分层抽样、系统抽样
分层抽样与系统抽样
分层抽样与系统抽样1. 引言分层抽样和系统抽样是统计学中两个常用的抽样方法。
它们在样本选择过程中有着不同的原理和应用场景。
本文将介绍分层抽样和系统抽样的基本概念、原理和例子，并比较两种抽样方法的优缺点。
2. 分层抽样2.1 概念分层抽样是将总体划分为若干个互不重叠的层次，然后在每个层次上进行独立的抽样。
每个层次的抽样单位被称为一个层次。
2.2 原理分层抽样的原理是通过对总体的划分，使得每个层次上的样本能够更好地代表总体的信息。
通常，在划分层次时，可以根据某种特征或属性进行划分，确保每个层次上的样本在这一特征上有一定的相似性。
2.3 示例例如，研究一个学校的学生体质健康状况。
该学校有初中部和高中部两个层次，每个层次有若干个班级。
我们可以将总体划分为两个层次：初中部和高中部，然后在每个层次上进行抽样。
在初中部和高中部各选择几个班级，并在每个班级中随机选择一部分学生进行测试。
这样，通过分层抽样，我们可以得到代表整个学校学生体质健康状况的样本。
2.4 优缺点•优点：分层抽样可以减小样本误差，提高估计的精度。
通过划分层次，使得每个层次上的样本能够更好地代表总体的信息。
•缺点：分层抽样需要对总体进行划分并确定层次，增加了调查设计和实施的复杂性。
同时，如果划分层次不合理或者层次内的差异较大，可能导致样本不具有代表性。
3. 系统抽样3.1 概念系统抽样是在总体中按照一定规则依次选择样本，通常选择第一个样本，然后以一定的间隔选择后续样本，直到达到所需的样本量。
3.2 原理系统抽样的原理是通过等间隔地选择样本，使得样本具有代表性，并且可以减少人为主观因素对抽样结果的影响。
3.3 示例例如，研究一个城市居民的消费水平。
我们可以在城市中选择一个起始点（例如某个街道的第一个住宅），然后以固定的间隔选择后续的住宅，直到达到所需的样本量。
这样，通过系统抽样，我们可以得到代表该城市居民消费水平的样本。
3.4 优缺点•优点：系统抽样方法简单、易于实施。
系统抽样与分层抽样
简记为：编号；分段；在第一段确定起始号；加 间隔获取样本。
例：一个单位的职工500人，其中不到35岁的 有125人，35到49岁的有280人，50岁以上的 有95人。为了了解这个单位职工与身体状况 有关的某项指标，要从中抽取一个容量为100 的样本。由于职工年龄与这项指标有关，试 问：应用什么方法抽取？能在500人中任意取 100个吗？能将100个份额均分到这三部分中 吗？
为了解参加某种知识竞赛的1000名 学生的成绩，打算抽取容量为50的一 个样本进行了解。
（1）随机将这1000名学生编号为1，2，3，……， 1000； （2）将总体按编号顺序平均分成50部分，每部分包 含20个个体；
（3）在第一部分的个体编号1，2，……，20中，利 用简单随机抽样抽取一个号码，比如13；
解:(1)确定样本容量与总体的个体数之比 100：500=1：5。
（2）利用抽样比确定各年龄段应抽取的个体数，
依次为
,即25，56，19。
（3）利用简单随机抽样或系统抽样的方法， 从各年龄段分别抽取25，56,19人，然后合 在一起，就是所抽取的样本。
二、分层抽样
1、分层抽样的定义
当已知总体由差异明显的几部分组 成时，为了使样本更充分地反映总体的 情况，常将总体分成几个部分，然后按 照各部分所占的比例进行抽样，这种抽 样叫做“分层抽样”，其中所分成的各 部分叫做“层”。
在实际操作中，为了使样本具有代表性，通常 要同时使用几种抽样方法.
为了解参加某种知识竞赛的１００３名学生的 成绩，打算抽取容量为50的一个样本进行了解。
问题：如果个体总数不能被样本容量整除时该 怎么办？
系统抽样和分层抽样
例2．某年级共有 ．某年级共有1800名学生参加期末考 名学生参加期末考 为了了解学生的成绩，按照1:50的比 试，为了了解学生的成绩，按照 的比 例抽取一个样本， 例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行 抽样，写出过程。 抽样，写出过程。 解：将1800名学生按 至1800编上号码， 名学生按1至 编上号码， 名学生按 编上号码 按编号顺序分成36组 每组50名 按编号顺序分成 组，每组 名，先在第 一组中用抽签法抽出k号 一组中用抽签法抽出 号(1≤k≤50)，其余的 ， k+50n(n=1，2，3，……，35)也被抽出， 也被抽出， ， ， ， ， 也被抽出 即可得所需的样本. 即可得所需的样本
系统抽样与简单随机抽样的主要差别 （1）系统抽样比简单随机抽样更容易实施， ）系统抽样比简单随机抽样更容易实施， 可节约抽样成本； 可节约抽样成本； （2）系统抽样所得样本的代表性和具体的 ） 编号有关； 编号有关；而简单随机抽样所得样本的代 表性与个体的编号无关， 表性与个体的编号无关，如果编号的个体 特征随编号的变化呈现一定的周期性， 特征随编号的变化呈现一定的周期性，可 能会使系统抽样的代表性很差； 能会使系统抽样的代表性很差； （3）系统抽样比简单随机抽样的应用范围 ） 更广。 更广。
分层抽样说明 1）分层抽样适用于总体由差异明显的几部分 ）分层抽样适用于总体由差异明显的几部分 组成(互不交叉 的情况，每一部分称为层。 互不交叉)的情况 组成 互不交叉 的情况，每一部分称为层。在 实用中更为广泛。 实用中更为广泛。 广泛 2）在每一层中实行简单随机抽样，故分层抽 中实行简单随机抽样 ） 每一层中实行简单随机抽样， 样的样本更具有代表性，也是等可能性的。 样的样本更具有代表性，也是等可能性的 代表性 等可能性 3）根据第二步计算出各层的抽样数，不仅可 ）根据第二步计算出各层的抽样数， 以调查总体的特征，还有利于进一步比较各层 以调查总体的特征，还有利于进一步比较各层 次间的差异情况。 机 总体中 均衡几部分 均衡几部分， 抽样抽取起 的个体 抽样抽取起 按规则在各 规则在各 数较多 始号码 段抽取 将总体分成互 将总体分成互 用简单随机 不交叉的几层， 不交叉的几层， 抽样或系统 比例分层抽 抽样对各层 按比例分层抽 抽样对各层 样 抽样 总体由差 总体由差 异明显的 异明显的 几部分组 成
分层抽样与系统抽样
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 (1)某学校高一、 高二、 高三年级的学生人数之比为 3 ∶ 3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的 样本,则应从高二年级抽取 名学生;
(2)某单位有职工 900 人,其中青年职工 450 人,中年职工 270 人,老年职 工 180 人.该单位为了了解职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样 本.若样本中的青年职工为 10 人,则样本容量为 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 4】 (1)为了了解 1 200 名学生对学校某项教学实验的意见, 打算从中抽取一个容量为 30 的样本,考虑采用系统抽样的方法,则抽样距 k 为( ) A.40 B.30 C.20 D.12
