2020年高考理科数学考前押题卷 (19)
2020年高考数学考前押题试卷(理科)
2020年高考数学（理）终极押题卷（试卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z =A ．2BCD ．12．已知集合A ={（x ，y ）|x ，y 为实数，且x 2+y 2=1}，B =|（x ，y ）|x ，y 为实数，且x +y =1}，则A ∩B 的元素个数为 A ．4B ．3C ．2D ．13．已知命题2000:,10p x x x ∃∈-+≥R ；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是 A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝4．下图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是A ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大B ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关C ．2010年我国实际利用外资同比增速最大D ．2008年我国实际利用外资同比增速最大5．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 的前6项的和6S 为 A ．24-B ．3-C ．3D ．86．已知向量(3,2)a =-v ，(,1)b x y =-v 且a v ∥b v ，若,x y 均为正数，则32x y+的最小值是A ．24B ．8C ．83D ．537．(x +y )(2x −y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．808．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-9．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是A ．()()=44xxf x x -+ B ．()()244log x x f x x -=-C ．()2()44log||x xf x x -=+D ．()12()44log x xf x x -=+ 10．已知函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a ωϕπ><<∈R ，在[]3,3-的大致图象如图所示，则aω可取A ．2π B ．πC ．2πD ．4π11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为A ．3πBC ．4πD12．若函数22(31)3,0()ln ,0x m x x f x mx x x x ⎧-++≤=⎨+>⎩恰有三个极值点，则m 的取值范围是 A ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届河北衡中同卷新高考押题模拟考试(十九)理科数学
2020届河北衡中同卷新高考押题模拟考试（十九）数学理科试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一.选择题（每题5分，共60分）1.已知复数1i iz +=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A. 1B. -1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】先计算出复数z ，求出共轭复数z ，再由复数的定义得结论． 【详解】21i i(1)1z i ii i+=+==-，1z i =+，其虚部为1． 故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义．属于基础题． 2.已知集合1|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B U =（ ） A. (,1)[2,)-∞-+∞U B. (,1)[1,)-∞-+∞UC. []1,2-D. (]1,2-【答案】D【解析】 【分析】解分式不等式得集合A ，求对数函数的值域得集合B ，再由并集概念计算． 【详解】由题意101xx -≥+(1)(1)010x x x -+≥⎧⇒⎨+≠⎩(1)(1)01x x x -+≤⎧⇒⎨≠-⎩11x ⇒-<≤，(1,1]A =-，11x -<≤时，234x <+≤，21log (3)2x <+≤，(1,2]B =，∴(1,2]A B =-U ． 故选：D.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质．解分式不等式要注意分母不为0．3.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4.石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ ）种 A. 12 B. 24 C. 36 D. 72【答案】C 【解析】 【分析】4人分配到3个家庭，有一家去2人．由此利用排列组合的知识可得．【详解】4名水暖工分配到3个家庭，其中有2人去同一家，因此分配方案数为234336C A =．故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的综合应用，解题方法是分组分配法．5.若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>C 的渐近线方程为（ ）A. 12y x =±B. y =C. 2y x =±D. 2y x =±【答案】D 【解析】 【分析】由离心率得ca=,a b 的关系即得．【详解】由题意c a =222223c a b a a +==，222b a =，2a b =，∴渐近线方程为：2y x =±． 故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题方法就是由离心率得,a b 的关系，但要注意双曲线的标准方程，渐近线的形式．6.若03sin m xdx π=⎰，则二项式2mx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A. 6 B. 12 C. 60 D. 120【答案】C 【解析】 【分析】先由微积分基本定理求得m ，然后由二项展开式通项公式求出常数项． 【详解】03sin m xdx π=⎰03cos |3(cos cos 0)6x ππ=-=--=，622mx x x x =⎛⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其展开式通项公式36662166(2)()2r rrr r rr T C x C x x---+==， 令3602r -=，4r =，∴常数项为2456260T C ==． 故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，掌握这两个定理是解题基础． 7.如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A. e 1<e 2<e 3<e 4B. e 2<e 1<e 3<e 4C. e 1<e 2<e 4<e 3D. e 2<e 1<e 4<e 3【答案】C 【解析】【详解】根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜e 1＜e 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜e 4＜e 3 ∴可得到e 1＜e 2＜e 4＜e 34, 故选C ．8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为（ ） A.459B. 459-C. 19-D.19【答案】A 【解析】 【分析】以正方体的棱所在直线为轴建立空间直角坐标系，用向量法求解．【详解】如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，1(2,2,2)B ，1(0,0,2)D ，(2,0,1)M ，(2,2,1)N ，所以(2,2,1)CM =-u u u u r，1(2,2,1)D N =-u u u u r，1111cos ,999CM D N CM D N CM D N⋅<>===-⨯u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ． 2115sin ,1()99CM D N <>=--=u u u u r u u u u r ， ∴异面直线CM 与1D N 45故选：A ．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，由于在正方体中，因此建立空间直角坐标系，用向量法求解．9.函数()sin()||2f x x πωϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到函数sin()y x ωϕ=-的图象，只需把函数()y f x =的图象（ ）A. 向右平移3π个长度单位 B. 向左平移3π个长度单位 C. 向右平移23π个长度单位D. 向左平移23π个长度单位【答案】A 【解析】 【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后结合图象变换得结论．【详解】由题意74()123T πππ=⨯-=，∴22πωπ==， 又7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，而2πϕ<，∴3πϕ=， ∴()sin(2)3f x x π=+，sin(2)sin[2()]333y x x πππ=-=-+，因此只要向右平移3π个单位就满足题意．故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查由函数图象求解析式．解题关键是掌握“五点法”．掌握三角函数的图象变换的概念．10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()31x f x =-，则使不等式()839x xf e e--<成立的x 的取值范围是（ ） A. (ln3,)+∞ B. (0,ln 3)C. (),ln3-∞D. ()1,3-【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数性质确定函数在R 上的单调性，然后利用函数单调性化简不等式，再解指数不等式．【详解】当0x <时，()31xf x =-是增函数且()0f x <，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =满足()31x f x =-，所以，函数()y f x =在R 上是连续函数，所以函数()f x 在R 上是增函数，8(2)9f -=-，∴8(2)(2)9f f =--=()83(2)9x x f e e f --<=，∴32x x e e --<，即2230x x e e --<，(3)(1)0x x e e -+<，又10x e +>，∴3<x e ，ln3x <，即原不等式的解集为(,ln3)-∞． 故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解指数不等式．利用奇偶性与单调性可化函数不等式为一般的无函数号“f ”的不等式，在解指数不等式时要注意指数函数的值域，即0x e >．11.己知函数1()2x f x e x -=+-，2()3g x x mx m =--+，若存在实数12,x x ，使得()()120f x g x ==，且121x x -≤，则实数m 的取值范围为（ ）A. 7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [2,)+∞D. [2,3]【答案】D 【解析】 【分析】首先确定11x =，根据题意问题转化为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．再用分离参数法转化为求函数值域．【详解】易知1()2x f x e x -=+-是R 上的增函数，且(1)0f =，∴()f x 只有一个零点1，即11x =，∴问题变为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．由2()30g x x mx m =--+=得231x m x +=+，令1t x =+，当[0,2]x ∈时，1[1,3]t x =+∈，2(1)342t m t t t-+==+-，由双勾函数的单调性可知，当[1,2]t ∈时，42m t t =+-递减，当[2,3]t ∈时，42m t t=+-递增， ∴42m t t=+-的最小值是2，最大值是3．