杭州师范大学题库：高等数学A卷(期末样卷)
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
2022-2023学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{x |lgx ≤0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |﹣1＜x ＜1}D ．{x |﹣1＜x ≤1}2．若复数z =4i1+i （其中i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．43．已知tanα=−12，则sin2α+2cos2α4cos2α−4sin2α=（ ）A ．114B ．−114C ．52D ．−524．已知二次函数f （x ）的图象如图所示，若将函数f （x ）的图象向右平移2个单位长度得到函数g （x ）的图象，则不等式g （x ）＞log 2x 的解集是（ ）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，2）5．已知非零向量a →，b →的夹角的余弦值为15，且(a →+3b →)⊥(2a →−b →)，则|a →||b →|=（ ）A ．1B ．23C ．32D ．26．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1； ③均值为3，众数为4； ④均值为2，标准差为√2． A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，且|DE|=45|AB|，则直线l 的方程为（ ） A ．x ±√3y −1=0 B ．x ±y ﹣1＝0C ．2x ±y ﹣2＝0D ．x ±2y ﹣1＝08．若过点（a ，b ）可以作曲线y =x −1x(x ＞0)的两条切线，则（ ） A ．b ＞a ＞0B ．a ＞b ＞a −1aC ．0＜a −1a ＜b ＜aD ．a −1a ＜b ＜0＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f （x ）=√x +√3−x ，下列命题中正确的是（ ） A ．f （x ）的图象是轴对称图形，不是中心对称图形 B ．f （x ）在（0，32）上单调递增，在（32，3）上单调递减C ．f （x ）的最大值为√3，最小值为0D ．f （x ）的最大值为√6，最小值为√310．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．事件B 与事件A i （i ＝1，2，3）相互独立 B ．P(A 1B)=522 C ．P(B)=25D ．P(A 2|B)=84511．若函数f(x)=sin(2ωx +π6)−12(ω＞0)在区间(0，π24)上单调递增，则（ ） A ．存在ω，使得函数f （x ）为奇函数 B ．函数f （x ）的最大值为12C ．ω的取值范围为（0，4]D ．存在4个不同的ω，使得函数f （x ）的图象关于直线x =π2对称12．已知函数f(x)=3x1+3x ，设x i （i ＝1，2，3）为实数，且x 1+x 2+x 3＝0．下列结论正确的是（ ） A ．函数f （x ）的图象关于点(0，12)对称 B ．不等式f(x −1)＞12的解集为{x |x ＞1} C ．若x 1•x 2•x 3＜0，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)＜32D ．若x 1•x 2•x 3＜0，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)＞32 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（1+x 2）（1+2x ）4的展开式中x 3的系数为 ．14．将函数y ＝3sin （2x +π4）的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．15．已知双曲线x 2−y 2a2=1，若过点（2，2）能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e 的取值范围为 ．16．已知不等式a x lna ＞aln （x ﹣1）（a ＞0，a ≠1），对∀x ∈（1，+∞）恒成立，则a 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 17．（10分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n +1}是公比为2的等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ．18．（12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若（2a ﹣c ）sin A +（2c ﹣a ）sin C ＝2b sin B ． （1）求B ；（2）当△ABC 为锐角三角形，b ＝2时，求△ABC 的周长的取值范围． 19．（12分）已知函数f （x ）满足f （x ）＝2f （﹣x ）+3x ﹣1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若关于x 的方程f （x ）|＝k |x 2﹣x ﹣1|恰有四个不同的实数根，求实数k 的取值范围．20．（12分）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为10n （n ∈N *），统计得到以下2×2列联表，经过计算可得K 2≈4.040．（1）求n 的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关； （2）①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率； ②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X ，求X 的数学期望． 附表：附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．21．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的离心率为√32，上顶点为M，下顶点为N，|MN|＝2，设点T（t，2）（t≠0）在直线y＝2上，过点T的直线TM，TN分别交椭圆C于点E和点F．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：直线EF恒过定点，并求出该定点；（3）若△TMN的面积为△TEF的面积的k倍，则当t为何值时，k取得最大值？22．（12分）已知函数f（x）=12ax2+（a+1）x+lnx（a∈R）．（1）若1是f（x）的极值点，求a的值．（2）求f（x）的单调区间．（3）若f（x）=12ax2+x有两个实数解x1，x2（x1＜x2），（i）直接写出a的取值范围；（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意x1，x2，当s＝λ（x1+x2）时都有f′（s）＜0，求λ的取值范围．2022-2023学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣1＜0}，B＝{x|lgx≤0}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|﹣1＜x≤1}解：由题意可得A＝{x|x2﹣1＜0}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|lgx≤0}＝{x|0＜x≤1}，故A∪B＝{x|﹣1＜x≤1}．故选：D．2．若复数z=4i1+i（其中i为虚数单位），则|z|＝（）A．√2B．2C．2√2D．4解：因为z=4i1+i=4i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i，则|z|=√22+22=2√2．故选：C．3．已知tanα=−12，则sin2α+2cos2α4cos2α−4sin2α=（）A．114B．−114C．52D．−52解：sin2α+2cos2α4cos2α−4sin2α=2sinαcosα+2cos2α−2sin2α4cos2α−4sin2α−8sinαcosα=tanα+1−tan2α2−2tan2α−4tanα=1472=114．故选：A．4．已知二次函数f（x）的图象如图所示，若将函数f（x）的图象向右平移2个单位长度得到函数g（x）的图象，则不等式g（x）＞log2x的解集是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）解：设f（x）＝ax2+bx+c（a＜0），由图象可得f（0）＝1，f（﹣2）＝0，则c＝1，4a﹣2b+1＝0，所以f（x）＝ax2+（2a+12）x+1，将f（x）的图象向右平移2个单位长度得到函数g（x）＝a（x﹣2）2+（2a+12）（x﹣2）+1的图象．由g （2）＝1，又y ＝log 2x 在（0，2）上递增，且log 21＝0，log 22＝1， 所以由图象可得不等式g （x ）＞log 2x 的解集为（0，2）． 故选：B ．5．已知非零向量a →，b →的夹角的余弦值为15，且(a →+3b →)⊥(2a →−b →)，则|a →||b →|=（ ）A ．1B ．23C ．32D ．2解：因为cos ＜a →，b →＞=15，由(a →+3b →)⊥(2a →−b →)，得(a →+3b →)⋅(2a →−b →)=2a →2+5a →b →−3b →2=2|a →|2+|a →||b →|−3|b →|2=0． ∴2|a →||b →|2+|a →||b →|−3=0，令t =|a →||b →|＞0，∴2t 2+t ﹣3＝0，可得t =|a →||b →|=1或−32（舍去）．故选：A ．6．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1； ③均值为3，众数为4； ④均值为2，标准差为√2． A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④解：任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为2，2，2，3，3，4，6， 则满足中位数是3，众数为2，但第7天是6人高于5人，故①错误；任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为0，1，2，4，4，4，6， 则满足均值是3，众数为4，但第7天是6人高于5人，故③错误； 对于②，将7个数据从小到大排列为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7， ∴中位数x 4＝1，∴均值为x 1+x 2+x 3+1+x 5+x 6+x 77＜1，∴x 1+x 2+x 3+x 5+x 6+x 7＜6，又x 1，x 2，x 3，x 5，x 6，x 7是自然数，且0≤x 1≤x 2≤x 3≤1≤x 5≤x 6≤x 7， ∴x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7都不超过5，∴②正确；对于④，将7个数据从小到大排列为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7， ∴均值为x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 77=2，∴x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7＝14，∴方差为(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2+(x 4−2)2+(x 5−2)2+(x 6−2)2+(x 7−2)27=2，∴(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2+(x 4−2)2+(x 5−2)2+(x 6−2)2+(x 7−2)2=14，∵x 1，x 2，x 3，x 5，x 6，x 7是自然数，若自然数x 大于5，则（x ﹣2）2≥16，相互矛盾， ∴x 1，x 2，x 3，x 5，x 6，x 7都不超过5，∴④正确． 综上所述，正确的为②④． 故选：D ．7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，且|DE|=45|AB|，则直线l 的方程为（ ） A ．x ±√3y −1=0 B ．x ±y ﹣1＝0C ．2x ±y ﹣2＝0D ．x ±2y ﹣1＝0解：设|AB |＝2r （2r ≥4），AB 的中点为M ，MN ⊥y 轴于点N ，过A ，B 作准线x ＝﹣1的垂线，垂足分别为A 1，B 1，如图：由抛物线的定义知2（|MN |+1）＝|AA 1|+|BB 1|＝|AF |+|BF |＝|AB |＝2r ，故|MN |＝r ﹣1， 所以|DE|=2√r 2−(r −1)2=85r ，即16r 2﹣50r +25＝0，解得r =52或r =58（舍去）， 故M 的横坐标为32，设直线l ：y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将y ＝k （x ﹣1）代入y 2＝4x ，得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0，则x 1+x 2=2k 2+4k2=3，解得k ＝±2，故直线l 的方程为2x ±y ﹣2＝0．故选：C ．8．若过点（a ，b ）可以作曲线y =x −1x(x ＞0)的两条切线，则（ ） A ．b ＞a ＞0B ．a ＞b ＞a −1aC ．0＜a −1a ＜b ＜aD ．a −1a＜b ＜0＜a解：设切点为（x 0，y 0），x 0＞0， ∴y ′=1+1x 2(x ＞0)， ∴切点处的切线斜率k =1+1x 02=y 0−b x 0−a =x 0−1x 0−b x 0−a ，化简得：(a −b)x 02−2x 0+a =0①， ∴Δ＝4﹣4a （a ﹣b ），∵过点（a ，b ）可以作曲线的两条切线， ∴方程①有两个不同正解，∴{−−22(a−b)＞0Δ＞0aa−b ＞0，解得a ＞b ＞a −1a ，故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f （x ）=√x +√3−x ，下列命题中正确的是（ ） A ．f （x ）的图象是轴对称图形，不是中心对称图形 B ．f （x ）在（0，32）上单调递增，在（32，3）上单调递减C ．f （x ）的最大值为√3，最小值为0D ．f （x ）的最大值为√6，最小值为√3解：对于函数f （x ）=√x +√3−x ，（0＜x ＜3），对于A ：函数f （3﹣x ）＝f （x ），故函数关于x =32对称，故函数为轴对称图形，不是中心对称图形，故A 正确；对于B ：f ′(x)=12√x 12√3−x =√3−x−√x 2√x √3−x ，令f ′（x ）＝0，解得x =32，当x ∈[0，32]时，f ′（x ）＞0，函数在x ∈[0，32]上单调递增，当x ∈[32，3]时，f ′（x ）＜0，函数在x ∈[32，3]上单调递减，故B 正确；对于C ：函数在x =32时取得最大值，最大值为√6，函数在x ＝0和3时取得最小值，最小值为√3，故C错误，故D 正确； 故选：ABD ．