概率论习题课1

pm n
解法3： 将球看成不可辨，n只球排成一排，
共有Cnm
种排法，
满足条件的排法是C
m1 n1
,
p
C m1 n1
C
m n
m n
例4： 从数字1，2， ，10中不放回地任取一数， 连取n次，
求这n个数中最大的数是k的概率(1 n k 10).
解： 设A “n个数中最大的是 k”，
Bm “最大的数不超过m”，
P(B A) P(BA) P( A)
P(B)P( A B)
P(B)P(AB) P(B)P(AB)
0.5 1
0.8
0.51 0.5 0.25
思考： 在都不会做的情形下， 学生做十道选择题能通过 及格的概率有多大？
例12： 设A, B是任意二事件， 其中A的概率不等于0和1， 试证：P (B A) P(B A) 事件A与B独立 .
解法1 设想将球一一编号，1 ~ m号是红球，并将球逐个
抽出，则基本事件 总数为n!个，
所求事件包含的基本事件数为m (n 1)!种
p m (n 1)! m
n!
n
解法2 仍将球编上号码， 记Ai "第k次抽出i号球",1 i n
则有 { A1, A2 , , An },
不难确定诸Ai是等可能的， 而所求事件A即为 {A1, , Am }
解 设A={飞机被击落} Bi={飞机被i人击中}, i=1,2,3
则 A=B1A+B2A+B3A 由全概率公式
P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A |B3)
依题意，
P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1
概率论
为求P(Bi ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3
1 3!
(1)n1
1 n!
n1 e1
例7：甲乙两人轮流掷一枚骰子，甲先掷，每当某人掷出
1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷，试求第n次由
甲掷的概率。 解：设An “第n次由甲掷”, n 1,2, , 记pn P( An ),
以An1 , An1为完备事件组，
pn P( An ) P( An1 )P( An An1 ) P( An1 )P( An An1 )
（2）B=“前两次取出的球不放回，第三次时取出红球”。
解： 设Ci “取得的是第i号袋子”， 则C1, ,CN构成一个完备事件组，
N
P( A) P(Ci )P( ACi )
i 1
N 1 ( i )2 i1 N N
(N
1)( 2 N 6N 2
1)
P(B)
N i 1
P(Ci )P(B Ci )
P( X1 5, X2 4) P( X1 6, X2 3)
由独立性知，P(
X1
X2
9)
1 9
解法2：考虑多项式
1（x 6
x2
L
x6 ),
以 xi, x j
的系数分别表示概率 P( X1 i), P( X2 j),
1（x x2 L x6 ) 1（x x2 L x6 )
6
例1 从1，2，……，15等15个数中随机取出3 个，试求下 列事件的概率：A=“三个数最大的是10”，B=“3个数大于、 等于和小于7的各1个”，C=“3 个数两个大于7，1 个小于7”。
解；此例中，基本事件总数为 C135 455种， 有利于A, B,C
的基本事件数分别为C
2，C
9
61C
1，
5 6
pn1
1 (1 6
pn1 )
2 3
pn1
1 6
2 3
n1
p1
1
1
/6 2/
3
1
1/6 2/
3
1 2
1
2 3
n1
例8(敏感性问题调查) :
对敏感性问题的调查方案， 关键要使被调查者愿意作 出真实回答而又能保守个人秘密。 经过多年研究和实 践， 统计学家和心理学家们设计了一种调查方案。
Hi )
1 ( 7 8 20) 3 10 15 25
61 90
3
P( A1 A2 ) P(Hi )P( A1 A2 Hi ) i 1
1( 7 8 5 ) 2 3 30 30 30 9
q P( A1 A2 ) 20 P( A2 ) 61
例10 : 某地区居民的肝癌发病率为0.0004, 现用甲胎
N i 1
1 N
i( N 1)( N 2) N ( N 1)( N 2)
N 1 2N
注意：用抽签的等可能性也可得出
P(BCi )
i N
例6 某人一次写了n封信，又写了n个信封，如果他任意地 将信纸装入信封，问至少装对一封的概率是多少？
解： 令Ai {第i张信纸恰好装进第i个信封}
n
则所求概率为P( Ai ) 易知有： i 1
P(
Ai
)
1 n
,
P(
Ai
Aj
)
1 n(n
n i 1
1)
P( Ai (i
) j),
1
1 i
P( Ai
jn
Aj
)
C
2 n
1 n(n
1)
1, 2!
1 i
P( Ai
jkn
Aj
Ak
)
C
3 n
n(n
1 1)(n
2)
1, 3!
P( A1 A2
An )
1, n!
n
P(
i 1
Ai )
1
1 2!
§1.1-1.3 习 题 课
一.基本概念 什么是概率? 什么是独立性? 什么是贝努里(Bernoulli)试验? 二.基本公式 加法公式;乘法公式; 贝努里(Bernoulli)概型 全概率公式与贝叶斯公式.
三.模型的分析 及方法的选择 1.直接用古典概型计算(注意等可能性); 2.用几何概型计算; 3.用公式性质计算(注意加法时相容考虑,乘法时 独立性考虑,全概与逆概中完备事件的 构造); 4.贝努里(Bernoulli)概型的构造与识别
被调查者只需回答以下两个问题中的一个， 而且只需 回答“是”或“否”，
A : 你的生日是否在 7月1日以前？ B : 你是否在考试中曾作弊 过？
为消除被调查者的顾虑 ， 在操作上有以下关键点 ：
(1)被调查者独自一人回答问题
(2)被调查者从一个罐子中随机抽一只球， 看过颜色 后即放回。 若抽到白球则回答问题A， 抽到红球则回答 问题B， 且罐中只有这两种球。
即飞机被击落的概率为0.458.
