优化的内生增长模型

3.2.2 稳态分析 u 0 （并利用 [ (1 )] / B ）得到稳态值： •令 (A / B)1/(1 ) [ ( 1) / ] B( 1/ 1/ (3.28) u ( 1) /
3.2 不同生产技术的两部门
3.2.1 基本框架 •考虑 宇泽(1965)-卢卡斯(1988)模型
K AK (uH )1 Y CK B(1 u ) H H H (3.19) (3.20)
•该问题的汉密尔顿方程为
H u(C)e t v[ AK (uH)1 C K ] [ B(1 u) H H ]
~ ~ f (L) Lf (L) (1 )[( f (L) Lf (L) )]/ (2.29)
该条件对应于AK模型中的（2.12）。 •资本动态为：
•该模型也没有转移动态，k 和y 始终以速率 c 增长。
~ k f ( L)k c k
•其密集形式可写作：
Y Kf ( H / K )
•利润为零要求投入的边际产品等于其租用价格： •收益率相等意味着
Y / K f ( H / K ) ( H / K ) f ( H / K ) RK Y / H f ( H / K ) RH (2.20)
(2.21)
第三章 两部门内生增长模型
• 3.1 具有物质和人力资本的单部门模型
• 3.1.1 基本框架 • 考虑对物质和人力资本规模报酬不变的科-道函数
Yi AK H 1 0 1 (3.1)
• 总量资源ຫໍສະໝຸດ Baidu束为：
Y AK H 1 C I K I H (3.2)
• 两种资本动态为：
(2.33)
这是（2.26）的一个特例。同样，资本平均产品对k不 变，随L增加。
资本边际产品为：
Y / Ki AL1
(2.34)
这是（2.27）的一个特例。与前相同，资本的私人边际产 品对k不变，随L增加，且小于（2.33）中的资本平均产品 •竞争经济的增长率因此为： c (1/ )(AL1 ) (2.35) •社会计划者增长率为： 1 （计划者） ( 1 / )( AL ) (2.36) c •竞争经济增长率低于社会计划者增长率。也可以通过政 策使竞争经济达社会最优。 •2.3.5 规模效应 •本模型隐含了一个规模效应。
( z z ) ( ) u B(u u ) ( ) (3.32) (3.26)
利用条件也可将上式简写为：
/ B (5B.8)
设消费函数为相对风险规避系数不变型，可得增长率： C (1 / )[Au(1 ) (1 ) ] (3.24)
(1 ) (1 ) C K (1 / )[ (1 ) ](3.25) Au u B(1 ) / Bu (3.26)
2.1.6 增长率的决定因素 •与索洛模型不同，AK模型的长期增长率等于短期增长率， 长期增长率依赖于储蓄水平和影响储蓄的一些参数。 •报酬递减速度很慢的新古典模型中的储蓄率变动也会影响 长期增长率。
2.2 具有物质和人力资本的单部门模型
•假定生产中投入的是物质和人力资本：
Y f (K , H ) (2.18) (2.19)
(2.30)
2.3.3 帕累托非最优性和政策含义 •将上述结果与计划者最优问题结果相比较可知上述结果 是否属帕累托最优。问题的汉密尔顿方程为： ~ t 1 H e (c 1) /(1 ) v[ f (L)k c k ] 用相同方法处理一阶条件可得消费增长率：
~ c (计划者) （ 1/ ） [ f (L) ] (2.31)
I K K K I H H H (3.2)
• 该问题的汉密尔顿方程为
H u (C )e t v( I K K ) ( I H H ) w( AK H 1 C I K I H ] (1.4)
•对常相对风险规避型即期效用函数，消费增长率为 C (1/ )[A (K / H )(1 ) ] (3.5) 其中， A ( K / H )(1 ) 是物质资本的净边际产品。 •人力资本净边际产品应等于物质资本净边际产品： A ( K / H )(1 ) A(1 )(K / H ) •两种资本存量比率为： K / H /(1 ) (3.6) •物质资本和人力资本净报酬率为： r A (1 )(1 ) (3.7) •H/K不变，消费增长率为： (1/ )[A (1 )(1 ) ] (3.8) •3.1.2 非负总投资约束 •如果投资不完全可逆，K/H低于稳态值（ /(1 )），产 量增长率就与K/H负相关。