10．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．事件B 与事件A i （i ＝1，2，3）相互独立 B ．P(A 1B)=522C ．P(B)=25D ．P(A 2|B)=845解：由题意得P （A 1）=12，P （A 2）=15，P （A 3）=310， 先A 1发生，此时乙袋中有5个红球，3个白球和3个黑球，则P （B |A 1）=511， 先A 2发生，此时乙袋中有4个红球，4个白球和3个黑球，则P （B |A 2）=411， 先A 3发生，此时乙袋中有4个球，3个白球和4个黑球，则P （B |A 3）=411， ∴P （A 1B ）＝P （B |A 1）P （A 1）=522，故B 正确； P （A 2B ）＝P （B |A 2）P （A 2）=455，P （A 3B ）＝P （B |A 3）P （A 3）=655， P （B ）＝P （B |A 1）P （A 1）+P （B |A 2）P （A 2）+P （B |A 3）P （A 3）=922，故C 错误； P （A 1）P （B ）≠P （A 1B ），P （A 2）≠P （A 2B ），P （A 3）P （B ）≠P （A 3B ），故A 错误； P （A 2|B ）=P(A 2B)P(B)=P(B|A 2)P(A 2)P(B)=845，故D 正确． 故选：BD ．11．若函数f(x)=sin(2ωx +π6)−12(ω＞0)在区间(0，π24)上单调递增，则（ ） A ．存在ω，使得函数f （x ）为奇函数 B ．函数f （x ）的最大值为12C ．ω的取值范围为（0，4]D ．存在4个不同的ω，使得函数f （x ）的图象关于直线x =π2对称解：f(x)=sin(2ωx +π6)−12，定义域为 R ，f(−x)=sin(−2ωx +π6)−12≠−sin(2ωx +π6)+12=−f(x)， 则不存在ω，使得函数f （x ）为奇函数，故A 错误；由−1≤sin(2ωx +π6)≤1，得−32≤f(x)≤12，则f （x ）的最大值为12，故B 正确；由于f （x ）在区间(0，π24)上单调递增，故{π6≥−π2+2kπωπ12+π6≤π2+2kπ，k ∈Z解第一个不等式得k ≤13，∵k ∈Z ，故k max ＝0，解二式得ω≤24k +4，故ω≤4， 又ω＞0，所以0＜ω≤4，故C 正确； 令2ω×π2+π6=mπ+π2，m ∈Z ，解得ω=13+m ，m ∈Z ， 由0＜ω≤4知ω的取值为13，43，73，103，共4个值，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=3x1+3x ，设x i （i ＝1，2，3）为实数，且x 1+x 2+x 3＝0．下列结论正确的是（ ） A ．函数f （x ）的图象关于点(0，12)对称 B ．不等式f(x −1)＞12的解集为{x |x ＞1} C ．若x 1•x 2•x 3＜0，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)＜32D ．若x 1•x 2•x 3＜0，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)＞32解：记f （x ）＝g （x ）+12，则g （x ）=12⋅3x−13x +1，g （﹣x ）=12⋅3−x−13−x +1=12⋅1−3x1+3x =−g （x ），∴g （x ）为奇函数， 又g （x ）=12(1−23x+1)，y ＝3x +1＞0且单调递增， ∴y =−23x+1单调递增，∴g （x ）单调递增，且g （x ）的图象如下图所示， 对于A ，∵g （x ）关于点（0，0）对称，∴f （x ）关于点(0，12)对称，所以A 正确；对于B ，f(x −1)＞12⇔f （x ﹣1）＞f （0），即g （x ﹣1）＞g （0），∴x ﹣1＞0，∴x ＞1，所以B 正确； 对于CD ，x 1•x 2•x 3＜0，x 1+x 2+x 3＝0．不妨设x 3＜0，则x 1，x 2＞0，由g （x ）图象可知，图象上横坐标间距相等的两个点连线的斜率越来越小，有k NP ＜k OM ， ∴g(x 1+x 2)−g(x 2)x 1＜g(x 1)−g(0)x 1，g （0）＝0，∴g （x 1）+g （x 2）＞g （x 1+x 2），∴g （x 1）+g （x 2）+g （x 3）＝g （x 1）+g （x 2）﹣g （﹣x 3）＝g （x 1）+g （x 2）﹣g （x 1+x 2）＞0，∴f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＝g （x 1）+g （x 2）+g （x 3）+32＞32，所以D 正确，C 错误．故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（1+x 2）（1+2x ）4的展开式中x 3的系数为 40 ．解：因为（1+2x ）4的展开式的通项T r+1=C 4r (2x)r =2r C 4r x r， 令r ＝3和r ＝1，可得x 3的系数为23C 43+2C 41=8×4+2×4=40．故答案为：40．14．将函数y ＝3sin （2x +π4）的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 x =−5π24． 解：因为函数y ＝3sin （2x +π4）的图象向右平移π6个单位长度可得 g （x ）＝f （x −π6）＝3sin （2x −π3+π4）＝3sin （2x −π12）， 则y ＝g （x ）的对称轴为2x −π12=π2+k π，k ∈Z ，即x =7π24+kπ2，k ∈Z ， 当k ＝0时，x =7π24， 当k ＝﹣1时，x =−5π24，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x =−5π24， 故答案为：x =−5π24， 15．已知双曲线x 2−y 2a2=1，若过点（2，2）能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e 的取值范围为 (1，√2)∪（√2，√213） ． 解：∵过（2，2）能作双曲线x 2−y 2a 2=1的两条切线， ∴点（2，2）在双曲线外部，则4−4a 2＜1，得a 2＜43，∴e 2=1+a 2＜73，即e ＜√213，又点（2，2）不在该双曲线渐近线上，∴e ≠√2， 综上，e ∈(1，√2)∪(√2，√213)，故答案为：(1，√2)∪（√2，√213）．16．已知不等式a x lna ＞aln （x ﹣1）（a ＞0，a ≠1），对∀x ∈（1，+∞）恒成立，则a 的取值范围是 （e 1e ，+∞） ．解：因为a ＞0且a ≠1，所以不等式a x lna ＞aln （x ﹣1）可化为a x ﹣1lna ＞ln （x ﹣1），又因为x ＞1，所以x ﹣1＞0，所以（x ﹣1）a x ﹣1lna ＞（x ﹣1）ln （x ﹣1），所以（x ﹣1）lna •e（x ﹣1）lna＞e ln（x ﹣1）ln （x ﹣1），设f （x ）＝xe x ，则f ′（x ）＝e x +xe x ＝（1+x ）e x ，当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）单调递增； 若（x ﹣1）lna •e （x ﹣1）lna＞e ln（x ﹣1）ln （x ﹣1），则（x ﹣1）lna ＞ln （x ﹣1），所以lna ＞ln(x−1)x−1， 设g （t ）=lnt t ，且t ＝x ﹣1，t ＞0，则g ′（t ）=1−lntt2，t ＞0； 所以t ∈（0，e ）时，g ′（t ）＞0，g （t ）单调递增，t ∈（e ，+∞）时，g ′（t ）＜0．g （t ）单调递减； 所以g （t ）的最大值为g （e ）=1e ，令lna ＞1e ，解得a ＞e 1e ，所以a 的取值范围是（e 1e ，+∞）．故答案为：（e 1e ，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步17．（10分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n +1}是公比为2的等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ．解：（1）由题可得S n +1=(a 1+1)⋅2n−1，①， n ≥2时，S n−1+1=(a 1+1)⋅2n−2，②， ①﹣②⇒a n =(a 1+2)⋅2n−2(n ≥2)， ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1=2⇒a 1+1a 1=2⇒a 1=1，∴a n =2n−1；（2）由（1）可得na n =n ⋅2n−1，∴T n =1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+(n −1)⋅2n−2+n ⋅2n−1，①， 2T n =1⋅21+2⋅22+⋯+(n −2)⋅2n−2+(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n ，②， ①﹣②得：−T n =1+2+22+⋯+2n−1−n ⋅2n=1⋅(1−2n)1−2−n ⋅2n =2n −1−n ⋅2n =(1−n)⋅2n −1，∴T n =(n −1)⋅2n +1．18．（12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若（2a ﹣c ）sin A +（2c ﹣a ）sin C ＝2b sin B ． （1）求B ；（2）当△ABC 为锐角三角形，b ＝2时，求△ABC 的周长的取值范围． 解：（1）∵（2a ﹣c ）sin A +（2c ﹣a ）sin C ＝2b sin B ，∴由正弦定理可得2sin 2A ﹣sin C sin A +2sin 2C ﹣sin A sin C ＝2sin 2B ， ∴sin 2A +sin 2C ﹣sin 2B ＝sin A sin C ， ∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ，∴cosB =a 2+c 2−b 22ac =12，又0＜B ＜π，∴B =π3；（2）∵△ABC 为锐角三角形，且b ＝2， ∴由正弦定理得asinA=b sinB=c sinC=√32=√3∴a =43，c =43， 又B =π3，∴A +C =2π3，∴a +b +c =4√3+sin(2π3−C)]+2＝4sin （C +π6）+2，∵△ABC 为锐角三角形， ∴{0＜2π3−C ＜π20＜C ＜π2，∴π6＜C ＜π2，∴π3＜C +π6＜2π3， ∴sin （C +π6）∈（√32，1]， ∴a +b +c ∈（2+2√3，6]，∴△ABC 周长的取值范围为（2+2√3，6]．19．（12分）已知函数f （x ）满足f （x ）＝2f （﹣x ）+3x ﹣1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若关于x 的方程f （x ）|＝k |x 2﹣x ﹣1|恰有四个不同的实数根，求实数k 的取值范围． 解：（1）由f （x ）＝2f （﹣x ）+3x ﹣1，得f （﹣x ）＝2f （x ）﹣3x ﹣1． ∴f （x ）＝4f （x ）﹣3x ﹣3，解得f （x ）＝x +1； （2）显然k ≠0，1k=|x 2−x−1x+1|＝|（x +1）+1x+1−3|，只需要函数y ＝|（x +1）+1x+1−3|与y =1k 的图象有四个不同的交点， （i ）当x ＜﹣1时，函数y ＝（x +1）+1x+1在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减， ∴当x ＝﹣2时，|（x +1）+1x+1−3|min ＝5， （ii ）当x ＞﹣1时，函数y ＝（x +1）+1x+1在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， ∴（x +1）+1x+1≥2，当且仅当x ＝0时取等号，∴（x +1）+1x+1−3≥﹣1， 又当x =1±√52时，（x +1）+1x+1−3＝0， 由此，可作函数y ＝|（x +1）+1x+1−3|与y =1k 的图象的示意图如图所示，根据图象，可得0＜1k＜1或1k＞5，解得k＞1或0＜k＜15，∴实数k的取值范围为（0，15）∪（1，+∞）．20．（12分）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为10n（n∈N*），统计得到以下2×2列联表，经过计算可得K2≈4.040．（1）求n的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；（2）①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X，求X的数学期望．附表：附：K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．解：（1）2×2的列联表如下：K2=20n×(6n×5n−4n×5n)210n×10n×11n×9n=20n99≈4.040，因为n∈N*，所以n＝20，∵P（K2≥3.841）＝0.05，因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；（2）①采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为1−C 43C 93=1−484=2021； ②由题意可知X ～B(10，1120)， 故E(X)=10×1120=112． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的离心率为√32，上顶点为M ，下顶点为N ，|MN |＝2，设点T （t ，2）（t ≠0）在直线y ＝2上，过点T 的直线TM ，TN 分别交椭圆C 于点E 和点F ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线EF 恒过定点，并求出该定点；（3）若△TMN 的面积为△TEF 的面积的k 倍，则当t 为何值时，k 取得最大值？解：（1）由题意可得|MN |＝2b ＝2⇒b 2＝1，由椭圆的离心率为√32可得e 2=1−b 2a 2=34⇒a 2=4，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由题意知直线TM 的方程为y =x t +1，直线TN 的方程为y =3xt−1． 由{x 24+y 2=1y =x t+1，得E(−8t t 2+4，t 2−4t 2+4)．同理，F(24t t 2+36，36−t 2t 2+36)． 所以k EF =36−t 2t 2+36−t 2−4t 2+424t t 2+36+8tt 2+4=(36−t 2)(t 2+4)−(t 2−4)(t 2+36)24t(t 2+4)+8t(t 2+36)=−t 4−14416t 3+192t =−(t 2−12)(t 2+12)16t(t 2+12)=−t 2−1216t ，所以直线EF 的方程为：y −t 2−4t 2+4=−t 2−1216t (x +8tt 2+4)，即t 2−1216t x +y −12=0，所以直线EF 过定点P(0，12)．