例9 : 设有来自三个地区的各10名、15名、25名考生的 报名表， 其中女生的报名表分别 为3份、7份、5份。 随机地 取一个地区的报名表 ， 从中先后抽出两份 。
(1)求先抽到的一份是女生的概率p;
(2)已知后抽到的一份是男生表， 求先抽到的一份是女生
表的概率。 解 : 设H i"报名表是i地区考生的", i 1,2,3
可求得
P B1 P H1 H2 H3 H1H2 H3 H1 H2H3 P B2 P H1H2 H3 H1H2H3 H1 H2H3
P B3 P H1H2H3
ห้องสมุดไป่ตู้将数据代入计算得
P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.
概率论
于是
P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
Aj "第j次抽到的是男生表", j 1,2
3
(1) p P( A1 ) P(Hi )P( A1 Hi ) i 1 1 3 1 7 1 5 3 10 3 15 3 25
29 90
(2)q P( A1 A2 )
P( A1 A2 ) P( A2 )
而P( A2 )
3 i 1
P(Hi )P( A2
被调查者无论回答问题 A或B， 只需在下面答卷上 认可的方框内打钩 ， 然后将其投入一只投票 箱内即可。
答卷
是
否
现在来分析调查结果 。 很显然， 我们对问题A不感兴趣。
假设有n张问卷n要较大， 譬如1000以上，其中有k张回答“是”，
我们不知道有多少是回 答问题B的，但有两个信息： (1)人数较多时， 任选一人其生日在7月1日之前的概率为0.5 (2)罐中红球的比率q是已知的
0.284 0.99
0.997
0.284 0.99 0.716 0.001
例11： 在四选一的选择题中， 学生在不知道正确的答案时， 就作随机猜测， 假定一个学生确实懂了和胡乱猜测的概率 都是1 / 2， 现在从卷面上看某题是答对了， 求该学生确实懂 了的概率。 解： 设A “学生作了正确答案 ”， B “学生确实懂了”，
P( AB) P( A)P(B) 因此A, B独立
此题是2002年数学三考研试题。
例13：设A, B是任两个事件，证明：P( AB) P( A)P(B) 1 4
证明： 不妨设P( A) P(B), P( AB) P( A)P(B) P( AB) (P(B))2 P(B) (P(B))2 P(B)[1 P(B)] 1 4
长
套
花色
有C
1一
4
种选
法，
之后最短套花色有 C31种选法，
p1
C
41C
1 3
C153C133C133C123 C 5123
,
(2) p2
C
41C
31C
1 2
C173C133C123C113
C
13 52
,
(3)
p3
C
1 4
C143C143C143C113
C
13 52
,
例3 设箱中有n个球，其中m个是红球，其余是白球，现从 中不放回地一个接一个抽出，求第k次抽得红球的概率。
P(B A)
P(B)P( A B)
0.284
P(B)P(AB) P(B)P(AB)
这个结果出乎意料 。关键是P(B )P( A B )这项占比重太大 。 在实际中常采用复查的 方法。
此时P(B) 0.284, 再用贝叶斯公式 ， 有
P(B)P( A B) P(B A) P(B)P( A B) P(B )P( A B )
P(是) P(白球)P(是白球) P(红球)P(是红球)
上式中，P (是) k , P(红球) q, P(白球) 1 q,
n P(是白球) 0.5, P(是红球) p
p (k / n) 0.5(1 q) q
概率论
例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击 中的概率分别为0.4、0.5、0.7, 飞 机被一人击中而击落 的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都 击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.
另一方面，P( A)P(B) P( AB) P( A)[P( AB AB)] P( AB) P( A)P( AB)
P( A)P( A) P( A)[1 P( A)] 1
4
例14：求掷两颗骰子得9点的概率。
解：记 X1, X2 分别表示第一、第二颗骰子的点数，
P( X1 X2 9) P( X1 3, X2 6) P( X1 4, X2 5)
6
612（x x2 L x6 )2 中的 X k 项的系数就表示
概率 P( X1 X2 k),
612（x x2 L
x6 )2
x2 62
(1
x
L
8
6 C82
于是，P ( A) 36 0.0791,
455
P(B) 48 0.1055, P(C ) 56 0.1231
455
455
例2 : 试计算在桥牌游戏中一个人手中持有如下牌型的概率 :
(1)5 3 3 2;(2)7 3 2 1;(3)4 4 4 1
解:
(1)最
P ( Bm
)
C
n m
C1n0
,
而A Bk Bk1 , 且Bk Bk1 ,
P( A) P(Bk ) P(Bk1 )
C
n k
C
n k 1
C1n0
例5 有外表相同的N个袋子，第k个袋子中装有k只红球和N-k
只白球，现任选一袋并从中任取一球，求下列事件的概率：
（1）A=“第一次取得红球，放回后再从该袋取得红球”；
证明: 必要性 由事件A, B独立知A，B 也独立，
P(B A) P(B), P(B A) P(B), 必要性得证。
充分性 由P(B A) P(B A), 可见
P( AB) P( AB) P(B) P( AB)
P( A) P( A)
1 P( A)
P( AB)[1 P( A)] P( A)P(B) P( A)P( AB)
蛋白法进行普查。 医学研究表明， 化验结果是存在错误的。 已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性， 而没患肝癌者 化验结果99.9%呈阴性， 现某人的检查结果呈阳性， 问他 当真患有肝癌的概率是多少？
解 : 记B “被检查者患有肝癌 ”，A “检查结果呈阳性 ”
P(B) 0.0004, P(B ) 0.9996, P( A B) 0.99, P( A B ) 0.001, 由贝叶斯公式 ，