数列极限和函数极限

数列极限和函数极限

极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、判别方法等问题.

1.极限定义

1．1 数列极限定义

设有数列{}n a 与常数A ，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n a A ε-< 都成立，那么就称常数A 是数列{}n a 的极限，或者称数列{}n a 收敛于A ，记作lim n n a A →∞

=.

读作“当趋n 于无穷大时，n a 的极限等于A 或n a 趋于A ”.数列极限存在，称数列{}n a 为收敛数列，否则称为发散数列.

关于数列极限的N ε-定义，着重注意以下几点：

（1）ε的任意性: 定义中正数的ε作用在于衡量数列通项n a 与定数的a 接近程度越ε小，表示接近的越好.而正数可ε以任意的小,说明n a 与可a 以接近到任何程度，然而，尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时的被确定下来，以便依靠它来求出N .

（2）N 的相应性: 一般说，N 随的ε变小而变大，由此常把N 写作()N ε，来强调N 是依赖与的ε，但这并不意味着N 是由ε所唯一决定的，重要的是N 的存在性，而不在于它值得大小.另外,定义中n N >的也可以改写成n N ≥.

（3）几何意义:对于任何一个以A 为中心，ε为半径的开区间(),A A εε-+，总可以在数列{}n a 中找到某一项N a ，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{}n a 的有限项（N 项）.

数列是定义在自然数集上的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其解析表达式为()n a f n =;我们把数列中的n 用x 来替换后就得到了一个函数()f x ,数列和函数的区别在于数列中的点是离散的,而函数是连续的,那么类似的我们也有函数极限的定义. 1．2 函数极限定义

1.2.1 x →+∞时函数的极限：设函数()f x 为[),a +∞上的函数，A 为定数，若对任给的0ε>，总存在着正数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数()f x 当

x 趋于+∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →+∞

=.

即有()lim 0,0,,x f x A M x M ε→+∞

=⇔∀>∃>∀>有()f x A ε-<.

对应的,我们也有()()lim ,lim x x f x A f x A →∞

→-∞

==的相应的M ε

语言成立.

对于函数极限的M ε定义着重注意以下几点:

（1）在定义中正数M 的作用与数列极限定义中的N 类似,表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比M 大的所有实数x ,而不仅仅是正整数n .

（2）当x →+∞时,函数()f x 以A 为极限意味着: A 的任意小邻域内必含有()f x 在+∞的某邻域内的全部函数值.

（3）几何意义是:对任给0ε>的,在坐标平面上,平行于x 轴的两条直线y A ε=+与

y A ε=-,围成以直线y A =为中心线,宽2ε为的带形区域；定义中的“当x M >时,有()f x A ε-<”表示:在直线x M =的右方,曲线()y f x =全部落在这个带形区域之内.

1.2.2 0x x →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某一去心邻域()'0

;U

x δ︒

内有

定义，A 为定数，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数()

'δδ<，使

得当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<，则常数A 为函数()f x 在0x x →时的极限，记作()0

lim x x f x A →=.

即()0

00lim 0,0,:,x x f x A x x x x εδδδ→=⇔∀>∃>∀-<<+有()f x A ε-<.

对应的,我们也有()()0

lim ,lim x x x x f x A f x A +-→→==的相应的ε

δ语言成立.

对于函数极限的ε

δ定义着重注意以下几点:

（1）定义中的正数δ,相当于数列极限N ε

定义中的N ,它依赖于ε,但也不是由ε所唯

一确定的,一般来说, ε愈小, δ也相应地要小一些,而且把δ取得更小些也无妨. （2）定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义,而一般不考虑在点处的函数值是否有意义,这是因为,对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 过程中函数值的变化趋势.

（3）定义中的不等式00x x δ<-<等价于()0;x U x δ∈，而不等式()f x A ε-<等价

于()();f x U A ε∈.于是，ε

δ定义又可写成：

任给0ε>,存在0δ>,使得一切()0;x U x δ∈有()();f x U A ε∈.或更简单的表为:

任给0ε>,存在0δ>,使得()()()0

;;f U

x U A δε⊂.

（4）几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为

对任给0ε>的,在坐标平面上画一条以直线y A =为中心线,宽2ε为的横带,则必存在以直线0x x =为中心线、宽为2δ的数带，使函数()y f x =的图像在该数带中的部分全部落在横带内，但点()()

0,x f x 可能例外（或无意义）.

2.极限性质

2．1 数列极限的性质

收敛数列有如下性质：

（1）极限唯一性:若数列{}n a 收敛,则它只有一个极限. （2）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列.

（3）若数列{}n a 有极限，则其任一子列{}n a 也有极限.

（4）保号性，即若()lim 00n n a a →∞

=><，则对任何()()()

''

0,,0a a a a ∈∈,存在正整数1N ，

n 1N 时,()''n n a a a a ><.

（5）保不等式性:即若{}n a 与{}n b 均为收敛数列, 若存在正整数1N ，使得当n

1N 时有

n n a b ，则lim lim n n n n a b →∞

→∞

≤.

（6）数列极限的基本公式（四则运算） 设lim ,lim n n n n x y →∞

→∞

存在,则