（3）设EF 交y 轴与P ，则S △TEF =S △TMN −S △FPN +S △PEM =|t|−18|t|t 2+36+2|t|t 2+4． 因为S △TMN ＝|t |，所以k =S △TMN S △TEF =t 4+40t 2+144t 4+24t 2+144=1+16t 2+144t2+24≤1+162√144+24=43．当且仅当t2=144t2，即t=±2√3时，等号成立．所以当t=±2√3时，k取得最大值43．22．（12分）已知函数f（x）=12ax2+（a+1）x+lnx（a∈R）．（1）若1是f（x）的极值点，求a的值．（2）求f（x）的单调区间．（3）若f（x）=12ax2+x有两个实数解x1，x2（x1＜x2），（i）直接写出a的取值范围；（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意x1，x2，当s＝λ（x1+x2）时都有f′（s）＜0，求λ的取值范围．解：（1）f′（x）＝ax+a+1+1 x ，因为1是函数f（x）的极值点，所以f′（1）＝0，即2a+2＝0，所以a＝﹣1．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝ax+a+1+1x =ax2+(a+1)x+1x=(ax+1)(x+1)x，当a＝0时，f′（x）=x+1 x，所以在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当a≠0时，令f′（x）＝0得x=−1a或x＝﹣1，若−1a=−1，即a＝1时，在（0，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，若−1a＜−1，即0＜a＜1时，在（0，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，若﹣1＜−1a＜0，即a＞1时，在（0，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，若−1a＞0，即a＜0时，在（0，−1a）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（−1a，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，综上所述，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（0，−1a）上单调递增，在（−1a，+∞）上单调递减． （3）（i ）因为f （x ）=12ax 2+x 有两个实数解x 1，x 2（x 1＜x 2），所以12ax 2+（a +1）x +lnx =12ax 2+x 有两个实数解x 1，x 2（x 1＜x 2），即ax +lnx ＝0有两个实数解x 1，x 2（x 1＜x 2）， 所以a =−lnxx有两个实数解x 1，x 2（x 1＜x 2）， 令g （x ）=−lnxx ，g ′（x ）=−1x ⋅x−lnx x 2=lnx−1x 2，令g ′（x ）＝0得x ＝e ，所以在（0，e ）上g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减， 在（e ，+∞）上g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增， 所以g （x ）≥g （e ）=−1e，当x →0时，g （x ）→+∞；当x →+∞时，g （x ）＜0， 所以−1e ＜a ＜0，所以a 的取值范围为（−1e，0）．（ii ）由（i ）得，0＜x 1＜−1a ＜x 2，{ax 1+lnx 1=0ax 2+lnx 2=0，所以a =−lnx 2−lnx 1x 2−x 1，又f ′（s ）＜0，所以(as+1)(s+1)s＜0，即s ＞−1a ，即λ（x 1+x 2）＞x 2−x1lnx 2−lnx 1，所以λ＞x 2−x 1(lnx 2−lnx 1)(x 1+x 2)=x 2x 1−1ln x 2x 1(1+x 2x 1)， 令t =x 2x 1（t ＞1），则λ＞t−1(1+t)lnt， 令v （t ）=t−11+t （t ＞1），则v ′（t ）=2(1+t)2＞0， 所以v （t ）在（1，+∞）上单调递增， 所以v （t ）＞t （1）＝0， 当λ≥12，即0＜1λ≤2时，1λ•t−11+t≤2(t−1)1+t，所以lnt −1λ•t−11+t ≤lnt −2(t−1)1+t ， 下证lnt −2(t−1)1+t ＞0，令h （t ）＝lnt −2(t−1)1+t （t ＞1），则h ′（t ）=1t −2(1+t)−2(t−1)(1+t)2=(1+t)2−4t (1+t)2=(t−1)2(1+t)2＞0， 所以h （t ）在（1，+∞）上单调递增， 所以h （t ）＞h （1）＝ln 1−2(1−1)1+1=0，综上所述，lnt ＞1λ•t−1t+1，所以λ＞t−1(1+t)lnt 恒成立，当0＜λ＜12，即1λ＞2时，1λ•t−1t+1＞2(t−1)1+t，所以lnt −1λ•t−1t+1＞lnt −2(t−1)1+t ，即lnt −1λ•t−1t+1＞0不恒成立， 即λ＞t−1(1+t)lnt 不恒成立，不满足题意， 综上所述，λ≥12，所以λ的取值范围为[12，+∞）．。
2023届浙江省杭州市示范名校高一数学第一学期期末质量检测试题含解析
解得： ，
即函数 的单调递减区间为： ， ；
Ⅱ 将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象对应的函数为 ，
得 ，
又 ，即 ，
由 ， ，
得： ， ，
由诱导公式可得 ，
所以 ，
所以 ，
【点睛】本题考查了三角函数的单调性及三角函数图象的平移变换，涉及到诱导公式的应用及三角函数求值问题，属于中档题
17．（1）已知 ，求 的值.
（2）已知 ， 是第四象限角， ， ，求 .
18．已知
（1）化简 ；
（2）若 ，求 的值
19．求函数 在区间 上的最大值和最小值.
20．已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象对应的函数为 ，且当 ， 时， ，求 的值
【详解】由题知， ，
则 恒成立，即 ， ，
又定义域应关于原点对称，则 ，解得 ，
因此 ， ，易知函数 单增，
故 等价于
即 ，解得
故答案为：
14、23
【解析】利用期望、方差的性质，根据已知数据的期望和方差求新数据的期望和方差.
【详解】由题设， ， ，
所以 ， .
故平均数与方差的和是23.
故答案为：23.
【详解】解： ，
弧长 cm
故选：D
2、B
【解析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解
【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“ ， 是4的倍数”的否定为“ ， 不是4的倍数”
故选：B
3、A
【解析】显然这个问题需要求交集.
【详解】对于： ， ；
对于： ， ；
故答案为：A.
《高等数学》期末考试A卷(附答案)
《高等数学》期末考试A卷（附答案）【编号】ZSWD2023B0089一、填空题（每小题2分，共20分）1．设 是正整数， 为非零实数，若20001lim ()x x x x，则 _________________，______________________。
【答案】120012001,2．设)(x f 的定义域是]1,0[，且102a ，则()()f x a f x a 的定义域是____________________________ .【答案】1[,]a a3．2211sin()lim x x x x ______________________。
【答案】04．设1111010,(),x x x x e e x f x e e x，0 x 是)(x f 的___________间断点. 【答案】跳跃5．设24cos y x ，则dy ________________________. 【答案】3448sin cos x x x dx6．203sin limxx t dt x _________________________________.【答案】137． 函数2412()()x f x x的渐近线有______________________________.【答案】20,x y8．函数()x f x x e 的单调递增区间为____________________________.【答案】(,0)9．若 C x dx xx f sin )(ln '，则 )(x f .【答案】C e x )sin( 10.[()()]aaf x f x dx ______________________________________.【答案】0二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．若下列极限存在，则成立的是( ) .A. 0()()lim '()x f a x f a f a x B. 0000()()lim '() x f x f x x f x xC. 0(12)(1)lim '(1)t f t f f tD. 4(8)(4)lim '(4)4x f x f f x【答案】B2．当0 x 时，与x 等价的无穷小量是( )A. x x 1sinsin B. xx sin C. x x 22 D. )1ln(x【答案】D3． 当0x x 时，0'()f x ，当0x x 时，0'()f x ，则0x 必定是函数()f x 的（ ）A. 驻点B. 最大值点C.极小值点D. 以上都不对 【答案】D4．设'()f x 存在且连续，则()'df x （ ）A. ()f xB. '()f xC. '()f x cD. ()f x c 【答案】B 5．设4()2xx f t dt，则40 f dx （ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A三、计算下列各题（每小题5分，共35分）1. 求极限)sin 11(cot lim 0xx x x解: )sin 11(cot lim 0x x x x xx x xx x tan sin sin lim 030sin lim x xx x （0 x 时x sin ～x ，x tan ～x ）2031cos lim x x x 616sin lim 0 x x x2. 设3sin 2,0()9arctan 2(1),0xx ae x f x x b x x ，确定,a b 的值，使函数在0 x 处可导。
最新杭州师范大学题库：高等数学A卷(期末样卷)精品名师资料
最新杭州师范大学题库：高等数学A卷(期末样卷)精品名师资料一、 填空（共20分，每空格4分）1．设(sin )1cos 2f x x =+，则()f x =222x -；2．函数()f x 在点0x 可导（可微）是()f x 在点0x 连续的 充分条件（充分、必要、充分必要）； 3．设函数()y f x =在区间I内二阶可导，如果()f x '' >0 ，曲线()y f x =在I内是凹的；4．设2x e 是()f x 的一个原函数，则(sin )cos f x xdx ⋅=⎰2sin xe C +；5．0=⎰ 1 。
二、 单项选择题（共20分，每小题4分）1. arcsin arccos x x += ( C )A.2πB. πC. 2π D. 02．由2,12t x y t ==-确定的方程，二阶导数22d ydx= ( C )A. 1tB. 21tC. 31tD. 41t3．函数()2f x x =+在点0x =处 ( A )A. 连续但不可导B. 连续且可导C. 不连续故不可导D. 具有连续的导数4. 设()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b <,则至少存在一点(,)a b ξ∈使( A )成立A. ()0f ξ=B. '()0f ξ=C. ''()0f ξ=D. ()()'()()f b f a f b a ξ-=- 5. 已知⎩⎨⎧≥<=,1,ln ,1,e )(x x x x f x 则()x f 在1=x 处的导数（ D ）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于eD. 不存在三、计算题（共48分，每题8分）1．求由下面参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θθ33sin cos a y a x 确定的函数的一阶导数dxdy及二阶导数22dx y d解：223sin cos tan 3cos sin dydy a d dx dx a d θθθθθθθ===--――――――――4分 22224()sec 1()3cos sin 3cos sin dy d dx d y d dy d dx dx dx dx a a d θθθθθθθ-====-――――――――4分2．求极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→x x x 1)1ln(1lim解：0011ln(1)limlimln(1)ln(1)x x x x x x x x →→⎡⎤-+-=⎢⎥++⎣⎦―――――――1分0111lim ln(1)1x xxx x→-+=+++洛――――――2分lim(1)ln(1)x xx x x →=+++ ―――――1分1lim2ln(1)x x →=++洛―――――――――2分12=―――――――――――2分3．求不定积分⎰-+dx xx x x 3cos sin cos sin解：(sin cos )x x =- ―――――4分233(sin cos )2x x C -=-+ ――――――――――4分4．设2)(x e x f -=,求⎰'''10.)()(dx x f x f解：2)(x e x f -=，2'()2x f x xe -=-―――――――――2分110()()()(())f x f x dx f x d f x '''''=⎰⎰――――――1分1201(())2f x '=――――――――2分212202x x e -=―――――――――1分22e -=―――――――――――2分 5．求函数32()23,14f x x x x =--≤≤的最大值和最小值解：322()23,'()666(1)f x x x f x x x x x =-=-=-―――――――2分 解方程'()0f x =，得到120,1x x ==。