(2)某单位有 200 名职工,现要从中抽取 40 名职工做某项调查.用系统抽 样法,将全体职工随机按 1 至 200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1 至 5 号,6 至 10 号,…,196 至 200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的 号码为 .
)
解析:分层抽样中抽样比一定相同,设样本容量为 n=36. 答案:B
=
27 ,解得 90
1
2
3
4
5
6
4.若总体中含有 1 645 个个体,采用系统抽样的方法从中抽取容量为 35 的样 本,则编号后确定编号分为 个个体. 解析:因为 N=1 645,n=35,则编号后确定编号分为 35 段,且抽样距 k= =
体平均分为 150 个部分,其中每一部分包括 100 个个体. 第二步 第三步 比如是 56. 第四步 以 56 作为起始数,再顺次抽取 156,256,356,…,14956,这样就得 到一个容量为 150 的样本. 对全体学生的数学成绩进行编号 :1,2,3,…,15000. 在第一部分即 1 号到 100 号用简单随机抽样抽取一个号码,
§2 2.2 分层抽样与系统抽样
1、什么是简单随机抽样？ 什么是简单随机抽样？ 设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法 设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法 N. 从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的 从中抽取一个样本， 概率相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样. 概率相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样. 2、什么样的总体适合简单随机抽样？ 什么样的总体适合简单随机抽样？ 适用范围：总体的个体数不多时. 适用范围：总体的个体数不多时.
例3：某工厂平均每天生产某种机器零件大约10000件，要 某工厂平均每天生产某种机器零件大约10000件 10000 求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况. 求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况.假设 50件零件 一天的生产时间中生产机器零件的件数是均匀的， 一天的生产时间中生产机器零件的件数是均匀的，请你设 计一个调查方案. 计一个调查方案. 解：我们可以采用系统抽样，按照下面的步骤设计方案. 我们可以采用系统抽样，按照下面的步骤设计方案. 第一步 第二步 按生产时间将一天分为50个时间段，也就是说， 按生产时间将一天分为50个时间段，也就是说，每 50个时间段 将一天中生产的机器零件按生产时间进行顺序编号. 将一天中生产的机器零件按生产时间进行顺序编号.
取一件产品，比如是k号零件. 取一件产品，比如是k号零件. k+200,k+400,k+600,…,k+9800,这样就抽取了容量为50的 k+200,k+400,k+600,…,k+9800,这样就抽取了容量为50的 这样就抽取了容量为50 一个样本. 一个样本.
例4
某装订厂平均每小时大约装订图书362册 某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员 362
统计分层抽样与系统抽样课件
与简单随机抽样相比，系统抽 样能够更方便地抽取样本，并 且样本的代表性也更好。
系统抽样能够有效地减少样本 的偏差，提高样本的可靠性。
系统抽样的步骤
第一步
将总体中的个体按照某种顺序进行编号， 并将编号作为抽样的基础。
第三步
根据间隔距离，从第一个个体开始抽取样 本，直到抽取足够的样本数量为止。
第二步
确定间隔距离，即每隔多少个个体抽取一 个样本。
第四步
对抽取的样本进行必要的统计和分析，以 得出结论。
04
系统抽样的应用
按照时间间隔进行系统抽样
定义：按照时间间隔来进行系统抽样是一种常见的抽样方法，其中每个样本都是 按照固定的时间间隔来选取的。
适用场景：这种抽样方法通常用于对具有时间连续性的数据进行的调查，如对某 网站的用户活跃度、交通流量等进行的调查。
按照空间间隔来进行系统抽样时，首先要确定间隔长度，然后从第一个 间隔开始选取样本，每个间隔都选取一个样本，直到最后一个间隔。
按照大小进行系统抽样
定义：按照大小来进行系统抽样是一 种抽样方法，其中每个样本都是按照
其大小来选取的。
适用场景：这种抽样方法通常用于对 具有大小差异的数据进行的调查，如 对某产品的尺寸、重量等进行的调查
要点二
系统抽样
在系统抽样中，样本量的确定通常基于总体大小、置信 水平和误差限。通常，我们使用公式或查表来确定样本 量。
误差估计的研究
分层抽样
在分层抽样中，误差的估计通常采用方差估计方法。我 们可以通过计算总体参数的方差来估计误差，并根据所 需的置信水平确定误差限。
系统抽样
在系统抽样中，误差的估计通常采用方差估计方法。我 们可以通过计算样本统计量的方差来估计误差，并根据 所需的置信水平确定误差限。
系统抽样与分层抽样
三．分层抽样
问题6 假设某地区有高中生6500人，初中生11900人， 小学生17000人。当地教育部门为了了解本地区中小学生 的视力情况，计划从本地区的中小学生中抽取1%的学生 进行调查，应该怎样抽取样本？
不同年龄阶段的学生视力情况可能存在明显差异。 因此应将全体学生分成高中、初中和小学三部分分别 抽样。另外，三部分学生的人数相差较大，因此，为 了充分反映本地区中小学生的视力情况，还应考虑各 学段学生在样本中所占的比例大小。
二、系统抽样
l=6,k=10
第1段 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
6
第2段 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
16
第3段 21,22,23,24,25,26,27,28,29,30
26
第4段 31,32,33,34,35,36,37,38,39,40
各层抽取个数 样本容量各层个数 总体个数
（3）各层的抽取数之和应等于样本容量。
每层的抽取方法为简单随机抽样或系统抽样
例题 一个单位的职工有500人，其中不到35岁的有125人， 35～49岁的有280人，50岁以上的有95人。为了了解该单位 职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取100名职工作为 样本，应该怎样抽取？
36
第n段 … … … … … … … … … … … … … …
第120段1191,1192, 1193, 1194, 1195, 1196, 1197, 1198, 1199,1200
l l+k l+2k l+3k
l+(n-1)k
6,16,26,36，…，1196，用系统抽样抽的编号为等差数列，公 差等于分段间隔k.