即[2,3]m ∈． 故选：D.【点睛】本题考查函数零点分布问题，考查转化与化归能力．题中两个函数的零点问题，通过一个函数的零点确定，转化为另一个函数的零点范围．然后再转化为求函数值域． 12.已知数列{}n a 满足112a =，*11,2n na n a +=∈-N ，关于该数列有下述四个结论：①*0N n ∃∈，使得01n a >；②*n ∀∈N ，都有121n a a a n<L ； ③使得210.999nii a i=≤∑成立的一个充分不必要条件为99n ≤；④设函数2()ln 2xf x =，()f x '为()f x 的导函数，则不等式()2*1(1)()12,N n n n f n n n a a --'-<≥∈⋅有无穷多个解.其中所有正确结论的编号为（ ） A. ②④ B. ②③C. ②③④D. ①③④【答案】B 【解析】 【分析】由递推公式求出通项公式，然后验证各个选项．【详解】∵*11,2n na n a +=∈-N ，∴121111111112n n n n na a a a a +-===+-----，1121a =-， ∴数列1{}1na -是首项为2，公差为1的等差数列，∴1111n a =+-， 1n na n =+， 显然对任意*n N ∈，1n a <，①错；*n ∀∈N ，1212123111n a a a n nn n =⨯⨯⨯=++<L L ，②正确； 21111111()10.999(1)111nn ni i i i a n i i i i i n n =====-=-=≤++++∑∑∑，999≤n ，③正确； 2()ln 2x f x =，则()2xf x '=，不等式21(1)()1n n n f n a a --'-<⋅为2211n n -<-，即22n n <， 由数学归纳法可证当5n ≥时，22n n >恒成立，证明如下： (i)5n =时，52232255=>=，命题成立， (ii)假设n k =(5k ≥)时，命题成立，即22k k >， 则1n k =+时，122222222(1)(1)1(1)k k k k k k +=⨯>=++-->+，命题也成立，综上，对任意的正整数n ，5n ≥时，22n n >恒成立． 所以22n n <有无穷多个解，是错误的．④错误． 只有②③正确． 故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查数列的通项公式．解题关键是求出数列通项公式．本题中第4个命题有一些难度．题中证明是用数学归纳法给出的．当然对我们学生来讲这样的结论可能都记得，反而不显得有难度．二.填空题（每题5分，共20分）13.抛物线24y x =的准线方程为______. 【答案】116y =- 【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程14.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【解析】 【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到na n的最小值． 【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33．从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞， 则f （n）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．15.若实数x ，y 满足约束条件020x y x y ->⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则11x y -+的取值范围为______________.【答案】(]1,1- 【解析】 【分析】 作出可行域，利用11y x +-的几何意义求解． 【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（不含虚线边界，含实线边界），令11x z y -=+，1x =时，0z =， 1x ≠时，111y z x +=-表示可行域内点(,)Q x y 与点(1,1)P -连线的斜率，111PO k -==-，1112PA k -==-， 由图可知11z <-或11z ≥，所以10z -<<或01z <≤，综上 11z -<≤． 故答案为：(]1,1-．【点睛】本题考查简单线性规划中的非线性目标函数的取值范围问题．解题关键是理解目标函数的意义．由几何意义求解是解题的基本方法．16.在平行四边形ABCD 中，0AB BD ⋅=u u u r u u u r，沿BD 将四边形折起成直二面角A BD C --，且2|2BD +=u u u r u u u r，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________________.【答案】4π 【解析】 【分析】由0AB BD ⋅=u u u r u u u r得AB BD ⊥，结合直二面角A BD C --，可证AB ⊥平面BCD ，从而有AB BC ⊥，因此AC 中点O 就是外接球球心．由此可求得表面积．【详解】由0AB BD ⋅=u u u r u u u r得AB BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，∴AB ⊥平面BDC ，∴AB BC ⊥，同理CD AD ⊥，取AC 中点O ，则O 到四顶点的距离相等，即为三棱锥A BCD -的外接球的球心．222222222AC CD AD CD BD AB AB BD =+=++=+， ∵|2|2BD +=u u r u u u r，∴2222|222BD AB BD BD +=+⋅+u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r 2224AB BD =+=， ∴24AC =，2AC =， ∴224()42S ππ=⨯=． 故答案为：4π．【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是找到外接球球心．利用直角三角形寻找球心是最简单的方法．三棱锥外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线．三.解答题（共70分） （一）必考题（共60分）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =u r ，(2,)n a c b =+r ，且m n ⊥u r r.（1）求角B 的大小；（2）若13b =4a c +=，求ABC V 的面积.【答案】(1) 23B π= (2) 33【解析】 【分析】（1）由m n ⊥u r r ，得0m n ⋅=u r r，由正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦公式变形，结合诱导公式可求得cos B ，从而得B 角．（2）由余弦定理可求得ac ，从而可求得面积．【详解】（1）∵m n ⊥u r r ，∴(2)cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=u r r，即2cos cos cos 0a B c B b C ++= 由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=即2sin cos sin()2sin cos sin sin (2cos 1)0A B B C A B A A B ++=+=+= ∵,(0,)A B π∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B +=，即1cos 2B =-，∴23B π= （2）由余弦定理，22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+ ∵13b =4a c +=，∴1316ac =-，∴3ac =则ABC V的面积1sin 2S ac B ==【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查两角和的正弦公式及诱导公式．掌握公式会使用即可．考查的知识点较多，本题属于中档题． 18.已知数列{}n a 满足125a =，且*113220,N n n n n a a a a n ++-+=∈，数列{}n b 为正项等比数列，且123b b +=，34b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令2n n n b c a =，12n n S c c c =+++L ，求证：101nS <<. 【答案】(1) 2,N*32n a n n =∈+，1*2,N n n b n -=∈ (2) 证明见解析 【解析】 【分析】（1）变形已知等式得数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可求通项公式，数列{}n b 是等比数列，用基本量法可求得通项公式；（2）用错位相减法求得和n S ，即可证结论成立． 【详解】（1）∵113220n n n n a a a a ++-+=，∴*1223,n nn N a a +-=∈ ∴2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为125a =，公差为3 ∴253(1)32n n n a =+-=+，2,N*32n a n n =∈+ ∵{}n b 为正项等比数列，设公比为()0q q >，则121(1)3b b b q +=+=，2314b b q == 整理得23440q q --=，解得2q =，11b =，∴1*2,N n n b n -=∈（2）12(32)2n nn nb c n a -==+⋅21582112(32)2n n S n -=+⨯+⨯+++⋅L ①2125282(31)2(32)2n n n S n n -=⨯+⨯++-⋅++⋅L ②①-②得215323232(32)2n n n S n --=+⨯+⨯++⨯-+⋅L 53(22)(32)2n nn =+--+⋅, ∴(31)21nn S n =-⋅+∵*N n ∈，∴1n S >，∴101nS <<，得证. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．基本量法是求等差数列和等比数列的通项公式的常用方法．19.如图，已知四棱锥 P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.（1）求证：AE PD ⊥；（2）若直线PB 与平面PAD 所成角的余弦值为104，求二面角E AF C --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 15【解析】 【分析】（1）在底面菱形中可得AE BC ⊥，AE AD ⊥.由PA ⊥平面ABCD ，得PA AE ⊥.从而有线面垂直，因此线线垂直；（2）由于图中有AE ，AD ，AP 两两垂直，因此以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，AP a =，写出各点坐标，求出平面的法向量，用空间向量法表示线面角求出a ，再求解二面角．【详解】（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，可得ABC V 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥. 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A ⋂=， 所以AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD .所以AE PD ⊥.