2019-2020学年人教A版浙江省杭州市高三第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第一学期期末数学试卷一、选择题1．设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 2．双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．3．已知非零向量，，则“•＞0”是“向量，夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若实数x，y满足不等式组，则（）A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y≥0 D．2x﹣y+1≥0 5．设正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，则当x+y取得最小值时，x＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，E（ξ）＝1，则（）A．P（ξ＝1）＜D（ξ）B．P（ξ＝1）＝D（ξ）C．P（ξ＝1）＞D（ξ）D．7．下列不可能是函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．8．若函数y＝f（x），y＝g（x）定义域为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数B．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递增函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递增函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数9．已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．设两曲线的一个交点为P，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知非常数数列{a n}满足（n∈N*，α，β为非零常数）．若α+β≠0，则（）A．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等比数列B．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列C．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等差数列D．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等比数列二、填空题11．设复数z满足（1+i）•z＝2i（i为虚数单位），则z＝，|z|＝．12．已知二项式的展开式中含x2的项的系数为15，则a＝，展开式中各项系数和等于．13．在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，则＝；若AD ＝AC＝1，则BC＝．14．已知函数，则f[f（2019）]＝；若关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数a的取值范围是．15．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）16．已知函数f（x）＝x3﹣9x，g（x）＝3x2+a（a∈R）．若方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则a＝．17．在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，则＝．三、解答题18．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的值域．19．已知函数f（x）＝x2+k|x﹣1|﹣2．（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调递增区间．（2）若k≤﹣2，试判断方程f（x）＝﹣1的根的个数．20．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．21．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．22．设函数f（x）＝e x+ax，a∈R．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈[0，+∞）均有2f（x）+3≥x2+a2，求a的取值范围．参考答案一、选择题1．设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝{x|2＜x＜3}．故选：B．2．双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】由双曲线＝1可得a2＝4，b2＝1，可得a＝2，c＝，利用离心率计算公式即可得出．解：由双曲线＝1可得a2＝4，b2＝1，∴a＝2，c＝＝．∴双曲线的离心率e＝＝．故选：A．3．已知非零向量，，则“•＞0”是“向量，夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，即可判断出结论．解：与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，可能同向共线．因此“”是“向量与夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．4．若实数x，y满足不等式组，则（）A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y≥0 D．2x﹣y+1≥0 【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合图象即可求解．解：作出不等式组对应的平面区域如图：；由图可得A，B均不成立；对于C：因为直线x+2y＝0过平面区域，红线所表，故函数值有正有负，不成立．故只有答案D成立．故选：D．5．设正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，则当x+y取得最小值时，x＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据e x•e y＝（e x）y，可得x+y＝xy，再利用基本不等式可得，从而得到，然后确定当x+y取得最小值时x的值即可．解：∵正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，∴x+y＝xy，又∵，∴，∴xy≥4，∴x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时取等号，∴当x+y取得最小值时，x＝2．故选：B．6．已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，E（ξ）＝1，则（）A．P（ξ＝1）＜D（ξ）B．P（ξ＝1）＝D（ξ）C．P（ξ＝1）＞D（ξ）D．【分析】推导出P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝从而P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，由此推导出P（ξ＝1）＞D（ξ）．解：∵随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．，E（ξ）＝1，∴P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝，∴P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴D（ξ）＝+＝．∴P（ξ＝1）＞D（ξ）．故选：C．7．下列不可能是函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分a＝0、a＞0和a＜0三种情况讨论，分析函数f（x）的定义域、奇偶性以及单调性，综合即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z），当a＝0，f（x）＝（e x+e﹣x），（x≠0）其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，A选项符合；当a为正整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为R，图象经过原点，没有选项符合；当a为负整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，其导数f′（x）＝ax a ﹣1（e x+e﹣x）+x a（e x﹣e﹣x），当x＞0时，f′（x）＝x a﹣1[a（e x+e﹣x）+x（e x﹣e﹣x）]＝x a﹣1[（a+x）e x+（a﹣x）e﹣x]，则f′（x）先负后正，故f（x）不经过原点且在第一象限先减后增，BD符合；故选：C．8．若函数y＝f（x），y＝g（x）定义域为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数B．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递增函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递增函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数【分析】举例说明A，B，C错误；利用函数奇偶性的定义证明D正确．解：令f（x）＝sin x，g（x）＝2x，函数sin2x是周期函数，但y＝g（x）不是周期函数，故A错误；令f（x）＝x2+1，g（x）＝2x，则f（g（x））＝4x2+1为偶函数，但y＝g（x）不是偶函数，故B错误；令f（x）＝x，g（x）＝x3，y＝f（x），y＝g（x）均为R上的单调递增函数，但y＝f （x）•g（x）＝x4在R上不单调，故C错误；由y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），且两函数定义域均关于原点对称，则f（g（﹣x））＝f（﹣g（x））＝﹣f（g（x）），且定义域关于原点对称，函数y ＝f（g（x））为奇函数，故D正确．故选：D．9．已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．设两曲线的一个交点为P，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设P（x0，y0），由，p＝2c，可得x0＝，由椭圆、抛物线焦半径公式可得a﹣ex0＝x，整理可得：a﹣e＝⇒e＝即可．解：设P（x0，y0），，．∵，则2c（c﹣x0）＝…①，∵抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．∴p＝2c…②，由①②可得x0＝，由椭圆、抛物线焦半径公式可得a﹣ex0＝x．整理可得：a﹣e＝⇒2e2+5e﹣3＝0．解得e＝（负值舍）．故选：A．10．已知非常数数列{a n}满足（n∈N*，α，β为非零常数）．若α+β≠0，则（）A．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等比数列B．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列C．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等差数列D．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等比数列【分析】本题先将递推式进行变形，然后令t＝，根据题意有常数t≠0，且t≠1．将递推式通过换元法简化为a n+2＝ta n+1+（1﹣t）a n．两边同时减去a n+1，可得a n+2﹣a n+1＝（t ﹣1）（a n+1﹣a n）．根据此时逐步递推可得a n+1﹣a n＝（t﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝（t﹣1）2（a n﹣1﹣a n﹣2）＝…＝（t﹣1）n﹣1（a2﹣a1）．根据题意有a2﹣a1≠0，则当t﹣1＝1，即t＝2，即＝2，即α+2β＝0时，可得到数列{a n}是一个等差数列．由此可得正确选项．解：由题意，得＝a n+1+a n．令t＝，则＝1﹣t，∵α，β为非零常数且α+β≠0，∴t，1﹣t均为非零常数，∴常数t≠0，且t≠1．故a n+2＝ta n+1+（1﹣t）a n．两边同时减去a n+1，可得a n+2﹣a n+1＝ta n+1﹣a n+1+（1﹣t）a n＝（t﹣1）（a n+1﹣a n）．∵常数t≠0，且t≠1．∴t﹣1≠﹣1，且t﹣1≠0．∴a n+1﹣a n＝（t﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝（t﹣1）2（a n﹣1﹣a n﹣2）＝…＝（t﹣1）n﹣1（a2﹣a1）．∵数列{a n}是非常数数列，∴a2﹣a1≠0，则当t﹣1＝1，即t＝2，即＝2，即α+2β＝0时，a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1＝a n﹣1﹣a n﹣2＝…＝a2﹣a1．此时数列{a n}很明显是一个等差数列．∴存在α，β，只要满足α，β为非零，且α+2β＝0时，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列．故选：B．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分，共36分11．设复数z满足（1+i）•z＝2i（i为虚数单位），则z＝1+i，|z|＝．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：由（1+i）•z＝2i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：1+i；．12．已知二项式的展开式中含x2的项的系数为15，则a＝ 1 ，展开式中各项系数和等于64 ．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出a的值，再令x＝1，可得展开式中各项系数和．解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•a r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2 求得r＝2，故展开式中含x2的项的系数为•a2＝15，则a＝1．再令x＝1，可得展开式中各项系数和等于（1+1）6＝64，故答案为：1；64．13．在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，则＝ 2 ；若AD＝AC＝1，则BC＝．【分析】①根据三角形角平分线定理和正弦定理，即可求出的值；②由余弦定理列出方程，即可求得BD、CD和BC的值．解：①如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，所以c＝2b，所以＝＝＝2；②由AD＝AC＝1，所以AB＝2AC＝2，设DC＝x，则BD＝2x，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝，cos∠CAD＝＝＝，又∠BAD＝∠CAD，所以＝，解得x＝；所以BC＝3x＝．故答案为：2，．14．已知函数，则f[f（2019）]＝0 ；若关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】推导出f（2019）＝cos2019π＝cosπ＝﹣1，从而f[f（2019）]＝f（﹣1）＝1﹣（﹣1）2＝0．作出函数的图象，结合图形，能求出实数a的取值范围．解：∵函数，∴f（2019）＝cos2019π＝cosπ＝﹣1，f[f（2019）]＝f（﹣1）＝1﹣（﹣1）2＝0．