正方形的性质
正方形的性质及判定
正方形的性质与判定板块名称中考考试要求层次ABC正方形会识别正方形掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题 会用正方形的知识解决有关问题1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。
3. 提高学生分析问题与解决问题的能力。
4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。
难点：正方形知识的灵活应用中考要求知识点睛重、难点教学目标一、正方形的性质【铺垫】正方形有条对称轴．【例1】 ☆⑴已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形⑵如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且 20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FED CBA⑶如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为．【例2】 ☆将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为A 5A 4A 3A 2A 1【例3】 ☆如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA例题精讲【例4】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.【巩固】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．【巩固】 ☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例5】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．【例6】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠=．【例7】 ☆如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDC BA【例8】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．【巩固】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例9】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.【巩固】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.【例10】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.【巩固】 ☆已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例11】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为．【例12】 ☆如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【巩固】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.【例13】 如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证： DG DA =G FECDBA 【巩固】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数ABCDEF E 'GNMDCBA【巩固】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．【例14】 ☆把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．【例15】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.二、正方形的判定【例16】 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA【巩固】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．【巩固】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．【例17】 ☆如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．【例18】 ☆如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【例19】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE∆ 的面积为GFEDCB A【巩固】 ☆如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDCBA【例20】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例21】 ☆已知：PA 4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB 与PD 的长；（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，与相应∠APB 的大小.PDCBA1.如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA2. 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______.3.如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．4. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．课后练习。
正方形的特征与性质了解正方形的定义特征和性质
正方形的特征与性质了解正方形的定义特征和性质正方形是一种常见的几何形状，具有一些独特的特征和性质。
了解正方形的定义、特征和性质，有助于我们对几何学的理解和应用。
本文将对正方形的特征和性质进行详细阐述。
一、定义正方形是一种特殊的四边形，它的四边相等且四个角均为直角。
也就是说，正方形是一个具有四个相等边长和四个直角的几何形状。