2.1.2-3.系统抽样、分层抽样
（3）第一段用简单随机抽样确定起始号码l。 ）第一段用简单随机抽样确定起始号码 。
抽取样本： ； ＋ ； ＋ ； （4）按照规则抽取样本：l；l＋k；l＋2k；……l＋nk ） ＋
1 由于每排的座位有40个 各排每个号码被抽取的概率都是, 由于每排的座位有 个，各排每个号码被抽取的概率都是, 40
1 排被抽取前， 第1排被抽取前，其他各排中各号码被抽取概率也是40 ，也就是 排被抽取前
1 每排的抽样也是简单随机抽样， 说被抽取的概率是 ，每排的抽样也是简单随机抽样，因此这种 40
第二课时 系统抽样
1、简单随机抽样
一般地，设一个总体的个体数为N， 一般地 ，设一个总体的个体数为 ，如果通过逐个 不放回地抽取的方法从中抽取一个样本 抽取的方法从中抽取一个样本， 不放回地抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时 各个个体被抽到的概率相等， 各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随 机抽样。 机抽样。
抽样的方法是系统抽样。 抽样的方法是系统抽样。
系统抽样与简单随机抽样的联系 是什么? 是什么?
（1）系统抽样与简单随机抽样一样，每个 ）系统抽样与简单随机抽样一样， 个体被抽到的概率都相等； 个体被抽到的概率都相等；从而说明系统抽 样是等概率抽样，它是公平的． 样是等概率抽样，它是公平的． （2）系统抽样是建立在简单随机抽样的基 ） 础之上的， 础之上的，当将总体均分后对每简单随机抽样．
2．系统抽样 当总体的个数较多时，采用简单随机抽样太麻烦，这 当总体的个数较多时，采用简单随机抽样太麻烦， 时将总体分成均衡的部分， 时将总体分成均衡的部分 ， 然后按照预先定出的规则 从每一部分中抽取1个个体 得到所需要的样本， 个个体， ，从每一部分中抽取 个个体，得到所需要的样本，这 种抽样称为系统抽样。 种抽样称为系统抽样。 排座位， 个座位。 （ 1）一个礼堂有 排座位 ， 每排有 个座位 。 一次 ） 一个礼堂有30排座位 每排有40个座位 报告会礼堂坐满了听众。 报告会礼堂坐满了听众 。 会后为听取意见留下了座位 号为20的 名听众进行座谈 名听众进行座谈。 号为 的 30名听众进行座谈 。 这里选用了哪种抽取样 本的方法？每个个体被抽取的概率相同吗?。 本的方法？每个个体被抽取的概率相同吗 。
分层抽样与系统抽样
2.2分层抽样与系统抽样学习目标 1.理解并掌握系统抽样、分层抽样.2.会用系统抽样、分层抽样从总体中抽取样本.3.理解三种抽样的区别与联系.知识点一分层抽样思考分层抽样的总体具有什么特性？答案分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样.梳理1.分层抽样的概念将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本.这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样.2.分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要.当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法.3.分层抽样的实施步骤第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)；第二步，计算抽样比.抽样比＝样本容量总体中的个体数；第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比；第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本；第五步，综合每层抽样，组成样本.知识点二系统抽样思考1当总体中的个体数较多时，为什么不宜用简单随机抽样？答案因为个体较多，采用简单随机抽样如制作号签等工作会耗费大量的人力、物力和时间，而且不容易做到“搅拌均匀”，从而使样本的代表性不强.思考2用系统抽样抽取样本时，每段各取一个号码，其中第1段的个体编号怎样抽取？以后各段的个体编号怎样抽取？答案用简单随机抽样抽取第1段的个体编号.在抽取第1段的号码之前，自定义规则确定以后各段的个体编号，通常是将第1段抽取的号码依次累加间隔k.梳理1.系统抽样的概念将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本.这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样. 2.系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，步骤为：(1)先将总体的N 个个体编号.有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；(2)确定分段间隔k ，对编号进行分段.当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ；当Nn 不是整数时，先从总体中随机剔除几个个体，再重新编号， 然后分段； (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；(4)按照一定的规则抽取样本.通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号l ＋k ，再加k 得到第3个个体编号l ＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本. 知识点三 三种抽样方法的比较思考 系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样，故系统抽样就是一种特殊的分层抽样，这种说法对吗？答案 不对，因为分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上抽取是按事先确定好的规则进行的，各层编号有联系，不是独立的，故系统抽样不同于分层抽样.类型一 分层抽样及应用命题角度1 分层抽样适用情形判定例1 某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人.当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？解 (1)从总体来看，因为不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在明显差异，为了使样本具有较好的代表性，应该分高中、初中、小学三个层次分别抽样.(2)从三类学生的数量来看，人数较多，所以在各层抽样时可以采用系统抽样. (3)采用系统抽样分好组之后，确定第一组人选时，可以采用简单随机抽样.反思与感悟 分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似.在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用.跟踪训练1 某单位有员工500人，其中35岁以下的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人.为了调查员工的身体状况，要从中抽取一个容量为100的样本，如何进行抽取？解 因为员工按年龄分为三个层，各层的身体状况有明显的差异，所以为了使样本具有代表性，需要采用分层抽样.