作出函数的图象，如下图：设f（x）与x轴从左到右的两个交点分别为A（﹣1，0），B（，0），f（x+a）与f（x）的图象是平移关系，∵关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，∴结合图形，得实数a的取值范围是（﹣1，]．故答案为：0，（﹣1，]．15．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有21 种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）【分析】由题意可以分为四类，每一类分别求解，再根据分类计数原理可得．解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有A32＝6种方法，若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有A32＝6种方法，若甲不参加，乙不参加，有A33＝6种方法，根据分类计数原理，共有3+6+6+6＝21种．故答案为：21．16．已知函数f（x）＝x3﹣9x，g（x）＝3x2+a（a∈R）．若方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则a＝﹣11 ．【分析】问题等价为函数h（x）＝x3﹣3x2﹣9x与常函数y＝a由三个不同的实数根，依题意，函数h（x）关于（x2，h（x2））中心对称，而利用三次函数的性质可求得x2＝1，进而求得a的值．解：方程f（x）＝g（x）即为x3﹣3x2﹣9x＝a，依题意，函数h（x）＝x3﹣3x2﹣9x与常函数y＝a由三个不同的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，由x1，x2，x3构成等差数列可知，函数h（x）关于（x2，h（x2））中心对称，而三次函数的对称中心点就是二阶导函数的零点，且h′（x）＝3x2﹣6x﹣9，h''（x）＝6x﹣6，令h''（x）＝6x﹣6＝0，解得x＝1，即x2＝1，故函数h（x）的对称中心即为（1，﹣11），则a＝﹣11．故答案为：﹣11．17．在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，则＝﹣2 ．【分析】取BD的中点O，连接OM，ON，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值．解：取BD的中点O，连接OM，ON，可得，平方可得＝＝，即有，，即有•（）＝（）•（）＝（）＝（4﹣）＝，解得，所以＝＝，故答案为：﹣2．三、解答题：5小题，共74分18．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的值域．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．解：（1）函数＝sin2x﹣＝sin2x ﹣cos2x+sin x cos x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为＝π．（2）在区间上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣＝﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，当2x﹣＝时，函数f（x）取得最大值为，故f（x）的值域为[﹣，]．19．已知函数f（x）＝x2+k|x﹣1|﹣2．（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调递增区间．（2）若k≤﹣2，试判断方程f（x）＝﹣1的根的个数．【分析】（1）写出k＝1时的函数解析式，分别讨论各段的单调增区间即可得f（x）的单调增区间；（2）解出各段上函数的解析式，再结合k的取值范围得到方程根的个数．解：（1）k＝1时，f（x）＝x2+|x﹣1|﹣2＝，当x≥1时，f（x）＝（x+）2﹣，此时函数在[1，+∞）上单调递增；当x＜1时，f（x）＝（x﹣）2﹣，此时函数在（，1）上单调递增，综上函数f（x）的单调递增区间是（，+∞）；（2）当x≥1时，则x2+k（x﹣1）﹣2＝﹣1，即（x﹣1）（x+1+k）＝0，即x＝﹣1﹣k，或x＝1；当x＜1时，则x2﹣k（x﹣1）﹣2＝﹣1，即（x﹣1）（x+1﹣k）＝0，即x＝k﹣1，故当k＜﹣2，﹣1﹣k＞1，k﹣1＜1，则方程有3个不等实数根；当k＝﹣2时，﹣1﹣k＝1，k﹣1＝﹣3，则方程有2个不等实数根．20．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．【分析】（1）利用面积可得bc＝8，利用，可知C、P、D三点共线，即可求出m的值；（2）由（1）可表示出||，利用机泵不等式可得最小值．解：（1）设||＝c，||＝b，所以S△ABC＝bc sin＝2，解得bc＝8，由＝m+＝m+，且C，P，D三点共线，所以m+＝1，解得m＝；（2）由（1）可知，所以||2＝（）2＝因为＝bc cos＝﹣4，所以||2＝≥2•﹣＝，故||≥，当且仅当b＝2，c＝时取得等号，综上||的最小值为．21．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．【分析】（1）由题意得，，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差，则等差数列的通项公式与前n项和可求；（2）由，结合0＜＜1恒成立，即可得到c n＜＜＝，结合等差数列的前n项和公式即可证明．【解答】（1）解：由题意得，，即，得a1＝d（d ≠0），由a6＝12，得a1＝d＝2．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n，，由a1b1＝a2b2＝1，得，，∴；（2）证明：∵，由0＜＜1恒成立，∴c n＜＜＝，∴c1+c2+…+c n＜．22．设函数f（x）＝e x+ax，a∈R．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈[0，+∞）均有2f（x）+3≥x2+a2，求a的取值范围．【分析】（1）求出导数，分类讨论a的正负即可；（2）表示出g（x）＝2f（x）+3﹣x2﹣a2，求出其导数，构造函数，再利用导数判断出g （x）单调区间，进而求出a的取值范围解：（1）f′（x）＝e x+a，①当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，不满足题意；②当a＜0时，令f′（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），则f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，要使f（x）有两个零点，只需f（ln （﹣a））＜0，解得a＜﹣e；（2）令g（x）＝2f（x）+3﹣x2﹣a2＝2e x﹣（x﹣a）2+3，x≥0，则g′（x）＝2（e x﹣x+a），又令h（x）＝2（e x﹣x+a），则h′（x）＝2（e x﹣1）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，且h（0）＝2（a+1），①当a≥﹣1时，g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，从而必须满足g（0）＝5﹣a2≥0，解得﹣≤a≤，又因为a≥﹣1，所以﹣1≤a≤；②当a＜﹣1时，则存在x0＞0，使h（x0）＝0且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，即g（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，即g（x）单调递增，所以g（x）最小值为g（x0）＝≥0，又h（x0）＝2（）＝0，从而≥0，解得0＜x0≤ln3，由＝x0﹣a，则a＝x0﹣，令M（x）＝x﹣e x，0＜x≤ln3，则M′（x）＝1﹣e x＜0，所以M（x）在（0，ln3上单调递减，则M（x）≥M（ln3）＝ln3﹣3，又M（x）＜M（0）＝﹣1，故ln3﹣3≤a＜﹣1，综上，ln3﹣3≤a≤．。
杭州师范大学2012-2013学年线性代数第一学期期末考试
杭州师范大学学院2012-2013学年第一学期期末考试《线性代数A》试卷（A）一、单选题（在每小题的四个备选题答案中选出一个正确答案，并将答案的序号填入题后的括号内。
共30分，每小题3分。
）1. 下列选项中属于四阶行列式的项是（）（A）（B）（C）（D2. 设均为阶可逆方阵，则=（）（A）（B）（C）（D）3. 设，则下列结论不一定正确的是（）（A）（B）（C）（D）4. 设为阶方阵，且，则必有（）。
（A）（B）（C）（D）5. 设，则的伴随矩阵的第一行第三列的元素为（）。
（A ）-2 （B）2 （C）20 （D）-206. 已知阶矩阵的行列式，实数，那么（A）（B）（C）（D）7. 设是阶可逆矩阵，则下列结论不一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）8.设则与可交换的充要条件是（）（A）（B）（C）（D）9.设向量组线性相关， 线性无关，则必有（ ） （A ）线性无关 （B ）线性相关 （C） 线性无关 （D ）线性相关10.设向量组线性相关，则下列结论正确的是（ ）（A ）至少有一个向量为零向量 （B ）一定大于向量的维数（C ）至少有一个向量可由其它向量线性表示 （D ）每个向量均可由其它向量线性表示二、填空题（每小题3分，共20分）1. 设向量（-6，4，2）与向量（3，-2，a ）线性相关，则a=________。
2. 设为4阶方阵且，则=_____________。
3.设矩阵，则=____________。
4. 设矩阵与4阶单位阵等价，则=___________。
5. 如果线性方程组有非零解，则λ=____________。
三、计算题（每小题10分，共50分）1. 设，求的值。
2. 设且求。
3. 计算行列式4. 设。
判断向量能否由向量组 线性表示，如果能，则写出表示式，如果不能，则说明理由。
5. λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-=-+λλλ32132132120221x x x x x x x x x 没有解、有唯一解、有无穷解，并在有无穷多解时，求出其通解。
浙江师范大学 高等数学(上) 期末试题 A卷答案(理科1)
浙江师范大学《 高等数学（上） 》 A 卷答案（理科1）一、 选择题（每小题2分，共12分）1、C2、C3、D4、D5、B6、A二、 填空题（每小题2分，共16分）①e -3 ② 0 ③[1,1]- ④ln cos sin 2x x x C --++⑤ 5ln 6⑥ 2 ⑦ ⑻ x xy 224+'=() 三、问答题（5分） 221()x f x x x x-=-指出sin 的间断点，并判别其类型． 解 (1)(1)()01()(1)x x x f x x x f x x x +-===-sin ，与是的间断点 00(1)lim ()lim 2x x x x f x x →→+==sin 因，11(1)sin lim ()lim 2sin1x x x x f x x→→+==， 1()f x 所以0和都是的可去间断点。
四、 计算题（每小题7分，共49分）1、1lim xx x →+∞求极限 11ln lim ln lim lim 0.1xx x x x x y x y x →+∞→+∞→+∞====解设,则 01e ==原式2、44411ln ,d 4(1)41x y y x x=+++设 求． 解d ()d y y x x '=33324442141441d d 4(1)41(1)x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-=+-=⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦ 3、.d )1(3x e e x x ⎰+求 解x e e x x ⎰+d )1(3)1d()1(3++=⎰x x e e 41(1).4x e C =++ 4、.)1)(1(d 2⎰++x x x 求 22d 111:()d (1)(1)211x x x x x x x -=-++++⎰⎰解2221d 1d(1)1d 214121x x x x x x +=-++++⎰⎰⎰ 2111l n 1l n 1a r c t a n .242x x x C =+-+++（） 1200d ()d ln(1)d d y t y y x xy e t t t x -=+⎰⎰5、设是由方程所确定的隐函数，求． 解 y xy e y y +'-'=0，'=-y y e xy6、求232sec ,d sec tan d sec tan d 1d cos d sin cos sec tan sec 22x t x t t tt t t t t t t t t C t t t ==⋅⋅====++⋅⎰⎰⎰解 令 原式11arccos .2C x = 7、求微分方程d 1d e yy x x =+的通解。
高等数学A2答卷A
杭州师范大学2010-2011学年第二学期期末考试《高等数学A 2》答卷（A ）一、单项选择题（填上正确选择之前的字母，共18分，每小题3分） 1．直线11:211x y z L -+==-与平面: 3x y z π-+=的关系为（ Ａ ）。
A ．平行 B ．垂直 C ．夹角为4π D ．夹角为4π- 2．方程 2224x z +=在空间表示的图形为（ Ｃ ）。
Ａ.椭圆 Ｂ.椭球面 Ｃ.椭圆柱面 Ｄ. 椭球体 3．函数)(33y x Ln z +=在（1，1）处的全微分dz =（ Ｄ ）。
A.dy dx +B. )(2dy dx +C.)(3dy dx +D.)(23dy dx + 4．下列曲线积分在XOY 面内与路径无关的是（ Ａ ） A .(2,3)(1,1)(23)(3)x y dx x y dy ++-⎰ B .dy y x dx y x )()()3,2()1,1(++-⎰ C .(2,3)(1,1)()(2)x y dx x y dy ++-⎰D .dy y x dx y x )2()2()3,2()1,1(-++⎰5．交换积分次序：110(,)xdxf x y dy -⎰⎰=（ D ）。
A ．11(,)xdy f x y dx -⎰⎰ B ．110(,)xdy f x y dx -⎰⎰C ．11(,)dy f x y dx ⎰⎰ D ．11(,)ydyf x y dx -⎰⎰6．设级数∑∞=1n n a 绝对收敛，且ρ=+∞→nn n a a 1lim，则（ B ）。
A．+∞=ρ B ．1<ρ C ．+∞<ρ<1 D ．1=ρ 二、填空题（共18分，每小题3分）7．直线12213x y z-+==-与平面260x y z -++=的交点是_(1,1,3)---___． 8．曲面223x y z e xy =+-在点(1, 0, 2)-处的切平面方程为320y z --=。
浙江省杭师附2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含解析)