正方形的定义直观简单，我们可以根据这个定义来判断一个图形是否为正方形。
二、特征1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，这是正方形最基本的特征。
我们可以用字母a来表示正方形的边长。
当一条边的长度确定时，其余三条边的长度也随之确定。
2. 角度为直角：正方形的四个角均为直角，即每个角都是90度。
这个特征可以直接由正方形的定义得知。
3. 对角线相等且互相垂直：正方形的对角线互相垂直且相等。
设对角线长度为d，则我们可以使用勾股定理来计算边长 a 与对角线长度 d之间的关系： a^2 + a^2 = d^2。
由此可得，该正方形的对角线长度为d = √2a。
三、性质1. 周长公式：正方形的周长可以通过将四条边长相加来求得。
因为正方形的四条边长度相等，所以周长 C = 4a。
2. 面积公式：正方形的面积可以通过边长的平方来计算。
面积 A =a^2。
3. 对角线性质：- 对角线相等：正方形的两条对角线相等，即d = √2a。
- 对角线相交于中点：正方形的两条对角线相交于正方形的中心点。
- 对角线互相垂直：正方形的两条对角线互相垂直，即对角线间的夹角为90度。
4. 判断正方形：- 利用边长：当一个四边形的四条边相等时，且四个角均为直角时，该四边形就是正方形。
- 利用对角线：当一条四边形的两条对角线相等且互相垂直时，该四边形就是正方形。
综上所述，正方形具有边长相等、角度为直角、对角线相等且互相垂直的特征和性质。
掌握了这些特征和性质，我们可以进行正方形相关的几何计算和应用。
对于数学、物理等学科的学习和实际问题的解决，正方形的特征和性质是非常重要的基础知识。
正方形及特殊正方形知识点(经典完整版)
正方形及特殊正方形知识点(经典完整版)
正方形是一种具有特殊性质的几何形状，它的四边长度相等且四个角都是直角。
以下是关于正方形及其特殊类型的一些基本知识点。
正方形的性质
- 正方形的四条边长度相等，记作a。
- 正方形的四个角都是直角，每个角为90度。
- 正方形的对角线长度相等，记作d，满足d = a * √2。
- 正方形的内角和为360度，每个内角为90度。
- 正方形的面积为A = a * a，其中a为边长。
- 正方形的周长为P = 4 * a，其中a为边长。
特殊正方形类型
边长为整数的正方形
除了一般的正方形，还可以根据边长的特定性质来划分特殊类型的正方形。
1. 完全平方数正方形：当正方形的边长为整数且为完全平方数时，可以得到完全平方数正方形。
例如，边长为1、4、9等都是完全平方数的正方形。
具有特定角度关系的正方形
2. 黄金角正方形：黄金角正方形是指正方形的一条对角线与边长之比等于黄金比例（约为1.）的正方形。
3. 铂金角正方形：铂金角正方形是指正方形的一条对角线与边长之比等于铂金比例（约为1.）的正方形。
具有特定长度关系的正方形
4. 对角线倍数正方形：对于正方形的一条对角线长度，可以找到倍数关系的正方形。
例如，当正方形的对角线长度为d时，可以找到边长为d/√2的正方形。
这些是关于正方形及其特殊类型的一些知识点。
通过理解正方形的性质和不同类型，我们可以更好地应用它们在几何问题和实际生活中的应用。
> 注意：以上内容仅供参考，如有需要，请参考正规的教材或咨询相关专业人士。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定
定义：1、四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
2、各边相等且有三个角是直角的四边形叫做正方形。
3、有一组邻边相等的矩形是正方形。
4、有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。
5、有一个角为直角的菱形是正方形。
6、对角线平分且相等，并且交角为直角的四边形为正方形。
性质
边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
内角：四个角都是90°；
对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。
判定方法
1：对角线相等的菱形是正方形。
2：对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形。
3：四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
4：一组邻边相等的矩形是正方形。
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。
7.有一个角为直角的菱形是正方形。
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
正方形的中点四边形是正方形。
面积计算公式：S=a×a 或：S=对角线×对角线÷2
周长计算公式: C=4a
正方形是特殊的矩形, 菱形，平行四边形，四边形。
正方形的性质和判定
正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。
正方形的性质与技巧
根据对称性，我们有如下结论： ADE CDE； BAM DAM
对角线或其延长线上的点（对称轴上的点）：
(1)到对角顶点的距离都相等. (2)与正方形的对应边的夹角都相等.
经典结论2：对边中点连线是对称轴
根据对称性，我们有如下结论：
MAB MDC； MAE MDE； MBF MCF
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）当AB=AC= ，BC = 4，AD=6时，求证：四边形BECD是正方形．
练3-2.如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC 的平分线，交BC于点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
练习：如图正方形ABCD中， DAF= ，AF角对角线BD与E，则 BEC=.
例1.（1）下列关于正方形的说法，错误的有（ ）
①正方形是轴对称图形； ②正方形有两条对称轴； ③正方形是中心对称图形；
④正方形的对称中心是对角线的交点； ⑤正方形的对角线平分一组内角；
⑥正方形的对角线互相垂直平分．
A：1个B：2个C：3个D：4个
练2-1.如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作正△ABE，CE与BD相交于点F，则
∠AFD的度数为______．
练2-2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．
求证：（1）AP=EF；（2）AP⊥EF．
【知识点三】正方形的判定
笔记：矩形 → （①领边相等；②对角线垂直）→ 正方形
③点A到EF的距离等于正方形的边长.