（2）由（1）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图，设2AB =，AP a =，则(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0)AB C -，(0,2,0),(0,0,),(3,0,0)D P a E ，31,,222a F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以3,1,)PB a =--u u u r，且)3,0,0AE =uu u r 为平面PAD 的法向量，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，由10cos 4θ=，则有2||6sin |cos ,|||||43PB AE PB AE PB AE a θ⋅=<>===⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r解得2a =所以3,0,0)AE =u u u r，31,12⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r AF设平面AEF 的一法向量为()111,,m x y z =u r ，则0m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，因此111101022x y z =++=⎪⎩取11z =-， 则(0,2,1)m =-u r因为,,BD AC BD PA PA AC A ⊥⊥=I ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD u u u r为平面AFC 的一法向量又(BD =u u u r所以c |os ,|m BD m BDm BD <⋅==>=⋅u r u u u u ru r u u u u u r r u r 因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求线面角和二面角．本题对学生的空间想象能力，运算求解能力有一定的要求．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ △（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若22OM ONb k k a⋅=-，求证：OMN V的面积为定值. 【答案】(1) 2214x y += (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）离心率提供一个等式c a =PQ是椭圆的通径，通径长为22b a ，这样OPQ ∆的面积又提供一个等式21222b c a ⨯⨯=，两者联立方程组结合222a b c =+，可求得,a b 得椭圆标准方程． （2）设()()1122,,,M x y N x y ，由2214OM ONb k k a ⋅=-=-得12124x x y y =-，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440kxkmx m +++-=.应用韦达定理得1212,x x x x +，代入 12124x x y y =-可得,k m 的关系，注意>0∆，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN ，求出O 到直线MN 的距离，求得OMN ∆的面积，化简可得为定值，同样直线MN 的不斜率存在时，也求得OMN ∆的面积和刚才一样，即得结论． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则c a =① 过椭圆左焦点1F 且与x 轴垂直的直线方程为x c =-，与椭圆方程联立解得2by a=±，所以22||b PQ a =，所以2122b c a ⨯⨯=② 把①代入②，解得21b =又2222234c a b a a -==，解得24a = 所以E 的方程为：2214x y +=（2）设()()1122,,,M x y N x y ，因为24a =，21b =， 所以2214OM ONb k k a ⋅=-=-，即121214y y x x ⋅=-， 即12124x x y y =-（i ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k xkmx m +++-=.则122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+ ()()()22222(8)414441614km k m k m ∆=-+-=+-③()()()2222121212122414k m y y kx m kx m k x x km x x m k-+=++=+++=+所以2222244441414m k m k k --+=-⨯++，整理得22142k m +=，代入③，2160m ∆=>||MN ==O 到直线MN 的距离d =所以OMN21||||214SMN d m k ∆=⋅==+2||||||1m m m m==⋅=，即OMN V 的面积为定值1 （ii ）当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为12且点M 在第一象限，此时OM 的方程为12yx =，代入椭圆方程，解得2M ⎭，此时OMNV的面积为12122⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 综上可知，OMN V 的面积为定值1【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线MN 的方程为y kx m =+，设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，代 入OM ON k k ⋅得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入1212,x x x x +化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线MN 斜率不存在的情形． 21.已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++，[,]x ππ∈- （1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）当0a >，讨论()f x 的零点个数； 【答案】（1）()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【解析】 【分析】（1）先判断()f x 为偶函数，再利用导数研究[0,]x π∈上的单调性，根据偶函数的对称性，得到答案.（2）先求出导函数，然后对a 按照1a ≥，01a <<，进行分类讨论，当1a ≥，得到()f x 在[0,]x π∈单调递增，结合()01f =，判断出此时无零点，当01a <<，得到()f x 单调性，结合()0f ，()f π的值，以及偶函数的性质，得到零点个数.【详解】解：∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数， 只需先研究[0,]x π∈()sin cos f x x x x =+()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≥，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≤， 所以()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减 所以根据偶函数图像关于y 轴对称， 得()f x 在,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递增，在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π单调递减， .故()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）()cos (cos )f x x x ax x x a '=+=+①1a ≥时，()(cos )0f x x x a '=+≥在[0,]x π∈恒成立 ∴()f x 在[0,]x π∈单调递增 又(0)1f =，所以()f x [,]x ππ∈-上无零点②01a <<时，0(0,)x π∃∈，使得()00cos 0x x a +=，即0cos x a =-. 又cos x 在(0,)π单调递减，所以()00,x x ∈，()0f x '>，()0,x x π∈，()0f x '<所以()00,x x ∈，()f x 单调递增，()0,x x π∈，()f x 单调递减，又(0)1f =，21()12f a ππ=- （i ）21102a π->，即221a π<<时()f x 在[0,]π上无零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上无零点 （ii ）21102a π-≤，即220a π<≤ ()f x 在[0,]π上有1个零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上有2个零点 综上所述，当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉及分类讨论的思想，属于中档题.（二）选考题（共10分）请考生在第22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目的题号右侧方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，且02απ≤<）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点4M π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点N 到直线l 的距离的最小值，以及此时点N 的坐标.【答案】（1）曲线22:13x C y +=，直线:80l x y +-=；（2）最小值是N 31(,)22． 【解析】 【分析】（1）由22cos sin 1αα+=消元后可得曲线Ｃ的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直线的直角坐标方程；（2）,sin )N αα，由点到直线距离公式求出点到直线的距离，结合三角函数知识可求得最小值及相应点的坐标．【详解】（1）由由22cos sin 1αα+=得2213x y +=，此为C 的普通方程，直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点4M π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin )844m ππ+==，∴直线l 的直角坐标方程为8x y +=，即80x y +-=．（2）设,sin )N αα，[0,2)απ∈，则d==， 当sin()13πα+=，即6πα=时，min d =N 点坐标为31(,)22．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩是解题基础．23.已知函数()|1||2|f x x x =+--.（1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b +=++，求a b +的最小值.【答案】（1）[1,)+∞；（2）49．【解析】【分析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 ．【详解】（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥，当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<，当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞．（2）由（1）3m =，∴11322a b a b +=++， ∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a ba b a b ++=++++1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立， ∴+a b 的最小值是49． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．。
2020高考理科数学押题卷含答案
形镜子的最大面积为 （ ）
A、10 平方分米
B、20 平方分米
C、40 平方分米 D、
1600 平方分米
41
（文）函数 y 3x 1的图象
x2
A. 关于点(2,3)对称
C. 关于直线 x= 2 对称
称
（） B. 关于点(2,3)对称
D. 关于直线 y= 3 对
9．若双曲线 x2 y2 1的左支上一点 P（a ，b）到直线 y x 的距离为
4
4
7．（理）C .如图，复数2 i 与 3 3i 对应的向量垂直，
2
所以 3 3i 的辐角主值是 3 。
2
2
C 32+3i
O
2-i
B
（文）A .当函数的图像左右平移时，不改变函数的
B
A
值域。 8．(理)C．如图可设 A 的坐标为 (5cos,4sin ) ，
-6
-4
-2 -1
-2
C
-3
-4
D
16．3 .
