高考数学(理科)- 数形结合思想-专题练习(含答案与解析)
2018届高考数学(理)解题方法指导：数形结合,直观快捷(含答案)
数形结合 直观快捷一，数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用 构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围．【例1】 若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎫14，＋∞【解析】当x ＝0时，显然是方程的一个实数解； 当x ≠0时，方程|x |x ＋4＝kx 2可化为1k ＝(x ＋4)|x |(x ≠－4)，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k ，原题可以转化为两函数有三个非零交点．则f (x )＝(x ＋4)|x |＝()()224040x x x x x x ⎧+>⎪⎨--<⎪⎩的大致图象如图所示， 由图，易得0<1k <4，解得k >14.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 【类题通法】用图象法讨论方程(特别是含参数的指数，对数，根式，三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．【对点训练】1．函数f (x )＝3－x ＋x 2－4的零点个数是________．【答案】2【解析】令f (x )＝0，则x 2－4＝－⎝⎛⎭⎫13x ，分别作出函数g (x )＝x 2－4，h (x )＝－⎝⎛⎭⎫13x 的图象，由图可知，显然h (x )与g (x )的图象有2个交点，故函数f (x )的零点个数为2.2．(2017·成都一诊)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解之和为________． 【答案】－7【解析】因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象如图所示．由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个． 不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜x 6＜x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 二，数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系，求参数的取值范围或解不等式． 【例2】 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)【答案】A【解析】设y ＝g (x )＝f (x )x(x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0. ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1， 当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1， ∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． 【类题通法】(1)本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f (－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x 的取值范围．(2)求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上，下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．【对点训练】1．设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________．【答案】[)2－1，＋∞【解析】集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m ＞0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞)．2．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎦⎤－∞，12【解析】作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.三，数形结合思想在解析几何中的应用构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围.【例3】 (2017·成都二诊)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点分别为A 1，A 2，左，右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5【答案】D【解析】如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1|＝2|OQ |＝2A ．又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4A ．在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2⇒4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2⇒e ＝ca ＝ 5.【类题通法】(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．【对点训练】1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 【答案】B【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.2．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________．【答案】2 2【解析】由题意知圆的圆心C (1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S △PAC ＝12·|PA |·|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上，右下两个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22，所以(S 四边形PACB)min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.3．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．【答案】⎝⎛⎭⎫－2，12 【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ， 由抛物线的定义可知△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)， 代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12.。
高考数学专题复习(数形结合、分类讨论思想)
专题4 数形结合、分类讨论思想一．知识探究：1．数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
数形结合的途径:（1）通过坐标系形题数解（2）通过转化构造数题形解 数形结合的原则:（1）等价性原则；（2）双向性原则；（3）简单性原则2．分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；二．命题趋势分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
分类讨论是每年高考必考的内容，预测对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由n S 求n a 等。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
三．再现性题组1．集合A ＝{x||x|≤4,x ∈R}，B ＝{x||x －3|≤a ，x ∈R}，若A ⊇B ，那么a 的范围是（ ）。
A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<1 对参数a 分a>0、a ＝0、a<0三种情况讨论，选B ；2. 若θ∈(0, π2)，则lim n →∞cos sin cos sin n n n n θθθ＋θ-的值为（ ）。
2019年高考苏教版(理科)数学练习题之数形结合思想(含答案及解析)
2019年高考苏教版（理科）数学练习题之数形结合思想典例1设M＝{(x，y)|y＝2a2－x2，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a>0}且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．分析根据点集M，N中方程的特点，联想两个方程所表示的曲线，以形助数．解如图，集合M表示以O(0,0)为圆心，r1＝2a为半径的上半圆，集合N表示以O′(1，3)为圆心，r2＝a为半径的圆．∵M∩N≠∅，∴半圆O和圆O′有公共点．当半圆O和圆O′外切时，a最小；内切时，a最大．∵OO′＝2，∴外切时，2a＋a＝2，a＝22＋1＝22－2.内切时，2a－a＝2，a＝22＋2.∴a的最大值为22＋2，a的最小值为22－2.点评本题巧妙地转化为圆与圆的位置关系问题，可谓是极具创新性的解题，避免常规方法中的繁杂与高难度，又能通过图形非常直观地加以处理方程的问题，真正达到数形结合的最佳效果．典例2 已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________．分析 建立坐标系，用轨迹法． 解析 设c ＝(x ，y )，则2a －c ＝(2－x,2－y )，3b －c ＝(－3－x,3－y )， 由(2a －c )·(3b －c )＝0，有 (2－x )(－3－x )＋(2－y )(3－y )＝0， 化简整理得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －522＝132， 即向量c 的坐标(x ，y )在以M ⎝⎛⎭⎫－12，52为圆心，r ＝132为半径的圆上． 从而求|c |的最大值，即圆⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －522＝132上的点到坐标原点距离的最大值， 又坐标原点在此圆上，所以|c |的最大值为2r ＝26. 答案26点评 设点研究得出点的轨迹方程，从几何角度得到点在圆上，再寻找最值，体现了数形结合思想的典型运用．典例3 若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．分析 这个问题从表面上看是方程与不等式的问题，如果用求根公式得出小根在0和1之间，大根在1和2之间来解不等式组是很麻烦的，并且不易解出．如果我们根据题意，通过满足条件的函数图象，由根的分布情况分析函数值的大小问题，解不等式组得到相应的实数k 的取值范围．解 设函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，结合草图可知，函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，1＋k －2＋2k －1<0，4＋2k －2＋2k －1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k >12，k <23，k >14，即12<k <23，所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，23. 点评 利用函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象来研究相应的方程与不等式的问题，可以化代数问题为几何问题，通过图形非常直观地处理相应的问题．思路清晰，简单易懂． 从上面的例题可以看出数形结合思想解题思路如下：1．“形”中觅“数”．以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合．2．“数”上构“形”．以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法．3．用图形分析的方法解决问题，一方面要发挥图形的直观、形象地作用，另一方面则要注意画图的准确性、完整性和对图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成． 跟踪演练1．(2017·江苏启东模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则∑n ＝12 017f ⎝⎛⎭⎫n π6＝________.答案1解析 由题意得T 4＝2π4ω＝5π12－π6⇒ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，|φ|<π2⇒φ＝π6， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为f ⎝⎛⎭⎫n π6＝sin ⎝⎛⎭⎫n π3＋π6，周期为6，一个周期的和为零，所以∑n ＝12 017f ⎝⎛⎭⎫n π6＝f (1)＝sin π2＝1. 2．(2017·江苏宿迁中学月考)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos πx |，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为________． 答案 6解析 根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3， 则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos πx |， 所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos πx ，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎡⎦⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象如图所示，有5个交点．所以h (x )总共有6个零点．3．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有两个不同的实根α，β. (1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．解 方法一 (1)设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则由题设知，直线l ：3x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1有两个不同的交点A (cos α，sin α)和B (cos β，sin β)，所以原点到直线l 的距离小于半径1，即d ＝|0＋0＋a |r(32＋12)＝|a |2<1，所以－2<a <2. 又因为α，β∈(0,2π)，α≠β. 所以直线l 不过点(1,0)， 即3＋a ≠0，即a ≠－3， 即a ∈(－2，－3)∪(－3，2)．(2)如图，不妨设∠xOA ＝α，∠xOB ＝β，作OH ⊥AB ，垂足为H ，则∠xOH ＝α＋β2，因为OH ⊥AB ， 所以k AB ·k OH ＝－1， 所以tan α＋β2＝33，因为α＋β2∈(0,2π)，所以α＋β＝π3或α＋β＝7π3.方法二 (1)原方程可化为sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝－a2， 作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象，由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧－1<－a2<1，－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知，当－3<a <2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象交于C ，D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6，所以α＋β＝7π3，当－2<a <－3，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫32，1时，直线y ＝－a 2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象交于A ，B 两点， 由对称性知α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3.综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.4．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x .(1)当a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数； (2)当a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为2.解 (1)当a ＝2时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f x ，y ＝g x ，得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ，整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝x 3＋x 2－x －2x ≠1，令y ′＝3x 2＋2x －1＝0，得x 1＝－1，x 2＝13，得到极值点分别在－1和13处，且极大值、极小值都是负值，图象如图，故交点只有一个．即y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数为1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f x ，y ＝gx ，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ，整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝hx ＝x 3＋x 2－xx ≠1，对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，h (－1)＝1，h ⎝⎛⎭⎫13＝－527， 画出草图如图．当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故当a ＝－527时恰有两个公共点．。
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习(含答案解析)
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习（含答案解析）一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线():40l x m y +−=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤【答案】B【解析】x =()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +−=必过定点()0,4， 当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得m =当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点， 所以要使直线和曲线有两个交点，则0m ≤故选：B.2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x ，y 是实数，且22410x y x +−+=，则21y x ++的最大值是（ ）A B ．116C ．336D 【答案】D【解析】方程可化为()223x y −+=，表示以()2,021y x ++的几何意义是圆上一点与点A ()1,2−−连线的斜率，设21k y x =++，即()21y k x +=+，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB 时斜率最大.=k =，所以21y x ++故选：D ．3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()24f x x x =−.若函数()()()R g x f x m m =+∈，则函数()g x 的零点个数不可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()224(2)4f x x x x =−=−−,作出()f x 的图像如图：，故当0m =时，()()g x f x =有3个零点；当0m <或4m =时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有两个交点，则函数有2个零点； 当04m <<时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有4个交点，则函数有4个零点；由于()()g x f x m =+也为偶函数，结合()f x 图像可知，()()g x f x m =+不可能有1个零点， 故选：A4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨−<⎩， 若函数()()()g x f x f x =−−，则函数()g x 的零点个数为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】当0x >时，0x −<，()3f x x −=当0x <时，0x −>，()e xf x −−=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x −⎧−>⎪∴=−−==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x −=−−=−，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =−>，()3e 0x g x '=−>，令()3e 0x g x '=−>，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln3)3ln330g =−>，而()226e 0g =−<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞−上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数()f x 的定义域为(),1f x −R 为偶函数，当1x ≥−时，()31xf x −=−，则函数()()12g x f x =−的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】令310x −−≥解得0x ≤，令310x −−<解得0x >， 所以当1x ≥−时，()11,1033111,03xxxx f x x −⎧⎛⎫−−≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=−=⎨⎛⎫⎪−+> ⎪⎪⎝⎭⎩， ()1f x −为偶函数，所以()1f x −的图像关于y 轴对称，所以()f x 的图像关于直线=1x −轴对称， 故作出()f x 的图像如下，令()()102g x f x =−=，即()12f x =， 由图像可知，()f x 的图像与12y =的图像共有四个交点， 所以函数()()12g x f x =−的零点个数为4个.