例4.点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上．若∠EAF= 45 ，证明：EF = BE + DF．
正方形性质
正方形性质正方形是一种具有特殊性质的四边形。
它具有以下几个重要的性质：1. 边长相等：正方形的四条边的长度都相等，即具有等边性质。
这意味着正方形的四个内角也是相等的，每个角都是90度。
正方形的边长通常用字母s表示。
2. 直角：正方形的四个内角都是直角，也就是90度。
这是因为正方形的边长相等，对角线也相等，从而使得四个角都是直角。
3. 对称性：正方形具有4条对称轴。
具体来说，正方形具有4条对称轴，分别是两条互相垂直的水平和垂直轴线以及两条对角线。
这意味着正方形可以通过旋转180度或镜像来得到完全相同的图形。
4. 对角线相等：正方形的两条对角线相等且相交于垂直平分线。
这可以通过勾股定理来证明。
由于正方形的四个内角都是直角，对角线就等于正方形的边长。
5. 面积计算：正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即A = s^2。
这是因为正方形可以看作是一个已知边长的长方形，长和宽都是s。
6. 周长计算：正方形的周长可以通过边长乘以4来计算，即P = 4s。
这是因为正方形的四条边长度相等。
7. 面对角线关系：正方形的面对角线关系是一个重要性质。
面对角线关系意味着正方形的对角线长度等于边长的根号2倍，即d = s√2。
这可以通过勾股定理证明。
总之，正方形具有边长相等、直角、对称性、对角线相等、面积计算、周长计算和面对角线关系等重要性质。
这些性质使得正方形在几何学中具有重要的地位，而且在实际应用中也有广泛的应用。
无论是建筑设计、绘画艺术还是其他领域，正方形都扮演着重要的角色。
下一篇将继续探讨正方形的更多特点和性质。
（字数： 304）。
正方形的性质
正方形的性质简介正方形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍正方形的定义、性质以及一些常见的应用。
定义正方形是一种具有特殊几何形状的四边形，其四条边相等且四个角均为直角。
正方形可以看作是一种特殊的矩形，也可以视为特殊的菱形。
在平面几何中，正方形是最简单和最基本的形状之一。
性质1. 边长和周长正方形的最显著性质之一是其四条边相等。
如果一个正方形的边长为a，则它的周长为4a。
2. 面积正方形的另一个重要性质是其面积。
正方形的面积等于边长的平方。
设正方形的边长为a，则它的面积可以表示为a2。
3. 对角线正方形的对角线是一条连接正方形相对顶点的线段，它们相等且垂直相交。
设正方形的边长为a，则正方形的对角线长度可以通过勾股定理计算，即对角线的长度d满足d2=a2+a2=2a2。
4. 角度正方形的四个角均为直角，每个角的度数为90°。
这是正方形与其他四边形的一个明显区别。
5. 对称性正方形具有多个轴对称线和旋转对称性。
具体来说，正方形具有4条轴对称线，它们分别是连接中心点与对边中点的线段，以及连接相邻顶点的线段。
此外，正方形还具有4个旋转对称中心，它们分别是正方形的4个角。
6. 相似性正方形与自身是相似的，这意味着可以通过缩放、旋转和平移等操作将一个正方形变换为另一个正方形。
应用正方形的性质使其在许多领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用示例：1. 建筑设计正方形是建筑设计中常用的基本形状之一。
许多建筑物的平面布局中采用正方形，这在一定程度上能够提供更好的结构稳定性和空间利用效率。
2. 材料切割在一些制造行业，如纺织、木工等领域，使用正方形材料进行切割可以最大限度地减少浪费。
因为正方形具有对称性和相等边长的特点，因此可以更好地优化材料的利用效率。
3. 几何推理正方形作为一种具有简单结构的形状，常常被用于几何推理的证明过程中。
正方形的对称性和性质可以帮助推导出其他更复杂形状的性质和关系。
正方形的判定与性质
正方形的判定与性质引言正方形是一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和特征。
本文将介绍如何判定一个四边形是否是正方形以及正方形的性质。
判定正方形判定一个四边形是否是正方形可以从不同角度进行考虑。
以下是几种常见的判定方法：1.边长相等一个四边形的四条边长度相等是判定其是否为正方形的一个重要条件。
如果一个四边形的4条边都相等，则可以认为它是正方形。
2.角度相等正方形的特征之一是它的四个角都是直角（90度）。
因此，如果一个四边形的四个角都是90度，则可以判定它是正方形。
3.对角线相等正方形的两条对角线相等且互相平分对方，也是判定一个四边形为正方形的条件之一。
如果一个四边形的对角线相等且平分对方，则可以认为它是正方形。
正方形的性质除了以上的判定条件外，正方形还具有许多独特的性质和特征。
以下是一些常见的正方形性质：1.对称性正方形具有4个对称轴，分别为水平轴、垂直轴和两条对角线。
这意味着正方形可以通过沿着这些轴进行翻转而保持不变。
2.面积和周长正方形的面积等于边长的平方，周长等于4倍边长。
这是正方形最基本的面积和周长公式。
3.相似性正方形与自身全等且相似。
这意味着可以通过变换、旋转和缩放等操作得到无数个相似的正方形。
4.内角和外角正方形的内角都是90度，外角则是270度。
这是正方形内角和外角之间的关系。
结论正方形的判定和性质是数学中的基础知识，对于理解几何形状和解决实际问题都非常重要。
通过判定其边长、角度和对角线是否满足特定条件，我们可以判断一个四边形是否是正方形。
正方形具有对称性、特定的面积和周长公式，以及内角和外角的特征。
通过研究正方形的性质，我们可以深入理解几何形状和它们之间的关系。
正方形的性质及判定
正方形的性质及判定1•正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2.正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形•它具有前三者的所有性质：①边的性质：对边平行，四条边都相等.②角的性质：四个角都是直角.③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角.④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形.平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3.正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形.判定②：有一个角是直角的菱形是正方形.―、正方形的性质【例1】正方形有条对称轴.【例2】已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则S:S正方形BDEF正方形ABCD【例3】如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且AE丄AF，AF=20，则BE的长为【例4】如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1,BF=2，Z GEF=90。