浙江省杭师附中2022-2023学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________2022,,x ，改变为20222,,2x -．平均数与方差均不改变 ．平均数改变，方差保持不变．平均数不变，方差改变．平均数与方差均改变的一个方向向量为(2,2,v =--的一个法向量为()1,1,2n =，则直的位置关系是（ ） 的两个焦点为过点F ，则△四点，则AB CD ⋅的值为11111二、多选题将ABC折起，四、问答题17．某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[)0,0.5、[)0.5,1、…、[]4,4.5从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.(1)求图中a 的值；(2)估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；(3)在[)1,1.5、[)1.5,2这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.18．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，114560CB BD C CD CC B ⊥∠=︒∠=︒，，，11CC CB BD ===，为折痕把ABC(1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若M 为PD 上一点，且三棱锥D ACM -的体积是三棱锥P ACM -体积的2倍，求平面PAC 与平面ACM 夹角的余弦值.六、问答题参考答案：2022,,x 的平均数20222022x ++，20222,,2x -20221232022222222022x x x x x x ++++=+--=-+，平均数发生变化；2022,,x 的方差()()()22212202222022x x x x x x s -+-++-=，320222,2,,2x x ---的方差为)()()22222022222222022x x x s +--+++-=，方差不发生变化【分析】根据2n υ=-得到υ与n 共线，即可得到直线【详解】因为2n υ=-，所以υ与n 共线，直线【分析】求得椭圆的,,a b c ，由椭圆的定义可得算即可得到所求值．的斜率不存在时，易得1AB CD ⋅=； 所以cos0⋅=⋅⋅AB CD AB CD C【点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质，义，以及抛物线的定义与简单性质即可，属于常考题型B2⎝∴()111,1,1,,2AC MN⎛=--=-⎝1MN AC⊥，∴112a b+--12b a=-，01,b≤≤∴12≤1AA DS a⋅故选：B135,45,ba,H HG H=⊂平面A HG1由正方体性质，连接22,EF=121,3EB FD =-，再利用BD BE EF FD =++可求得结DF AC ⊥，二面角1,3EB FD =-BD BE EF FD =++，22222()222BD BE EF FD BE EF FD BE EF EF FD BE FD ∴=++=+++⋅+⋅+⋅443BD=，即故答案为：．1 3【分析】设直线u u u r ，DA CB=，|DA得出13PM PD=，利用向量法即可得出为平行四边形，()，得13PM PD =，所以132,,333OM OP PM OP PD ⎛=+=+=- ⎝设平面ACM 的法向量为(),,n x y z =r，00n OM n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即32233330x y x ⎧-++⎪⎨⎪=1-，则0x =，所以(0,1,1n =-又因为平面PAC 的法向量()0,1,0m =，2,2m n n m m n ⋅==, 因为二面角P AC M --为锐二面角，所以其余弦值为2214y +=MN 的垂线交MN ∴的斜率存在连接OP MN ∴的斜率不为不妨设MN l答案第15页，共15页 PQ MN ⊥PQ MN k k ∴⋅解得:m =MNQ S =2114k k ++。
浙江省杭州师范大学附属中学2025届高三数学第一学期期末达标检测试题含解析
浙江省杭州师范大学附属中学2025届高三数学第一学期期末达标检测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数1()ln ||1x f x x+=-的图象大致为 A ． B ． C ．D ．2．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =（ ）A ．{}2345，，，B ．{}234，，C ．{}1234，，，D ．{}01234，，，， 3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④4．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ） A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>-D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>-5．设数列{}()*na n N ∈的各项均为正数，前n 项和为n S ，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ） A ．128 B ．65 C ．64D ．63 6．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3[,1)3C ．3(0,]3D ．6[,1)3 7．已知复数(2)1ai i z i +=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ） A ．2i B ．2i - C ．i D ．i -8．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对9．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）235 2.236≈≈≈）A ．22个B ．24个C ．26个D ．28个10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85 B ．852 C ．35 D ．35211．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．812．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高数期末复习试卷库
杭州师范大学《高等数学》试卷库A 类（Ⅱ）试卷 -1一、单项选择题（填上正确选择支前面的字母，共18分，每小题3分）1．以下结论正确的个数有（ ）个。
①对空间中任何向量 a 和 b 有： ⋅=⋅a b b a②对空间中任何向量 a 和b 有：⨯=⨯ a b b a③设123123(,,),(,,)a a a b b b == a b ，则112233(,,)a b a b a b ⋅=a b④对空间中任何向量 a , b 和任意实数k ，有：()()k k ⋅=⋅a b a b A.1 B.2 C.3 D.42. 曲面22y x z +=上与平面042=-+z y x 平行的切平面方程是（ ）。
A.0)4()2(42=---+z y xB.0)2()1(4)1(2=---+-z y xC.0)5()2(4)1(2=---+-z y xD.0)1(4)1(2=--+-z y x3．设00(,)(,)f x y x y 在点的偏导数存在，则00(,)x f x y =（ ）。
A ．00000(,)(,)limx f x x y y f x y x∆→+∆+∆-∆Ｂ．00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆Ｃ．0000(,)(,)lim x x f x y f x y x x →-- Ｄ．00000(,)(,)lim x x y yf x y f x y x x →→--4．累次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成（ ）。
A.10(,)dy f x y dx ⎰.B.10(,)dy f x y dx ⎰. C.11(,)dx f x y dy ⎰⎰.D.10(,)dx f x y dy ⎰5. 下列曲线积分与路径无关的是（ ）。
A.2(2)(2)Lx y dx x y dy-++⎰B .222(2)()Lx xy dx x y y dy ++-⎰C .2(2)()L xy dx x y dy+++⎰ D .2(2)(2)Lxy dx x y dy -++⎰6．设 a 为常数，则级数31sin()n na n ∞=∑（ ）。
2023-2024学年浙江省杭师市高二上册期末数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年浙江省杭师市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(1,2,3),(1,2,3)--，则A ，B 两点的位置关系是（）A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称【正确答案】C【分析】根据A ，B 两点坐标之间的关系直接判断即可得解.【详解】因为点A ，B 的横纵坐标互为相反数，它们的竖坐标相同，所以点A ，B 关于z 轴对称.故选：C.2．若把数据1232022,,,,x x x x ，改变为12320222,2,2,,2x x x x ---- ，则它们的（）A ．平均数与方差均不改变B ．平均数改变，方差保持不变C ．平均数不变，方差改变D ．平均数与方差均改变【正确答案】B【分析】直接由平均数和方差的定义计算即可求解.【详解】数据1232022,,,,x x x x 的平均数12320222022x x x x x ++++=，数据12320222,2,2,,2x x x x ---- 的平均数为1232022123202222202222222022x x x x x x x x x x -++++++==+----=-+ ，平均数发生变化；数据1232022,,,,x x x x 的方差()()()22212202222022x x x x x xs-+-++-= ，数据12320222,2,2,,2x x x x ---- 的方差为()()()22212202222222222022x x x x x x s --++--+++--+= ，方差不发生变化.故选：B.3．若直线l 的一个方向向量为()2,2,4v =--- ，平面α的一个法向量为()1,1,2n =，则直线l 与平面α的位置关系是（）A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．平行或线在面内【正确答案】A【分析】根据2n υ=-得到υ 与n 共线，即可得到直线l 与平面α垂直.【详解】因为2n υ=-，所以υ 与n 共线，直线l 与平面α垂直.故选：A.4．已知椭圆2221(5)25x y a a +=>的两个焦点为12,F F ，且128F F =．弦AB 过点1F ，则2ABF △的周长为A ．10B ．20C ．D ．【正确答案】D【分析】求得椭圆的,,a b c ，由椭圆的定义可得2ABF △的周长为224AB AF BF a ++=，计算即可得到所求值．【详解】解：由题意可得椭圆2221(5)25x y a a +=>中5,4b c ==，则a =由椭圆的定义可得12122AF AF BF BF a +=+=，即有2ABF △的周长为224AB AF BF a ++==.故选：D ．5．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则6a =（）A ．103B ．107C ．109D ．105【正确答案】B【分析】根据已知条件进行转化得到数列{}n a 通项公式，由题意解出不等式即可判断项数.【详解】由题意，被3除余2且被7除余2的数即为被21除余2的数，故2119,N n a n n *=-∈，则621619107a =⨯-=.故选：B6．如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为A ．14B ．12C ．1D ．2【正确答案】C【分析】先由题意得到(1,0)F ，设直线:(1)l y k x =-，联立直线与抛物线方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，结合韦达定理得到121=x x ，再由抛物线的定义，得到1=AB x ，2=CD x ，进而可求出结果.【详解】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，当直线l 的斜率不存在时，易得1AB CD ⋅=；当直线的斜率存在时，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x 由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ，同理2=CD x ，所以12cos 01︒⋅=⋅⋅== AB CD AB CD x x .故选C本题主要考查抛物线的定义与性质，以及向量数量积的运算，熟记向量数量积的定义，以及抛物线的定义与简单性质即可，属于常考题型.7．已知边长为1的正方体1111ABCD A B C D -，M 为BC 中点，N 为平面1DCC D 上的动点，若1MN AC ⊥，则三棱锥1N AA D -的体积最小值为（）A ．110B ．112C ．114D ．116【正确答案】B【分析】建立空间直角坐标系，结合1MN AC ⊥求得三棱锥1N AA D -的体积的表达式并求得其最小值.【详解】以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()111,0,1,0,1,0,,1,02A C M ⎛⎫⎪⎝⎭，设()0,,,01,01,N a b a b ≤≤≤≤∴()111,1,1,,1,2A C MN a b ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，又1MN AC ⊥，∴1102a b +--=，即12a b -=，∴12b a =-，01,b ≤≤∴11,2a ≤≤∴111113612N AA D AA D V Sa a -=⋅⋅=⋅≥.故选：B8．设1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ，N 两点，且135MAN ∠=︒，（如图），则该双曲线的离心率为（）A 2B 3C ．2D 5【正确答案】D【分析】联立222x y c +=与by x a=求出(),M a b ，进而MAO ∠的正切可求，得出a b 与的关系，从而进一步解出答案.【详解】依题意得,以线段12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=,双曲线C 的一条渐近线的方程为by x a=.由222,,b y x a x yc ⎧=⎪⎨⎪+=⎩以及222,a b c +=解得,x a y b=⎧⎨=⎩或,.x a y b =-⎧⎨=-⎩不妨取(),M a b ,则(),N a b --.因为(),0,135A a MAN ∠-=,所以45MAO ∠= ,又tan 2b MAO a∠=,所以12b a=,所以2b a =,所以该双曲线的离心率2215b e a=+.故选：D.二、多选题9．