故选:D.6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)f x −是奇函数，当01x 剟时，有()f x =()(2021)y f x k x =−−的零点个数为5，则实数k 取值范围是（ ） A ．15<2<1kB ．16<3<1kC k k =D ．k <k 【答案】C【解析】∵偶函数()f x ，()()f x f x ∴−=，(1)f x −是奇函数，得(1)(1)f x f x −=−−−，即 ()(2)f x f x =−−−，(2)()f x f x −−−=−，得4T =，()(2021)0f x k x −−=，即()y f x =与(2021)y k x =−的图像交点的个数，因为4T =，即为()y f x =与(1)y k x =−的图像交点的个数，因为()f x =k 应该在1k 与2k 之间或为3k ，213k k k ==k k =故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln2,01ln 2ln 2,12xx f x x x ⎧<<⎪=⎨−+≤<⎪⎩，若存在02a b c <<<<使得()()()f a f b f c ==，则111ab bc ca++的取值范围是（ ） A ．20,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】∵()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤−+=−⎣⎦，∴ln 2y x =与()ln 2ln2y x =−+的图像关于直线1x =对称，作出()f x 的大致图像如图所示，易知2b c +=，由ln2ln2a b =，即ln 2ln 2a b −=，ln 40ab =，得14ab =， ∵112b <<，∴11124a<<，得1142a <<，∴()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a+++++++====−−. 设81t a =−， 则()1,3t ∈，111117184t ab bc ca t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭. 17t t+≥=t 故当()1,3t ∈时，令()1718h t t t +=+，()h t 单减，()()80136,33h h ==， 故1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A 二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yE a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A ．2160PF F ∠=，B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【答案】BCD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以212PF F π∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 正确；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BCD ．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F l 与抛物线交于,P Q 两点（P 在第一象限），以,PF QF 为直径的圆分别与y 轴相切于,A B 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．32||3PQ =B ．AB =C ．若M 为抛物线C 上的动点，(2,1)N ，则min (||||)4MF MN +=D ．若0(,M x 为抛物线C 上的点，则9MF = 【答案】ABC【解析】设直线PQ 的方程为：y x ﹣2），与28y x =联立整理可得：3x 2﹣20x +12=0，解得：x 23=或6，则P （6，，Q （23，；所以|PQ |=623++4323=，选项A 正确；因为F (2,0),所以PF ，QF 的中点分别为：（4，，（43，，所以A （0，，B （0，，所以|AB =， 选项B 正确；如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |=|ME |， 所以|MF |+|MN |=|ME |+|MN |≥NE =2+2=4，当N ，M ，E 三点共线时， |MF |+|MN |最小，且最小值为4，选项C 正确；对于选项D ，若0(M x 为抛物线C 上的点，则05x =，又4p =， 所以072pMF x =+=，选项D 错误. 故选：ABC.10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2BD CD ==，ABD △为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE与BF AF 的值可能为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．53【答案】AC【解析】由ABD △为等边三角形，取BD 的中点O ，连接AO ,则AO BD ⊥ 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD = 所以AO ⊥平面BCD ，由BD CD ⊥过O 作与CD 平行的直线为y 轴，分别以,OB OA 为,x z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为2BD CD ==，则()1,0,0B ，()()(1,0,0,1,2,0,D C A −−，所以12E ⎛− ⎝⎭．设()F a ，则12DE ⎛= ⎝⎭，()BF a =−，则28=13a =−或23a =−， 故1233AF AD ==或2433AF AD ==．故选：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知G 为ABC 的重心，60BAC ∠=︒，2AB AC ⋅=，则||AG uuu r的可能取值为（ ）A ．23B ．1CD ．32【答案】CD【解析】如图，G 是ABC 的重心，记,,AB c AC b AB a ===， 则2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+， 222222111()(2)(4)999AG AB AC AB AB AC AC b c =+=+⋅+=++，又1cos6022AB AC bc bc ⋅=︒==，即4bc =，所以2228b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以214(84)93AG ≥⨯+=．即233AG ≥CD 满足． 故选：CD ．12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（ ）A ．43B ．32C ．53D ．3【答案】BD【解析】如图，()AM MB AB AM λλ==−，1AM AB λλ∴=+，即1AB AM λλ+=，设AC t AN =，则11()333tAG AB AC AM AN λλ+=+=+， M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=−， 所以12AC AN λ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，AMN ∴与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯， 即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ−+=，解得32λ=或3. 故选：BD13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯，()b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=，(,a b 表示向量a ，b 的夹角)． 在正方体1111ABCD A B C D −中，有以下四个结论，正确的有（ ）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯ B ．111AC A D ⨯与1BD 共线C ．AB AD AD AB ⨯=⨯ D ．6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A ，设正方体的棱长为1，在正方体中1,60AB AC =︒，则111sin ,2AB AC AB AC AB AC ⨯===， 因为11//BD B D ，且1160AD B ∠=︒，所以1,120AD DB =︒，所以111sin ,2AD DB AD DB AD DB ⨯=== 所以11AB AC AD DB ⨯=⨯，所以A 正确；对于B ，1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B B B D B ⋂=，111,B B B D ⊂平面11BB D D ，11AC ⊥平面11BB D D ，因为1BD ⊂平面11BB D D ，所以111BD AC ⊥，同理可证11BD A D ⊥， 再由右手系知，111AC A D ⨯与1BD 同向，所以B 正确；对于C ，由a ，b 和a b ⨯构成右手系知，a b ⨯与b a ⨯方向相反， 又由a b ⨯模的定义知，sin ,sin ,a b a b a b b a a b b a ⨯===⨯， 所以a b ba ⨯=−⨯，则AB AD AD AB ⨯=−⨯，所以C 错误； 对于D ，正方体棱长为a ，266sin 456BC AC BC AC a a ⨯=⋅︒=⨯， 正方体表面积为26a ，所以D 对． 故选：ABD ．三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩.若关于x 的方程()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，则m 的取值范围___________.【答案】7,5⎛− ⎝⎭【解析】因为243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩，所以当0x ≤时，()243f x x x =++开口向上，对称轴为2x =−，()()min 21f x f =−=−，两零点为1,3x x =−=−；当0x >时，()411f x x =−+，则()f x 在()0,∞+上单调递减，零点为3x =，且()1f x >−； 由此作出()f x 的图像如图，.令()t f x =，则当13t −<<时，()t f x =有三个实数根，因为()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，所以()22110t m t m +−−+=必须有两个不等实根12,t t ，且()21,1,3t t ∈−，令()()2211g t t m t m =+−−+，则()()103021132Δ0g g m ⎧−>⎪>⎪⎪⎨−−<−<⎪⎪>⎪⎩，即()()()()212110932110621221410m m m m m m m ⎧−−−+>⎪+−−+>⎪⎨−<−<⎪⎪−−−+>⎩，解得75m −<<7,5m ⎛∈− ⎝⎭.故答案为：7,5⎛− ⎝⎭. 15．（2023春·全国·高一期末）已知函数241,1()log 3,1xx f x x x ⎧−⎪=⎨+>⎪⎩…集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=−++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M 中有3个元素，则实数t 的取值范围为________．【答案】{|0t t =或1}2t ≥【解析】令()f x m =，记21()(2)2g m m t m t =−++的零点为12,m m ，因为集合M 中有3个元素，所以()f x 的图像与直线12,y m y m ==共有三个交点，则，12001m m =⎧⎨<<⎩或12101m m =⎧⎨<<⎩或12001m m >⎧⎨<<⎩当10m =时，得0=t ，212m =，满足题意； 当11m =时，得12t =，212m =，满足题意；当12001m m >⎧⎨<<⎩时，(0)01(1)1202g t g t t =>⎧⎪⎨=−−+<⎪⎩，解得12t >. 综上，t 的取值范围为{|0t t =或1}2t ≥.故答案为：{|0t t =或1}2t ≥16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30,12=︒=A b ，若ABC 有两解，写出a 的一个可能的值为__________．【答案】7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一） 【解析】由于满足条件的ABC 有两个，则sin b A a b <<，即612a <<.故答案为：7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）．17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数()314f x x m π⎛⎫=++− ⎪⎝⎭在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则1232x x x ++=______． 【答案】53π−【解析】令()0f x =314x m π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故()314f x x m π⎛⎫++− ⎪⎝⎭的零点为函数()314g x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭与函数y ＝m 交点的横坐标，作出函数g (x )在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的大致图像：令3()42x k k πππ+=+∈Z ，解得()123k x k ππ=+∈Z ， 令1k =−，得4x π=−，则由图知2322=4x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭，令2k =−，得712x π=−，则由图知12772=126x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭， 故123752263x x x πππ++=−−=−． 故答案为：53π−﹒18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线22:14x y C m −=与直线2y x =无交点，则m 的取值范围是_____． 【答案】(]0,16【解析】依题意，由22:14x y C m −=可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为y =，因为双曲线C 与直线2y x =无交点，所以直线2y x =应在两条渐近线上下两部分之间，2≤，解得016m <≤，即(]0,16m ∈. 故答案为：(]0,16..。
专题05 数形结合法-2019年高考数学(理)30分钟拿下选择、填空题 Word版含解析.doc
方法探究数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图象或者构造适当的几何图形，再利用图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征进行直观分析，从而得出结论.比如：（1）在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了.（2）借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法.（3）处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路.（4）有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.（5）线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.（6）数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决.（7）解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中.（8）立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所以，我们一定要学好并应用好数形结合的方法. 经典示例【例1】（集合中的数形结合）已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【备考警示】对于点集问题，常表示的是某曲线上的点的集合，所以通过画图可以顺利解决此类问题.【例2】（函数中的数形结合）对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩,设()21()(4)f x x x =⊗+-，若函数()y f x k =+恰有三个零点，则实数k 的取值范围是A ．(−2,1)B ．[0,1]C ．[−2,0)D ．[−2,1)【答案】D【解析】由新定义可得2224,(1)(4)1()1,(1)(4)1x x x f x x x x ⎧+--+≥⎪=⎨---+<⎪⎩，即24,23()1,23x x x f x x x +≤-≥⎧=⎨--<<⎩或.其图象如图所示，所以由()y f x k =+恰有三个零点可得，−1<−k ≤2，所以−2≤k <1.故选D.【备考警示】一般情况下，这种问题常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．【例3】（线性规划中的数形结合）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1060y y x y x 表示的平面区域的面积为 .【答案】16【备考警示】对于线性规划中的区域面积问题，正确地画出平面区域的面积是正确求解的关键. 【例4】（向量中的数形结合）等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为 A ．45- B ．35- C ．45D ．35【答案】A【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x 轴和y 轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.【备考警示】涉及向量的坐标或几何意义时常通过画图进行解决反而更快捷.【例5】（解析几何中的数形结合）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为_______________． 【答案】233【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点， 则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=，点(,0)A a 到直线by x a=的距离22||||1b AP b a =+，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即3a b =， 由222c a b =+得2c b =，所以22333c b e a b===． 【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab c. 【备考警示】对于解析几何问题，常需要边读题边画图，找出基本量之间的基本关系才可以找准突破口. 拓展变式1． 函数f (x )=2x＋lg(x ＋1) −2的零点有 A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个【答案】B由图象可知h (x )=2−2x和g (x )=lg(x ＋1)有且只有一个交点，即f (x )=2x＋lg(x ＋1)−2与x 轴有且只有一个交点，即函数f (x )仅有一个零点．2．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1060y y x y x 表示的平面区域的面积为 .【答案】163．已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(,3)PA x y =--，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以(2,2)PB PC x y +=--，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=--=+-2333)222-≥-，当3(0,)2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 终极押题 一、选择题1．已知集合{|(2)(3)0}A x x x =+-<，{|10}B x x =∈<*N ，则A B =I A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{2,3}D ．{1}【答案】B【解析】依题意得，{|23}A x x =-<<，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9B =，所以A B =I {1,2}，故选B. 2．已知复数z 满足(34i)1i z --=+，则复数z 的虚部为A ．1i 25B ．725-C ．125D ．725【答案】C3．如图是半径分别为1，2，3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为A ．14 B ．13 C ．12D ．23【答案】B【解析】因为最大圆的面积为2π39π⨯=，阴影部分的面积为22π2π13π⨯-⨯=，所以豆子落入图中阴影部分的概率为3π19π3=，故选B ． 4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线过圆22:460Ωx y x y +-+=的圆心，则双曲线C 的离心率为A ．132B ．32C ．133D ．3【答案】A5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“诵课倍增”就是其中一首：有个学生心性巧，一部孟子三日了；每日增添整一部，问君每日读多少？某老师据此编写了一道数学题目：一本书共有1533页，一位同学9天读完，所读页数逐日增加一倍，问这位同学第5天所读的页数为 A ．24 B ．48 C ．64D ．96【答案】B6．已知一个简单几何的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．24π48+B ．453416π2++C ．12π12+D ．333416π2++【答案】D【解析】由三视图知对应的几何体是底面半径为3，高为4的41圆锥与底面为直角边长为3的等腰直角三角形，高为4的三棱锥组成的组合体，所以圆锥的母线长为5，如图，在三棱锥OBC P -中，侧棱PO 垂直于底面，5==PC PB ，23=BC ，所以该几何体的表面积为211π35π344⨯⨯⨯+⨯⨯+3321⨯⨯+4621⨯⨯+22)223(52321-⨯⨯=333416π2++，故选D.7．函数()(22)cos x xf x x -=-在区间[,]-ππ上的图象大致为【答案】B8．已知x ，y 满足约束条件135250430x x y x y ≤-⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为A ．