，则GF的长为.【例5】将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A,A ，…，A 分别是正方形的中心，则n 个正12n方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC,BD 的交点，过点O 作OE 丄OF ，分别交AB ，CD 于E ，F ，若AE =4,CF =3，则EF =【例7】如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM 丄BC 于M ，PN 丄BD 于N ，则PM+PN的值为【例8】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE =CE .A EB FD例11】 【例9】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE 丄BC 于E ,PF 丄CD 于F .求证：AP=EF .【例10】如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ,MN 〃AB ,且分别与AO 、BO 交于M 、N .试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程.如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且A ABP 为等边三角形，那么Z DCP =【例12】已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使ED ：AD =2FC :AC ，求证：A BEF 是等腰直角三角形．【例13】如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若Z EAF=50。
正方形
正方形知识梳理1．正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定定理判定1：一组邻边相等的矩形是正方形． 判定2：对角线互相垂直的矩形是正方.判定3：有一个角是直角的菱形是正方形． 判定4：对角线相等的菱形是正方形.例题讲解一、 正方形的性质例1、判断下列命题是否正确：（1）四条边相等的四边形是正方形（ ）（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（ ） （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形（ ） （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形（ ）例2、如图，E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点，CE=AC ，AE 交CD 于F ，求∠AFC 的度数。
例3、如图4-60，正方形ABCD 的对角线相交于O ，EF ∥AB ，并且分别与OA ，OB 相交于E ，F ．若BE=3厘米，求CF 的长．正方形菱形矩形平行四边形Ｍ ＤＱ练习1、下列说法中，正确的个数有 （ ） （1）对角互补的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的四边形是矩形；（3）对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是正方形； （4）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形Ａ． 1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 练习2、(2008年沈阳市)如图所示，正方形中，点是边上一点，连接，交对角线于点，连接，则图中全等三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对练习2（2010 天津）如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点， 1DE =．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90︒，得△ABE '，连接EE '，则EE '的长等于 ． 练习3（2008佛山12）如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ．练习4（2008广东肇庆市）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，正方形DEFG 的顶点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上. （1）求证AE =BF ； （2）若BC =cm ，求正方形DEFG 的边长.二、正方形折纸例1（08哈尔滨）如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的（ ）． （A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm练习：1、 (2006 荆门大纲)如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ =．三、正方形的面积：例1、（2010南宁）正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK ∆的面积为（ ） （A ）10 （B ）12 （C ）14 （D ）1例2、如图，正方形ABCD 中，边长为2，其中正方形A’B’C’O 与正方形ABCD 全等，顶点O 在正方形ABCD 对角线交点O ，求阴影部分面积。
小学数学知识点认识正方形的特征与性质
小学数学知识点认识正方形的特征与性质正方形是小学数学中最基本的几何图形之一，它具有一些独特的特征和性质。
通过了解正方形的特点，我们可以更好地认识和理解这个几何图形。
本文将系统地介绍正方形的特征和性质，帮助小学生更好地掌握数学知识。
1. 正方形的定义正方形是一个具有四条边相等、四个角都是直角的四边形。
它的每条边都相等，每个角都是90度。
正方形可以看作是矩形的一种特殊情况，也可以看作是菱形的一种特殊情况。
正方形的对角线相等且相互垂直，是它独特的特点。
2. 正方形的特征正方形的特征有三个方面：边长、对角线和对称性。
- 边长：正方形的四条边都相等。
- 对角线：正方形的对角线相等且相互垂直。
- 对称性：正方形具有四个对称轴，分别是水平对称轴、垂直对称轴和两条对角线。
这意味着正方形可以通过旋转、翻转和折叠得到相等的图形。
3. 正方形的性质正方形具有一些独特的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和计算。
以下是几个常见的性质：- 周长和面积：正方形的周长等于四条边的长度之和，即4倍边长。
面积等于边长的平方。
- 对角线长度：正方形中，对角线的长度可以通过边长来计算。
根据勾股定理，对角线的长度等于边长的平方根的2倍。
- 内角和外角：正方形的内角都是90度，外角都是270度。
这意味着正方形的内角和为360度，外角和为1,080度。
- 正方形与其他几何图形的关系：正方形是矩形的特例，也是菱形的特例。
它具有矩形的所有性质，如平行四边形的性质和对角线的性质。
同时，正方形也具有菱形的特点，如对称性和等长对角线。
通过了解正方形的特征和性质，我们能够更好地应用数学知识解决问题。
在几何学中，正方形是非常常见的图形，在日常生活中也能经常遇到。
掌握了正方形的特征和性质，我们能够更好地认识和理解这个几何图形，在解决实际问题时能够灵活运用。
总结：正方形是小学数学中最基本的几何图形之一，它具有四条边相等、四个角都是直角的特点。
正方形的对角线相等且相互垂直，具有对称性。
正方形的性质
l
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D
C
A E
B
F