抽样比为1∶5，即每5人中抽取一人.35岁以下：125×15＝25(人)，35岁～49岁：280×15＝56(人)，50岁以上：95×15＝19(人).命题角度2 分层抽样具体实施步骤例2 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程. 解 抽样过程如下：第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为20160＝18.第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×18＝2(人)；从教师中抽取112×18＝14(人)；从后勤人员中抽取32×18＝4(人).第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人. 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本.反思与感悟 在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比.跟踪训练2 某单位最近组织了一次健身活动，活动小组分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取200人进行抽查，试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.解 (1)设登山组人数为x ，则游泳组人数为3x ，再设游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x＝10%， 解得b ＝50%，c ＝10%， 故a ＝1－50%－10%＝40%.所以游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例分别为40%、50%、10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60，抽取的中年人人数为200×34×50%＝75，抽取的老年人人数为200×34×10%＝15.类型二 系统抽样及应用例3 为了了解参加某种知识竞赛的1 000名学生的成绩，从中抽取一个容量为50的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程. 解 适宜选用系统抽样，抽样过程如下：(1)随机地将这1 000名学生编号为1,2,3， (1000)(2)将总体按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体.(3)在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l .(4)以l 为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：l ，l ＋20，l ＋40，…，l ＋980. 引申探究在本例中，如果总体是1 002，其余条件不变，又该怎么抽样？ 解 (1)将每个学生编一个号，由1至1002. (2)利用随机数法剔除2个号.(3)将剩余的1 000名学生重新编号1至1000.(4)按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体.(5)在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l .(6)以l 为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：l ，l ＋20，l ＋40，…，l ＋980.反思与感悟 当总体中的个体数不能被样本容量整除时，需要在总体中剔除一些个体.由于剔除方法采用简单随机抽样，所以即使是被剔除的个体，在整个抽样过程中被抽到的机会和其他个体是一样的.跟踪训练3 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施. 解 (1)将每个工人编一个号，由0001至1003. (2)利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除. (3)将剩余的1 000名工人重新编号0001至1000.(4)分段，取间隔k ＝1 00010＝100，将总体均分为10组，每组100个工人.(5)从第一段即0001号到0100号中随机抽取一个号l . (6)按编号将l,100＋l,200＋l ，…，900＋l ，共10个号选出. 这10个号所对应的工人组成样本.1.检测员每10分钟从匀速传递的新产品生产流水线上抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是( ) A.系统抽样法 B.抽签法 C.随机数法 D.其他抽样方法答案 A解析 根据系统抽样的定义和性质进行判断即可.2.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A.101B.808C.1 212D.2 012 答案 B解析 根据分层抽样，得N ×1212＋21＋25＋43＝96，解得N ＝808，故选B.3.为了调查某省各城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为________. 答案 4解析 乙组城市数占总城市数的比例为126＋12＋18＝13，样本容量为12，故乙组中应抽取的城市数为12×13＝4.4.某班级有50名学生，现要采用系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并均匀分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生. 答案 37解析 因为12＝5×2＋2，所以第n 组中抽得号码为5(n －1)＋2的学生.所以第八组中抽得号码为5×7＋2＝37的学生.5.一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别用系统抽样法和分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本.解系统抽样法：将200个产品编号为1～200，然后将编号分成20个部分，在第1部分中用简单随机抽样法抽取1个编号.如抽到5号，那么得到编号为5,15,25，…，195的个体，即可得到所需样本.分层抽样法：因为100＋60＋40＝200，所以20200＝1 10，所以100×110＝10,60×110＝6,40×110＝4.因此在一级品、二级品和三级品中分别抽取10个、6个和4个，即可得到所需样本.1.系统抽样有以下特点：(1)适用于总体容量较大的情况；(2)剔除多余个体及第一段抽样都要用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；(3)是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是nN；(4)是不放回抽样.在抽样时，只要第一段抽取的个体确定了，后面各段中要抽取的个体依照事先确定好的规律就自动地被抽出，因此简单易行.2.总体容量小，简单随机抽样；总体容量大，系统抽样；总体差异明显，分层抽样.在实际抽样中，为了使样本具有代表性，通常要同时使用几种抽样方法.40分钟课时作业一、选择题1.为了抽查某城市小轿车年检情况，在该城市采取抽车牌末位数字为6的小轿车进行检查，这种抽样方法是()A.