数值分析第六章数值积分

因此，有
b
b
n
b
f (x)dx
a
aLn (x)dx
f (xk ) alk (x)dx 。
k 0
n
b
对应的求积公式为 In Ak f (xk ) ，其中 Ak alk (x)dx 。
k 0
而对应的误差为
I In
b
(
a
f
(
x)
Ln
(
x))dx
b f (n1) ( )
a (n 1)! wn1(x)dx
6
2
4
而精确积分有
bx3dx
a
1 4
x4
|ba
1 4
(b4
a4 )
。
故辛普森公式有 3 次代数精度!
辛普森公式的误差
E b f (3) ( ) (x a)(x a b)(x b)dx
a 3!
2
b f [x, a, a b ,b](x a)(x a b)(x b)dx
a
2
2
k 0
其中，xk 为求积节点，Ak 为求积系数，Ak 仅与 xk 的选取有关，与 f (x)
的具体形式无关。
代数精度
定义(代数精度)：若某个求积公式对次数 m 的代数多项式都能精确 成立，但对 m 1次多项式不一定精确成立，则称该求积公式具有 m 次
代数精度。
b
例： f (x)dx (b a) f (a) a
那么有
b
b
a
f
(x)dx
g ( x)dx
a
。
若取 g(x) 为 f (x) 的插值多项式，则对应的求积公式称为插值型求
积公式。
插值型求积公式
给定区间[a,b] ，取插值节点 a x0 x1 L xn b ，我们有
n
Lagrange 插值多项式 Ln (x) f (xk )lk (x) 。 k 0
若 f "(x) C[a,b] ，有
E f ()
b
(x a)(x b)dx
f () (b a)3
2a
12
辛普森公式：
辛普森公式
取
n
2 ，节点为
x0
a,
x1
a
b 2
,
x2
b
。
节点 x0 , x1, x2 处基函数为
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
,
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
,
，对应的系数为
l2
(x)
(x ( x2
x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
A0
b
al0
(x
)dx
b
6
a
,
b
4 (b a )
A1 al1(x )dx 6
,
b
ba
A2 al2 (x )dx 6 .
对应的求积公式为
b
ba
ab
f (x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) : S .
a
6
2
辛普森公式的误差
思考：辛普森公式的代数精度为 3 次？
例：利用辛普森公式求 bx3dx 。 a
解： S b a ( f (a) 4 f ( a b) f (b)) b4 a4 ,
Newton-Cotes公式
当节点为等距节点时，对应的插值型求积公式称为 Newton-Cotes 公式。
梯形公式：最简单的 Newton-Cotes 公式
取n
1 ，节点为
x0
a
，
x1
b
。有 l0 (x)
b b
x a
,
l1 ( x)
x b
a a
.
因此，
A0
b a
l0
(x)dx
1 2
(b
a)
dx
a
2
4
f (4) () b (x a)2 (x b)2 dx
4! a
4
(b a)5 f (4) ()
2880
一般的Newton-Cotes公式
h
ba n
， xk
x0
kh ， k
0,1,L
,n，
f
(x)
Ln (x) Rn (x) 。
n
Ln (x) lk (x) f (xk ) ， k 0
数值积分的基本思想：
b
考察 f (x)dx ，若其原函数为 F(x) ，即 F '(x) f (x) ，则 a b
有 I : f (x)dx F (b) F (a) 。 a
困难：在可积函数中能够解析积分的函数相当少，而且即使可 以解析积分，让机器模拟人的思维也比较麻烦。借助于数值方法离 散化后计算积分的近似值，称为数值积分。
b f [x, a, a b ,b]d (x a)2 (x b)2
a
2
4
b
f
[x, a,
a
2
b
, b]
(x
a)2 ( x
b)2
dx
a b (x a)2 (x b)2 f [x, a, ,b]
b
a
x
4
2
4
a
b
a b (x a)2 (x b)2
f [x, x, a, ,b]
左矩形公式，具 0 次代数精度；
b
a f (x)dx (b a) f (b)
右矩形公式，具 0 次代数精度；
b f (x)dx (b a) f ( a b) 中矩形公式，具 1 次代数精度。
a
2
插值型求积公式
插值型求积公式：
想法：给定函数 f (x) ，若 f (x) g(x) ，且 g(x) 积分比较好算，
第六章 数值积分
数值积分的基本概念 数值积分的基本思想 代数精度 插值型求积公式
Newton-Cotes 求积公式 梯形公式、辛普森公式、一般的 Newton-Cotes 公式 复化积分公式：复化梯形公式、复化辛普森公式 区间逐次分半法
Romberg（龙贝格）积分
高斯型求积公式
数值积分的基本概念
Ak
b
alk (x)dx
bn
x xj
dx
(b
a)
1
a
j0 jk
xk
xj
n
n n t j
dt
0 j0 k j jk
记 Ck(n)
1
n
n n t j
dt
0 j0 k j jk
n
求积公式： In (b a)
C(n) k
f
(
xk
)
.
k 0
注：
Ak
称为求积系数，
C (n) k
，
A1
b a
l1(x)dx
1 2
(b

a)
，
对应的求积公式为
b
ba
f (x)dx ( f (a) f (b)) : T .
a
2
梯形公式的误差
梯形公式的误差为：
b f ( )
E I T a 2 (x a)(x b)dx
注意到对任意的 x [a,b] ，有 (x a)(x b) 0，根据积分中值定理，
数值积分的基本概念
微积分中定积分的定义为：
b
n
a
f
(x
)dx
lim
n m a xxk
k01
xk
f
k( ，)
n
b
n
可用 xk f (xk ) 作为原积分的近似： a f (x)dx xk f (xk ) 。
k 1
k 1
进一步推广得到更一般的公式：
b
n
f (x )dx
a
Ak f x(k ) In: ，