是过正方形ABCD的顶点 的 的顶点B的 例3：已知 是过正方形 ： 的顶点 一条直线， ⊥ 于点E， 一条直线，AE⊥ 于点 ， CF⊥ 于点 。求 ⊥ 于点F。 证：AE＝BF。 ＝ 。
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l
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D
C
A 3 E
1
2 B
F
正方形的四条边都相等，而且对边平行。 正方形的四条边都相等，而且对边平行。 正方形的四个角都相等，都等于 正方形的四个角都相等，都等于900。 正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形的对角线互相垂直平分且相等， 并且每条对角线平分一组对角。 并且每条对角线平分一组对角。
是正方形， 例1：如图，已知四边形 ：如图，已知四边形ABCD是正方形， 是正方形 且AE＝BF＝CG＝DH。求证：四边形 ＝ ＝ ＝ 。求证：四边形EFGH是 是 正方形。 正方形。
E A F G D
四边形ABCD与DEFG都是 与 都是 正方形。求证： ＝ 正方形。求证：AE＝CG。 。
E A F G D
B
C
是过正方形ABCD的顶点 的 的顶点B的 例3：已知 是过正方形 ： 的顶点 一条直线， ⊥ 于点E， 一条直线，AE⊥ 于点 ， CF⊥ 于点 。求 ⊥ 于点F。 证：AE＝BF。 ＝ 。
平行四边形、菱形、矩形、 平行四边形、菱形、矩形、正方形它们之 间的关系如下图所示： 间的关系如下图所示：
平行四边形 菱形 正方形
矩形
因为正方形既是菱形又是矩形； 因为正方形既是菱形又是矩形；所以正方 形既具有菱形的性质，又具有矩形的性质， 形既具有菱形的性质，又具有矩形的性质，由 此可得到正方形的如下性质： 此可得到正方形的如下性质：
正方形的性质及判定
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．一、正方形的性质【例1】 正方形有 条对称轴．【例2】 已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形【例3】 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA【例4】 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．正方形的性质及判定正方形菱形矩形平行四边形【例5】 将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA【例7】 如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【例8】 如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA【例9】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【例10】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．M N CDO B A【例11】 如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例12】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．GEHDFCBA【例13】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【例14】 如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDCBA【例15】 如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA【例16】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA【例17】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例18】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.K NMLDCB A【例19】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.GC FEDBA【例20】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【例21】 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例22】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．【例23】 如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【例24】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.ABCDEF E 'GBO D CA QP【例25】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．MFEDCBA【例26】 如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证： DG DA =G FEC DBA【例27】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【例28】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEG CDF B A【例29】 把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHF EDB A【例30】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BA【例31】 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______. ABCDEF二、正方形的判定【例32】 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA【例33】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA【例34】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA【例35】 如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【例36】 如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【例37】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE∆ 的面积为GFEDCB A【例38】 如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【例39】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例40】已知：PA4PB=，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.PDCBA。
正方形