随机数法B.抽签法C.系统抽样法D.其他抽样方法答案C解析由于每个车牌的末位数字为0,1,2，…，9十个数字之一，某辆车车牌末位数字为6是随机的，这相当于将所有汽车分成若干组，每组10个(车牌的末位数字依次为0,1,2，…，9)，取每一组中的第6个，故为系统抽样.2.某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的最小编号为()A.2B.3C.4D.5解析 由题意得系统抽样的抽样间隔为244＝6.设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋x )＋(18＋x )＝48，所以x ＝3，故选B.3.从N 个编号中抽取n 个号码作样本，考虑用系统抽样方法，抽样距为( ) A.N n B.n C.⎣⎡⎦⎤N n D.⎣⎡⎦⎤N n ＋1答案 C解析 系统抽样的间隔为Nn的整数部分.4.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A.p 1＝p 2＜p 3 B.p 2＝p 3＜p 1 C.p 1＝p 3＜p 2 D.p 1＝p 2＝p 3 答案 D解析 因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D.5.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( ) A.8 B.11 C.16 D.10 答案 A解析 若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x 2＋300，所以有x ＋x 2＋x2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为800100＝8.6.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 答案 B解析 由于84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12.7.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，低级职称90人，现采用分层抽样来抽取30人，则抽取的高级职称的人数为________. 答案 3解析 由题意得抽样比为30150＝15，所以抽取的高级职称的人数为15×15＝3.8.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比为2∶3∶5.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝________. 答案 80解析 16÷22＋3＋5＝80.9.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________.若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人.答案 37 20解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x 人，则40200＝x100，解得x ＝20.10.某班共有学生52人，现根据学生的学号用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6号、32号、45号的同学在样本中，那么样本中剩下的一个同学的学号是________号. 答案 19解析 ∵45－32＝13，∴抽样间隔为13，故抽取学生的学号依次为6、19、32、45，故填19. 三、解答题11.一个公司有职工160人，其中业务人员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人.为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，并写出过程.解 样本容量与职工总人数的比为20∶160＝1∶8，所以业务人员、管理人员和后勤服务人员各应抽取的人数分别为1208、168和248，即分别为15、2和3，每一层抽取时采用简单随机抽样或系统抽样，再将各层抽取的个体合在一起，就得到要抽取的样本.12.某停车场停有6辆卡车、12辆小轿车和18辆电动车，现要从这些车辆中抽取一个容量为n 的样本进行某项指标调查.若采用系统抽样的方法或分层抽样的方法抽取，则不用剔除个体；若样本容量增加1，则在采用系统抽样的方法时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n .解 由题意知总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的抽样比是n 36，分层抽样过程中，抽取的卡车数为n 36·6＝n 6，轿车数为n 36·12＝n3，电动车数为n 36·18＝n2，所以n 应是6的倍数，36的约数，且0＜n ＜36，即n ＝6,12,18.当样本容量为n ＋1时，剔除一个个体后的总体容量是35， 系统抽样的间隔为35n ＋1，所以35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n ＝6.13.为了对某课题进行研究，分别从A 、B 、C 三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A 有m 名教授，高校B 有72名教授，高校C 有n 名教授(其中0＜m ≤72≤n ). (1)若A 、B 两所高校中共抽取3名教授，B 、C 两所高校中共抽取5名教授，求m 、n ； (2)若高校B 中抽取的教授数是高校A 和C 中抽取的教授数的23，求三所高校的教授的总人数.解 (1)∵0＜m ≤72≤n ，A 、B 两所高校中共抽取3名教授，∴B 高校中抽取2人，∴A 高校中抽取1人，C 高校中抽取3人，∴1m ＝272＝3n，解得m ＝36，n ＝108.(2)∵高校B 中抽取的教授数是高校A 和C 中抽取的教授数的23，∴23(m ＋n )＝72，解得m ＋n＝108，∴三所高校的教授的总人数为m ＋n ＋72＝180.。
2.1.2-3系统抽样、分层抽样
系统抽样
1、下列抽样中不是系统抽样的是（ C ） A、从标有1—15号的15个球中，任选3个作样本，按从小 号到大号排序，随机选起点i0，以后i0+5，i0+10（超过 15则从1再数起）号入样 B、工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前， 检验人员从传送带上每隔5分钟抽一件产品进行检验 C、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行 询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止 D、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相 等）座位号为14的观众留下来座谈
3、方法： 抽签法 ：编号、制签、搅匀、抽签、取个体 随机数表法：编号、选数、读数、取个体
系统抽样 1、什么样的总体适宜用简单随机抽样？
简单随机抽样适用于个体较少的总体
2、当总体个数较多时，宜用什么抽取方法？
新的抽样方法—— 系统抽样
系统抽样