2-B ．4C ．75D ．6【答案】C【解析】由题画出可行域如图所示，可知直线3z x y =+过点221,5A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，目标函数取得最大值，即max 75z =，故选C ．9．执行如图所示的程序框图，若输入1,3m n ==，输出的x =1.625，则空白判断框内应填的条件为A ．||n m -＜1B ．||n m -＜0.5C ．||n m -＜0.2D ．||n m -＜0.1【答案】C10．在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为23，在底面ABC △中，60C ∠=︒，3AB =，则此直三棱柱的外接球的表面积为 A ．43πB ．16π3C ．16πD ．32π3【答案】C【解析】设底面ABC △的外接圆半径为x ，由正弦定理得322sin 32ABx C===，所以1x =，所以外接球半径22231()22R =+=，所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为2π4S R ==16π.故选C.【思路点晴】几何体底面常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求；而其他不规则图形的外心，可利用正弦定理来求.若长方体的长、宽、高分别为a b c 、、，则其体对角线长为222a b c ++，长方体的外接球球心是其体对角线的中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别作这个面的垂线，交点即为球心.若三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且棱长分别为,,a b c ，则其外接球半径22212R a b c =++.11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于,M N 两点，若MR l ⊥，垂足为R ，且NRM NMR ∠=∠，则直线MN 的斜率为A ．8±B ．4±C ．22±D ．2±【答案】C12．已知关于x 的方程3|28|4x x mx -+=有且仅有2个实数根，则实数m 的取值范围为A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(2,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞U【答案】D二、填空题 13．41(31)2x x-+的展开式中，常数项为________________. (用数字作答)【答案】10【解析】依题意，由排列组合知识可知，常数项为1224311C 3C ()1102+⋅⋅⋅-⋅=.14．设,x y ∈R ，向量(,2),(1,),(2,6)x y ===-a b c ，且,⊥∥a c b c ，则|+|=a b __________．【答案】52【解析】由题意得21206(6,2)x x ⊥⇒-=⇒=⇒=a c a ，6203y y ⇒--=⇒=-∥b c(1,3)⇒=-b ，所以222|+|2401050|+|=+⋅+=+=⇒=a b a a b b a b 52.【名师点晴】本题考查向量的基本运算，涉及方程思想、数形结合思想和转化与化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中等难题.15．已知圆1C ：224430x y x y ++--=，点P 为圆2C ：224120x y x +--=上且不在直线12C C 上的任意一点，则12PC C △的面积最大值为___________． 【答案】4516．已知锐角三角形ABC 的外接圆半径为33BC ，且3AB =，4AC =，则BC =________________. 【答案】13【解析】因为2sin BC R A =（R 为锐角三角形ABC 的外接圆半径），所以3sin 22BC A R ==．因为A 为锐角，所以3A π=，于是22234234cos 133BC π=+-⨯⨯=，所以13BC =，故选D ． 你用了几分钟？有哪些问题？。
高中数学数形结合思想经典例题(含解析)
高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<19．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( )A.15B.25C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<x <0. 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )【答案】 A【解析】 因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排 除B ，选A.4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【答案】 D【解析】 由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x <0.若x >0，则需有f (x )<0，结合图象可知0<x <2；若x <0，则需有f (x )>0，结合图象可知－2<x <0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．25【答案】 B【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【答案】 B【解析】 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.12【答案】 A【解析】 依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[53，2]，故选A.8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】 D【解析】 本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<x 1x 2<1，故选D. 9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定【答案】 C【解析】 如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0＝f （x 2）x 2，由于0＜x 1＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)【答案】 C【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解． 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269【答案】 B【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，43)，所以AE →＝(23，23)，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．1 【答案】 A【解析】 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1.从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为222＋（－1）2＝255，如图所示．故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝45，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2【答案】 C【解析】 利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B【解析】 x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a|12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2，选B.二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 【答案】 (－7，3)【解析】 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________． 【答案】 －2【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1），则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，。
高考数学(理)二轮专题练习【专题8】(2)数形结合思想(含答案)
第 2 讲数形联合思想1．数形联合的数学思想：包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大概能够分为两种情况：一是借助形的生动性和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比方应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精准性和规范严实性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精准地说明曲线的几何性质．2．运用数形联合思想剖析解决问题时，要按照三个原则：(1)等价性原则．在数形联合时，代数性质和几何性质的变换一定是等价的，不然解题将会出现破绽．有时，因为图形的限制性，不可以完好的表现数的一般性，这时图形的性质只好是一种直观而浅易的说明，要注意其带来的负面效应．(2)两方性原则．既要进行几何直观剖析，又要进行相应的代数抽象探究，仅对代数问题进行几何剖析简单犯错．(3)简单性原则．不要为了“数形联合”而数形联合．详细运用时，一要考虑能否可行和能否有益；二要选择好打破口，适合设参、用参、成立关系、做好转变；三要发掘隐含条件，正确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应想法选择动直线与定二次曲线．3．数形联合思想解决的问题常有以下几种：(1)建立函数模型并联合其图象求参数的取值范围．(2)建立函数模型并联合其图象研究方程根的范围．(3)建立函数模型并联合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)建立函数模型并联合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构成立体几何模型研究代数问题．(6)建立分析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)建立方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、地点关系、性质等．4．数形联合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇异功能，这就要求我们在平常学习中增强这方面的训练，以提升解题能力和速度．详细操作时，应注意以下几点：(1)正确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法议论方程 (特别是含参数的方程 )的解的个数是一种卓有成效的方法，值得注意的是第一要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 (有时可能先作适合调整，以便于作图 )，而后作出两个函数的图象，由图求解．热门一 利用数形联合思想议论方程的根例 1(2014 ·山东 )已知函数 f(x)＝ |x － 2|＋ 1， g( x)＝ kx ，若方程 f(x) ＝ g(x) 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是 ()11 ， 1)A ．(0， )B ． (22C ． (1,2)D ． (2，＋ ∞)答案 B分析先作出函数 f(x)＝ |x － 2|＋ 1 的图象，如下图，当直线 g(x)＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x)＝ kx 过 A 点时斜率为1，故 f(x)＝ g(x) 有两个不相等的实根时，k 的范围为 (1， 1)．22思想升华 用函数的图象议论方程 (特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程 ) 的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟习函数的表达式 (不熟习时，需要作适合变形转化为两个熟习的函数 )，而后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程 解的个数．x 2＋bx ＋ c ， x ≤0，设函数 f(x)＝ 若 f(－ 4)＝ f(0)， f( － 2)＝－ 2，则对于 x 的方程2， x>0，f(x)＝ x 的解的个数为 ( )A ．1B ． 2C ． 3D ． 4答案 C分析由 f(－ 4)＝ f(0)， f(－2) ＝－ 2，x 2＋ 4x ＋ 2， x ≤0，解得 b ＝4， c ＝ 2，∴ f(x)＝2， x>0.作出函数 y ＝ f(x)及 y ＝ x 的函数图象如下图，由图可得交点有 3 个．热门二利用数形联合思想解不等式、求参数范围例 2(1)已知奇函数 f(x)的定义域是 { x|x≠0， x∈R } ，且在 (0，＋∞)上单一递加，若f(1)＝ 0，则知足 x·f(x)<0 的 x 的取值范围是 ________．1(2) 若不等式 |x－ 2a| ≥x＋ a－ 1 对 x∈R恒成立，则 a 的取值范围是 ________．2答案 (1)( － 1,0)∪ (0,1)(2)－∞，12分析(1) 作出切合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f(x)<0 的 x 的取值范围是 (－ 1,0)∪ (0,1)．1(2) 作出 y＝ |x－ 2a|和 y＝2x＋ a－1 的简图，依题意知应有2a≤2－ 2a，1故 a≤2.思想升华求参数范围或解不等式问题时常常联系函数的图象，依据不等式中量的特色，选择适合的两个(或多个 ) 函数，利用两个函数图象的上、下地点关系转变数目关系来解决问题，常常能够防止烦杂的运算，获取简捷的解答．(1)设 A＝{( x， y)|x2＋ (y－1) 2＝ 1} ， B＝ {( x， y)|x＋ y＋ m≥0}，则使 A? B 成立的实数 m 的取值范围是 __________ ．(2) 若不等式9－ x2≤k(x＋ 2)－2的解集为区间 [a， b] ，且 b－a＝ 2，则 k＝ ________.答案(1)[2－ 1，＋∞) (2)2分析(1) 会合 A 是一个圆 x2＋ (y－ 1)2＝ 1 上的点的会合，会合 B 是一个不等式 x＋y＋ m≥0 表示的平面地区内的点的会合，要使 A? B，则应使圆被平面地区所包括(如图 )，即直线 x＋ y＋ m＝ 0 应与圆相切或相离 (在圆的下方 )，而当直线与圆相切时有|m＋1|＝1，又 m>0，2因此 m＝2－ 1，故 m 的取值范围是 m≥ 2－ 1.(2) 令 y1＝ 9－ x2，y2＝ k(x＋ 2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－ x2≤k(x＋ 2)－2的解集为 [a， b]且 b－ a＝ 2.联合图象知b＝ 3， a＝ 1，即直线与圆的交点坐标为(1,2 2)．又因为点 ( －2，－2)在直线上，22＋2因此 k＝＝ 2.热门三 利用数形联合思想解最值问题例 3 (1)已知 P 是直线 l ： 3x ＋4y ＋ 8＝ 0 上的动点， PA 、 PB 是圆 x 2＋ y 2－ 2x － 2y ＋ 1＝0 的两条切线， A 、 B 是切点， C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为 ________．x － 2y ＋ 1≥0，)(2) 已知点 P(x ， y)的坐标 x ， y 知足则 x 2＋ y 2－ 6x ＋9 的取值范围是 (|x|－y － 1≤0， A ． [2,4] B ． [2,16] C ． [4,10] D ． [4,16]答案 (1)2 2 (2)B分析(1) 从运动的看法看问题，当动点P 沿直线 3x ＋ 4y ＋8＝ 0 向左上方或右下方无量远处运动时，直角三角形PAC 的面积S＝1Rt △PAC21 P 从左上、|PA| |AC|·＝ |PA|愈来愈大，进而 S 四边形 PACB 也愈来愈大；当点2右下两个方向向中间运动时，S 四边形 PACB 变小，明显，当点 P 抵达一个最特别的地点，即CP垂直直线 l 时， S 四边形 PACB 应有独一的最小值， 此时 |PC|＝ |3 ×1＋ 4×1＋ 8|＝ 3，32＋ 42进而 |PA|＝ |PC |2－ |AC|2 ＝ 2 2.1 因此(S四边形 PACB )min ＝ 2× ×|PA| ×|AC|＝ 22.2(2) 画出可行域如图，所求的 x 2＋ y 2－ 6x ＋ 9＝ (x － 3)2＋ y 2 是点 Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线 x － y － 1＝ 0(x ≥0)的距离 d 的平方，最大值为 |QA|2＝ 16.2|3－ 0－ 1|2＝ ( 2∵ d ＝ (22)2) ＝2.1 ＋ －∴ 取值范围是 [2,16] ．思想升华 (1) 在几何的一些最值问题中，能够依据图形的性质联合图形上点的条件进行变换，迅速求得最值．(2) 假如 (不 )等式、代数式的构造包含着明显的几何特色，就要考虑用数形联合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(2013 ·重庆 )设 P 是圆 (x － 3)2＋ (y ＋ 1)2＝ 4 上的动点， Q 是直线 x ＝－ 3 上的动点，则 |PQ|的最小值为 ( )A ．6B ．4C ．3D ．2x － y ＋ 1≤0，(2) 若实数 x 、y 知足 x>0，则 y的最小值是 ____．xy ≤2，答案(1)B (2)2分析(1) 由题意，知圆的圆心坐标为(3，－ 1)，圆的半径长为 2，|PQ |的最小值为圆心到直线x＝－ 3 的距离减去圆的半径长，因此|PQ|min＝3－ (－ 3)－ 2＝ 4.应选 B.(2)可行域如下图．又y的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k. x由图知，过点 A 的直线 OA 的斜率最小．联立x－ y＋ 1＝ 0，得 A(1,2)，y＝ 2，因此 k OA＝2－0＝ 2.因此y的最小值为 2. 1－ 0x1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面地区、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的门路，当试题中波及这些问题的数目关系时，我们能够经过图形剖析这些数目关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，纯真从图形上没法看出问题的结论，这就要对图形进行数目上的剖析，经过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形联合解题，有时只需把图象大概形状画出即可，不需要精准图象．4．数形联合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1． (2013 ·重庆 )已知圆 C1： (x－ 2)2＋ (y－3) 2＝1，圆 C2： (x－ 3)2＋ (y－4)2＝9， M， N 分别是圆C1， C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则 |PM|＋ |PN|的最小值为 ()A ．52－ 4 B.17－ 1C．6－2 2 D.17答案A分析设 P(x,0) ，设 C1对于 x轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC121′|＋(2,3)|＋ |PC |＝ |PC|PC2 |≥|C1′C2|＝－ 2 ＋－ 3－2＝5 2.而 |PM |＋ |PN|＝ |PC1|＋ |PC2|－ 4≥5 2－ 4.2． (2014 ·江西 )在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线 2x＋ y－ 4＝ 0 相切，则圆 C面积的最小值为 ()4 A. 5π3 B. 4πC． (6－2 5) π5 D. 4π答案A分析∵∠ AOB ＝90°，∴点 O 在圆 C 上．设直线 2x＋ y－ 4＝0 与圆 C 相切于点 D ，则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线2x＋ y－ 4＝0 的距离，∴点 C 在以 O 为焦点，以直线2x＋ y－ 4＝ 0 为准线的抛物线上，∴当且仅当O， C，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD |＝ |2 ×0＋ 0－ 4|＝ 4 ，55∴圆 C 的最小半径为2，5∴圆 C 面积的最小值为224π.π( )＝55－ x2＋ 2x， x≤0，3． (2013 ·课标全国Ⅰ )已知函数 f(x)＝若 |f(x)| ≥ax，则 a 的取值范围是 ()x＋， x>0.A ． (－∞，0]B．(－∞，1]C． [－2,1] D ． [－ 2,0]答案D分析函数 y＝ |f(x)|的图象如图．①当 a＝0 时， |f(x)|≥ax 明显成立．②当 a>0 时，只需在 x>0 时，ln( x＋1) ≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y＝ ax 的增加速度．明显不存在a>0 使 ln( x＋ 1)≥ax 在 x>0 上恒成立．2③当 a<0 时，只需在x<0 时， x －2x≥ax 成立．综上所述：－2≤a≤0.应选 D.4． (2014 ·天津 )已知函数 f(x)＝ |x2＋ 3x|， x∈R.若方程 f(x)－ a|x－ 1|＝ 0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 ________．答案(0,1)∪ (9，＋∞)分析设 y1＝ f(x)＝ |x2＋ 3x|， y2＝ a|x－ 1|，在同向来角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|， y2＝ a|x－ 1|的图象如下图．由图可知 f(x)－a|x－ 1|＝ 0 有 4个互异的实数根等价于y1＝ |x2＋ 3x|与 y2＝ a|x－ 1|的图象有 4 个不一样的交点．当 4 个交点横坐标都小于 1 时，y＝－ x2－3x，有两组不一样解x1， x2，y＝ a － x消 y 得 x2＋ (3－ a) x＋a＝ 0，故＝a2－10a＋9>0，且 x1＋ x2＝ a－ 3<2， x1x2＝a<1 ，联立可得 0<a<1.当 4 个交点横坐标有两个小于1，两个大于 1 时，y＝ x2＋ 3x，有两组不一样解x3， x4.y＝ a x－消去 y 得 x2＋ (3－ a)x＋ a＝ 0，故＝a2－10a＋9>0，且 x3＋ x4＝ a－ 3>2， x3x4＝a>1 ，联立可得 a>9，综上知， 0< a<1 或 a>9.押题精练221．方程 |x－2x|＝ a ＋ 1(a>0)的解的个数是 ()A ．1 B．2 C．3 D．4答案B分析(数形联合法 )∵a>0 ，∴ a2＋ 1>1.而 y＝ |x2－ 2x|的图象如图，∴ y＝ |x2－ 2x|的图象与y＝a2＋1 的图象总有两个交点．22．不等式 |x＋ 3|－ |x－ 1| ≤a－3a对随意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ()A ． (－∞，－ 1]∪ [4，＋∞)B ． (－∞，－ 2]∪ [5，＋∞)C． [1,2]D ． (－∞，1] ∪[2，＋∞)答案A－ 4x<－，分析f(x)＝ |x＋ 3|－ |x－ 1|＝2x＋ 2－ 3≤x，画出函数f(x)的4x≥图象，如图，能够看出函数f(x)的最大值为4，故只需 a2－3a≥4 即可，解得 a≤－ 1 或 a≥4.