2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第12讲 函数模型及其应用

第9讲函数模型及其应用

1．几种常见的函数模型

函数模型

一次函数模型

二次函数模型

指数函数模型

对数函数模型

幂函数模型

2.三种函数模型性质比较

函数解析式

f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

f(x)＝ax2＋b x＋c(a，b，c为常数，a≠0)

f(x)＝b a x＋c(a，b，c为常数，

a>0且a≠1，b≠0)

f(x)＝b log

a

x＋c

(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)

f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)

在(0，＋∞)

上的单调性

增长速度

y＝a x(a>1)

增函数

越来越快

y＝log

a

x(a>1)

增函数

越来越慢

y＝x n(n>0)

增函数

相对平稳图象的变化

随x值增大，图象与y随x值增大，图象与x

轴接近平行轴接近平行

随n值变化而不同

导师提醒

1．掌握求解函数应用题的步骤(四步八字)

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．

(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．

以上过程用框图表示如下：

2．关注解决函数应用问题应注意的3个易误点

(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．

(2)解应用题建模后一定要注意定义域．

(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)幂函数增长比直线增长更快．()

(2)不存在x

，使ax

a

x

.()

(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．()

(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()

答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()

x

y

4

15

5

17

6

19

7

21

8

23

9

25

10

27

A.一次函数模型

C．指数函数模型

B．幂函数模型

D．对数函数模型解析：选A.根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．

甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()

A．甲比乙先出发

C．甲、乙两人的速度相同

B．乙比甲跑的路程多

D．甲比乙先到达终点答案：D

(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为

解析：依题意得⎨，即⎨2

解得a＝2，b＝－2.所以y＝2log x－2，当y＝8时，即2log x－2＝8，解得x＝1024(万元)．

解析：设矩形的长为x m，宽为m，

则S＝x·＝(－x2＋200x)．

⎪

⎩

＝2500(m2)．

8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog

4

x ＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．

⎧alog8＋b＝1⎧3a＋b＝1，

4

⎩alog

4

64＋b＝4⎪3a＋b＝4.

44

答案：1024

有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形场地的最大面积为________m2.(围墙厚度不计)

200－x

4

200－x1

44

当x＝100时，S

答案：2500

max

用函数图象刻画变化过程(自主练透)

1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，

满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象

是()

解析：选B.v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.

2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

解析：选D.对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km，则A错；对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错；对于C选项：甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率为10km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(升)，则C错；对于选项D：速度在80km/h以下时，丙车比乙车燃油率更高，所以更省油，故D对．3．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()

解析：选B.由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选B.

判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．