2
由非负性
1 2 3
P
0
P
3 2
，Eξ＝0
1
2 3
P
1
P 3
2
P 3
P
3 2
三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤)
17．解：(1)∵2sin2A-cos2A=2 ∴cos2A=- 1 ∴A=
2
3
分)
…………(6
(2)y=2sin2B+sin(2B+ )=1+sin(2B- )
2
2
（1）求 a, k 之值；
2020年高考数学(理)终极押题卷(全解全析)
2020年高考数学（理）终极押题卷（全解全析）1．【答案】C 【解析】因为312iz i-=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．2．【答案】C【解析】由题得221,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩∴1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,1,x y =⎧⎨=⎩则A ∩B ={(1,0),(0,1)}.故选C.3．【答案】B【解析】因为222131331()44244x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,,22-<-<∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，故选B.4．【答案】D【解析】由图表可知：2012年我国实际利用外资规模较2011年下降，可知A 错误；2000年以来，我国实际利用外资规模总体呈现上升趋势，可知B 错误； 2008年我国实际利用外资同比增速最大，高于2010年，可知C 错误，D 正确.本题正确选项：D . 5．【答案】A【解析】Q 设等差数列{}n a 的公差为d ，()0d ≠，11a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列，2326a a a ∴=⋅，()()()211125a d a d a d ∴+=++，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616562S a d ⨯=+()65612242⨯=⨯+⨯-=-. 故选：A. 6．【答案】B【解析】由a r ∥b r得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+⋅=++≥+=，当且仅当49x y y x=时取等号，所以选B. 7．【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrr r T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C. 8．【答案】C【解析】如图所示，直角三角形的斜边长为2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =. 所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．9．【答案】C【解析】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项． 10．【答案】B【解析】()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k πϕπ=+∈Z ．因为0ϕπ<<，故2ϕπ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a a π==，所以12a =． 综上，()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．11．【答案】A【解析】设BC 的中点是E ，连接DE ，A ′E ， 因为AB ＝AD ＝1，BD， 由勾股定理得：BA ⊥AD ，又因为BD ⊥CD ，即三角形BCD 为直角三角形， 所以DE为球体的半径，2DE =，2432S ππ==， 故选A . 12．【答案】A【解析】由题可知2(31),0()2ln 1,0x m x f x mx x x -+≤++'⎧=⎨>⎩，当0x >时，令()0f x '=，可化为ln 12x m x +-=，令()ln 1x g x x +=，则()2ln xg x x-='，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()g x 的图象如图所示，所以当021m <-<，即12m -<<时，()0f x '=有两个不同的解；当0x ≤，令()0f x '=，3102m x +=<，解得13m <-，综上，11,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.13．【答案】22【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22. 14．【答案】乙【解析】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书， 丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小， 得到年龄从大到小是乙>丙>学委， 由此得到乙不是学委，故乙是班长． 故答案为乙． 15．【答案】985987【解析】由题1n a +＝n a +n +2，∴12n n a a n +-=+，所以213a a -=，324a a -=，435a a -=，…，()112n n a a n n --=+≥，上式1n -个式子左右两边分别相加得()()1412n n n a a +--=，即()()122nn n a ++=，当n =1时，满足题意，所以111212n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，从而12985111111111985 (22334986987987)a a a L +++=-+-++-=. 故答案为985987. 16．【答案】y x =±【解析】设12,PF m PF n == ,可得2m n a -= ,可得22224m mn n a -+=（1）, 在12PF F △中，由余弦定理可得2222242cos3c m n mn m n mn π=+-=+-（2），因为2PO b =，所以在1PFO △，2POF V 中分别利用余弦定理可得， ()2222221144cos ,44cos m c b b POF n c b b POF π=+-∠=+--∠,两式相加可得222228m n c b +=+ ,分别与（1）、（2）联立得22222222222284102,28462mn c b a b a mn c b c b a =+-=-=+-=-，消去mn 可得22a b =，a b = 所以双曲线的渐近线方程为by x a=±，即y x =±，故答案为y x =±.17．（12分）【解析】（1）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：22b c a a ⎫+=⎪⎭，即222b c a +-=，再由余弦定理可得2cos bc A =，即cos A =所以4A π=.（6分）（2）因为3B π=，所以()sin sin C A B =+=由正弦定理sin sin a b A B=，可得b =13sin 24ABC S ab C ∆+==.（12分） 18．（12分）【解析】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP .（5分） （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=.由432AFa=，得23AF a=.又由20,,23a a F⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02B a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，知32,,223a a aBF⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v，20,,23a aOF⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u v.设平面BDF的法向量为(),,n x y z=v，由n BF⊥u u u vv，n OFu u u vv⊥，得3223223a a ax y za ay z⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z=，得()0,4,3n=v.又0,,2aP a⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,0D a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以3,,2a aPD a⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v.设PD与平面BDF所成角为θ，则222232sin1031544n PD a an PDa a aθ⋅-===++u u u vvu u u vv.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为210.（12分）19．（12分）【解析】（1）依题意得33,2cc aa==⇒=，又2231a b b-=⇒=∴椭圆C的方程为2214xy+=.（4分）（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++. 由题设知()()12212121212kx m kx m y y k k k x x x x ++=== ()212212km x x m k x x ++=+， ∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k-+=+， ∵0m ≠，∴214k =. 此时()()()222221212224184,211414m km x x m x x m k k --⎛⎫+====- ⎪++⎝⎭则2222222222121122121144x x OM ON x y x y x x +=+++=+-++-()()2221212123322244x x x x x x ⎡⎤=⨯++=+-+⎣⎦()223441254m m ⎡⎤=--+=⎣⎦ 故直线l 的斜率为221,52k OM ON =±+=.（12分）20．