正确选项为A.3．经过P(0，－ 1)作直线l，若直线l 与连结 A(1，－ 2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l________，________.的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为答案π3π[－1,1] [0， ]∪[， π)44分析如下图，联合图形：为使l 与线段 AB 总有公共点，则 k PA ≤k ≤k PB ，而 k PB >0， k PA <0 ，故 k<0 时，倾斜角 α为钝角， k ＝ 0 时， α＝ 0， k>0 时， α 为锐角．－ 2－－又 k PA ＝＝－ 1，1－ 0－ 1－1k PB ＝＝ 1， ∴－ 1≤k ≤1.0－ 2π又当 0≤k ≤1 时， 0≤α≤ ；4当－ 1≤k<0 时，3ππ 3π4 ≤α<π故.倾斜角 α的取值范围为 α∈ [0， 4]∪[， π)．42x ＋ 3y － 6≤0，4． (2013 ·山东 )在平面直角坐标系xOy 中， M 为不等式组 x ＋ y － 2≥0，所表示的地区上一y ≥0动点，则 |OM|的最小值是 ________．答案 2分析由题意知原点 O 到直线 x ＋ y － 2＝ 0 的距离为 |OM|的最小值．因此 |OM|的最小值为2＝ 2.25． (2013 ·江西 )过点 ( 2，0) 引直线 l 与曲线 y ＝ 21－ x 订交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，当△ AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为 ________．3答案 － 3分析11 1∵S△ AOB＝|OA ||OB|sin ∠ AOB ＝ sin ∠ AOB ≤ .2 22π当 ∠ AOB ＝ 2时， S △ AOB 面积最大．2此时 O 到 AB 的距离 d ＝ 2 .设 AB 方程为 y ＝ k(x － 2)(k<0)，即 kx － y － 2k ＝ 0.由 d ＝| 2k|＝2得 k ＝－3k 2＋ 1 2 3 .6．设函数 f(x)＝ ax 3－ 3ax ， g(x)＝ bx 2－ ln x(a ， b ∈ R )，已知它们在 x ＝ 1 处的切线相互平行．(1) 求 b 的值；(2) f x ， x ≤0， a 的取值范围．若函数 F(x)＝且方程 F( x)＝ a 2有且仅有四个解，务实数gx ，x>0 ，解函数 g(x)＝ bx2－ ln x 的定义域为 (0，＋∞)，(1) f′(x)＝ 3ax2－3a? f′(1)＝ 0，1g′(x)＝ 2bx－x? g′(1)＝ 2b－ 1，1依题意得2b－ 1＝0，因此 b＝2.1(2) x∈(0,1) 时， g′(x)＝ x－x<0，即 g( x)在 (0,1)上单一递减，1x∈ (1，＋∞)时， g′(x)＝ x－x>0，即 g(x)在 (1，＋∞)上单一递加，1因此当 x＝ 1 时， g(x)获得极小值g(1) ＝；当 a＝ 0 时，方程 F(x)＝ a2不行能有四个解；当 a<0，x∈ (－∞，－ 1)时， f′(x)<0 ，即 f(x)在 (－∞，－ 1) 上单一递减，x∈ (－ 1,0)时， f′(x)>0 ，即 f(x)在 (－ 1,0)上单一递加，因此当 x＝－ 1 时， f(x)获得极小值f( －1)＝ 2a，又 f(0) ＝0，因此 F(x)的图象如图 (1)所示，从图象能够看出F(x)＝a2不行能有四个解．当a>0，x∈ (－∞，－ 1)时， f′(x)>0 ，即 f(x)在 (－∞，－ 1)上单一递加，x∈ (－ 1,0)时， f′(x)<0 ，即 f(x)在 (－ 1,0)上单一递减，因此当 x＝－ 1 时， f(x)获得极大值f( －1)＝ 2a.又 f(0) ＝0，因此 F(x)的图象如图 (2)所示，从图 (2)看出，若方程F(x) ＝ a 2有四个解，则122<a <2a，因此，实数 a 的取值范围是2. 2， 2。
创新方案浙江新高考数学理二轮专题突破练习2.1.2数形结合思想(含答案详析)
第二讲数形结合思想1．数形结合的含义(1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合的途径(1)通过坐标系“形题数解”借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数化．这一方法在解析几何中体现得相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，2为半径的圆．(2)通过转化构造“数题形解”许多代数结构都有着相对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a(a>0)与距离互化；将a2与面积互化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cos θ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通；将a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图像也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径．[例1] (2013·长沙模拟)若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，12 B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，12 [思维流程][解析] 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]， ∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，∴f (x ＋1)＝x ＋1.而由f (x )＋1＝1f (x ＋1)，可得f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1(x ∈(－1,0])．如图所示，作出函数f (x )在区间(－1,1]内的图像，而函数g (x )零点的个数即为函数f (x )与y ＝mx ＋m 图像交点的个数，显然函数y ＝mx ＋m 的图像为经过点P (－1,0)，斜率为m 的直线．如图所示，f (1)＝1，故B (1,1)．直线PB 的斜率k 1＝1－01－(－1)＝12；直线PO 的斜率为k 2＝0.由图可知，函数f (x )与y ＝mx ＋m 的图像有两个交点，则直线y ＝mx ＋m 的斜率k 2<m ≤k 1，即m ∈⎝⎛⎦⎤0，12. [答案] D——————————规律·总结———————————————————利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．1．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内零点的个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析：选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图像，结合图像得，当x ∈[－5,5]时，它们的图像的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数是8.[2((2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．[思维流程][解析] (1)在同一坐标系中，分别作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图像，由图可知，x 的取值范围是(－1,0)．(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.[答案] (1)(－1,0) (2)⎝⎛⎦⎤－∞，12 ————————规律·总结——————————————————————利用数形结合解不等式应注意的问题解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决．2．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．(2,3] B ．[4，＋∞) C ．(1,2]D ．[2,4)解析：选C 设y 1＝(x －1)2，y 2＝log a x ，则y 1的图像为如图所示的抛物线．要使对一切x ∈(1,2)，y 1<y 2恒成立，显然a >1，并且只需当x ＝2时，log a x ≥1，即a ≤2，所以1<a ≤2.[例3] (1)如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx 的最大值为( )A.12B.33C.32D. 3(2)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2 D.22[思维流程][解析] (1)(x －2)2＋y 2＝3表示坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径r ＝3，如图，而y x ＝y －0x －0表示圆上的点(x ，y )与原点O (0,0)连线的斜率．该问题转化为如下几何问题：点A 在M (2,0)为圆心，3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知，当点A 在第一象限，且OA 与圆相切时OA 的斜率最大． 连接AM ，则AM ⊥OA ，|OA |＝|OM |2－|AM |2＝22－(3)2＝1，可得yx的最大值为tan ∠AOM ＝3，故选D.(2)因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC ＝c ，OA ＝a ，OB ＝b ，CA ＝a －c ，CB ＝b －c ，即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ，所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2. [答案] (1)D (2)C——————————规律·总结——————————————————————利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义．第二步：转化为几何问题． 第三步：解决几何问题． 第四步：回归代数问题．第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．3．对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是( )A ．2B ．3C ．8D ．－1解析：选A 分别画出y ＝－x ＋3，y ＝32x ＋12，y ＝x 2－4x＋3三个函数的图像，如图所示，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．函数f (x )的表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x ＋3，0<x ≤1，32x ＋12，1<x ≤5，x 2－4x ＋3，x >5，f (x )的图像是图中的实线部分，图像的最低点是B (1,2)，所以函数f (x )的最小值是2.4．当0<x <π2，函数f (x )＝1＋cos 2x ＋4sin 2x sin 2x 的最小值为( )A ．－4B ．－2 2C ．4D ．2 2解析：选D f (x )＝1＋cos 2x ＋2(1－cos 2x )sin 2x ＝3－cos 2x0－(－sin 2x )，它表示点(0,3)与点(－sin 2x ，cos 2x )连线的斜率，而点(－sin 2x ，cos 2x )在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时是圆x 2＋y 2＝1的左半圆(不含端点)，数形结合可知当过(0,3)的直线与该半圆相切时，斜率最小，即f (x )最小．设切线方程为y ＝kx ＋3，则|3|k 2＋1＝1⇒k ＝22或k ＝－22(舍)，故f (x )的最小值为2 2.1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图像；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图像； (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则 (1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．(3)简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法．[数学思想专练(二)]一、选择题1．不等式x 2－log a x <0，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B.116≤a ＜1 C ．a >1D ．0<a ≤116解析：选B 不等式x 2－log a x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，所以a ≥116，所以116≤a <1.2．(2013·西城模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数g (x )＝f (x )－e x 的零点即为函数f (x )与y ＝e x 的图像交点的个数，如图所示，作出函数f (x )与y ＝e x 的图像，由图像可知两个函数图像有两个交点，∴函数g (x )＝f (x )－e x 有两个零点．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 令x ＋1＝0，得x ＝－1，令log 2x ＝0，得x ＝1；令F (x )＝f (f (x ))＋1，则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤－1，log 2(x ＋1)＋1，－1<x ≤0，log 2x ＋2，0<x ≤1，log 2(log 2x )＋1，x >1.作出函数y ＝F (x )的图像如图所示，有4个零点．4．已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3， ∴4＋4a ·b ＋3＝7，即a ·b ＝0，∴a ⊥b . 如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ， ∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝31，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3. 5．以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于M ，N 两点，若直线MF 1(F 1为椭圆的左焦点)是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A ．2－ 3 B.3－1 C.22D.32解：选B 如图，易知|MF 2|＝c ，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|MF 1|＝2a －c .在△F 1MF 2中，∵MF 1⊥MF 2，又|F 1F 2|＝2c ，∴(2a －c )2＋c 2＝(2c )2，即2a 2－2ac －c 2＝0.方程两边同除以－a 2得e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 画出函数f (x )的图像，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10,10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<a bc <12.二、填空题7．如果函数y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)的图像与函数y ＝k (x －2)＋4的图像有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．解析：函数y ＝1＋4－x 2的值域为[1,3]，将y －1＝4－x 2两边平方，得x 2＋(y －1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y ＝1＋4－x 2的图像是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A (－2,1)和点B (2,1)；函数y ＝k (x －2)＋4是过定点P (2,4)的直线．画出两函数的图像如图所示，易得实数k 的范围是⎝⎛⎦⎤512，34.答案：⎝⎛⎦⎤512，348．已知1a ＋2b ＝1(a >0，b >0)，当ab 取最小值时，方程2－2x ＝b －bax |x |的实数解的个数是________．解析：1ab ＝12⎝⎛⎭⎫1a ·2b ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 22＝18，当1a ＝2b ，即a ＝2，b ＝4时等号成立，则方程1－x ＝2－x |x |，在同一坐标系作出y 1＝－(x －1)和y 2＝2－x |x |的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为1.答案：19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，作出函数f (x )的图像，显然f (x )在(－∞，0)上单调递减，而a >0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2a ×12－1＝a －1，所以若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a －1>0，即a >1，故③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确．综上，正确的命题有①③④. 答案：①③④ 三、解答题10．设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围．解：f (x )≤g (x )， 即a ＋－x 2－4x ≤43x ＋1，变形得－x 2－4x ≤43x ＋1－a ，令y ＝－x 2－4x ， ①y ＝43x ＋1－a ， ② ①变形得(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1－a 的平行直线系． 设与圆相切的直线为AT ，其倾斜角为α，则有tan α＝43，0<α<π2， ∴sin α＝45，cos α＝35， |OA |＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝2·1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝ 2·1＋sin αcos α＝2⎝⎛⎭⎫1＋4535＝6. 要使f (x )≤g (x )在x ∈[－4,0]恒成立，则②所表示的直线应在直线AT 的上方或与它重合，故有1－a ≥6，即a ≤－5.所以实数a 的取值范围是(－∞，－5]．11．已知a >0，函数f (x )＝x |x －a |＋1(x ∈R )．(1)当a ＝1时，求所有使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0,3)时，求函数y ＝f (x )在闭区间[1,2]上的最小值．解：(1)因为x |x －1|＋1＝x ，所以x ＝－1或x ＝1.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1， x ≥a ，－x 2＋ax ＋1， x <a ， (其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴是x ＝a 2≤12<1， 所以函数y ＝f (x )在区间[1,2]上递增，f (x )min ＝f (1)＝2－a;②当1<a ≤2时，当x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1；③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1，对称轴是x ＝a 2∈⎝⎛⎭⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3.因为(2a －3)－a ＝a －3<0，所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.12．设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，g (x )，x >0，其中f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝12x 2－ln x ，方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解：x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x>0，所以当x ＝1时，g (x )取极小值g (1)＝12. (1)当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有4个解；(2)当a <0时，因为f ′(x )＝3a (x 2－1)，若x ∈(－∞，0]时，f ′(x )＝3a (x 2－1)，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(1)所示，从图像可以看出F (x )＝a 2不可能有4个解．图(1) 图(2)(3)当a >0时，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(2)所示，从图像看出方程F (x )＝a 2若有4个解，则12<a 2<2a ，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.。
高考复习理科数学专题强化训练：数形结合思想含解析
在同一坐标系中画出函数图象，得c<a<b，故选D.
答案：D
10．[20xx·大庆质检三]定义在R上的函数f(x)同时满足：①对任意的x∈R都有f(x＋1)＝f(x)；②当x∈(1,2]时，f(x)＝2－x.若函数g(x)＝f(x)－logax(a>0且a≠1)恰有3个零点，则a的取值范围是( )
答案：C
2．[20xx·江淮十校模拟]函数f(x)＝ 的图象为( )
解析：由f(－x)＝－ ＝－f(x)，得f(x)的图象关于原点对称，排除选项C，D；当x>0时，得f(x)>0，排除选项B，故选A.
答案：A
3．[20xx·甘肃二诊]函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，如图所示，则方程(f(x))2－5f(x)＋6＝0的所有根之和为( )
答案：B
15．[20xx·福建龙岩质检]已知f(x)＝ ，若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)－1－m＝0恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：解方程[f(x)]2＋mf(x)－1－m＝0，得f(x)＝1或f(x)＝－m－1；解f(x)＝1得x＝0，所以方程f(x)＝－m－1有3个不是0的根．
答案：C
7．[20xx·湖南师大附中模拟]如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 ＝( )
A. ＋ B. ＋
C. ＋ D. ＋
解析：根据题意，得 ＝ ( ＋ )，又 ＝ ＋ ， ＝ ，所以 ＝ ( ＋ ＋ )＝ ＋ ，故选D.