已知椭圆221:1169x y C +=与双曲线()222:1916169x y C k k k+=<<--，下列关于两曲线的说法正确的是（）A ．1C 的长轴长与2C 的实轴长相等B ．1C 的短轴长与2C 的虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率不相等【正确答案】CD【分析】利用椭圆、双曲线的几何性质逐项判断可得出合适的选项.【详解】由题意可知，椭圆1C 的长轴长为128a =，短轴长为126b =，焦距为12c ==离心率为1114c e a ==，当916k <<时，160k ->，90k -<，双曲线2C 的焦点在x轴上，其实轴长为22a =，虚轴长为22b =，焦距为22c ==，离心率为222c e a =.故1C 的长轴长与2C 的实轴长不相等，1C 的短轴长与2C 的虚轴长不相等，1C 与2C 的焦距相等，离心率不相等．故选：CD ．10．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A ．{}n a 是递增数列B ．1014a =-C ．当4n >时，0n a <D ．当3n =或4时，n S 取得最大值【正确答案】CD【分析】根据n S 表达式及2n ≥时，1n n n a S S -=-的关系，算出数列{}n a 通项公式，即可判断A 、B 、C 选项的正误.27n S n n =-+的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.【详解】当2n ≥时，128n n n a S S n -=-=-+，又116218===-⨯+a S ，所以28n a n =-+，则{}n a 是递减数列，故A 错误；1012=-a ，故B 错误；当4n >时，820n a n =-<，故C 正确；因为27n S n n =-+的对称轴为72n =，开口向下，而n 是正整数，且3n =或4距离对称轴一样远，所以当3n =或4时，n S 取得最大值，故D 正确.故选：CD.11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点.则（）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点1A 和点D 到平面AEF 的距离相等【正确答案】BCD【分析】根据异面直线所成角的定义判断A ，由面面平行的性质定理判断B ，作出完整的截面，判断CD ．【详解】因为11//D D C C ，而1C C 与AF 显然不垂直，因此1DD 与AF 不垂直，A 错；取11B C 中点H ，连接1,A H GH ，1BC ，由,,G E F 分别是11,,BB BC CC 中点，得1////HG BC EF ，又11////HE BB AA ，11HE BB AA ==，1A HEA 是平行四边形，所以1//A H AE ，AE EF E ⋂=，,AE EF ⊂平面AEF ，所以1//A H 平面AEF ，//HG 平面AEF ，而1A H HG H = ，1,A H HG ⊂平面1A HG ，所以平面1//A HG 平面AEF ，又1AG ⊂平面1A HG ，所以1//A G 平面AEF ．B 正确；由正方体性质，连接11,FD AD ，则截面AEF 即为四边形1AEFD ，它是等腰梯形，1AD EF =，1D F AE =，等腰梯形的高为2h =，截面面积为19222S =⨯+⨯=，C 正确，设11A D AD O ⋂=，易知O 是1A D 的中点，所以1,A D 两点到平面1AEFD 的距离相等．D 正确．故选：BCD ．关键点点睛：本题考查正方体的性质．考查异面直线所成角的定义，面面平行的性质定理，考查正方体的截面问题．在证明面面平行时，注意判定定理的条件，对正方体的截面，解决问题的最好方法是作出完整的截面，然后根据正方体的性质确定截面的性质，从而完成求解．12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点()1,0F ，直线:4l x =，动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的一半.若某直线上存在这样的点P ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）A ．点P 的轨迹方程是22143x y +=B ．直线1l ：240x y +-=是“最远距离直线”C ．平面上有一点()1,1A -，则2PA PF +的最小值为5.D ．点P 的轨迹与圆C ：2220x y x +-=是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）【正确答案】ABC【分析】对A ，设(),P x y ，根据定义建立关系可求出；对B ，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对C ，根据定义转化为求PA PB +即可；对D ，易判断()20,为交点.【详解】设(),P x y ，因为点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的一半，所以4x -，化简得22143x y +=，故A 正确；联立方程22240143x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()210x -=，解得1x =，故存在31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线1l ：240x y +-=是“最远距离直线”，故B 正确；过P 作PB 垂直直线:4l x =，垂足为B ，则由题可得2PB PF =，则2PA PF PA PB +=+，则由图可知，PA PB +的最小值即为点A 到直线:4l x =的距离5，故C 正确；由2220x y x +-=可得()2211x y -+=，即圆心为()1,0，半径为1，易得点P 的轨迹与圆C 交于点()20,，故D 错误.故选：ABC.三、填空题13．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =________【正确答案】14-【分析】根据题意，结合双曲线方程，列式计算即可.【详解】由双曲线方程可得0m <，焦点坐标在y轴上，故可得虚轴长为2，又因为虚轴长是实轴长的2倍，故可得4=，解得14m =-.故答案为.14-本题考查由,a b 之间的关系，求双曲线方程中参数值的问题，属基础题.14．甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是12，13，则该密码被成功破译的概率为______．【正确答案】23【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是12，13，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率1111(1(1)233P =-⨯-=，故该密码被成功破译的概率21121133P P =-=-=．故23．15．己知矩形ABCD ，1,AB BC ==，沿对角线AC 将ABC 折起，若二面角B AC D --的余弦值为13-，则B 与D 之间距离为_________．【分析】过B 和D 分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，由题意可得2BE DF ==、1EF =，由二面角B AC D --的余弦值为13-，得1cos ,3EB FD =- ，再利用BD BE EF FD =++ 可求得结果.【详解】过B 和D 分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，由1,AB BC ==，则2AC =，由等面积法知：111=222AB BC AC BE AC DF ⋅=⋅⋅，故BE DF ==则12AE CF ==，即1EF =， 二面角B AC D --的余弦值为13-，即1cos ,3EB FD =- ，BD BE EF FD =++ ，22222()222BD BE EF FD BE EF FD BE EF EF FD BE FD∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 33311234443=+++⨯⨯=，则BD = B 与D16．如图，已知抛物线的方程22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线与抛物线相交于P ，Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接BP ，BQ ，设QB ，BP 的延长线与x 轴分别相交于点M ，N ．如果直线BQ 与BP 的斜率之积为2-，则cos MBN ∠=________．【正确答案】13【分析】设直线PQ 的方程为：11221,(,),(,)y kx P x y Q x y =-，联立直线方程和抛物线方程，消去y 后利用韦达定理可证0BP BQ k k +=，结合2BP BQ k k ⋅=-可取直线,BM BN 斜率，再利用余弦定理求解.【详解】设直线PQ 的方程为11221,(,),(,)y kx P x y Q x y =-，由21,2y kx x py =-⎧⎨=⎩得2220x pkx p -+=，22480p k p ∆=->，又12122,2x x pk x x p +=⋅=，因为111BP y k x -=，221BQ y k x -=，故12121222()222202BP BQ kx x x x k p pk k k x x p -+⋅-⋅+===，又2BP BQ k k ⋅=-，故解得BP BQ k k ==所以1tan ,||||||2BNO ON OM ON ∠=∴==.所以||||2BN BM ==.由余弦定理得332122cos 3MBN +-∠=.故答案为.13四、解答题17．某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[)0,0.5、[)0.5,1、…、[]4,4.5从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.(1)求图中a 的值；(2)估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；(3)在[)1,1.5、[)1.5,2这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.【正确答案】(1)0.30(2)2.06(3)37【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1即可求解；（2）根据频率分布直方图中中位数左边和右边的直方图的面积相等即可求解；（3）利用分层抽样的抽样比公式及古典概型的计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图，可知，平均户外“活动时间”在[)0,0.5的频率为0.080.50.04⨯=．同理，在[)0.51，，[)1.52，，[)2 2.5，，[)33.5，，[)3.54，，[)4 4.5，等组的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，由()10.040.080.200.250.070.040.020.50.5a a -++++++=⨯+⨯，解得0.30a =．（2）设中位数为m 小时．因为前5的频率之和为0.040.080.150.200.250.720.5++++=>，而前4组的频率之和为0.040.080.150.200.470.5+++=<，所以2 2.5m ≤<．由()0.5020.50.47m ⨯-=-，解得 2.06m =.故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时．（3）由题意得平均户外活动时间在[)11.5，，[)1.52，中的人数分别有15人、20人，按分层抽样的方法分别抽取715335⨯=人、720435⨯=人，记作,,A B C 及a b c d ，，，，从7人中随机抽取2人，共有()A B ，，()A C ，，()A a ，，()A b ，，()A c ，，()A d ，，()B C ，，()B a ，，()B b ，，()B c ，，()B d ，，()C a ，，()C b ，，()C c ，，()C d ，，()a b ，，()a c ，，()a d ，，()b c ，，()b d ，，()c d ，．共21种，同时在同一组的有()A B ，，()A C ，，()B C ，，()a b ，，()a c ，，()a d ，，()b c ，，()b d ，，()c d ，．共9种，故其概率是93217P ==．18．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，114560CB BD C CD CC B ⊥∠=︒∠=︒，，，11CC CB BD ===，(1)求对角线1CA 的长度；(2)求异面直线1CA 与DA 所成角的余弦值．【正确答案】(1)3；(2)56.【分析】(1)以向量1,,CB CD CC u u u r u u u r u u u u r 为基底，则有11CA CB CD CC =++u u u r u u u r u u u r u u u u r ，两边平方即可得21||9CA =u u u r ，即可得1||CA u u u r 的值，即可得答案；(2)由向量的四则运算及数量积可得11DA CB CA CA =⋅⋅u u u u r u u u u u r u u ur r 52=,从而可得1cos ,CA DA <>u u u r u u u r 的值，即可得答案.【详解】（1）因为1CB BD ==，CB BD ⊥，所以三角形BCD 为等腰直角三角形，所以2CD =，又因为11CC CB ==，160CC B ∠=︒，所以三角形1CC B 为边长为1的等边三角形，以向量1,,CB CD CC u u u r u u u r u u u u r 为基底，则有111CA CB BA AA CB CD CC =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得2211()CA CB CD CC =++u u u r u u u r u u u r u u u u r 222111222CB CD CC CB CD CB CC CC CD=+++⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r 212112************=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯9=，所以1||3CA =u u u r ，即1||3CA =,所以对角线1CA 的长度为3；（2）因为11CA CB CD CC =++u u u r u u u r u u u r u u u u r ，1||3CA =u u u r ，DA CB = ，||||1DA CB ==u u u r u u u r ，所以11DA CBCA CA =⋅⋅u u u u r u u u u u r u u ur r 1()CB CD CC CB=++⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r 21CB CD CB CC CB=+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u ur 111112=⨯⨯⨯52=,所以1115cos ,6||||CA DA CA DA CA DA ⋅<>==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,即异面直线1CA 与DA 所成角的余弦值为56.19．