学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从 高一年级1000名学生中抽取50名学生进行调查.除了用简 单随机抽样获取样本外,你能否设计其他抽样样本的方法? 我们按照这样的方法来抽样:首先将这1000名学生从1开 始进行编号,然后按号码顺序以一定的间隔进行抽取.由于
系统抽样
3、某中学有180名教工，其中业务人员136名， 管理人员20名，后勤人员24名，从中抽取一个 容量为15的样本。 分层抽样
1、系统抽样（等距抽样）
简记为：编号；分段；在第一段确定起始号；加 间隔获取样本。
2、分层抽样
适用条件：总体是由具有明显差异的几部分组成。
3、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的 比较
很喜爱
2000
喜爱
4000
一般
4000
不喜爱
1000
了解分层抽样和系统抽样方法
了解分层抽样和系统抽样方法分层抽样（Stratified Sampling）是指将总体划分为不同的层次，从每个层次中随机抽取样本的抽样方法。
而系统抽样（Systematic Sampling）是按照一定的规则从总体中选取样本的抽样方法。
下面将详细介绍这两种抽样方法。
一、分层抽样分层抽样是一种按照总体的一些特征将总体划分为若干个层次（或称为分层），然后从每个层次中随机抽取一定数量的样本的抽样方法。
分层抽样通常用于总体具有较大差异性的情况，即总体可划分为若干互不相同的较小群体（层次）。
采用分层抽样主要有以下几个步骤：1.界定抽样总体：确定如何对总体进行划分，如根据地区、年龄、性别等特征，将总体划分为不同的层次。
2.确定各层的样本容量：对每个层次确定样本容量，通常需根据每个层次在总体中的比例来确定，即每个层次的样本数与该层次在全体中所占比例一致。
3.随机抽取样本：在每个层次中，根据各层次样本数的比例，使用随机数表或随机数发生器等方法，从每个层次中随机抽取一定数量的样本。
4.汇总数据：将各个层次的样本数据进行汇总，得到总体的估计结果。
分层抽样的优点包括：-可以保证样本的代表性，从而使得样本能够更好地反映总体的特征。
-可以确保每个层次都有参与样本，从而可以进行更加细分的分析。
二、系统抽样系统抽样是一种按照事先规定的系统规则从总体中选取样本的抽样方法。
系统抽样一般适用于总体无明显内在结构的情况，即总体没有明显的层次划分。
采用系统抽样的步骤如下：1.确定抽样总体：确定要对哪个总体进行系统抽样。
2.确定抽样框架：确定总体中的每个个体都在抽样框架中有明确的标识，并按照标识进行编号。
3.确定抽样比例：确定从总体中抽取的样本容量和抽样比例。
抽样比例通常是根据样本容量和总体规模进行计算的。
4.确定起始样本：随机选择一个起始样本，也可以通过随机数表或随机数发生器从抽样框架中随机选取一个起始样本。
5.选取样本：从起始样本开始，按照规定的抽样间隔，在抽样框架中选取样本。
系统抽样和分层抽样的区别
系统抽样和分层抽样的区别系统抽样和分层抽样是常用的两种概率抽样方法。
在统计学中，抽样是一种从总体中选择个体的方法，以便进行数据分析和推断。
系统抽样和分层抽样都有其独特的特点和应用场景。
本文将阐述系统抽样和分层抽样的区别，并探讨其在实际应用中的优缺点。
一、系统抽样系统抽样是指按照一定的规则从总体中选择个体的抽样方法。
具体而言，系统抽样是通过在总体中选择一个起点，然后根据事先确定的间隔规则依次选取个体，直到达到所需的样本量。
系统抽样的步骤包括：确定总体大小、计算间隔、选择起始个体、按照间隔选取个体。
系统抽样的优点在于简单易行，抽样过程便于操作和管理。
此外，系统抽样可以较好地保留总体的特征，适用于总体中个体分布规律较为均衡的情况。
系统抽样使得样本具有一定的随机性，从而提高了推断的精度和可靠性。
然而，系统抽样也存在一些缺点。
首先，如果总体中某些个体的特征呈现周期性或有规律的变化，可能会引入系统偏差。
其次，如果总体中存在某些特殊或异常个体，系统抽样可能无法很好地反映总体的全貌。
因此，在进行系统抽样时，需要事先对总体进行充分的了解和分析，避免因特殊因素导致的偏差。
二、分层抽样分层抽样是将总体划分为若干个层次，并从每个层次中选取样本，形成一个复合样本的抽样方法。
分层抽样的步骤包括：确定总体大小、划分层次、确定每层样本量、选择样本。
分层抽样的优点在于能够更好地反映总体的特征，保证了样本的代表性。
通过在不同的层次中选取样本，可以考虑到总体的异质性，缩小样本与总体之间的差异。
此外，分层抽样可以提高估计的精度，并且可以针对不同层次进行分析，获取更多层次的信息。
然而，分层抽样也存在一些限制和缺点。
首先，分层抽样需要对总体进行合理的划分，这需要对总体的特征有较为准确的了解。
如果划分不当或划分粒度过细，可能会导致样本的不均衡。
其次，分层抽样需要在每个层次中选择样本，增加了抽样的工作量和时间成本。
三、系统抽样和分层抽样的区别1. 定义和步骤：系统抽样是通过事先确定的间隔规则从总体中选择个体，抽取样本。
系统抽样和分层抽样的区别
系统抽样和分层抽样的区别
系统抽样和分层抽样的区别是含义不同，系统抽样是把总体的元素编号排序后，再计算出某种间隔，然后按一固定抽取元素来组成样本的方法。
分层抽样是要先把所有元素按某种特征或标志划分成几个类型或层次，在在其中采用前两种方法抽取一个子样本，所有子样本构成了总的样本。
系统抽样法又叫做等距抽样法或机械抽样法，是依据一定的抽样距离，从母
体中抽取样本。
要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均
衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法。
分层抽样法它是从一个可以分成不同子总体的总体中，按规定的比例从不同层中随机抽取样品的方法。
这种方法的优点是，样本的代表性比较好，抽样误差比较小。
缺点是抽样手续较简单随机抽样还要繁杂些。
定量调查中的分层抽样是一种卓越的概率抽样方式，在调查中经常被使用。
2.2分层抽样与系统抽样
〖说明〗(1)分段间隔的确定:
剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样
N 本容量整除.通常取k= n
N N 当 是整数时,取k= ; n n N 当 不是整数时,可以先从总体中随机地 n
(2)从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样 是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而 把复杂问题简单化，体现了数学转化思想。
例如，某中学高中学生有900名，为了 考察他们的体重状况，打算抽取容量为45 的一个样本。已知高一有400人，高二有 300人。高三有200人，采用分层抽样。 样本容量与总体容量的比是45：900= 1： 20，所以在高一、高二、高三3个层面上 取的学生数分别为20，15，10人。 当有些层面上抽取的学生数用除法算出 的结果不是整数时，可作细微调整。
C.120 D.100
3.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产 品，产品数量之比依次为2：3：5，现用 分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本， 样本中A种型号产品有16件，那么此样本 的容量n= 80 。
4.某校有老师200人，男学生1200人，女学 生1000人，现用分层抽样的方法从所有师 生中抽取一个容量为n的样本，已知从女 学生中抽取的人数为80人，则n= 192 .