答案：D
8．[20xx·宣城第二次调研]已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝20xx＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
高三理科数学用数形结合解选择题专项练习含解析答案
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到， FB FC 稍大于 MN （通径，长为 4），∴ FA FB FC 6 ，选 B。
5. 若圆 x2 y2 4 x 4 y 10 0 上至少有三个不同的点到直线
l : ax by 0 的距离为
2 2 ，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是（ ）
解析：数形结合法， f ( x) 是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图 知选 B。
8. 方程 x 3 ( 1 )x 2 的解 x0 的取值区间是（
）
2
A、（ 0， 1） B 、（ 1， 2） C 、（2， 3） D 、（ 3，4）
解析：数形结合，在同一坐标系中作出函数
3
y x，
y (1)x 2 2 的图象，则立刻知选 B，如右图。
二、由函数解析式画函数图象（数转化为形）
1. 方程 x cosx 在 ( , ) 内
（）
(A) 没有根
(B)
(C) 有且仅有两个根
有且仅有一个根 （ D）有无穷多个根
解析： 选 C. 构造两个函数 y | x |和 y cosx ，在同一个坐标系内画出它们的
图象，如图所示，观察知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．
2 f( )
3
2
3
C、
f
2 ()
1 f( )
3 f( )
3
3
2
B
、
f
2 ()
3 f( )
1 f( )
3
2
3
D
．
f
3 ()
2 f( )
1 f( )
2
3
3
解析：当 x 1时， f ( x) 3x 1， f ( x) 的
(完整)高考数学(理科)-数形结合思想-专题练习(含答案与解析),推荐文档
1 / 11⎢- , 高考数学（理科）专题练习数形结合思想1. 方程 题组 1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题x 2 - 2x = a 2 + 1(a > 0) 的解的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．42. 已知函数f (x )= log 2 x⎛ 1 ⎫x- ⎪⎝ 2 ⎭ ，则下列结论正确的是()A.f (x )有三个零点，且所有零点之积大于-1B.f (x )有三个零点，且所有零点之积小于-1C. f (x )有四个零点，且所有零点之积大于 1D.f (x )有四个零点，且所有零点之积小于 13．(2016·广州二模)设函数f (x )的定义域为 R ， f (-x )= f (x )， f (x )= f (2 - x )，当 x ∈[0,1]时，f (x )= x 3g (x )= cos (πx ) - f (x ) ⎡ 1 5 ⎤ 2 2 ⎦，则函数 在 上的所有零点的和为()A ．7B ．6C ．3D ．24．(2016·合肥二模)若函数 f (x )= a + sin x 在[π, 2π]上有且只有一个零点，则实数a = ．2 / 11⎪,( ) { } ( ) ( ) ( ) ⎨ 1 ⎪x 3, x ≤ a f (x )= ⎩⎨x 2 , x > a b g (x )= f (x )= b a5. 已知函数 若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是．题组 2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围log a x > sin 2x (a > 0, a ≠ 1) x ∈⎛ 0, π ⎫4 6. 若不等式 对任意 ⎝ ⎭ 都成立，则a 的取值范围为( )⎛ 0, π ⎪⎫ ⎛ π ,1⎫⎪A ．⎝ 4 ⎭ B ．⎝ 4 ⎭⎛ π π⎫C ． ⎝ 4 2 ⎪⎭D ．(0,1) f x x | x ≠ 0 f 1 = 1 f ' x f x 7．(2016·黄冈模拟)函数 是定义域为 的奇函数，且 ， 为的导函数，当f (x )+ xf ' (x )> 1x > 0 时， x ，则不等式 xf (x )> 1 + ln x 的解集是( )A ． (-∞, -1) (1, +∞) C ．(1, +∞) x - 2a ≥ 1x + a -1B ． (-∞, -1) D ．(-1,1) (－1，1)8. 若不等式2 对 x ∈ R 恒成立，则 a 的取值范围是 ．⎧ lg x , 0 < x ≤ 10f (x )= ⎪ - x + 6, x > 10 f (A )= f (B )= f (C ) abc9. 已知函数 ． ⎪2 若 a ，b ，c 互不相等，且f (x )= sin ⎛2x + π ⎫ π 3 ⎪，则 f (x )的取值范围是π 10. 已知函数⎝ ⎭ 的相邻两条对称轴之间的距离为 4 ，将函数 的图象向右平移8 个 ⎡ π ⎤0,单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 g (x )的图象，若 g (x )+ k = 0 在⎢ 2 ⎦ 上有且 x ∈3 / 11F l C 只有一个实数根，则 k 的取值范围是 ．题组 3 利用数形结合解决解析几何问题C : ( x - 3 )2+(y-4)2 = 1A (-m , 0)B (m , 0 )m ( > 0)C P11. 已知圆和两点 ，．若圆 上存在点 ，使得∠APB = 90o ，则 m 的最大值为()A ．7B ．6C ．5D ．4y 2 = 2 px (p > 0 ) 12．(2016·衡水模拟)过抛物线 焦点 的直线 与抛物线交于 ， 两点， 与抛物线的准线交于点 A ，且 AF = 6， AF = 2BF ，则BC = ( )9A ．213C ．2B ．6D ．813. 已知P 是直线l : 3x + 4 y + 8 = 0 上的动点， PA ， PB 是圆 x 2 + y 2 - 2x - 2 y + 1 = 0 的两条切线， A ， B 是切点，C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为 ．已知过原点的动直线l 与圆 C 1:x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A ， B ．(1) 求圆C 1 的圆心坐标；(2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k ，使得直线l : y = k (-4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．14.⎥2高考数学（理科）专题练习数形结合思想答案1．B2．A3．A4．15．(-∞, 0) (1, +∞) 6．A7．A⎛-∞,1 ⎤8．⎝⎦9．(10,12)⎧k | -1<k ≤1或k=- 1⎫⎨ 2 2 ⎬10．⎩⎭11．B12．A13．2C x2 +y2 - 6x + 5 = 0 (x-3)2+y2=4(3, 0)14.解：(1)圆 1 的方程可化为，所以圆心坐标为． 2 分(2)设A(x1, y1 )，B (x2 , y2 )(x1 ≠x2 )，24 / 115 / 11= ⎝ 3 l2 2 2M (x , y) x = x 1 + x 2 y = y 1 + y 20 0 ，则， 02 ． 由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为 y = tx ．C(1+ t 2 )x 2 - 6x + 5 = 0 将上述方程代入圆 1 的方程，化简得 ． 5 分6 3∆ = 36 - 20(1+ t 2 )> 0(*) x 1 + x 2 = 1 + t 2 x 0 = 1 + t 2 l由题意，可得 ， ，所以 ，代入直线 的方程，得3t y 0 1 + t 2． 6 分9 9t 2 9(1+ t 2 ) 9 3 9 x 0 + y 0 = (1 + t )2 + (1 + t )2 = (1 + t )2= 1 + t 2 = 3x 0 ⎛ ⎫ + y 2= x 0 - 2 ⎪ 04因为 ，所以⎝ ⎭ ．(*) t 2 < 45< x ≤ 3 由 解得 5 ，又t 2≥ 0 ，所以 3 0 ．⎛3 ⎫29 ⎛ 5 ⎫x - ⎪ 所以线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程为⎝ 2 ⎭+ y 2= 4 3 < x ≤ 3⎪⎭ ． 8 分⎛ 5 ,3⎤⎥(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝⎦ 上的一段圆弧．D ⎛ 5 , 2 5 ⎫E ⎛ 5 , -2 5⎫ F (3, 0) G (4, 0)如图， ⎝ 3 3 ⎭ ， ⎝ 3 3 ⎭， ，直线l 过定点 ．(1 + k 2)x 2- 3( - 8k 2 x + 16k 2 = 0联立直线 的方程与曲线 的方程，消去 y 整理得．k = ± 3 I = 12 ∈⎛ 5 ,3⎤令判别式∆ = 0 ，解得4 ，由求根公式解得交点的横坐标为x H ， 5 ⎝ 3 ⎦ ． 11 分 0 26 / 112 5 7 由图可知：要使直线l 与曲线C 只有一个交点，则 k ∈[k DG , k EG ] {k GH , k GI }，即⎡ k ∈ ⎢- 2 5 ⎤ ⎧ 3 3 ⎫ , 7 ⎥ ⎨- , ⎬⎣ ⎦ ⎩ 4 4 ⎭ ． 12 分7 / 11( )1 11 5 151 5上的零点的和为 7，故选 A ． 高考数学（理科）专题练习数形结合思想 解 析1．∵a ＞0，∴a 2＋1＞1． 而 y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与 y ＝a 2＋1 的图象总有 2 个交点．12. 在同一坐标系中分别作出 f 1(x )＝|log 2|x ||与 f 2(x )＝2 x 的图象，如图所示，由图象知 f 1(x )与 f 2(x )有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是 x 1，x 2，x 3， (－2) (－4)2 4 2因为 f＜0，f1＞0，所以－ ＜x 1＜－ ，同理 ＜x 2＜1，1＜x 3＜2，即－1＜x 1x 2x 3＜－8，即所有零点之积大于－1．3. 函数 g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在[－2，2 ]上的零点为函数 h (x )＝|cos(πx )|与函数 f (x )的交点的横坐标．因为 f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，所以函数 f (x )为关于 x ＝1 对称的偶函数，又因为当 x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则 在平面直角坐标系内画出函数 h (x )＝|cos(πx )|与函数 f (x )在[－2，2 ]内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有 7 个交点，不妨设从左到右依次为 x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则由图易得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 5＝2，x 4＝1，x 6＋x 7＝4，所以 x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝7，即函数 g (x )＝|cos(πx )|－f (x ) [－2，2 ]4. 函数 f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程 a ＋sin x ＝0 在[π，2π]上只有一解，即函数y ＝－a 与 y ＝sin x ，x ∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得 a ＝1．1 1 1 在8 / 114(5. 函数 g (x )有两个零点，即方程 f (x )－b ＝0 有两个不等实根，则函数 y ＝f (x )和 y ＝b的图象有两个公共点．①若 a ＜0，则当 x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当 x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线 y ＝b 可能有两个公共点．②若 0≤a ≤1，则 a 3≤a 2，函数 f (x )在 R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线 y ＝b 至多有一个公共点．③若 a ＞1，则 a 3＞a 2，函数 f (x )在 R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线 y ＝b 可能有两个公共点．综上，a ＜0 或 a ＞1．6. 记 y 1＝log a x (a ＞0，a ≠1)，y 2＝sin 2x ，原不等式即为 y 1＞y 2，由题意作出两个函数(π，1) π4 π4的图象，如图所示，知当 y 1＝log a x 的图象过点 A时，a ＝ ，所以当 ＜a ＜1 时，π 0，对任意 x ∈ 都有 y 1＞y 2．7. 令 g (x )＝xf (x )－ln|x |，则 g (x )是偶函数，9 / 113((1且当 x ＞0 时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－x ＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增．故不等式 xf (x )＞1＋ln|x |⇔g (|x |)＞g (1)，∴|x |＞1，解得 x ＞1 或 x ＜－1．故选 A ．1 18. 作出 y ＝|x －2a |和 y ＝2x ＋a －1 的简图，依题意知应有 2a ≤2－2a ，故 a ≤2．]9. 作出 f (x )的大致图象．由图象知，要使 f （A ）＝f （B ）＝f （C ），不妨设 a ＜b ＜c ，1则－lg a ＝lg b ＝－2c ＋6．∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝C ． 由图知 10＜c ＜12，∴abc ∈(10，12)．π T π π10. 因为 f (x )相邻两条对称轴之间的距离为4，结合三角函数的图象可知2＝4，即 T ＝2．2π π 2ω 2 (4x ＋π)又 T ＝ ＝ ，所以 ω＝2，f (x )＝sin ．π π π π[ ( ) ] ( 4 x － ＋ 4x －将 f (x )的图象向右平移 个单位得到 f (x )＝sin 8 π 2x －原来的 2 倍得到 g (x )＝sin 的图象．π2x －所以方程为 sin＋k ＝0.ππ ＝sin 8 的图象，再将所有点的横坐标伸长为[60，令 2x － ＝t ，因为 x ∈ 2 ，π 5π 所以－6≤t ≤ 6 ．ππ5π[0，]－，]若g(x)＋k＝0 在x∈上有且只有一个实数根，即y＝sin t 与y＝－k 在 6 6 上有且只有一个交点．如图所示，由正弦函数的图象可知1 1－2≤－k＜2或－k＝1，1 1即－2＜k≤2或k＝－1．]11.根据题意，画出示意图，如图所示，1则圆心C 的坐标为(3，4)半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝2|AB|＝m．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC|＝|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m 的最大值为6．32＋42＝5，所以→→AF FB12.如图所示，直线与抛物线交于B，C 两点，与抛物线的准线交于A 点．∵ ＝2 ，∴F 在A，B 中间，C 在A，F 之间，分别过B，C 作准线的垂线BB1，CC1，垂足分别为B1，C1．由抛物线的定义可知|BF|＝|BB1|，|CF|＝|CC1|．→→AF FB∵ ＝2 ，|AF|＝6，∴|FB|＝|BB1|＝3．由△AFK∽△ABB1可知，|FK| |AF||BB1|＝|AB|，∴|FK|＝2．10 / 1111 / 11 32＋42 设|CF |＝a ，则|CC 1|＝a ，|CC 1| |AC |由△ACC 1∽△AFK ，得 |FK | ＝|AF |．a 6－a 3∴2＝ 6 ，∴a ＝2．3 9∴|BC |＝|BF |＋|FC |＝3＋2＝2．13. 从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x ＋4y ＋8＝0 向左上方或右下方无1 1穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 S Rt △PAC ＝2|PA |·|AC |＝2|PA |越来越大，从而 S 四边形PACB 也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直于直线 l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，|3 × 1＋4 × 1＋8|此时|PC |＝ ＝3，从而|PA |＝ |PC |2－|AC |2＝2 2．1所以(S 四边形PACB )min ＝2×2×|PA |×|AC |＝2 2．14. 14．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
2022届高考数学一轮专题复习之数形结合(含解析)
数形结合 A 组一、选择题1. 函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f (x )=a 有且只有一个实根，那么a 满足( )A.a <0B.0≤a <1C.a =1D.a >1答案：C解析 ：由图知a =1时，图象只有一个交点，故选C.2.已知函数f (x )＝x 2＋e x－12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1eB.()－∞，eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e答案：B解析：由题意可得，当x >0时，y ＝f (－x )与y ＝g (x )的图象有交点，即g (x )＝f (－x )有正解，即x 2＋ln(x ＋a )＝(－x )2＋e －x－12有正解，即e－x－ln(x ＋a )－12＝0有正解，令F (x )＝e －x－ln(x ＋a )－12，则F ′(x )＝－e －x－1x ＋a<0，故函数F (x )＝e －x－ln(x ＋a )－12在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g (x )＝f (－x )有正解，则存在正数x 使得F (x )≥0，即e －x－ln(x ＋a )－12≥0，所以a ≤1e 2e x x ---，又y ＝1e 2e x x ---在(0，＋∞)上单调递减，所以a <1e 02e 0---＝12e ，选B.3.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 答案：B解析.根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离.因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.4.设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x)≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( ) A.34π B.35π C.47π D.π2答案：D 解析：因为对于集合A ，(y －x )⎝⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0，其表示的平面区域如图.对于集合B ，(x －1)2＋(y －1)2≤1表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆及其内部区域，其面积为π.由题意意知A ∩B 所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y ＝1x与直线y ＝x 将圆(x －1)2＋(y －1)2＝1分成S 1，S 2，S 3，S 4四部分.因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与y ＝1x的图象都关于直线y ＝x 对称，从而S 1＝S 2，S 3＝S 4，而S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝π，所以S 阴影＝S 2＋S 4＝π2.二、填空题5.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称.若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________.答案：(210，＋∞) 解析 由已知得h x ＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2，3x ＋b >4－x 2恒成立.在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b10>2，即b >210，故答案为(210，＋∞).6．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．【解析】 ∵|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )，得a 2＝5c 2，∴e ＝c a ＝55.【答案】 55三、解答题7.已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.(2)g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2（x ＋1）（x －1）x.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，∴当g ′(x )＝0时，x ＝1.当1e <x <1时，g ′(x )>0； 当1<x <e 时，g ′(x )<0.故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g (e)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是g (e)．g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0， 解得1<m ≤2＋1e2，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.8.已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m 25－1. 解 法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x . 从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z ). (2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5). ②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。
高考数学思想02 运用数形结合的思想方法解题(精讲精练)(解析版)