（12分）【解析】（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在(]4,8上的概率为：()20.140.0620.45p =+⨯==， 设“任选3台电脑，至少有两台使用时间在(]4,8”为事件A ，则 ()23233323244·555125P A C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（4分） （2）（ⅰ）由a bxy e +=得ln y a bx =+，即t a bx =+，10110221110ˆ0i i i ii x t xtbx x =-=-=-∑∑279.7510 5.5 1.90.338510 5.5-⨯⨯==--⨯()1.90.3 5.53ˆ.55a=--⨯=，即0.3 3.55t x =-+，所以0.3 3.55ˆx y e -+=.（8分） （ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：根据（1）中的回归方程，在区间(]0,2上折旧电脑价格的预测值为 3.550.31 3.2526e e -⨯=≈， 在区间(]2,4上折旧电脑价格的预测值为 3.550.33 2.6514e e -⨯=≈， 在区间(]4,6上折旧电脑价格的预测值为 3.550.35 2.057.8e e -⨯=≈， 在区间(]6,8上折旧电脑价格的预测值为 3.550.37 1.45 4.3e e -⨯=≈， 在区间(]8,10上折旧电脑价格的预测值为 3.550.390.85 2.3e e -⨯=≈， 于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：0.2260.36140.287.80.12 4.30.04 2.313.032⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的的费用为： 100013.0321303200⨯=（元）（12分） 21．（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是()0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是()0,+?，没有单调减区间；（5分） （2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增.从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--. 对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-Q ，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证.（12分） 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（4分）（2）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d αP 的直角坐标为31(,)22.（10分）23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，①当1x ≤-时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解； ②当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜． ③当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（5分）（2）当x ∈R 时，()()11112f x x x x x =+--≤++-=； ()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x ∈R 时， ()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．（10分）。
2020年高考(理科)数学预测押题密卷最后一卷 参考答案
理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足 x2 2x 3 0 ，(x 3)(x 1) 0 ，解得x3或x 1 ，则C UA {x|1 x3}，集合B满足1 2x 20，2x 2x 2 20 0，解得x1，可知(CUA)B {x |1 x 3} .故选 D.2. 【答案】B【解析】由题可得 z i i2020 1 i (1 2i)(1 i) 3 1 i ，可知1 2i 1 2i555| z | (3)2 ( 1)2 10 .故选 B.5553. 【答案】A【解析】由偶函数定义可知，函数 f (x) x2 (a 1)x a 满足f (x) f (x) ，所以 x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 在 [2，2] 上恒成立，解得 a 1 ，所以 f (x) x2 1 ，当 f (x) 2 时，即 x2 1 2 ，解得 1 x 1，可知所求的概率为 P 1 .故选 A. 24. 【答案】B【解析】已知数列 an2n 1 ，其前 n项的和 Sn(2 11 22n 1)n n(n 2) ，则 1 1 1 ( 1 1 ) ，所以 1 1 1Sn n(n 2) 2 n n 2S1 S2Sn 1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 1 1 ) .故选 B.2 324n n 2 2 2 n 1 n 25. 【答案】D【解析】第一次执行， c 4，a 5，b 4，k 2 ；第二次执行，c 1，a 4，b 1，k 3 ；第三次执行， c 5，a 1，b 5，k 4 ；第四次执行， c 4，a 5，b 4，k 5 ；第五次执行，c 1，a 4，b 1，k 6 ；第六次执行， c 5，a 1，b 5，k 7 ；第七次执行， c 4，a 5，b 4，k 8 ；….故该循环具有周期性，且周期为 6，则输出的 c 的值为 4 .故选 D.6. 【答案】B【解析】设圆心到双曲线的渐近线的距离为 d ，由弦长公式可得，函数 f (x) 的最小值为 2 3 3 ，最大值为 2 3 3 .故选 D.449. 【答案】A【解析】解法一：设 D 是 ABC 的边 BC 的中点，连接GD ，因为G 是 ABC 的重心，所以 A，G，D 三点共线， AG 2 AD 2 331 (AB AC) 1 (AB AC) .又 H 是 BG 的中点，所以 AH 1 ( AB232 AG) 1 [ AB 1 (AB AC)] 1 (4AB AC)，236则 AG·AH 1 (AB AC)·1 (4AB AC)36 1 (4 | AB |2 5 | AB |·| AC | cos BAC | AC |2) 18 1 (4 22 5 2 3 1 32) 20 .故选 A.1829解法二：以点 A 为原点建立平面直角坐标系如图，由已知可得 A(0，0)，B(1， 3)，C(3，0)，G( 4 ， 3 )，H (7 ，2 3 )3363 AG ( 4 ， 3 ) ， AH (7 ，2 3 ) ，3363 AG·AH 4 7 3 2 3 20 .故选 A. 36 3 3 910.【答案】A【解析】如图所示，2 2 d 2 2 ，解得 d 1，又双曲线 C 的渐近线方程为 bx ay 0 ，圆心坐标为 (0，2) ，故 | 0 2a | 1 ，即 2a 1 ，所以双曲线 C 的离a2 b2c心率 e c 2 .故选 B. a7. 【答案】A【解析】在 (2 x3)(x a)5 中，令 x 1 ，得展开式的各项系数和为(1 a)5 32 ，解得 a 1 ，故 (x 1)5 的展开式的通项 Tr1 C5r x5r .当 r 1 时 ， 得 T2 C15x4 5x4 ， 当 r 4 时 ， 得 T5 C54x 5x ， 故 (2 x3)(x 1)5 的展开式中 x4 的系数为 25 5 5 .故选 A.8. 【答案】D【解析】由 f (x) 3 cos(x )cos x 的图象过点 (0， 3) ， 2得 cos 3 .0 π， 5π ， f (x) 3 cos(x 5π)cos x266 3( 3 cos x 1 sin x) cos x 3 cos2 x 3 sin x cos x2222 3(1 cos 2x) 3 sin 2x 3 3 sin 2x 3cos 2x443 2 3 sin(2x π ) 3 3 sin(2x π ) 3 .点 ( π ，0) 不是函数42343f (x) 图象的对称中心，直线 x π 也不是函数 f (x) 图象的对称轴， 3由图知 tan NMF b ，tan FNO c ， MFN NMF 90°，abMFN FNO 90°，NMF FNO ， b c ， ab则 b2 a2 c2 ac ，e2 e 1 0 ，得 e 5 1 .故选 A. 211.【答案】B【解析】由 a2 4ab 16b2 c 0 ，得 a2 4ab 16b2 c ，所以a2 4ab 16b2 12 a2·16b2 4ab 4ab ，可得 ab 的最大值cc ccc c cc为 1 ，当且仅当 a 4b 时取等号，且 c 16b2 ，则 c 4a 3244b 416b2 16b 32 4(b2 b 2) 4[(b 1)2 3(b 1) 4]4b 4b 1b 1 4[(b 1) 4 3] 4(2 (b 1)· 4 3) 4 ，当且仅当 b 1时b 1b 1取得最小值为 4.故选 B.理科数学答案第 1 页（共 3 页）12.【答案】B【解析】易知 f (0) 1 ，故函数 f (x) 有三个不同的零点，可以转化为 | 2x m | 1 有三个不同的非零实数根，即函数 y | 2x m | 与xy 1 (x 0) 的图象有三个不同的交点.易知，当 x m 时，直线x2y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 有且仅有一个交点，当 0 x m 时，x2直线 y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 必须有两个不同的交点.而当x直线y 2x m 与曲线y1 (x 0) x相切时，1 x22 ，解得x 2 ，此时 m 2 2 ，结合图象可知 m 2 2 .故选 B. 2二、填空题13.【答案】 26【解析】由题可得 23 3k 0 ，可得 k 2 ，则 a b (5，1) ， a b 52 1 26 .14.【答案】 234【解析】由题得 x 3 4 a 6 ， y 2.5 3 4 4.5 3.5 ，这组44数据的样本中心点是 (x，3.5) ，代入回归直线方程可得 3.5 0.7（2）由 b 2 ， A π ，S 3ABC1 bc sin A 3 223，得 c 1 3 .-------------------------------------------------------------8 分M 是 AB 的中点， AB c 1 3， AM 1 3 ，-------------------------------------------------------10 分 2在 AMC 中，由余弦定理得， CM 2 b2 AM 2 2b AM cos A 4 (1 3 )2 2 2 1 3 1 4 3 .------------------------12 分222218.