最新6弯曲变形

E2 I6 F L y x 3 b F 6 (x a )3 C 2 x D 2 ,
由边界条件： x0,wA0（1） xL,yB0 （2）
由光滑连续条件： xa时1 ， 2
可解得：
xa时y1， y2
（3） （4）
C16 FL(bL2b2)C2,
D 1D 20
目录
则简支梁的转角方程和挠度方程为
A
C
B
a
l
x0,yA0, x0,A0,
xal,yB0, xa时 yC 左 ， yC 右
目录
例6-1悬臂梁受力如图所示。求 y A 和 A 。
解： 取参考坐标系Axy。
y
q
B
1、列出梁的弯矩方程
A
M(x)1qx2 (0xL)
x L
x
2
2、
d 2y dx 2
M (x) EI z
EyI1qx2 2
积分一次： EyIEI1q3xC（1）
w w
w w
目录
w
C1
ql3 , 6EI
wC1
ql4 8EI
q(l )3
w
C2
B2
2, 6EI
wC2w qB(2l) 4B22l
2 8 EI
B2
l 2
目录
w
w Cw C 1w C 2
ql 4 8EI
q( l )4 2
8 EI
B2
l 2
41ql4 384EI
CC 1C2
ql 3 6EI
b
L
x0,yA0
B kx A
h F EA
C
a
L
bB
xa时C 左 ， C 右
x0,yA0
xa时 yC 左 ， yC 右
xa时C 左 ， C 右
xL,yBFkBy
xa时 yC 左 ， yC 右
x L ,y B lBD
FByh EA
讨论：挠曲线分段处 （1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
q( l )3 2
6 EI
7ql4
48EI
目录
刚度条件：
y [y], max
[] max
AC段 (0xa)
BC段 (axL)
1(x)6L FE b [3x2I(L 2b2)], 2 ( x ) 6 L F[ 3 E b x 2 ( L I 2 b 2 ) ] F ( x 2 a ) 2 ,
y 1 (x ) 6 L F[ E b x 3 I(L 2 b 2 )x ],y 2 ( x ) 6 L F [ E x b 3 ( L 2 I b 2 ) x L 6 ( x a ) 3 ]
（与C比较知E ：IAC ）
qL4
yA
8EI
（与D比较知：EIAyD ）
目录
例6-2 一简支梁受力如图所示。试求 (x),w(x)和 A,wmax。
解： 1、求支座反力
FAy
Fb, L
FB y
Fa L
2、分段列出梁的弯矩方程
y
x
F
x A
a
C
B
b
x
L
FBy F Ay
AC段 (0xa)
BC段 (axL)
BB 1B 2B 3
ql3 24 EI
ql 3 3 EI
ql3 11ql3 16 EI 48EI
w C w C 1 w C 2 w C 3
5ql4 384EI
3ql 4 48 EI
(ql)l3 48 EI
11ql4 384EI
目录
例6-5 怎样用叠加法确定C和yC ?
w
目录
6弯曲变形
§6-1 工程中的弯曲变形问题
目录
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
小挠度情形下： dy1
dx
d 2y dx 2
[1
(
dy
)2
3
]2
dx
M (x) EI z
dd2xy2
M(x) EIz
目录
符号规定：
M0
y
d2y dx2
0
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
y M0
d2y dx2
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点； （3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两
部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
M
A
C
B
a
l
目录
（4）凡分段点处应列出连续条件，根据梁的变形的连
续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转
角；在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯
一的。
M
目录
梁的边界条件 y
A
Bx
y A
L
B x
悬臂梁：
x 0 时 A ， 0 ,y A 0 .
简支梁：
x0时yA ， 0, xL时yB ， 0.
目录
梁的连续条件：
A
P
C
B
fC左fC右
C左
C右
M
A
C
B
a
l
xa时 yC 左 ， yC 右
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例如：写出下图的边界条件、连续性条件：
y
F
D
A
C
a
M 1(x)FAxF Lxb,
EyI1
Fbx, L
M 2(x)F Lx bF(xa), Ey2 IF Lx bF(xa),
目录
AC段 (0xa)
Ey1 IE1 I2 F Lx b 2C 1,
E1Iy 6 F Lx b 3C 1xD 1, 3、确定常数
BC段 (axL)
E y 2 IE2 I2 F L x 2 b F 2 (x a )2 C 2 ,
4、求转角
x0代入得：
A1x0F(6b L L 2E b2)I
xL代入得：
B2xLF6a L (Lb E a)I
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加法前提
力与位移之间的线性关系 挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系
小变形 轴向位移忽略不计。
目录
第一类叠加法
应用于多个载荷作用的情形 叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷 共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个 载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。
例6-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
目录
w w w
目录
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w
B1
ql3 , 24EI
wC1
5ql4 384EI
w
B3(q3E 2l)lI3 qE3l,I
wC3
3ql4 48EI
w
B2(1 q)E 6 ll2I1qE 6 3l,I
wC2
(ql)l3 48EI
目录
0
M
M
因此
d2y M(x) dx2 EIz
（挠曲线的近似微分方程）
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
由挠曲线的近似微分方程
积分一次：
d2y M(x)
dx2
EIz
d d y xyM E (x z)Id xC
积分二次：
M (x)
yEzIdd x xC xD
（转角方程） （挠度方程）
式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
6
积分二次：
EI y1q4xCxD （2）
24
目录
3、确定常数C、D.
由边界条件： xL,0代入（1）得： C1qL3
6
xL,y0代入（2）得： D1qL4
8
代入（1）（2）得：
1(1q3x1q3L )
EI6 6 y1(1q4x q3L xq4)L
EI24 6 8
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将 x0 代入得：
A
qL3 6EI