思想02运用数形结合的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题核心考点四：解决数学文化、情境问题【真题回归】1．（2022·北京·统考高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=--，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-；故选：D2．（2022·天津·统考高考真题）设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为______．【答案】10a ≥【解析】设()235g x x ax a =-+-，()2h x x =-，由20x -=可得2x =±．要使得函数()f x 至少有3个零点，则函数()g x 至少有一个零点，则212200a a ∆=-+≥，解得2a ≤或10a ≥．①当2a =时，()221g x x x =-+，作出函数()g x 、()h x的图象如下图所示：此时函数()f x 只有两个零点，不合乎题意；②当2a <时，设函数()g x 的两个零点分别为1x 、()212x x x <，要使得函数()f x 至少有3个零点，则22x ≤-，所以，()2224550ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=+-≥⎩，解得a ∈∅；③当10a =时，()21025g x x x =-+，作出函数()g x 、()h x的图象如下图所示：由图可知，函数()f x 的零点个数为3，合乎题意；④当10a >时，设函数()g x 的两个零点分别为3x 、()434x x x <，要使得函数()f x 至少有3个零点，则32x ≥，可得()222450a g a ⎧>⎪⎨⎪=+-≥⎩，解得4a >，此时10a >．综上所述，实数a 的取值范围是[)10,+∞．故答案为：[)10,+∞．3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE直线DE的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==．故答案为：13．4．（2022·浙江·统考高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是_______．【答案】[12+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，822A ⎛- ⎝⎭，设(,)P x y ，于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤，故222128PA PA PA +++的取值范围是[12+．故答案为：[12+．5．（2022·天津·统考高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为___________，若AB DE ⊥，则ACB ∠的最大值为____________【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，2234b a a b+=⋅223cos 4a b b a ACB a b a b ⋅+⇒∠==a = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,(1,)22x y DE AB x y +=--=--，23(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+= 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．【方法技巧与总结】1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．【核心考点】核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点【典型例题】例1．（2023·河北衡水·高三周测）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则在区间(]2,6-内关于x 的方程()()2log 20f x x -+=的根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，所以(2)(2)(2)f x f x f x -=+=-，即()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，当[0,2]x ∈时，则[2,0]x -∈-，此时()()112xf x f x -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即()21,[0,2]xf x x =-∈，由()2log (2)0f x x -+=，(]2,6x ∈-，得()2log (2)f x x =+，分别作出函数()y f x =和2log (2)y x =+，(]2,6x ∈-的图象，如图所示，则由图象可知两个函数的图象的交点个数为4个，即方程()()2log 20f x x -+=的零点个数为4个．故选：D ．例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-【答案】C【解析】设函数1y kx =-00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '，则00,12y y x x +==-，所以02y y =--，而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--，所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =，所以ln122AC k k =-=-=-；（2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得=1x -，所以2(1)31AB k k =-=-+=，故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点；在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-．故选：C ．例3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2＋ex －12（x <0）与g （x ）＝x 2＋ln （x ＋a ）的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．(-∞B ．(-∞C ．)+∞D ．)+∞【答案】B【解析】()()2102xx e f x x =+-<关于y 轴对称得到的函数为()()2102x h x x e x -=+->，依题意可知()h x 与()g x 在()0,∞+上有公共点，由()()h x g x =得()221ln 2x x e x x a -+-=++，()11ln 2x x a e =++．对于函数1xy e =，在()0,∞+上单调递减，且()0,1y ∈．对于函数()1ln 2y x a =++，在()0,∞+上单调递增．当0a ≤时，1ln 2x +的图像向右平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，与1x y e =图像在()0,∞+上必有1个交点．当0a >时，1ln 2x +的图像向左平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，要使()1ln 2y x a =++与1x y e=图像在()0,∞+上有交点，则需当0x =时（也即y 轴上），()1ln 2y x a =++的函数值小于1xy e =的函数值，即0111ln ,ln 22a a e +<<，解得0a <<．综上所述，a 的取值范围是(-∞．故选：B ．例4．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．1,42⎫⎪⎪⎝⎭B ．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】 对于任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，∴函数()f x 关于直线2x =对称，又 当[2x ∈-，0]时，1()2()2xf x =-，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，故函数()f x 在区间(2-，6]上的图象如下图所示：若在区间(2-，6]内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有3个不同的实数解则log 42a >-，log 82a <-，解得：1(,)42a ∈故选：A核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题【典型例题】例5．（2023春·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，若存在0x R ∈，使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】A【解析】函数()f x 可以看作是动点2(,)M x lnx 与动点(,2)N a a 之间距离的平方，动点M 在函数2y lnx =的图象上，N 在直线2y x =的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由2y lnx =得，22y x'==，解得1x =，∴曲线上点(1,0)M 到直线2y x =的距离最小，最小距离5d ==，则4()5f x ，根据题意，要使04()5f x ，则04()5f x =，此时N 恰好为垂足，由2021112MN a a k a a -===---，解得15a =．故选A ．例6．（2023·全国·m ≥对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎝⎦B．2⎛-∞ ⎝⎦C．(-∞D ．(],2-∞【答案】B【解析】设T =T 的几何意义是直线y x =上的点(,)P a a 与曲线()ln f x x =上的点(,ln )Q b b 的距离，将直线y x =平移到与面线()ln f x x =相切时，切点Q 到直线y x =的距离最小．而()1f x x '=，令()0011f x x ='=，则01x =，可得(1,0)Q ，此时，Q 到直线y x =2=，故min ||2PQ =，所以2m ≤．故选：B例7．（2023春·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考期中）设函数()2x f x xe a =+，()x g x e ax =+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，则a 的取值范围是（）A ．3[2e-，1)B ．3[2e，1)C ．3[2e -，34D ．3[2e ，3)4【答案】B【解析】由题意可知，存在唯一的整数x ，使得(21)x x e ax a -<-，构造函数()(21)x h x x e =-，则()(21)x h x x e '=+．当12x <-时，()0h x '<；当12x >-时，()0h x '>．所以，函数()(21)x h x x e =-的单调递减区间为1(,)2-∞-，单调递增区间为1(,)2-+∞．函数()y h x =在12x =-处取得极小值1(2h -=如下图所示，由于(0)1h =-，3(1)h e-=-，所以，(1)(0)h h -<，结合图象可知，(0)0(1)(1)h a a h a a <⨯-⎧⎨-⨯--⎩，解得312a e < ．故选：B核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题【典型例题】例8．（2023·全国·高三专题练习）已知3,||,||AB AC AB t AC t ⊥==，若点P 是ABC 所在平面内的一点，且3||||AB ACAP AB AC =-，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．8B ．10C ．12D ．13【答案】C【解析】∵AB AC ⊥，∴可以A 为原点，,AB AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设()30,,(,0)B t C t ，则(0,1)3(1,0)(3,1)AP =-=- ，故点P 坐标为(3,1)-则()33,1,(3,1)PB t PC t =--=-- ，∴()333(3)1310PB PC t t t t ⋅=---+-=-++ 令3()310,0f t t t t =-++>，则2(333(1)(1),0f t t t t t -+=-+-≥'，则当(0,1)t ∈时，()0f t '>，当(1,)t ∈+∞时，()0f t '<，则函数()f t 在[0,1)递增，在(1,)+∞上递减，则max ()(1)12f t f ==，即PB PC ⋅的最大值为12．故选：C ．例9．（2023春·浙江杭州·高二学军中学阶段练习）2≤的解集为[],a b ，则ab 的值是（）A ．5B．C ．6D ．7【答案】D【解析】设23y =，则y =2≤．2=．2=±2=，两边平方可得，()()2222154x y x y -+=-+±，整理可得，27x =-，两边平方整理可得()22313y x --=．2=表示的点(),x y 在双曲线()22313y x --=上．2≤表示的点(),x y 在双曲线()22313yx--=上及其内部．2≤与不等式组()2223133y x y ⎧--≤⎪⎨⎪=⎩同解，整理可得2670x x -+≤．由已知可得，不等式2670x x -+≤的解集是[],a b ，所以2670x x -+=的两个解为a 、b ，根据韦达定理有7ab =．故选：D ．例10．（2023春·安徽六安·(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，则k =（）A ．3B C D ．2【答案】C【解析】如图所示：因为y =4为半径位于x 轴上方（含和x 轴交点）的半圆，(0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以2k ==故选：C ．核心考点四：解决数学文化、情境问题【典型例题】例11．（2023·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大．”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M （-1，2），N （1，4），点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（）A ．1B ．-7C ．1或-1D ．2或-7【答案】A【解析】由题M （-1，2），N （1，4），则线段MN 的中点坐标为（0，3），易知1MN k =，则经过M ，N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线3y x =-上．设圆心为(),3S a a -，则圆S 的方程为()()()222321x a y a a -+-+=+．当MPN ∠取最大值时，圆S 必与x 轴相切于点P （由题中结论得），则此时P 的坐标为(),0a ，代入圆S 的方程，得()()22213a a +=-，解得1a =或7a =-，即对应的切点分别为P （1，0）和()7,0P '-．因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，又过点M ，N ，P '的圆的半径大于过点M ，N ，P 的圆的半径，所以MPN MP N ∠>∠'，故点P （1，0）为所求，即点P 的横坐标为1．故选：A ．例12．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2π+；②曲线C 上的任意两点间的距离不超过2；③若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则3m n +-的最小值是1．其中正确结论的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】当0x 且0y 时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当0x 且0y 时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当0x 且0y 时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当0x 且0y 时，曲线C 的方程可化为22111222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线C 的图像如图所示；由图可知，曲线C从而曲线C所围成的面积2114π2π22⨯⨯+=+，故①正确；过原点O 且连接两个半圆圆心M 、N 的直线交曲线C 于D 、E两点，如下图所示：则|||||MN DM EN ===，所以，||||||||2DE MN DM EN =++=>，故命题②错误；因为(,)P m n 到直线30x y +-=的距离为d ，所以|3|m n +-=，当d 最小时，易知(,)P m n 在曲线C 的第一象限内的图象上，因为曲线C 的第一象限内图象是圆心为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭的半圆，所以圆心11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线30x y +-=的距离d '所以min d d ='⎭所以|3|m n +-的最小值为12=，故③正确．故选：C例13．（2023·青海海东·统考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 在 BC 的中点，则()PA PB PO +⋅=___________．【答案】8【解析】方法一：图3如图3，取BC 中点为E ，连结PO ，显然PO 过E 点．易知，90BPC ∠=o ，45BPE ∠= ，则1EP EB EC ===，PB =2PO PE OE =+=．所以，cos PB PO PB PO BPE ⋅=∠ 222=⨯=．图4如图4，延长PO 交AD 于F ，易知F 是AD 的中点，且PF AD ⊥．则3PF PE EF =+=，1AF =，在Rt AFP 中，AP ==，cos10PF APF PA ∠==所以，cos PO PA PO PA APF ⋅=∠ 26==．所以，()8PA PB PO PA PO PB PO +⋅⋅==⋅+．故答案为：8．方法二：图5取BC 中点为E ，连结PO ，显然PO 过E 点．易知，90BPC ∠=o ，45BPE ∠= ，1PE =如图5，取AB 中点为G ，显然OG PO ⊥，1OG =，2PO PE OE =+=．在Rt GOP 中，PG ==cosOP GPO PG ∠===．又G 为AB 中点，则2G PA B P P =+．所以，()2PA PB PO PG PO +⋅=⋅ cos 2GPO PG PO =∠ 228==．故答案为：8．【新题速递】一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线():40l x m y +-=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（）A ．03m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤≤【答案】B【解析】x =表示的曲线是圆心为()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +-=必过定点()0,4，当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得m =，当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点，所以要使直线和曲线有两个交点，则0m ≤<故选：B.2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x ，y 是实数，且22410x y x +-+=，则21y x ++的最大值是（）A ．66B ．116C ．336D ．66【答案】D【解析】方程可化为()223x y -+=，表示以()2,021y x ++的几何意义是圆上一点与点A ()1,2--连线的斜率，设21k y x =++，即()21y k x +=+，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB 时斜率最大.=，66k =，，所以21y x ++的最大值为66.故选：D ．3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()24f x x x =-.若函数()()()R g x f x m m =+∈，则函数()g x 的零点个数不可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()224(2)4f x x x x =-=--,作出()f x的图象如图：，故当0m =时，()()g x f x =有3个零点；当0m <或4m =时，()()g x f x m =+的图象与x 轴有两个交点，则函数有2个零点；当04m <<时，()()g x f x m =+的图象与x 轴有4个交点，则函数有4个零点；由于()()g x f x m =+也为偶函数，结合()f x 图象可知，()()g x f x m =+不可能有1个零点，故选：A4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】当0x >时，0x -<，()3f x x-=当0x <时，0x ->，()exf x --=()()()3e ,00,0e 3,0x x x xg x f x f x x x x -⎧->⎪∴=--==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x -=--=-，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =->，()3e 0x g x '=->，令()3e 0x g x '=->，解得0ln 3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln 3)3ln 330g =->，而()226e 0g =-<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞-上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点，故选：D.5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，当1x ≥-时，()31x f x -=-，则函数()()12g x f x =-的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D 【解析】令310x --≥解得0x ≤，令310x --<解得0x >，所以当1x ≥-时，()11,1033111,03xx x x f x x -⎧⎛⎫--≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=-=⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩，()1f x -为偶函数，所以()1f x -的图象关于y 轴对称，所以()f x 的图象关于直线=1x -轴对称，故作出()f x的图象如下，令()()102g x f x =-=，即()12f x =，由图象可知，()f x 的图象与12y =的图象共有四个交点，所以函数()()12g x f x =-的零点个数为4个.故选:D.6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)f x -是奇函数，当01x 时，有()f x =()(2021)y f x k x =--的零点个数为5，则实数k 取值范围是（）A ．15<2<1kB ．16<3<1kC ．12<4<k 或12k =-D ．31<2k -<-或12<3<k 【答案】C【解析】∵偶函数()f x ，()()f x f x ∴-=，(1)f x -是奇函数，得(1)(1)f x f x -=---，即()(2)f x f x =---，(2)()f x f x ---=-，得4T =，()(2021)0f x k x --=，即()y f x =与(2021)y k x =-的图像交点的个数，因为4T =，即为()y f x =与(1)y k x =-的图像交点的个数，因为()f x =k 应该在1k 与2k 之间或为3k ，21341212k k k ===-12<4<k 或12k =，故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln2,01ln 2ln 2,12x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-+≤<⎪⎩，若存在02a b c <<<<使得()()()f a f b f c ==，则111ab bc ca ++的取值范围是（）A ．20,93⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】∵()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，∴ln 2y x =与()ln 2ln2y x =-+的图象关于直线1x =对称，作出()f x的大致图象如图所示，易知2b c +=，由ln2ln2a b =，即ln 2ln 2a b -=，ln 40ab =，得14ab =，∵112b <<，∴11124a <<，得1142a <<，∴()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a+++++++====--.设81t a =-，则()1,3t ∈，111117184t ab bc ca t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.17t t+≥=t 故当()1,3t ∈时，令()1718h t t t +=+，()h t 单减，()()80136,33h h ==，故1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30 的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（）A ．2160PF F ∠= ，B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【答案】BCD 【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以212PF F π∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确；由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠= ，2c =)222c a ac -=220e -=，解得：e =C 正确；所以==c e a ，所以223c a =，所以22222b c a a =-=，所以b a=所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BCD ．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F ，l 与抛物线交于,P Q两点（P 在第一象限），以,PF QF 为直径的圆分别与y 轴相切于,A B 两点，则下列结论正确的是（）A ．32||3PQ =B ．ABC ．若M 为抛物线C 上的动点，(2,1)N ，则min (||||)4MF MN +=D ．若0(,M x 为抛物线C 上的点，则9MF =【答案】ABC【解析】设直线PQ 的方程为：y =x ﹣2），与28y x =联立整理可得：3x 2﹣20x +12=0，解得：x 23=或6，则P （6，，Q （23，3-）；所以|PQ |=623++4323=，选项A 正确；因为F (2,0),所以PF ，QF 的中点分别为：（4，，（43，3-），所以A （0，，B （0，3-），所以|AB 33=，选项B 正确；如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |=|ME |，所以|MF |+|MN |=|ME |+|MN |≥NE =2+2=4，当N ，M ，E 三点共线时，|MF |+|MN |最小，且最小值为4，选项C 正确；对于选项D ，若0(M x 为抛物线C 上的点，则05x =，又4p =，所以072p MF x =+=，选项D 错误.故选：ABC.10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2BD CD ==，ABD △为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE 与BF 所成角的余弦值为28，则AF 的值可能为（）A ．23B ．1C ．43D ．