 y(百万元)与年投资成本 x(百万元)变化的一组数 据：年份投资成本 x年利润 y200831 200952 201093 2011174………给出以下 3 个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x (a ≠0，b ＞0，且 b ≠1)；③y ＝log a (x ＋ b )(a ＞0，且 a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述 x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过 6 百万元时，该企业是否要考虑转型．【解】 (1)将(3，1)，(5，2)代入 y ＝kx ＋b (k ≠0)，22当 x ＝9 时，y ＝4，不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入 y ＝ab x (a ≠0，b ＞0，且 b ≠1)，4 4当 x ＝9 时，y ＝29－3＝8，不符合题意；a a22 2(2)令 log 2(x －1)>6，则 x>65.（文字语言）（数学语言）（数学应用）――→――→――→反馈因为年利润6＜10%，所以该企业要考虑转型．65解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．建模（检验作答）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·q x；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.(2)①对于f(x)＝x(x－q)2＋p，由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，又q＞1，所以q＝3，所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，所以f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＜0，得1＜x＜3.所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．[基础题组练]B．y＝(x2－1)1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()xy1.9921.51734.041847.55.15126.12618.01A.y＝2x－2C．y＝log2x12D．y＝log x12解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是()A．118元C．106元B．105元D．108元解析：选D.设进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108.故选D.3．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A．点MC．点PB．点ND．点Q解析：选D.A.假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B.假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C.假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D.经判断点Q符合函数图象，故本选项正确，故选D.4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()解析：选 B.设这种放射性元素的半衰期是 x 年，则(1－10%)x ＝ ，化简得 0.9x ＝ ，即 x ＝ lg －lg 2 －0.301 0 1＝ ＝ ＝ ≈6.6(年)．故选 B.2lg 3－1 2×0.477 1－1解析：选 A.由三角形相似得24－y ＝ x .得 x ＝5(24－y)，所以 S ＝xy ＝－5(y －12)2＋180， 24－8 20A ．5.2C ．7.1B ．6.6D ．8.31 12 2log 0.91 2 2 lg 0.95.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源 节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片 (如图中阴影部分 )备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x ，y 应为()A ．x ＝15，y ＝12C ．x ＝14，y ＝10B ．x ＝12，y ＝15D ．x ＝10，y ＝144 4所以当 y ＝12 时，S 有最大值，此时 x ＝15.检验符合题意．⎧ c ，x ＜A ，6．根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 (单位：分钟)为 f(x)＝ ⎨x⎩ cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 c 和A 的值分别是()A ．75，25C ．60，25 B ．75，16D ．60，16解析：选 D.由函数解析式可以看出，组装第 A 件产品所需时间为 c＝15，故组装第 4 件产A品所需时间为 c ＝30，解得 c ＝60，将 c ＝60 代入 c＝15，得 A ＝16.4 A7．拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位：元)由 f(m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中 m ＞0，[m ]是不超过 m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为________元．解析：因为 m ＝6.5，所以[m ]＝6，则 f(m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.248．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间2016 年 5 月 1 日加油量(升)12 加油时的累计里程(千米)35 000＝4，2016 年 5 月 15 日48 35 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了 48 升油，说明这段时间总耗油量为 48 升，而行驶的路程为 35 600－35 000＝600(千米)，故每 100 千米平均耗油量为 48÷6＝8(升)．答案：89．(2019· 河北唐山模拟)某人计划购买一辆 A 型轿车，售价为 14.4 万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需 2.4 万元，同时汽车年折旧率约为 10%(即这辆车每年减少它的价值的 10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到 14.4 万元．解析：设使用 x 年后花费在该车上的费用达到 14.4 万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x＝14.4，化简得 x －6×0.9x ＝0.令 f(x)＝x －6×0.9x ，易得 f(x)为单调递增函数，又 f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数 f(x)在(3，4)上有一个零点．故大约使用 4 年后，用在该车上的费用达到 14.4 万元．答案：410．如图，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE ＝4 米，CD ＝6 米．为了合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM ，使点 P 在边 DE 上．(1)设 MP ＝x 米，PN ＝y 米，将 y 表示成 x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形 BNPM 面积的最大值．解：(1)如图，作 PQ ⊥AF 于 Q ，所以 PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，△在EDF 中，EQ ＝EF，所以 PQ FD x －4 8－y 2所以 y ＝－1x ＋10，定义域为{x|4≤x ≤8}．