如图，某海面上有O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O岛B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B三点．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?【正确答案】(1)2220600x y x y +--=；(2)该船有触礁的危险．【分析】（1）根据给定条件，求出点A ，B 的坐标，设出圆C 的一般方程，利用待定系数法求解作答.（2）求出船D 的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.【详解】（1）依题意，因A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O岛则点()40,40A ，又B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处，则()20,0B ，设过O ，A ，B 三点的圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20600D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为2220600x y x y +--=．（2）因船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，则(20,D --，而船D 沿着北偏东45°方向行驶，则船D 的航线所在直线l 的斜率为1，直线l的方程为200x y -+-=，由（1）知，圆C 的圆心为()10,30C，半径r =，则圆心C 到直线l的距离d ==d r <，所以该船有触礁的危险.20．已知等比数列{}()n a n N *∈满足234a a a =，13223a a a +=.（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”，证明：数列{}n a 是“M -数列”；（2）记等差数列{}n b 的前n 项和记为n S ，已知59b =，864S =，求数列{}21n n b a -的前n 项的和n T .【正确答案】（1）证明见解析；（2）()4727n n T n =-+.（1）由等比数列的通项公式求出公比，根据题意证明数列{}n a 是“M -数列”；（2）由等差数列的性质求出21n b n =-，当1q =时，由等差数列的求和公式求出n T ；当2q =时，由错位相减法求出n T .【详解】（1）证明：由题意可设公比为q ，则23311a q a q =得：11a =211123a a q a q +=得：1q =或2q =∴数列{}n a 是“M -数列”.（2）设数列{}n b 的公差为d易得：()458464b b S +==得：47b =∴542d b b =-=，得：21n b n =-由（1）知若1q =，则2143n n b a n -=-∴()214322n n n T n n +-==-若2q =，则12n n a -=，∴()121432n n n b a n --=-⋅∴()()0221125292472432n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-①∴()()2312125292472432n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-②①-②得：()()231125292472432n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-∴()()1812143212n nn T n ---=+---∴()4727n n T n =-+.对于“等差乘等比”类型的数列，一般采用错位相减法求数列的和.21．如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB BC CD AD ===，现以AC 为折痕把ABC 折起，使点B 到达点P 的位置，且PA CD ⊥.(1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若M 为PD 上一点，且三棱锥D ACM -的体积是三棱锥P ACM -体积的2倍，求平面PAC 与平面ACM 夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析2【分析】（1）在梯形ABCD 中，取AD 的中点E ，证明四边形BCEA 为平行四边形，再根据圆的性质得出AC CD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，由:1:2P ACM D ACM V V --=得出13PM PD = ，利用向量法即可得出二面角P AC M --的余弦值.【详解】（1）在梯形ABCD 中取AD 中点N ，连接CN ，所以BC AN =且//BC AN ，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以CN AB =，又因为12AB AD =，所以12CN AD =，所以点C 在以AD 为直径的圆上，所以AC CD ⊥.又因为AP CD ⊥，AP AC A ⋂=，,AP AC ⊂平面PAC所以CD ⊥平面PAC .（2）取AC 中点O ，连接PO ，因为AP PC =，所以PO AC ⊥，由（1）得CD ⊥平面PAC ，又因为CD ⊂面ACD ，所以平面PAC ⊥面ACD ，因为AC 为两平面交线，所以PO ⊥面ACD ，以O 为原点，OA 为x 轴，过O 且与OA 垂直的直线为y 轴，OP 为z 轴建立直角坐标系，设2AB =，则)A ，()C ，()0,0,1P ，()D ，由:1:2P ACM D ACM V V --=，得13PM PD = ，所以122,,3333OM OP PM OP PD ⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ACM 的法向量为(),,n x y z =r ，所以00n OM n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220330y z ⎧++=⎪=，取1z =-，则0x =，1y =，所以()0,1,1n =- ，又因为平面PAC 的法向量()0,1,0m = ，所以cos ,2m n n m m n ⋅== ,因为二面角P AC M --2.22．已知抛物线2y =的准线过椭圆E 的左焦点,且椭圆E 的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形.(1)求椭圆E 的方程;(2)直线12y =交椭圆E 于,A B 两点,点P 在线段AB 上移动,连接OP 交椭圆于,M N 两点,过P 作MN 的垂线交x 轴于Q ,求MNQ △面积的最小值.【正确答案】(1)2214x y +=【分析】(1)根据抛物线的准线求得椭圆的焦点,根据一个焦点与短轴两端点构成正三角形可求得,a c ,即可得椭圆方程.(2)根据题意可判断直线MN 斜率存在且不为0,设MN 直线方程与椭圆联立求得MN ,根据PQ MN ⊥设出Q 点坐标,用斜率公式求得坐标,再用点到直线的公式求得三角形高,用面积公式将面积写出,分离常数,变为积为定值的形式,再用基本不等式即可.【详解】（1）解:由题知抛物线的准线为x =c ∴=因为椭圆E 的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形,1,2b a ∴==,故椭圆的标准方程为:2214x y +=;（2）由(1)得椭圆的方程为2214x y +=,MN 的垂线交x 轴于Q ,MN ∴的斜率存在, 连接OP 交椭圆于,M N 两点,MN ∴的斜率不为0,不妨设()()1122:,,,,MN l y kx M x y N x y =,则11,22P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭,联立2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,即()221440k x +-=,1212240,14x x x x k -∴+=⋅=+,MN ∴=设(),0Q m ,PQ MN ⊥ ,12112PQ MN k k k m k ∴⋅=⋅=--,解得:122k m k =+,Q ∴到直线MN 的距离为2122k +=,2122MNQ k S +∴=2=214=⋅14⎫=⎪⎭14≥⋅==即2k =±时取等,故MNQ △面积的最小值为2.。
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一、填空（共20分，每空格4分）
1．设(sin )1cos 2f x x =+，则()f x =222x -；
2．函数()f x 在点0x 可导（可微）是()f x 在点0x 连续的 充分 条件（充分、必要、充分必要）；
3．设函数()y f x =在区间I 内二阶可导，如果()f x '' >0 ，曲线()y f x =在I 内是凹的；
4．设2x e 是()f x 的一个原函数，则
(sin )cos f x xdx ⋅=⎰2sin x e C +； 5
．
0=⎰ 1 。
二、单项选择题（共20分，每小题4分）
1. arcsin arccos x x += ( C ) A.2π B. π C. 2
π D. 0 2．由2,12t x y t ==-确定的方程，二阶导数22d y dx
= ( C ) A. 1
t B. 21t C. 31t D. 41t
3．函数()2f x x =+在点0x =处 ( A )
A. 连续但不可导
B. 连续且可导
C. 不连续故不可导
D. 具有连续的导数
4. 设()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b <,则至少存在一点(,)a b ξ∈使( A )成立
A. ()0f ξ=
B. '()0f ξ=
C. ''()0f ξ=
D. ()()'()()f b f a f b a ξ-=-
5. 已知⎩
⎨⎧≥<=,1,ln ,1,e )(x x x x f x 则()x f 在1=x 处的导数（ D ）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于e D. 不存在
三、计算题（共48分，每题8分）
1．求由下面参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θ33sin cos a y a x 确定的函数的一阶导数dx dy 及二阶导数22dx y d 解：223sin cos tan 3cos sin dy
dy a d dx dx a d θθθθθθ
θ
===--――――――――4分 22224()sec 1()3cos sin 3cos sin dy d dx d y d dy d dx dx dx dx a a d θθθθθθ
θ
-====-――――――――4分 2．求极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-+→x x x 1)1ln(1lim 0 解：0011ln(1)lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x →→⎡⎤-+-=⎢⎥++⎣
⎦ ―――――――1分 0111lim ln(1)1x x x x x →-
+=+++洛 ――――――2分 0lim (1)ln(1)
x x x x x →=+++ ―――――1分 01lim 2ln(1)
x x →=++洛―――――――――2分 12=
―――――――――――2分
3．求不定积分⎰-+dx x x x x 3cos sin cos sin
解：
(sin cos )x x =- ―――――4分 233(sin cos )2
x x C -=-+ ――――――――――4分 4．设2)(x e x f -=,求⎰'''1
0.)()(dx x f x f
解：2
)(x e x f -=，2'()2x f x xe -=-―――――――――2分
1
1
00()()()(())f x f x dx f x d f x '''''=⎰⎰――――――1分 120
1(())2f x '=――――――――2分 212202x x e
-=―――――――――1分 22e -=―――――――――――2分
5．求函数32
()23,14f x x x x =--≤≤的最大值和最小值
解：322()23,'()666(1)f x x x f x x x x x =-=-=-―――――――2分
解方程'()0f x =，得到120,1x x ==。
由于――――――2分
(1)5,(0)0,(1)1,(4)80f f f f -=-==-=―――――――2分
比较得，32()23,14f x x x x =--≤≤的最大值(4)80f =，最小值(1)5f -=-。
―2分 6．设⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0011sin )(x x x x a x x x x f 当当当,在),(+∞-∞内连续,求a .
解：在(,0)-∞内，1()sin 1f x x x =+连续；在(0,)+∞内，sin ()x f x x
=连续，故只需考察()f x 在点0x =处的连续性。
―――――2分
001(0)lim ()lim(sin 1)1x x f f x x x
---→→==+=―――――――2分 00sin (0)lim ()lim 1x x x f f x x
+-+→→===―――――――2分 因此当1(0)(0)(0)f f f a -+====时，()f x 在0x =处连续，从而在),(+∞-∞内连续－2分
四、证明题（共12分，每题6分）
1． 证明方程5
310x x --=至少有一个根介于1与2之间.
证明：函数5()31f x x x =--在闭区间[1，2]上连续，又―――――1分
(1)30,(2)250f f =-<=>，――――――2分
根据零点定理，在开区间（1，2）内至少有一点ξ，使得
2． 证明不等式：ln(1),(0)1x x x x x
<+<>+ 证明：令()ln(1)f x x =+，
则对任意的0x >，()f x 在闭区间[1,]x 上满足拉格朗日中值定理的条件，―――2分 且1'()1f x x
=+，――――1分 1()(0)ln(1)0ln(1)(0)
,011x f x f x x x x ξξξ-=+-=+=-=<<++―――2分 因此，
ln(1)1110
x x x x x x ξ<+=<=+++―――――――1分 5()0,310(12)f ξξξξ=--=<<即―――――――2分
这等式说明5310x x --=在1与2之间至少有一个根。
――――1分。