杭州师范大学题库：高等数学A卷(期末样卷)

一、填空（共20分，每空格4分）

1．设(sin )1cos 2f x x =+，则()f x =222x -；

2．函数()f x 在点0x 可导（可微）是()f x 在点0x 连续的 充分 条件（充分、必要、充分必要）；

3．设函数()y f x =在区间I 内二阶可导，如果()f x '' >0 ，曲线()y f x =在I 内是凹的；

4．设2x e 是()f x 的一个原函数，则

(sin )cos f x xdx ⋅=⎰2sin x e C +； 5

．

0=⎰ 1 。

二、单项选择题（共20分，每小题4分）

1. arcsin arccos x x += ( C ) A.2π B. π C. 2

π D. 0 2．由2,12t x y t ==-确定的方程，二阶导数22d y dx

= ( C ) A. 1

t B. 21t C. 31t D. 41t

3．函数()2f x x =+在点0x =处 ( A )

A. 连续但不可导

B. 连续且可导

C. 不连续故不可导

D. 具有连续的导数

4. 设()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b <,则至少存在一点(,)a b ξ∈使( A )成立

A. ()0f ξ=

B. '()0f ξ=

C. ''()0f ξ=

D. ()()'()()f b f a f b a ξ-=-

5. 已知⎩

⎨⎧≥<=,1,ln ,1,e )(x x x x f x 则()x f 在1=x 处的导数（ D ）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于e D. 不存在

三、计算题（共48分，每题8分）

1．求由下面参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θ

θ33sin cos a y a x 确定的函数的一阶导数dx dy 及二阶导数22dx y d 解：223sin cos tan 3cos sin dy

dy a d dx dx a d θθθθθθ

θ

===--――――――――4分 22224()sec 1()3cos sin 3cos sin dy d dx d y d dy d dx dx dx dx a a d θθθθθθ

θ

-====-――――――――4分 2．求极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡

-+→x x x 1)1ln(1lim 0 解：0011ln(1)lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x →→⎡⎤-+-=⎢⎥++⎣

⎦ ―――――――1分 0111lim ln(1)1x x x x x →-

+=+++洛 ――――――2分 0lim (1)ln(1)

x x x x x →=+++ ―――――1分 01lim 2ln(1)

x x →=++洛―――――――――2分 12=

―――――――――――2分

3．求不定积分⎰-+dx x x x x 3cos sin cos sin

解：

(sin cos )x x =- ―――――4分 233(sin cos )2

x x C -=-+ ――――――――――4分 4．设2)(x e x f -=,求⎰'''1

0.)()(dx x f x f

解：2

)(x e x f -=，2'()2x f x xe -=-―――――――――2分

1

1

00()()()(())f x f x dx f x d f x '''''=⎰⎰――――――1分 120

1(())2f x '=――――――――2分 212202x x e

-=―――――――――1分 22e -=―――――――――――2分

5．求函数32

()23,14f x x x x =--≤≤的最大值和最小值

解：322()23,'()666(1)f x x x f x x x x x =-=-=-―――――――2分

解方程'()0f x =，得到120,1x x ==。由于――――――2分

(1)5,(0)0,(1)1,(4)80f f f f -=-==-=―――――――2分

比较得，32()23,14f x x x x =--≤≤的最大值(4)80f =，最小值(1)5f -=-。―2分 6．设⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0011sin )(x x x x a x x x x f 当当当,在),(+∞-∞内连续,求a .

解：在(,0)-∞内，1()sin 1f x x x =+连续；在(0,)+∞内，sin ()x f x x

=连续，故只需考察()f x 在点0x =处的连续性。―――――2分

001(0)lim ()lim(sin 1)1x x f f x x x

---→→==+=―――――――2分 00sin (0)lim ()lim 1x x x f f x x

+-+→→===―――――――2分 因此当1(0)(0)(0)f f f a -+====时，()f x 在0x =处连续，从而在),(+∞-∞内连续－2分

四、证明题（共12分，每题6分）

1． 证明方程5

310x x --=至少有一个根介于1与2之间.

证明：函数5()31f x x x =--在闭区间[1，2]上连续，又―――――1分

(1)30,(2)250f f =-<=>，――――――2分

根据零点定理，在开区间（1，2）内至少有一点ξ，使得