第二章 单部门内生增长模型
• 2.1 AK模型
• 2.1.1 家庭行为 1 1 ( n ) t c U 0 e • 目标函数： 1 dt • • • • • •
(2.1)
w ra c na a (2.2) 资产约束： t lim{a(t ) exp[0 [r (v) n]dv]} 0 (2.3) 负债约束 t / c (1/ )(r ) c c (2.4) 欧拉方程 t {a(t ) exp[ 0 [r (v) n]dv} 0 (2.5) 横截性条件： lim t 2.1.2 企业行为 企业有如下线性函数：
稳态中收益率和C,K,H,Y的共同增长率分别为
r B
(1 / )(B )
(5.29)
3.2.3 转移动态 •令物质资本的平均产品z为 •Z的稳态值
z Y / K Au1 (1 )
z B / (3.34) •（3.23），（3.25）和（3.26）给出的系统可重写为： z (1 ( z z )) (3.31)
y f (k ) AK
(2.6)
利润极大化要求
r A (2.7)
2.1.3 均衡 仍然假定人均资产等于人均资本，利用上述关系，（2.2） （2.4）和（2.5）可写作：
lim{k (t )e ( A n )t } 0
t
c (1/ )(A )
u(C ) vet (5B.5) (5B.6)
(3.23)
/ v ( A / B)(1 )u
H / K和 H / H 意味着 条件 v
/ v Au1 (1 ) v
(5B.7)
/ (v / ) A(1 )u1 B(1 u )
(2.24)
•资本的平均产品为： ~ ~ f (ki , K ) / ki f (K / ki ) f (L) (2.26) •平均产品不随资本而变，知识外消除了报酬递减趋势。
Yi / Li f (ki , K ) ki f1 (ki , K ) w
(2.25)
•资本的私人边际产品为： ~ ~ f1 (ki , K ) f (L) Lf (L) (2.27) 资本的私人边际产品小于其平均产品，它对k 不变，对L 递增。 2.3.2 均衡 •可利用AK模型的（2.1）-（2.5）来考察干中学的均衡。 利用已有条件可将（ ~ 2.4）写作： c (1/ )( f (L) Lf (L) ) (2.28) L不变，与AK模型一样该增长率也不变。同样假定各参数 使增长率为正但未达到使效用无界：
f ( H / K ) f ( H / K )(1 H / K ) K H
（2.21）决定了一个惟一、不变的(H/K) ,令H/K=A并将其 代入（2.19），模型成为Y=AK。
•2.3 具有干中学和知识外的模型
Y F ( Ki , KLi ) (2.23)
•知识增加可以消除规模报酬递减趋势。假定知识是资本的 产品 ，企业i 的生产函数为： 该生产函数可以产生内生增长。 •企业利润可写作： Li [ f (ki , K ) (r )ki w] •利润最大化条件为： yi / ki f1 (ki , K ) r
( A n)k c k
(2.8)
(2.9)
(2.10)
（2.9）的特征是消费不依赖资本存量，如果0时人均消费 为c(0)，则t 时为 c(t ) c(0)e(1/ )( A )t (2.11) 假定生产函数足具生产性以保证c增长同时未达到产生无 界效用地步： A [(1 ) / ]( A ) n (2.12) •2.1.4 转移动态 •模型无转移动态，即 k y c 且不变。
(5B.1)
•令 K / H , C / K则 K Au(1 ) (1 ) (3.21) H B(1 u) (3.22) •由此可得 的增长率： K H Au(1 ) (1 ) B(1 u) •由一阶条件 H / C 0和H / u 0 得
竞争经济的增长率低于计划者经济的增长率。通过对生 产进行补贴和给予投资优惠也可使竞争经济社会最优。 2.3.4 一个科布-道格拉斯例子 •企业i的科-道型生产函数为：
Yi A(Ki ) (KLi )1 0 1 (2.32)
•资本平均产品为
~ 1 y / k f (L) AL