【解析】（1） 四边形 ABCD 是矩形， AB CD .CD 平面 DCFE，AB 平面 DCFE ， AB 平面 DCFE .----------------------------------------------------2 分又 AB 平面 ABFE ，平面 ABFE 平面 DCFE EF ， AB EF ，又 AB 平面 ABCD，EF 平面 ABCD ，EF 平面 ABCD .----------------------------------------------------5 分（2）过点 E 作 EO CD 于点 O ，平面 ABCD 平面 DCFE ，EO 平面 ABCD .过点 O 作 OH AD ，交 AB 于点 H ，四边形 ABCD 是矩形，OH CD .以 O 为坐标原点， OH ，OC，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.3 4 a 6 0.35 ，解得 a 5 ，所以样本的中位数为 4 5 4.5 ，42方差为 1 [(3 4.5)2 (4 4.5)2 (5 4.5)2 (6 4.5)2] 5 ，故样本44x 的方差与中位数的和为 23 . 415.【答案】 2【解析】由 S3 ，S9 ，S6 成等差数列，得 2S9 S3 S6 .设等比数列{ an }的公比 q 1 ，则 Sn na1 .由 2 9a1 3a1 6a1 ，解得 a1 0 .又因为a2a540，所以 q 1 .所以Sna1(1 qn ) 1 q，所以 2a1(1 q9) 1 qa1(1 q3) 1 qa1(1 q6) 1 q，解得q31（ 2q3 1 舍去）.又因为a2a5 4 ，即 a1q(1 q3) 4 ，所以 a1q 8 ，则 a8 a1q7 (a1q)·(q3)2 8 ( 1)2 2 .216.【答案】 21 3【解析】如图过等边三角形 ABD 的中心 F 作平面 ABD 的垂线 l ，取 BD 的中点 E ，过点 E 作平面 CBD 的垂线 l .设 l l G ，则点G 为四面体 ABCD 的外接球的球心.因为 ABD 是边长为 2 的等边三角形，所以 EF 3 .因为二面角 A BD C 的大小为150°，所 3以 GEF 60°.所以在 Rt EFG 中， GF EF·tan60°1 .所以四面体 ABCD 的外接球的半径为 GA GF 2 AF 2 1 4 21 .33设 BC 1，则 EF ED FC BC 1 ，AB 2BC 2 ，由（1）知， EF CD .在梯形 CDEF 中， EF ED FC 1， DC 2 ， DO 1 ，EO 3 ，--------------------------------------------------7 分22于是 E(0，0， 3 ) ， A(1， 1 ，0) ， C(0，3 ，0) ， F (0，1， 3 )2222则 AE (1，1 ， 3 ) ，CF (0， 1 ， 3 ) .-------------------------10 分2222设异面直线 AE 与 CF 所成的角为 ，则 cos AE·CF1 3 4 42.| AE || CF |24故异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 2 .-------------------12 分 419.【解析】（1）完成 2 2 列联表如下：前 20 名后 30 名总计男生82028女生121022总计203050三、解答题 17.【解析】（1） 4a cos2 B 2a b 2c ，2 2c b 2acosB ，--------------------------------------------------2 分 由正弦定理得， 2sinC sin B 2cos Bsin A ，又 C π A B ， 2sin(A B) sin B 2cos Bsin A ，------------------------------4 分2sin Bcos A sin B . sin B 0 ，cos A 1 ，A π .-----------------------------------6 分 23--------------------------------------------------------------------------------2 分由列联表得 K 2 50 (8 10 20 12)2 3.463 . 28 22 20 303.463 2.706 ， 在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为该班“成绩是否优等与性别有关”.--------------------------------5 分（2） 的可能取值为 0，1，2， P( 0) C36 5 ， C83 14P( 1)C12C62 C8315 28，P(2)C22C16 C833 28.----------------------8分 的分布列为0125153P142828-------------------------------------------------------------------------------10 分理科数学答案第 2 页（共 3 页）E( ) 1 15 2 3 3 .-------------------------------------------12 分 28 28 420.【解析】（1） 抛物线 ：x2 2 py( p 0) 的焦点为 F(0，1) ，抛物线 的方程为 x2 4y .-----------------------------------------2 分由直线 l1 的斜率为 k1 ，且过 F(0，1) ，得 l1 的方程为 y k1x 1 ，代 入 x2 4y ，化简得 x2 4k1x 4 0 ， 设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2) ，则 x1 x2 4k1 ， y1 y2 k1(x1 x2) 2 4k12 2 ，-------------------------------------4 分 | AB | y1 y2 2 4k12 4 .又 k1 3 ，| AB |16 .-------------------------------------------------6 分（2）设P( x0，x02 4)，将的方程x2 4y 化为yx2 4，求导得 y x ，------------------------------------------------------------8 分 2斜率为 k2 的直线 l2 与 相切于点 P ， k2x0 2，则P(2k2 ，k22 ) ，由（1）知 x1 x2 4k1 ，且 Q 为 AB 的中点，易得 Q(2k1 ，2k12 1) ，∵直线 PQ 过 (0，2) ， k22 2 2k12 1 ，------------------------10 分2k22k1整理得 (k1k2 1)(k2 2k1) 0 ，l2 与 l1 不垂直，k1k2 1 0 ，则k2 2k1 0 ，即k1 k21 2.---------------------------------------------12分21.【解析】（1）由题可得 f (x) ex b ，当 b 0 时， f (x) 0 ，f (x) 在 (∞， ∞) 上单调递增；------------------------------------2 分 当 b 0 时，若 x ln(b) ，则 f (x) 0 ， f (x) 在 (ln(b)， ∞) 上单调递增，若 x ln(b) ，则 f (x) 0， f (x) 在 (∞，ln(b)) 上单调递减.------------------------------------------------------------------------4 分（2）令 g(x) ex bx 1 ln x(x 0) ，则 g(x) ex b 1 ，易知 xg(x) 单调递增且一定有大于 0 的零点，不妨设为 x0 ，则 g(x0) 0 ，即 ex0b1 x00，b1 x0 ex0，故若g(x)有两个零点，则g(x0) 0 ，即 ex0 bx0 1 ln x0e x0( 1 x0 ex0 ) x0 1 ln x0 ex0 ex0 x0 ln x0 0 ，--------------------------------------------------6 分令 h(x) ex exx ln x(x 0) ，则 h(x) ex x 1 0 ， xh(x) 在 (0， ∞) 上单调递减.又 h(1) 0 ，ex0 ex0 x0 ln x0 0 的解集为 (1， ∞) ， --------------------------------------------------------------------------------8 分b 1 ex0 ，b 1 e . x0当 b 1 e 时，有 ex bx 1 ln x x bx ln x ，则 g(eb) eb beb lneb (b 1)eb b ，----------------------------10 分令 m(x) (x 1)ex x (x 1)(ex 1) 1 ，由于 x 1 e ，x 1 2 e 0 ， ex 1 ，故 m(x) (x 1)ex x 0 ， g(eb) 0 ，故 g(eb)g(x0) 0，g(x) 在 (0，x0) 上有唯一零点， 另一方面，当 x ∞ 时， g(x) ∞ ，b 1 e .-----------12 分22.【解析】（1）曲线 C：(x 2)2 ( y 1)2 9 ，-----------------------2 分故 x2 y2 4x 2y 4 0 ，即曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 2 sin 4 0 .-------4 分（2）由题可知直线 l 的斜率存在，否则无交点.设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2) ，即 kx y 2k 1 0 .--------6 分而| AB | 2 ，则圆心到直线 l 的距离 d r2 AB 2 2 91 2 2 .--------------------------------------------------------------------------------8 分又 d | 4k | ， | 4k | 2 2 ，解得 k 1 .k2 1k2 1直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 3 0 .-------------------10 分23.【解析】（1）当 a 2 时，3，x 2 f (x) | x 2 | | x 1| 1 2x，1 x 2 .3，x 1 f (x) 1，当 x 2 时，不等式无解；--------------------------2 分当 1 x 2 时，令1 2x 1，解得 x 0 ，不等式的解集为1 x 0 ；当 x 1时， 3 1 ，符合题意. 综上可得，不等式 f (x) 1 的解集为 (∞，0] .---------------------5 分 （2） f (x) a2 1 0 恒成立等价于 f (x)max a2 1.| x a | | x 1| | (x a) (x 1) | | a 1| ， | a 1| | x a | | x 1| | a 1| .---------------------------------8 分 | a 1| a2 1 ，a2 1 a 1 a2 1(a2 1 0) ，解得 a 1或 a 2 . 实数 a 的取值范围为 (∞，1] [2， ∞) .---------------------10 分理科数学答案第 3 页（共 3 页）。