1.3正方形定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形性质：(1)正方形的四条边相等，对边平行；(2)正方形的四个角都是直角；(3)正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；(4)正方形是轴对称图形，有四条对称轴判定：(1)一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；(4)既是矩形，又是菱形的四边形是正方形知识点1 正方形的概念一组邻边相等的矩形叫做正方形．拓展由正方形的定义可知，正方形是有一组邻边相等的矩形，也是有一个角是直角的菱形，也就是说，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以我们在说明一个四边形是正方形时；可以先说明它是矩形，再说明它是菱形，或先说明它是菱形，再说明它是矩形．知识点2 正方形的性质(1)正方形的四条边相等，对边平行．(2)正方形的四个角都是直角．(3)正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．(4)正方形是轴对称图形，有四条对称轴．如图4－65所示，在正方形ABCD中，有如下结论：(1)AB＝BC＝CD＝DA；AD∥BC，AB∥CD→四边相等，对边平行．(2)∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°→四个角都是直角．(3)AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝∠7＝∠8＝45°→对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．拓展(1)由于正方形是特殊的矩形和菱形，所以它具备矩形和菱形的所有性质．(2)正方形的两条对角线将正方形分成8个等腰直角三角形，所以等腰直角三角形的性质在正方形的有关计算中经常用到．知识点3 正方形的判别(1)一组邻边相等的矩形是正方形．(2)有一个角是直角的菱形是正方形．(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．(4)既是矩形，又是菱形的四边形是正方形．拓展几种特殊平行四边形的判别可用图4－66表示．正方形规律方法小结从一般到特殊的思想：从四边形到平行四边形再到菱形、矩形，再到正方形，就是从一般情况到特殊情况的认识，体现了从一般到特殊的思想．四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系如图4—67所示．1、如图4－70所示，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，则∠E＝.2、如图4－72所示，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，交AB于0，DE⊥AC，D F⊥BC，E，F是垂足，那么四边形DECF是正方形吗?说明理由．3、如图4－74所示，四边形ABCD是正方形，E，F是AD，DC上的点，且∠EBF＝45°，则EF与CF＋AE相等吗?说明理由．4、如图4－76所示，将矩形ABCD中的△AOB沿着射线BC的方向平移线段AD的距离，(1)画出△AOB平移后的图形；(2)设(1)中O点平移后的对应点为E，试判断四边形CODE的形状，并说明理由；(3)当四边形ABCD是什么四边形时，(2)中的四边形C00E是正方形?并说明你的理由．体验中考 1、如图4－80所示，将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是 ( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm2、如图4－8l(1)所示，把一个长为m ，宽为n 的长方形(m ＞n )沿虚线剪开，拼接成图(2)，成为在一个角去掉—个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为 ( )A ．2m nB ．m －nC ．2m D ．2n 3、如图4－82所示，正方形ABCD 内有两条相交线段MN ，EF ，M ，N ，E ，F 分别在边AB ，CD ，AD ，BC 上，小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为：若MN ⊥EF ，则MN ＝EF ．你认为 ( )A. 仅小明对 B ．仅小亮对 C ．两人都对 D ．两人都不对作业１.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 ２. 在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A 、AC=BD ，∠A=∠B ，∠C=∠D B 、∠ABD=∠CBD ，AB=CD ，∠A=∠B C 、AO=CO ，BO=DO ，∠A=∠B D 、AO=CO=BO=DO ，AB=BC3．如图1，已知正方形ABCD 的边长为，E 为DC 边上一点，∠EBC=30°，则BE 的长为（ ）A 、cm 5B 、cm 52C 、5cmD 、10cm4．如图4-4-2，等边三角形ABE 与正方形ABCD 有一条公共边，则∠AED 等于（ ） A 、10°B 、12.5°C 、15°D 、20°5．如图4-4-3，E 是正方形ABCD 内一点，且△EAB 是等边三角形，则∠ADE 等于cm 35图1图3BA DCB O（ ）A 、70° B 、72.5° C 、75° D 、77.5°6.如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）7. 如图（1），在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，则∠AFC ＝(1) (2)8．如图(2)，E 是正方形ABCD 内一点，如果△ABE 是等边三角形，那么∠DCE ＝，如果DE 的延长线交BC 于G ，则∠BEG ＝9.已知：如图，正方形ABCD 中，延长AD 到E ，使DE=AD ，再延长DE 到F ，使DF=BD ，连接BF ，交CE 于M ，交DC 于N.求证：MD=MN.10.如图，△ABC 中，点O 是AC 上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设Mn 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACH 的平分线于点F 。
教学知识点正方形和长方形的性质
教学知识点正方形和长方形的性质正方形和长方形是我们在数学中经常接触到的两个几何形状。
它们都是常见的二维图形，具有一些特殊的性质和特征。
在教学中，了解和理解正方形和长方形的性质是学生学习几何的基础，下面将介绍正方形和长方形的基本性质。
一、正方形的性质正方形是一种特殊的四边形，它有以下几个重要的性质：1. 边长相等：正方形的四条边相等，这是构成正方形的最基本的性质。
如果一个四边形的四条边都相等，那么它就是一个正方形。
2. 内角为90度：正方形的四个内角都是直角，即90度。
这是因为正方形的四条边相互垂直。
3. 对角线相等且垂直：正方形的对角线相等且垂直，即对角线的长度相等，并且对角线相互垂直。
这是由于正方形的四条边相互垂直，对角线是两条相邻边组成。
4. 对称性：正方形具有对称性，对称轴为对角线。
沿着对角线将正方形折叠，可以发现两个折叠部分完全重合。
二、长方形的性质长方形也是一种常见的四边形，和正方形相比，它具有以下几个主要的性质：1. 两组对边相等：长方形的两组对边分别相等。
一组对边是指长方形的长度两边，另一组对边是指长方形的宽度两边。