则 S(x)＝xy ＝x ⎛10－ ⎫＝－1(x －10)2＋50，⎧a ＝－8，由已知得⎨解得⎨⎩4a ＋b ＝2，⎩b ＝5，所以 v ＝－1x ＋5，故函数 v ＝⎨ ⎪⎩－8x ＋2，4<x ≤20.(2)设年生长量为 f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得 f(x)＝⎨ ⎪⎩－8x 2＋2x，4<x ≤20，2⎭ 当 4<x ≤20 时，f(x)＝－1x 2＋5x ＝－1(x 2－20x)＝－1(x －10)2＋25，f(x)2(2)设矩形 BNPM 的面积为 S ，x⎝ 2所以 S(x)是关于 x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线 x ＝10，所以当 x ∈[4，8]时，S(x)单调递增，所以当 x ＝8 时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，最大值为 48 平方米．11．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v (单位：千克/年)是养殖密度 x(单位：尾/立方米)的函数．当 x 不超过 4 尾/立方米时，v 的值为 2 千克/年；当 4<x ≤20 时，v 是 x 的一 次函数，当 x 达到 20 尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为 0 千克/年．(1)当 0<x ≤20 时，求函数 v 关于 x 的函数解析式．(2)当养殖密度 x 为多大时，鱼的年生长量 (单位：千克 /立方米)可以达到最大？并求出最大值．解析：(1)由题意得当 0<x ≤4 时，v ＝2；当 4<x ≤20 时，设 v ＝ax ＋b ，显然 v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数，1⎧20a ＋b ＝0，28 2⎧⎪2，0<x ≤4，1 5⎧⎪2x ，0<x ≤4，1 5当 0<x ≤4 时，f(x)为增函数，故 f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； 8 2 8 8 2 max ＝f(10)＝12.5.所以当 0<x ≤20 时，f(x)的最大值为 12.5.即当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米．C ．y ＝ 1(x －50)3＋625计销售量 y(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 y ＝1＋ 3x(x ≥0)．已知生产此产品的年固解析： 选 B. 由题意，产品的生产成本为 (30y ＋ 4) 万元，销售单价为 × 150% ＋ ×⎪ y ＝45y ＋6＋1x.所以年利润 W ＝z －(30y ＋4) ⎛30y ＋4 x⎫ ×150%＋ ×50%⎭ 50%，故年销售收入为 z ＝ y－x ＝15y ＋2－x ＝17＋ 45x －x(万元)．所以当广告费为 1 万元时，即 x ＝1，该企业甲产品的年利x ＋2 2[综合题组练]1．(2019· 河南洛阳模拟 )某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数 x(正常情况下 0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在 50 分左右，若有突出贡献可以高于 100 分)计算当月绩效工资 y(元)．要求绩效工资不低于 500 元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在 600 元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是()A ．y ＝(x －50)2＋500B ．y ＝10 x 25＋5001 000D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析： 选 C.由题意知，拟定的函数应满足： ①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在 x ＝50 左右增长速度较慢，最小值为 500.A 中，函数 y ＝(x －50)2＋500 先减后增，不符x合要求；B 中，函数 y ＝1025＋500 是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求； D 中，函数 y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而 C 中，函数 y ＝11 000(x －50)3＋625 是由函数 y ＝x 3 经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选 C.2．(2019· 河北邯郸联考 )某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预x ＋2定投入为 4 万元，每生产 1 万件此产品仍需再投入 30 万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的 150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的 50%”之和，则当广告费为 1 万元时，该企业甲产品的年利润为()A ．30.5 万元C ．32.5 万元B ．31.5 万元D ．33.5 万元30y ＋4 xy y⎝ y 22润为 17＋ 45 －1＝31.5(万元)．故选 B.1＋2 23．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P 、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位：万元 )满足 P ＝80＋42a，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万所以f(50)＝80＋42×50＋1×150＋120＝277.5(万元)．⎧x≥20，(2)f(x)＝80＋42x＋(200－x)＋120＝－x＋42x＋250，依题意得⎨20≤x≤200－x≥20⎩故f(x)＝－1x＋42x＋250(20≤x≤180)．令t＝x，则t∈[25，65]，y＝－1t2＋42t＋250＝－1(t－82)2＋282，当t＝82，即x(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y＝x＋1；(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y＝1x＋1，14元)．(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，41144180，444＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．4．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；120(ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．解：(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，则该函数模型满足的条件是：①当x∈[10，100]时，f(x)是增函数；②当x∈[10，100]时，f(x)≤5恒成立；③当x∈[10，100]时，f(x)≤x恒成立．520它在[10，100]上是增函数，满足条件①；1log 2e 1设 h (x)＝log x －2－ x ，则 h ′(x)＝－ ， 又 x ∈[10，100]，所以 1 1 1≤ ≤，所以 h ′(x)≤log 2e 1 2 1－ <－ ＝0，x所以 h(x)在[10，100]上是递减的，因此 h(x)≤h (10)＝log 10－4<0，即 f(x)≤ 恒成立，满足条 综上所述，函数模型(ⅱ)y ＝log x －2 符合公司要求．但当 x ＝80 时，y ＝5，因此，当 x>80 时，y >5，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求．(b)对于函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，x ＝100 时，y max ＝log 2100－2＝2log 25<5，即 f(x)≤5 恒成立．满足条件②，2 5 x 5100 x 1010 5 10 525件③，故该函数模型符合公司要求．2。