2020年高考押题 理科数学试卷及其详细解析
初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店 第 1 页 共 31 页2020年高考押题数学理科1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()R A B I ð等于（ ） A.{|21}x x -<< B.{|22}x x -<< C.{|23}x x ≤< D.{|2}x x < 【答案】B【解析】{}{}|2,|23,A x x B x x =≥=-<<得{}|2R A x x =<ð，{}()|22.R A B x x =-<<I ð2. 已知复数()4i 1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】41bi z i +=-＝(4)(1)44(1)(1)22bi i b b i i i ++-+=+-+，则由412b -=-，得6b =，所以15z i =-+，所以75z b i -=--，其在复平面上对应点为(7,5)--，位于第三象限. 3.若复数z 满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（ ）1 C.1【答案】A【解析】由()1i 1i i z -=-+=i + ,得i i)(1i)1i (1i)(1i)z +==--+=11i 22+,所以z的实部为12,故选A ． 4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)2π上是减函数的是（ ）A ．3y x = B. sin y x =- C ．21y x =+ D ．cos y x =【答案】B【解析】选项C 、D 不是奇函数，3y x = 在R 上都是增函数，只有选项B 符合.。
2020高考理科数学经典押题(含答案)
2020高考数学经典押题（含答案）满分：100分，时间：60分钟一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则（）A ． BCD ． 2.已知，则A ∩B =（）A ．B ．C ．D ． 3. 在中，角的对边分别为，若且，则（）A ．B ．C ．D ． 4.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A． B ． C ．D ．5. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 6. 函数的部分图象大致是（） z ()(1)1z i i +-=z =21222{|log (31)},{|4}A x y x B y x y ==-=+=1(0,)31[2,)3-1(,2]31(,2)3ABC ∆,,A B C ,,a b c sin 3sin ,A B c ==5cos 6C =a =348+6+6+8+,x y 22026020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩2y x z x y =-7[,1]2-7[2,]2-77[,]23--3[,1]2-()22x xe ef x x x --=+-7. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8. 已知函数，若成立，则的最小值为（） A ． B ． C ． D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面向量与向量互相垂直，且，若，则．14.在二项式的展开式中，其3项为，则．15.如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为．16. 已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是．22221(0,0)x y a b a b-=>>x ,A B D ABD∆2))+∞U ()()231,ln 42x x f x eg x -==+()()f m g n =n m -1ln 22+ln 212ln 22+2ln 2m u r n r 2(11,2)m n -=-u r r 5m =u r n =r 6120x =E 1111ABCD A B C D -11C D 1//BD 1B CF 1BDCE A 2:2(0)C x py p =>O ,A B (0,8)M OA C ABO ∆p三、解答题（本大题共2小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知正项数列满足，数列的前项和满足.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.18.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数） （1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，若上的点对应的参数为，点上在，点为的中点，求点到直线距离的最小值.{}n a 221111,n n n n a a a a a ++=+=-{}n b n n S 2n n S n a =+{}n a {}n b 11{}n n a b +n n T xOy 1C cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩2C 2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩1C 2C x l (cos 2sin )4ρθθ-=1C P 2πθ=Q 2C M PQ M l2020高考数学经典押（答案）一、选择题1-5: ACB CA 6-8: D D A二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1）因为，所以，，因为，所以，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，当时也满足，所以.（2）由（1）可知， 所以. 18.解：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，为半径的圆，的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆. （2）由已知得，设，则， 直线，点到直线的距离为 ， 所以 ，即到直线的距离的最小值为. 52232211n n n n a a a a +++=-()()1110n n n n a a a a +++--=10,0n n a a +>>10n n a a ++≠11n n a a +-={}n a 11n a n =2n ≥12n n n b S S n -=-=1n =12b =2n b n =111111()2(1)21n n a b n n n n +==-++11111111[(1)()()()]22233412(1)n n T n n n =-+-+-++-=++L 1C 22(1)1x y +-=(0,1)12C 2214x y +=x (0,2)P (2cos ,sin )Q θθ1(cos ,1sin )2M θθ+:240l x y --=Ml d ==5d ≤=Ml 5。
2020届全国百师联盟新高考押题模拟考试(十九)理科数学
2020届全国百师联盟新高考押题模拟考试（十九）数学试题（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题.1.已知集合41|22x A x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合{}2|3100B x x x =--≤，求A B =I （ ）A. ∅B. [3,5]C. [2,3]-D. (3,5)【答案】B 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用集合交集运算律可求出集合A B I 。
【详解】解不等式411222x --≥=，即41x -≥-，解得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式23100x x --≤，解得25x -≤≤，{}25B x x ∴=-≤≤， 因此，[]3,5A B =I ，故选：B 。
【点睛】本题考查集合的交集运算，解出不等式得出两个集合是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。
2.若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a c b c +≥-B. ac bc >C. 20c a b>-D. 2()0a b c -≥【答案】D 【解析】试题分析：A 、B 、C 三个选项的关系无法判断或错误，而所以,故选D 。
2020高考理科数学押题密卷解析版 (19)
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三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考 题，每个考题考上都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共 60 分。
17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A4,3 ，点 B 8, 0 ， C 、 D 分别为线段 OA 、
A．12
B．14
C．18
D．24
8．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于 2018 年 8 月 20 号从银行贷款 a 元，为还
清这笔贷款，该家长从 2019 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷
款的 m 年后还清，若银行按年利率为 p 的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本
16．定义域为a,b 的函数 y f x 的图象的两个端点为 A，B， M x, y 是 f x 图象上的任
