初二年级数学动点问题归类复习[含例题、练习及答案解析]

初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想数形结合思想转化思想

本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。

一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题

例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D 为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP＝2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

图1 备用图

思路点拨

1．第（2）题BP＝2分两种情况．

2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．

3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．

解答：（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．

在Rt△CDE中，CD＝5，所以

315

tan5

44

ED CD C

=⋅∠=⨯=，

25

4

EC=．

（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．

由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．

因此△PDM∽△QDN．

所以

4

3

PM DM

QN DN

==．所以

3

4

QN PM

=，

4

3

PM QN

=．

图2 图3 图4

①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．

此时

33

44

QN PM

==．所以

319

4

44

CQ CN QN

=+=+=．

②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．

此时

315

44

QN PM

==．所以

1531

4

44

CQ CN QN

=+=+=．

（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，

3

tan

4

QD DN

QPD

PD DM

∠===．

在Rt△ABC中，

3

tan

4

BA

C

CA

∠==．所以∠QPD＝∠C．

由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．

因此△PDF∽△CDQ．

当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．

①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．

此时

44

33

PM QN

==．所以

45

3

33

BP BM PM

=-=-=．

②如图6，当QC＝QD时，由cos

CH

C

CQ

=，可得

5425

258

CQ=÷=．

所以QN＝CN－CQ＝

257

4

88

-=（如图2所示）．

此时

47

36

PM QN

==．所以

725

3

66

BP BM PM

=+=+=．

③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．

图5 图6

考点伸展：如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB ＝PD．在△BDP中可以直接求解

25

6

BP=．

二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题

例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线4

3

4

+

-

=x

y和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；

②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

图1

思路点拨：

1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．

2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．

3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．

4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能． 解答：

（1）直线43

4

+-

=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）． Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5． 因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．

（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．

在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =

，所以4

5

NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时

211424

(2)22555

S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．

如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时

211424

(2)22555

S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．

图2 图3

②把S ＝4代入22455S t t =

-，得224

455

t t -=．

解得12t =

，22t =．

因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4

的情形，此时2t =+ ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3

cos 5

B =

， 所以

535t t -=．解得25

8

t =

． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =． 不存在∠ONM ＝90°的可能．

所以，当25

8

t =

或者5t =时，△MON 为直角三角形．

图4 图5

考点伸展：在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．

图6 图7

三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题

例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形OABC 中，CB //OA ，∠COA ＝90°，CB ＝3，OA ＝6，BA

＝分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系．

（1）求点B 的坐标；

（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2EB ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；

（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 图2

思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB 与DF 垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．

2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO 为边和对角线分类，再进行二级分类，DO 与

DM 、DO 与DN 为邻边．