思考:下列抽样中不是系统抽样的是 （ C ） A、从标有1～15号的15个小球中任选3个作 为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i, 以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样； B、工厂生产的产品，用传送带将产品送入 包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽 一件产品检验； C、搞某一市场调查，规定在商场门口随机 抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查 人数为止； D、电影院调查观众的某一指标，通知每排 （每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈。
10.3.2系统抽样和分层抽样
练习2：
1、某工厂生产产品，用传送带将产品送放下一道工序， 质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验， 则这种抽样方法是（ C ）。
A.抽签法
B.随机数表法
C.系统抽样
D.其他
2、采用系统抽样的方法，从个体数为1003的总体中抽
取一个容量50的样本，则在抽样过程中，被剔除的个
系统抽样的特点：（1）用系统抽样抽取样本时，每个
个体被抽到的可能性是相等的， （2）系统抽样适用于总体中个体数 较多，抽取样本容量也较大时； （3）系统抽样是不放回抽样。
巩固知识 典型例题
例4 某中职学校为了解2018级新生的身体发育情况，从 1000名新生中，利用系统抽样，抽取一个容量为50的样本．
个容量为n的样本，要平均分成n段，每段各有1个号码。
( 当N除以n的余数为r时，从总体中剔除r个个体， 将剩下的N-r个 个体重新编号。)
（3）定规：第一段中随机确定起始的个体编号m；然 后按照逐次加k的原则确定后续要抽的编号。
当N被n整除时，取 ；当N除以n的余数为r时，取
（4）抽样：按照一定规矩抽取样本，如抽每段的第m个顺序的
10.3.2 抽样方法----系统抽样、分层抽样
复习：
1、总体和样本 （样本容量） 2、抽样方法 ——1.简单随机抽样 3.简单随机抽样操作办法： ①抽签法（抓阄法）
②随机数法
①用抽签法抽取样本的步骤：
简记为：编号；制签；搅匀；抽签；取个体。
②用随机数表法抽取样本的步骤：
简记为：编号；选号；取个体。
第四步，从该号码起，接着依次取K1，K1+30，K1+2×30,
K1+3×30, … K1+（99）×30直到取够100个样本为止.
分层抽样和系统抽样解读
（2）计算各层个数与总体的个数的抽样比；
（3）按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本 个数；
（4）在每层进行抽样.
注： （1）分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的
情况 （2）分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层
要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏 的原则
练习2、某公司在甲乙丙丁四个地区分别有150个、120个、180个、 150个销售点，公司为了调查产品销售情况，需从这600 个销售点抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①； 在丙地区中有20个特大型销售点中抽取7个调查其销售收 入售后服务等情况，记这项调查为②，则完成这两项调查 采用的方法依次是（ B ） A.分层抽样，系统抽样 B.分层抽样，简单随机抽样 C.系统抽样，分层抽样 D.简单随机抽样，分层抽样
思考：某单位有职工500人，其中35岁以下——125人；
35～49岁——280人；50岁上——95人；为了解该单位
职工身体状况的某项指标，要抽一个100人的样本，应
该怎样抽取？
解：（析：指标与年龄有关，个体差异明显，宜采用分层抽样）
500：100=5：1
各层均抽取1/5即可
125/5=25； 280/5=56；，在样本中的代表 也应该多，这样样本才具有更好的代表性。
（4）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在 各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数 量的比与这层个体数量与总体容量的比相等.
例1：某地农田分布在山地、丘陵、平原、洼 地不同的地形上，要对这个地区的农作物产 量进行调查，应当采用什么抽样方法？
解：由于不同类型的农田之间的产量有较大 差异，应当采用分层抽样的方法，对不同类 型的农田按其占总数的比例来抽取样本.
分层抽样和系统抽样
;
在第1段用简单随机抽样法确定起始个体的编号s;
（4）按照事先确定的的规则抽取样本:
2435 12.175， 4567 22.835，3926 19.63，
200
200
200
1072 5.36， 200
即近似为12、23、20、5.
答：在分层抽样时, 应在“很喜爱”的观众中取12人, 在“喜 爱”的观众中取23人, 在“一般”的观众中取20人, 在“不喜 爱”的观众中取5人.
50 第二步 将一天中生产出的机器零件按生产时间进行顺序编号;
第三步 从第一个时间段中按照简单随机抽样的方法, 抽取一
件产品, 比如是k号零件; 第四步 顺序地抽取编号分别为下面数字的零件:
k+200, k+400, k+600, …, k+9800.
这样就抽取了容量为50的一个样本.
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复习回顾
1.简单随机抽样的特点： ①总体的个数有限;
②逐个进行抽取；
③不放回抽样；
④等概率抽样.
2.抽签法和随机数表法.
优点：简单易行
适用范围：总体个数不多时
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问题探究
问题1.一个单位的职工有500人, 其中不到35岁的有125人, 35～ 49岁的有280人, 50岁以上的有95人. 为了了解该单位职工年龄 与身体状况的有关指标, 从中抽取100名职工作为样本, 应该怎 样抽取？
2.系统抽样: 系统抽样是将总体的个体进行编号, 等距分组, 在第一组中
按照简单随机抽样抽取第一个样本, 然后按分组的间隔(称为抽 样距)抽取其他样本. 这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽 样.