53【答案】AC【解析】由ABD △为等边三角形，取BD 的中点O ，连接AO ,则AO BD⊥又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD=所以AO ⊥平面BCD ，由BD CD⊥过O 作与CD 平行的直线为y 轴，分别以,OB OA 为,x z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为2BD CD ==，则()1,0,0B ，()()(1,0,0,1,2,0,D C A --，所以1,1,22E ⎛- ⎝⎭．设()F a，则12DE ⎛= ⎝⎭，()BF a =- ，则28=13a =-或23a =-，故1233AF AD ==或2433AF AD ==．故选：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知G 为ABC 的重心，60BAC ∠=︒，2AB AC ⋅= ，则||AG uuu r 的可能取值为（）A ．23B ．1CD ．32【答案】CD【解析】如图，G 是ABC 的重心，记,,AB c AC b AB a ===，则2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+ ，222222111()(2)(4)999AG AB AC AB AB AC AC b c =+=+⋅+=++ ，又1cos 6022AB AC bc bc ⋅=︒== ，即4bc =，所以2228b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以214(84)93AG ≥⨯+=．即3AG ≥ ．只有CD 满足．故选：CD ．12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ= ，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（）A ．43B ．32C ．53D ．3【答案】BD【解析】如图，()AM MB AB AM λλ==- ，1AM AB λλ∴=+ ，即1AB AM λλ+= ，设AC t AN = ，则11()333t AG AB AC AM AN λλ+=+=+ ，M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=-，所以12AC AN λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，AMN ∴ 与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯ ，即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ-+=，解得32λ=或3.故选：BD13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯ 叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯ ，()b a b ⊥⨯ ，且a ，b 和a b ⨯ 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②a b ⨯ 的模sin ,a b a b a b ⨯= ，(,a b 表示向量a ，b 的夹角)．在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下四个结论，正确的有（）A ．11AB AC AD DB⨯=⨯ B ．111AC A D ⨯ 与1BD 共线C ．AB AD AD AB ⨯=⨯ D ．6BC AC ⨯ 与正方体表面积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A ，设正方体的棱长为1，在正方体中1,60AB AC =︒ ，则111sin ,AB AC AB AC AB AC ⨯= ，因为11//BD B D ，且1160AD B ∠=︒，所以1,120AD DB =︒ ，所以111sin ,2AD DB AD DB AD DB ⨯== 所以11AB AC AD DB ⨯=⨯ ，所以A 正确；对于B ，1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B B B D B ⋂=，111,B B B D ⊂平面11BB D D ，11A C ⊥平面11BB D D ，因为1BD ⊂平面11BB D D ，所以111BD A C ⊥，同理可证11BD A D ⊥，再由右手系知，111AC A D ⨯ 与1BD 同向，所以B 正确；对于C ，由a ，b 和a b ⨯ 构成右手系知，a b ⨯ 与b a ⨯ 方向相反，又由a b ⨯ 模的定义知，sin ,sin ,a b a b a b b a a b b a ⨯===⨯ ，所以a b b a ⨯=-⨯ ，则AB AD AD AB ⨯=-⨯ ，所以C 错误；对于D ，正方体棱长为a ，266sin 4566BC AC BC AC a a ⨯=⋅︒=⨯⨯，正方体表面积为26a ，所以D 对．故选：ABD ．三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪+⎩.若关于x 的方程()()()2[]2110f x m f x m +--+=有6个不同的实数根，则m 的取值范围___________.【答案】7,5⎛- ⎝⎭【解析】因为243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪+⎩，所以当0x ≤时，()243f x x x =++开口向上，对称轴为2x =-，()()min 21f x f =-=-，两零点为1,3x x =-=-；当0x >时，()411f x x =-+，则()f x 在()0,∞+上单调递减，零点为3x =，且()1f x >-；由此作出()f x的图像如图，.令()t f x =，则当13t -<<时，()t f x =有三个实数根，因为()()()2[]211f x m f x m +--+有6个不同的实数根，所以()22110t m t m +--+=必须有两个不等实根12,t t ，且()21,1,3t t ∈-，令()()2211g t t m t m =+--+，则()()103021132Δ0g g m ⎧->⎪>⎪⎪⎨--<-<⎪⎪>⎪⎩，即()()()()212110932110621221410m m m m m m m ⎧---+>⎪+--+>⎪⎨-<-<⎪⎪---+>⎩，解得75m -<<7,52m ⎛∈-- ⎝⎭.故答案为：7,5⎛- ⎝⎭.15．（2023春·全国·高一期末）已知函数241,1()log 3,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩ 集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=-++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M 中有3个元素，则实数t 的取值范围为________．【答案】{|0t t =或1}2t ≥【解析】令()f x m =，记21()(2)2g m m t m t =-++的零点为12,m m ，因为集合M 中有3个元素，所以()f x 的图象与直线12,y m y m ==共有三个交点，则，12001m m =⎧⎨<<⎩或12101m m =⎧⎨<<⎩或12001m m >⎧⎨<<⎩当10m =时，得0=t ，212m =，满足题意；当11m =时，得12t =，212m =，满足题意；当12001m m >⎧⎨<<⎩时，(0)01(1)1202g t g t t =>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩，解得12t >.综上，t 的取值范围为{|0t t =或1}2t ≥.故答案为：{|0t t =或1}2t ≥16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30,12=︒=A b ，若ABC 有两解，写出a 的一个可能的值为__________．【答案】7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）【解析】由于满足条件的ABC 有两个，则sin b A a b <<，即612a <<.故答案为：7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）．17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数()sin 314f x x m π⎛⎫++- ⎪⎝⎭在3,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则1232x x x ++=______．【答案】53π-【解析】令()0f x =314x m π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故()314f x x m π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的零点为函数()314g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭与函数y ＝m 交点的横坐标，作出函数g (x )在3,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象：令3()42x k k πππ+=+∈Z ，解得()123k x k ππ=+∈Z ，令1k =-，得4x π=-，则由图知2322=4x x ππ⎛⎫+=⨯-- ⎪⎝⎭，令2k =-，得712x π=-，则由图知12772=126x x ππ⎛⎫+=⨯-- ⎪⎝⎭，故123752263x x x πππ++=--=-．故答案为：53π-﹒18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线22:14x y C m-=与直线2y x =无交点，则m 的取值范围是_____．【答案】(]0,16【解析】依题意，由22:14x y C m -=可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，因为双曲线C 与直线2y x =无交点，所以直线2y x =应在两条渐近线上下两部分之间，2≤，解得016m <≤，即(]0,16m ∈.故答案为：(]0,16..。
高考数学(理)二轮专题练习【专题8】(2)数形结合思想(含答案)
第2讲数形结合思想1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构建立体几何模型研究代数问题．(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)构建方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．热点一 利用数形结合思想讨论方程的根例1 (2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)． 思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.作出函数y ＝f (x )及y ＝x 的函数图象如图所示，由图可得交点有3个．热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围例2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．(1)设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是__________．(2)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案 (1)[2－1，＋∞) (2) 2解析 (1)集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1. (2)令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)． 又因为点(－2，－2)在直线上， 所以k ＝22＋21＋2＝ 2.热点三 利用数形结合思想解最值问题例3 (1)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．(2)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16]答案 (1)22 (2)B解析 (1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形P ACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值， 此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2.(2)画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16. ∵d 2＝(|3－0－1|12＋(－1)2)2＝(2)2＝2.∴取值范围是[2,16]．思维升华 (1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(2013·重庆)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 (2)若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是____．答案 (1)B (2)2解析 (1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ |的最小值为圆心到直线x ＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ |min ＝3－(－3)－2＝4.故选B.(2)可行域如图所示．又yx 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，所以k OA ＝2－01－0＝2.所以y x 的最小值为2.1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1．(2013·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案 A解析 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.2．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π 答案 A解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离， ∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45， ∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.3．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 D解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D.4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点．当4个交点横坐标都小于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解x 1，x 2， 消y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 1＋x 2＝a －3<2，x 1x 2＝a <1，联立可得0<a <1. 当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (x －1)有两组不同解x 3，x 4. 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1，联立可得a >9， 综上知，0<a <1或a >9. 押题精练1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 A解析 f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 (x <－3)，2x ＋2 (－3≤x <1)，4 (x ≥1).画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.3．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.答案 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)解析 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角． 又k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，π4]∪[3π4，π)．4．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________． 答案2解析 由题意知原点O 到直线x ＋y －2＝0的距离为|OM |的最小值． 所以|OM |的最小值为22＝ 2. 5．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________． 答案 －33解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.6．设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行． (1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，g (x )，x >0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解 函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0， g ′(x )＝2bx －1x ⇒g ′(1)＝2b －1，依题意得2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，即g (x )在(0,1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x >0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a <0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减， x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－1,0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ， 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解． 当a >0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，－1)上单调递增， x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(－1,0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a .又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所示，从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12<a 2<2a ，所以，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.。
高中数学数形结合思想经典例题（含解析）
高中数学数形结合思想经典例题（含解析）高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<1<="" bdsfid="103" p="">9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝?－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝?|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝?3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<－5<="" bdsfid="173" p=""><－5<="" bdsfid="175" p="">6.<－5<="" bdsfid="177" p="">又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.<－5<="" bdsfid="179" p="">不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<="" )＝ln|x="" 3．函数f=""<－5<="" bdsfid="182" p=""><－5<="" bdsfid="184" p="">【答案】 A<－5<="" bdsfid="186" p="">【解析】因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排除B ，选A.<－5<="" bdsfid="188" p="">4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）<－5<="" bdsfid="190" p="">x <0的解集为( )<－5<="" bdsfid="192" p="">A ．(－2，0)∩(2，＋∞)<－5<="" bdsfid="194" p="">B ．(－∞，－2)∪(0，2)<－5<="" bdsfid="196" p="">C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)<－5<="" bdsfid="198" p="">D ．(－2，0)∪(0，2)<－5<="" bdsfid="200" p="">【答案】 D<－5<="" bdsfid="202" p="">【解析】由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）<－5<="" bdsfid="204" p="">x <0.若x >0，则需<－5<="" bdsfid="206" p="">有f (x )<0，结合图象可知00，结合图象可知<－5<="" bdsfid="209" p="">－2<0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．<="" bdsfid="210" p=""><－5<="" bdsfid="212" p="">5．实数x ，y 满足不等式组<－5<="" bdsfid="214" p="">?x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )<－5<="" bdsfid="216" p="">A.215<－5<="" bdsfid="218" p="">5<－5<="" bdsfid="220" p="">B ．21<－5<="" bdsfid="222" p="">C ．20<－5<="" bdsfid="224" p="">D ．25<－5<="" bdsfid="226" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="228" p="">【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4| <－5<="" bdsfid="230" p="">5<－5<="" bdsfid="232" p="">·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．<－5<="" bdsfid="234" p="">由?<－5<="" bdsfid="236" p="">x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max<－5<="" bdsfid="238" p="">＝21.<－5<="" bdsfid="240" p="">6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)<－5<="" bdsfid="242" p="">B ．(1<－5<="" bdsfid="244" p="">2，1)<－5<="" bdsfid="246" p="">C ．(1，2)<－5<="" bdsfid="248" p="">D ．(2，＋∞)<－5<="" bdsfid="250" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="252" p="">【解析】在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故1<－5<="" bdsfid="254" p="">2<－5<="" bdsfid="256" p=""><1.<="" bdsfid="257" p=""> <－5<="" bdsfid="259" p=""><－5<="" bdsfid="261" p="">7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋y<－5<="" bdsfid="263" p="">x ＋y 的最小值为( )<－5<="" bdsfid="265" p="">A.53 B ．2 C.35<－5<="" bdsfid="267" p="">D.12<－5<="" bdsfid="269" p="">【答案】 A<－5<="" bdsfid="271" p="">【解析】依题意，得实数x ，y 满足<－5<="" bdsfid="273" p="">?x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴<－5<="" bdsfid="275" p="">影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋y<－5<="" bdsfid="277" p="">x 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[5<－5<="" bdsfid="279" p="">3，2]，故<－5<="" bdsfid="281" p="">选A.