意一点，其中 x a 1 b R ，向量 ON OA 1 OB ，其中 O 是坐标原点.若不
等式 MN k 恒成立，则称函数 f x 在a,b 上“k 阶线性近似”.若 y x 1 在1, 2 上“k 阶
二项式 1 x4 的展开通项 Tr1 C4r14r x r C4r 1r xr 要想得到 x4 项，只能 r 0 ，此时 x4 的系数为 C62m2C40 10 15m2
所以 1 x mx2 6 展开式中 x4 的系数为15 60m 15m2
所以15 60m 15m2 90 ，解得 5 m 1 故选 B. 【点睛】 本题考查了三项式展开式中的系数问题，三项式展开需要将其中两项合并当做一项进行处理. 5．B 解析：B 【解析】 分析：根据复数模的定义求解. 详解： z 1 i ， z 12 (1)2 2 ．故选 B ． 点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 (a bi)(c di) (ac bd ) (ad bc)i, (a, b, c.d R) .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 a bi(a,b R) 的实部为 a 、虚部为 b 、模为 a2 b2 、对应点为 (a, b) 、共轭为 a bi. 6．D 解析：D 【解析】 【分析】 过点 E 作球 O 的截面,当截面与 OE 垂直时,截面的面积最小；当截面过球心时,截面面积最大, 进而利用图形求解即可 【详解】 如图,
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一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若C 的右焦点到点A ，O 距离相等且长度为2，则双曲线的方程为()A ．2213y x -= B ．2212y x -= C ．22143x y -=D ．22132x y -= 2．101110(2)转化为等值的八进制数是( )． A ．46(8)B ．56(8)C ．67(8)D ．78(8)3．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。
这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。
设由椭圆22221(0)x y a b a b+=>>所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于（） A ．243a b π B ．243ab π C ．22a b πD ．22ab π4．已知1a ，{}234,,1,2,3,4a a a ∈，()1234,,,N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类，如(1123)3N ，，，，=(1221)2N =，，，，求所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为（） A ．8732B ．114C ．17764D ．175645．在复数列{}n z 中，1816z i =+，()12n n iz z n *+=⋅∈N ，设n z 在复平面上对应的点为n Z ，则（）A ．存在点M ，对任意的正整数n ，都满足10n MZ ≤B ．不存在点M ，对任意的正整数n ，都满足55n MZ ≤C ．存在无数个点M ，对任意的正整数n ，都满足65n MZ ≤D ．存在唯一的点M ，对任意的正整数n ，都满足85n MZ ≤6．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，过点1D 、E 、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（）A ．23 B ．35C ．2547D ．27467．已知,a b 为非零实数，且a b >，则下列不等式成立的是（） A ．22a b >B ．11a b<C ．||||a b >D ．22a b >8．数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，且2cos3n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S 等于（）A ．294B ．174C ．470D ．3049．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2c =，3C π∠=，且sin sin()2sin 20C B A A +--=，则下列选项不一定成立的是()A ．2b a =B ．ABC ∆的周长为223+ C ．ABC ∆的面积为23D ．ABC ∆的外接圆半径为2310．已知函数()cos2cos f x x x =+,[],x ππ∈-,则下列说法中错误的是（） A ．()f x 有2个零点B ．()f x 最小值为22-C ．()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 D ．()f x 的图象关于y 轴对称11．已知三个向量a r ，b r ，c r 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=r r ，则a b c +-r r r的取值范围是（）A ．21,21⎡⎤-+⎣⎦B ．1,2⎡⎤⎣⎦C ．2,3⎡⎤⎣⎦D ．21,1⎡⎤-⎣⎦12．若，，定义，则A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
）13．已知直线l ：y x m =+与曲线24x y =-有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是______．14．（1）如果把棱柱中过不相邻的两条侧棱的截面叫棱柱的“对角面”，则平行六面体的对角面的形状是_______，直平行六面体的对角面的形状是______；（2）过正三棱柱底面的一边和两底面中心连线段的中点作截面，则这个截面的形状为_____.15．如图1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形3P 、4P 、……、n P …，记纸板n P 的面积为n S ，则lim n n S →∞=_________.16．已知O 为三角形ABC 的外心，22,,120AB a AC BAC a==∠=o，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则36x y +的最小值为 ．三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题，每个考题考上都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
） （一）必考题：共60分。
17．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，,M N 是平面内两点，满足122FM MF =-u u u u v u u u u v，线段1NF 的中点P 在椭圆上，1F MN △周长为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）若与圆221x y +=相切的直线l 与椭圆C 交于,A B ，求OA OB ⋅u u u r u u u r （其中O 为坐标原点）的取值范围.18．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD AF ⊥，平面3ABCD DE AF ，＝，＝1．（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:5？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为ED 的中点时满足条件． 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判断定理，可证明//DE AF ，//AB DC ；（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接BG BM ，，并且计算几何体的体积212ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+=＝，设EG t ＝，则213632816GFBME B EFG B EGM V V V --+=⨯=＝， 再根据平面几何关系，GFBME B EFG B EGM V V V --+＝表示为t 的方程，求解t ，得到点G 的位置. 【详解】（1）证明：DE ⊥Q 平面ABCD AF ⊥，平面ABCD ，////DE AF AF ∴∴，平面DCE ，ABCD Q 是正方形，////AB CD AB ∴，平面DCE ，AB AF A AB ⋂⊂Q ＝，平面ABF AF ⊂，平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE ；（2）解：假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接BG BM ，，由()133113321333232()()2ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯+=⨯⨯+⨯⨯=＝ 设EG t ＝，则213632816GFBME B EFG B EGM V V V --+=⨯=＝， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，即3 2h t =，则2133,224EGM S t t t =⨯⨯=V ， GFBME B EFG B EGM V V V --+=＝2111363333323416t t ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯= 即248210t t +-=解得32t =，或72t =-（舍）则存在点G ，满足32EG =，即G 为ED 的中点时满足条件．【点睛】本题考查了面面平行的证明，以及计算几何体的体积，和利用体积求参数的取值，属于中档题型，本题的关键是体积的转化和求解，其中一个难点是如果计算EGM ∆面积， 如图，//GM NC ，且1DN AF ==，∴331h EM EG tEC EN ===-，即3 2h t =， 2133224EGM S t t t =⨯⨯=V .19．已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：，，（1）设，，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．20．如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.21．已知函数f （x ）212x x a b⋅-=+是R 上的奇函数．。