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2．2分层抽样与系统抽样[学习目标] 1.理解分层抽样\系统抽样的概念.2.会用分层抽样、系统抽样从总体中抽取样本.3.能用分层抽样、系统抽样解决实际问题．知识点一分层抽样的概念将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照__________随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作________，有时也称为类型抽样．分层抽样具有如下特点：(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；(2)按比例确定每层抽取个体的个数；(3)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样的方法；(4)分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；(5)分层抽样也是等机会抽样，每个个体被抽到的可能性都是样本容量n总体容量N，而且在每层抽样时，可以根据个体情况采用不同的抽样方法．知识点二分层抽样的步骤思考分层抽样的总体具有什么特性？题型一对分层抽样概念的理解例1有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．现从中抽出8件进行质量分析，则应采取的抽样方法是()A．抽签法B．随机数法C．系统抽样D．分层抽样反思与感悟 判断抽样方法是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点：(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．(2)样本能更充分地反映总体的情况．(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．跟踪训练1 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个．方法2：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下列说法正确的是( )①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是15； ②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③题型二 分层抽样的应用例2 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？反思与感悟 利用分层抽样抽取样本的操作步骤：(1)将总体按一定属性特征进行分层；(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)；(5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．跟踪训练2 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是________．例3 某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，为了调查他们的身体状况，从中抽取一个容量为36的样本，则最适合抽取样本的办法是( )A ．简单随机抽样B ．抽签法C ．分层抽样D ．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样知识点一 系统抽样的概念当总体容量和样本容量都很大时，无论是采用分层抽样或简单随机抽样，都是非常麻烦的．系统抽样就是为了解决这个问题．系统抽样是将总体中的个体进行编号，___________，在第一组中按照_________抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样． 系统抽样具有如下特点：(1)当总体中的个体数较大时，用系统抽样更易实施，更节约成本；(2)系统抽样的效果与个体的编号有关，如果编号的特征随编号呈周期性变化，可能使样本的代表性很差知识点二 系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：(1)编号：先将总体的N 个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；(2)分段：确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n； (3)确定第一个编号：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；(4)成样：按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．知识点三 三种抽样方法的比较简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的比较如下表所示：题型一 对系统抽样概念的理解例1 下列抽样中，最适宜用系统抽样的是( )A ．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200名入样B ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D ．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样反思与感悟 系统抽样适用于个体数较大的总体，判断一种抽样是否为系统抽样，首先看在抽样前是否知道总体是由什么构成的．抽样的方法能否保证将总体分成几个均衡的部分，并保证每个个体等可能入样．跟踪训练1 下列抽样方法不是系统抽样的是( )A ．从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号的顺序，随机选起点i 0，以后选i 0＋5，i 0＋10(超过15则从1再数起)号入选B ．工厂生产的产品用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验C ．做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调查人数为止D ．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈 题型二 系统抽样的应用例2 为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．反思与感悟 当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k ＝N n；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．跟踪训练2 现有60瓶牛奶，编号为1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽取的编号可能为( )A ．3,13,23,33,43,53B ．2,14,26,38,42,56C ．5,8,31,36,48,54D ．5,10,15,20,25,30题型三系统抽样的设计例3某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．反思与感悟 1.当总体容量不能被样本容量整除时，要先从总体中随机剔除整除后余数个个体且必须是随机的，即每个个体被剔除的机会均等．剔除个体后使总体中剩余的总体容量能被样本容量整除.2.剔除个体后需对样本重新编号.3.起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．跟踪训练3为了了解参加某次考试的2607名学生的成绩，决定用系统抽样的方法抽取一个容量为260的样本．请根据所学的知识写出抽样过程．题型四抽样方法的综合应用例4为了考察某校的教学水平，抽查了这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察．为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计14人，考察这14名学生的成绩；③把该校高三年级的学生按成绩分成优秀，良好，普通三个级别，从中抽取100名学生进行考查(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)．根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步骤．反思与感悟 1.简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用．2．三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法．3．三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．跟踪训练4下列问题中，宜采用的抽样方法依次为：(1)________；(2)________；(3)________；(4)________．(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；(2)某社区有1200户家庭，其中高收入家庭420户，中等收入家庭470户，低收入家庭310户，为了调查该社区购买力的某项指标，要从所有家庭中抽取一个容量为120的样本；(3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；(4)已知某校高一学生的学号后三位数字从001编至805，教育部门准备抽查该校80名高一学生的体育达标情况．例5 要从参加全运会某些项目比赛的1013名运动员中抽取100名进行兴奋剂检查，采用何种抽样方法较好？写出过程． 088,188,288,388,488,588,688,788,888,988.1.对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式解：(1)样本容量n 总体容量N ＝各层抽取的样本数该层的容量； (2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比．2．选择抽样方法的规律：(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法．(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．(3)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法．3.系统抽样的实质是“分组”抽样，适用于总体中的个体数较大的情况．4．解决系统抽样问题的两个关键步骤为(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)用系统抽样法抽取样本，当N n不为整数时，取k ＝⎣⎡⎦⎤N n ，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N －nk )个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．抽签法C ．随机数表法D ．分层抽样2．为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，必须要求( )A ．每层的个体数必须一样多;B ．每层抽取的个体数相等;C ．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取n i ＝n ·N i N(i ＝1,2，…，k )个个体，其中k 是层数，n 是抽取的样本容量，N i 是第i 层所包含的个体数，N 是总体容量;D ．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制;3.甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．20人，30人，10人D ．30人，50人，10人4．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．5．为了解1200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔k 为( )A ．10B ．20C ．30D ．406．为了了解参加某次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为( )A ．2B ．3C ．4D ．57．要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按抽签方法确定的号码是( )A ．7B ．5C ．4D ．38．在1000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，公证部门用随机抽样的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，这种抽样方法是________，这10个中奖号码为__________________________________．9. 已知函数f （x ）=﹣2sin 2x+2sinxcosx+1．（1）求f （x ）的最小正周期及对称中心；（2）若x ∈[﹣，]，求f （x ）的最大值和最小值．。