<－5<="" bdsfid="283" p="">8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<="" p="" 【答案】=""><－5<="" bdsfid="286" p="">【解析】本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于<－5<="" bdsfid="288" p="">(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<="" )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x="" 1x="" 1＜x="" 2 <－5<="" bdsfid="291" p=""><－5<="" bdsfid="293" p="">A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2<－5<="" bdsfid="295" p="">B.f （x 1）x 1＝f （x 2）<－5<="" bdsfid="297" p="">x 2<－5<="" bdsfid="299" p="">C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2<－5<="" bdsfid="301" p="">D ．不能确定<－5<="" bdsfid="303" p="">【答案】 C<－5<="" bdsfid="305" p="">【解析】如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝<－5<="" bdsfid="307" p="">f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0<－5<="" bdsfid="309" p="">＝f （x 2）<－5<="" bdsfid="311" p="">x 2，由于0＜x 1<－5<="" bdsfid="313" p="">＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）<－5<="" bdsfid="315" p="">x 2<－5<="" bdsfid="317" p="">，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组<－5<="" bdsfid="319" p="">?2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 <－5<="" bdsfid="321" p="">＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4<－5<="" bdsfid="323" p="">3)<－5<="" bdsfid="325" p="">B ．(－∞，1<－5<="" bdsfid="327" p="">3)<－5<="" bdsfid="329" p="">C ．(－∞，－2<－5<="" bdsfid="331" p="">3)<－5<="" bdsfid="333" p="">D ．(－∞，－5<－5<="" bdsfid="335" p="">3<－5<="" bdsfid="337" p="">)<－5<="" bdsfid="339" p="">【答案】 C<－5<="" bdsfid="341" p="">【解析】作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解．当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．<－5<="" bdsfid="343" p="">要使可行域内包含y ＝1<－5<="" bdsfid="345" p="">2<－5<="" bdsfid="347" p="">x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝<－5<="" bdsfid="349" p="">12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23<－5<="" bdsfid="351" p="">. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269<－5<="" bdsfid="353" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="355" p="">【解析】由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →<－5<="" bdsfid="357" p="">＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，4<－5<="" bdsfid="359" p="">3)，所以AE →＝(23，<－5<="" bdsfid="361" p="">23)，AF →＝(13，4<－5<="" bdsfid="363" p="">3)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109<－5<="" bdsfid="365" p="">. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤4 <－5<="" bdsfid="367" p="">5成立，则实数a<－5<="" bdsfid="369" p="">的值为( ) A.15 B.2<－5<="" bdsfid="371" p="">5 C.12<－5<="" bdsfid="373" p="">D ．1 【答案】 A<－5<="" bdsfid="375" p="">【解析】(x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方．而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．<－5<="" bdsfid="377" p="">因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2<－5<="" bdsfid="379" p="">x<－5<="" bdsfid="381" p="">＝2，解得x ＝1.<－5<="" bdsfid="383" p="">从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为<－5<="" bdsfid="385" p="">222＋（－1）2<－5<="" bdsfid="387" p="">＝25<－5<="" bdsfid="389" p="">5，如图所示．<－5<="" bdsfid="391" p=""><－5<="" bdsfid="393" p="">故|PQ |的最小值为25<－5<="" bdsfid="395" p="">5<－5<="" bdsfid="397" p="">，<－5<="" bdsfid="399" p="">即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝4<－5<="" bdsfid="401" p="">5，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以<－5<="" bdsfid="403" p="">2a －0a －1<－5<="" bdsfid="405" p="">×2＝－1，解得a ＝1<－5<="" bdsfid="407" p="">5.<－5<="" bdsfid="409" p="">13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →<－5<="" bdsfid="411" p="">，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2<－5<="" bdsfid="413" p="">【答案】 C<－5<="" bdsfid="415" p="">【解析】利用FP →＝4FQ →<－5<="" bdsfid="417" p="">转化长度关系，再利用抛物线定义求解．∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴<－5<="" bdsfid="419" p="">|PQ||PF|＝3<－5<="" bdsfid="421" p="">4<－5<="" bdsfid="423" p="">.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴<－5<="" bdsfid="425" p="">|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝3<－5<="" bdsfid="427" p="">4<－5<="" bdsfid="429" p="">.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.<－5<="" bdsfid="431" p="">14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于3<－5<="" bdsfid="433" p="">4，抛物线E ：y 2＝<－5<="" bdsfid="435" p="">2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：<－5<="" bdsfid="437" p="">x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4<－5<="" bdsfid="439" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="441" p="">【解析】 x 2<－5<="" bdsfid="443" p="">a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为<－5<="" bdsfid="445" p="">x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝<－5<="" bdsfid="447" p="">|a|12＋4a 2＝34<－5<="" bdsfid="449" p="">，解得a ＝<－5<="" bdsfid="451" p="">3<－5<="" bdsfid="453" p="">2或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 2<－5<="" bdsfid="455" p="">3<－5<="" bdsfid="457" p="">－4y 2＝1.因为c ＝<－5<="" bdsfid="459" p="">34＋14<－5<="" bdsfid="461" p="">＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于<－5<="" bdsfid="463" p="">点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|<－5<="" bdsfid="465" p="">（－3）2＋42＝10<－5<="" bdsfid="467" p="">5＝2，即距离之和的最小值为2，选B.<－5<="" bdsfid="469" p="">二、填空题<－5<="" bdsfid="471" p="">15．已知函数y ＝|x 2－1|<－5<="" bdsfid="473" p="">x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是<－5<="" bdsfid="475" p="">__________．<－5<="" bdsfid="477" p="">【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】根据绝对值的意义，<－5<="" bdsfid="479" p="">y ＝|x 2－1|x －1＝<－5<="" bdsfid="481" p="">x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.<－5<="" bdsfid="483" p=""><－5<="" bdsfid="485" p="">在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<1或1<4时有两个交点．<="" bdsfid="486" p=""><－5<="" bdsfid="488" p=""><－5<="" bdsfid="490" p="">16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．【答案】 (－7，3)<－5<="" bdsfid="492" p="">【解析】当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．<－5<="" bdsfid="494" p="">17．已知变量x ，y 满足约束条件<－5<="" bdsfid="496" p="">?x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值<－5<="" bdsfid="498" p="">为________．【答案】－2<－5<="" bdsfid="500" p="">【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1<－5<="" bdsfid="502" p="">x ＋1<－5<="" bdsfid="504" p="">＝<－5<="" bdsfid="506" p="">y －（－1）<－5<="" bdsfid="508" p="">x －（－1）<－5<="" bdsfid="510" p="">，则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．<－5<="" bdsfid="512" p=""><－5<="" bdsfid="514" p="">18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．【答案】 14<－5<="" bdsfid="516" p="">【解析】如图所示，圆的方程可化为(x －2)2＋y 2＝1，抛物线的焦点F (2，0)，准线x ＝－2.<－5<="" bdsfid="518" p=""><－5<="" bdsfid="520" p="">由y ＝x －2，y 2＝8x ，<－5<="" bdsfid="522" p="">得x 2－12x ＋4＝0，设直线与抛物线交于A (x A ，y A )，D (x D ，y D )，则x A ＋x D ＝12. |AB |＋|CD |＝(|AF |－|BF |)＋(|DF |－|CF |)＝(|AF |－1)＋(|DF |－1)＝|AF |＋|DF |－2，由抛物线的定义得|AF |＝x A ＋2，|DF |＝x D ＋2，故|AB |＋|CD |＝(|AF |＋|DF |)－2＝x A ＋x D ＋2＝14.<－5<="" bdsfid="524" p="">19．已知函数f (x )＝?<－5<="" bdsfid="526" p="">－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．<－5<="" bdsfid="528" p="">【答案】 [－2，0]<－5<="" bdsfid="530" p="">【解析】画出函数|f (x )|的图象，数形结合求解．<－5<="" bdsfid="532" p=""><－5<="" bdsfid="534" p="">作出函数y ＝|f (x )|的图象，如图，当|f (x )|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，<－5<="" bdsfid="536" p="">其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，显然，k ＝－2. ∴a 的取值范围是[－2，0]．<－5<="" bdsfid="538" p="">20．已知函数f (x )＝?<－5<="" bdsfid="540" p="">|x|，x≤m ，<－5<="" bdsfid="542" p="">x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b<－5<="" bdsfid="544" p="">有三个不同的根，则m 的取值范围是________．【答案】 (3，＋∞)<－5<="" bdsfid="546" p="">【解析】 f (x )＝?<－5<="" bdsfid="548" p="">|x|，x≤m ，<－5<="" bdsfid="550" p="">x 2－2mx ＋4m ，x>m ，当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，<－5<="" bdsfid="552" p="">其顶点为(m ，4m －m 2)；当x ≤m 时，函数f (x )的图象与直线x<－5<="" bdsfid="554" p="">＝m 的交点为Q (m ，m )．①当m>0，<－5<="" bdsfid="556" p="">4m －m 2≥m ，<－5<="" bdsfid="558" p="">即0<="" bdsfid="559" p="" ≤3时，函数f=""><－5<="" bdsfid="561" p="">直线y ＝b 与函数f (x ) 的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当?<－5<="" bdsfid="563" p="">4m －m 2<=""><－5<="" bdsfid="566" p="">m>0，即<－5<="" bdsfid="568" p="">m >3时，函数f (x )的图象如图2所示，则存在实数b 满足4m －m 2<－5<="" bdsfid="571" p=""><－5<="" bdsfid="573" p="">。
高中数学高考总复习----数形结合的思想知识讲解及巩固练习题(含答案解析)
4．函数的图象、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜 率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数 形结合”的知识平台。
图① 综合①②③得
图②
图③
t2 5t 1
h(t
)
29 4
(t 5) 2
( 5 t 3)
2
2
t2 3t 5
(t 3) 2
。
【总结升华】通过二次函数的图象确定解题思路，直观、清晰，体现了数形结合的优越性。应特别注意， 对于二次函数在闭区间上的最值问题，应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系进行讨论解决。首先确定 其对称轴与区间的位置关系，结合函数图象确定在闭区间上的增减情况，然后再确定在何处取最值。 举一反三：
A． {1, 2,3} B． {1,3,5}
Ｃ． {1, 4,5}
【答案】B；
【解析】画出韦恩图，可知 N {1,3,5}。
Ｄ． {2,3, 4}
2
【变式
2】设平面点集
A
(
x,
y)
(
y
x)(
y
1 x
) y) (x 1)2 ( y 1)2 1
，则 A
示的平面图形的面积为（ ）
【变式 1】已知函数 f (x) x2 2ax 1 a 在 0≤x≤1 时有最大值 2，求 a 的值。
【解析】∵ f (x) (x a)2 a2 a 1 ，
高考理科数学-数形结合法(讲)-专题练习(六)有答案
高考数学（理）专题练习（六）数形结合法（讲）一、构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；例1．设函数33,()2,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩．①若0a =，则()f x 的最大值为______________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是______________．例2．设函数()f x =e (21)x x ax a --+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．3[,1)2e-B ．33[,)2e 4-C ．33[,)2e 4D ．3[,1)2e二、构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；例3．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,a ab a b a b b ab a b ⎧-≤⎪*⎨->⎪⎩＝，设()()(211)x f x x *＝－－，且关于x 的方程 ()()f x m m =∈R 恰有三个互不相等的实数根123x x x ，，，则123x x x 的取值范围是______________． 三、构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系； 例4．函数2()()ax bf x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，4log 3a =D ．22a a -+=4log 3a = 四、构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；例5．已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，22x y +的取值范围是______________．例6．如图，ABC △是边长为的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP BP 的取值范围是_________．五、构建立体几何模型研究代数问题；例7．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为______________．例8．如图，已知点0,01,0(0)((,))1O A B -，，，P是曲线y OP BA 的取值范围是______________．六、构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；例9．若,x y 满足约束条件102020x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则的最大值为_____________．例10．等腰直角△AOB 内接于抛物线22(0)y px p =>，O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积是16，抛物线的焦点为F ，若M 是抛物线上的动点，则||||OM MF 的最大值为（ ） ABCD七、构建方程模型，求根的个数；例11．已知函数21|1|,1()40,1x x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩，函数||()2()2x g x f x =-的零点个数为________个．八、研究图形的形状、位置关系、性质等．例12．已知01a <<，01b <<，则函数2()log 2log 8a b f x x b x a =++的图像轴上方的概率为（ ）A ．14 B ．34 C ．13D ．23 例13．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A BC DDPCx数形结合法（讲）答案例1．2；(,1)-∞-例2．D例3．⎫⎪⎪⎝⎭例4．C例5．4,13 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦例6．[1,13]例7．2 5例8．[-例9．3 2例10．C 例11．2 例12．D 例13．B数形结合法（讲）解析例1．例2．例3．例4．【解析】由()()2ax bf x x c +=+及图象可知，x c ≠-，0c ->，则0c <；当0x =时，2(0)0bf c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=，所以0bx a=->，所以0a <。
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)()
1,+∞
，2
=，则BC
AF BF
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
(3)是否存在实数k ，使得直线():4l y k =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
)()
1,+∞
如图，525,33D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E ⎛ ⎝联立直线l 的方程与曲线C ]{}
,GH GI k k 53,44⎤⎧⎫
-⎨⎬⎥⎩⎭⎦
高考数学（理科）专题练习
数形结合思想
解析
1．∵a＞0，∴a2＋1＞1．
而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有2个交点．
的交点的横坐标．因为f(－
，1]时，f(x)＝x3，则在平
由图易得两函数图象共有7个交点，不妨设从左到右依次为
＝0，x3＋x5＝2，x4＝1，x6＋x7＝4，所以x1＋x2＋
上的零点的和为7，故选A．
4．函数f(x)＝a＋sin x在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程
②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数一个公共点．
③若a＞1，则a3＞a2，函数个公共点．
综上，a＜0或a＞1．6．记y＝log x(a＞0，
－12≤－k ＜1
2或－k ＝1， 即－12＜k ≤1
2或k ＝－1．]
则圆心C 的坐标为(3，4)半径m 的最大值，即求圆C 上的点即m 的最大值为6．。