这是构成长方形的基本条件。
2. 内角为90度：长方形的四个内角也都是直角，即90度。
这和正方形的性质一样。
3. 对角线相等且不垂直：长方形的对角线相等，但不一定垂直。
对角线的长度相等，但对角线不一定互相垂直。
4. 对称性：长方形也具有对称性，且对称轴为对角线。
沿着对角线将长方形折叠，可以发现两个折叠部分完全重合。
三、正方形和长方形的区别虽然正方形和长方形都是四边形，但它们在性质和特征上也存在一些区别：1. 边长性质：正方形的四条边相等，而长方形的两组对边相等。
2. 对角线性质：正方形的对角线相等且垂直，长方形的对角线相等但不一定垂直。
3. 可变性：正方形的特殊性质决定了它的形状只有一种，即四边相等且内角为直角；而长方形在长度和宽度上可以任意变化。
对于学生来说，理解正方形和长方形的性质有助于他们对二维图形的认知和几何常识的建立，同时也为后续学习几何的其他形状打下基础。
第三讲正方形的性质与判定
第三讲正方形的性质与判定（一）正方形的定义与性质1.正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做菱形.2.正方形的性质:①:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的对角线相等且互相垂直平分.3.特殊平行四边形的包含关系典例分析知识点1：利用正方形的性质计算例1：如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为．知识点2：利用正方形的性质证明例2：已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O．（1）E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交于点F．求证：OE=OF．（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AG⊥BE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．知识点3：利用正方形的性质求面积例3：（1）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．例3（1）图例3（2）图（2）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2 C．a2D．a2知识点4：利用正方形解决最短路径问题例4：如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上的一点，BE=2，F为AB上的一点，AF=3，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．（二）正方形的判定1.正方形的判定定理.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.(2)有一个角是直角的菱形是正方形.(3)对角线垂直的矩形是正方形.(4)对角线相等的菱形是正方形.2..判定一个四边形是矩形的方法与思路是:典例分析知识点5:先证矩形再证正方形例5.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．知识点6：先证菱形再证正方形例6：如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．（三）中点四边形1.定义：以四边形的各边中点为顶点所组成的新四边形2.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形知识点7：中点四边形形状的确定例7：（1）以四边形的各边中点为顶点可以组成一个什么图形?如果以菱形或矩形各边的中点为顶点呢?:（2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．（四）正方形的性质与判定的综合应用例8：如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．例9：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？例10：如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE=BC=1．（1）求证：CE=CF；（2）若G在AD上，连接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度数；（3）在（2）的条件下，求GC的长度．例11:如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．例12：（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）夯实基础：1.下列说法中，正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是菱形B．对角线互相垂直的菱形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2.已知正方形的边长为2cm，则其对角线长是（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm3.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为（）A．5 B．6 C．9 D．13第3题第4题第5题4.如图，在正方形ABCD中，AB=1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．B．4 C．2 D．5.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°第6题第7题7.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2B．3C．D．第8题第9题9.如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E，F．已知AD=4，则AE2+CF2=．10.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF ∥BE．求证：四边形BECF是正方形．11.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）当∠A=90°时，试判断四边形DFAE是何特殊四边形？并说明理由．13.．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．（1）求证：PB=PE；（2）过点E作EF⊥AC于点F，如图2，若正方形ABCD的边长为2，则在点P 运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．14.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）。
正方形的判定和性质
正方形性质与判定1）定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
2）性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴。
正方形也是中心对称图形。
）3）判定：① 有一个内角是直角的菱形是正方形； ② 邻边相等的矩形是正方形； ③ 对角线相等的菱形是正方形；④ 对角线互相垂直的矩形是正方形。
4）正方形的周长和面积： 正方形的周长=边长×4 正方形的面积=边长×边长例题讲解1. 如图，正方形ABCD 中，△EBC 是正三角形，求∠EAD 的度数。
2. 如图，正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，以CG 为边做正方形GFEC ， 求证：BG=DE3. 如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BG ⊥CE 于G 交AD于F ， 求证：CE=BF 。
4. 分别以三角形ABC 两边向形外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，求证：BG=CE 。
5. 如图，平行四边形ABCD 中，△ABE 、△BCF 是以AB 、BC 为边的等边三角形，求证：△DEF 是等边三角形。
6. 如图，正方形ABCD 对角线BD 、AC 交于O ，E 是OC 上一点，AG ⊥DE 交BD 于F ， 求证：EF ∥DC 。
7. 如图，正方形ABCD 对角线AC 、BD 交于O ，DE 平分∠ADB ，CN ⊥DE 于N ，求证：OF=21AG 。
8. 如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，BE=CF. （1） AE 与BF 相等吗？为什么？（2） AE 与BF 是否垂直？说明你的理由。
FE D C B AA BCDEFGFEDCBAABCDEFGO CDEFOG NAB CD E FGABCDED A F A B C DEDCB A E F P DCB A EG FD C B A EG F A BCDEF G9. 如图，在正方形ABCD 中，取AD 、CD 边的中点E 、F ，连接CE 、BF 交于点G ，连接AG 。
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第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
第1课时 正方形的性质
学习目标：1.理解正方形的概念；
2. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和
区别；
3. 会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
重点：探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别. 难点：会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
一、知识回顾
1.你还记得长方形有哪些性质吗？
2.菱形的性质又有哪些？
一、要点探究
探究点1：正方形的性质
想一想 1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
要点归纳：正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的__________叫正方形. 想一想 正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.那你能说出正方形的性质吗？
1.正方形的四个角都是_________,四条边_________.
2.正方形的对角线________且互相______________. 证一证 已知：如图,四边形ABCD 是正方形. 求证：正方形ABCD 四边相等,四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD 是正方形.
∴∠A=____°, AB_____AC. 又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是______,亦是______. ∴∠A___∠B___∠C___∠D =____°, AB___BC___CD___AD.
已知：如图,四边形ABCD 是正方形.对角线AC 、BD 相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO,AC ⊥BD. 证明：∵正方形ABCD 是矩形, ∴AO___BO___CO___DO.
∵正方形ABCD 是菱形. ∴AC___BD.
想一想 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对
课堂探究
自主学习
教学备注
学生在课前完成自主学习部分
配套PPT 讲授
1.情景引入 （见幻灯片3）
2.探究点1新知讲授
（见幻灯片4-19）
邻边_____
一个角是_____
称图形?如果是,那么对称轴有几条?
要点归纳：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
典例精析
例1如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.
求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.
D
A
B C
E
变式题1 四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小．
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：
等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
变式题2 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
教学备注
2.探究点1新知
讲授
（见幻灯片
4-19）
例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC
于F.试说明：AP=EF.
方法总结：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂
直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说
明.
针对训练
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
3.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO＝2,求正方
形的周长与面积．
二、课堂小结
内容
教学备注
配套PPT讲授
3.课堂小结（见
幻灯片25）
4.当堂检测（见
幻灯片20-24）
教学备注
2.探究点1新
知讲授
（见幻灯片
4-19）
正方形的性质
定义：有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做
正方形.
性质：
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）
A.2cm2
B.4cm2
C.6cm2
D.8cm2
3.在正方形ABC中,∠ADB=________,∠DAC=_________, ∠BOC=__________.
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________.
5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
6.如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有
怎样的关系？请说明理由.
当堂检测
第3题图第4题图
教学备注
4.当堂检测（见
幻灯片20-24）。