实对称矩阵的相似对角化
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实对称矩阵的正交相似对角化
实对称矩阵的正交相似对角化
作者：舒阿秀
来源：《教育教学论坛》2017年第12期
摘要：矩阵的对角化问题是高等代数研究的核心问题之一，本文主要针对实对称矩阵，讨论了它既合同又相似于对角阵的三种方法，并具体举例说明.
关键词：实对称矩阵；对角化；正交
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）12-0208-02
矩阵对角化问题是代数学和矩阵论中最基本的问题之一.将一个实对称矩阵合同对角化的方法实际就是求二次型标准形的方法，即通过坐标变换（或者配方）的方法来实现的；将一个实对称矩阵相似对角化的方法与一般矩阵的相似对角化方法相同，本文不再赘述；下面我们重点研究将一个实对称矩阵既合同又相似对角化的方法.这里主要介绍三种，分别是Schmidt正交法、直接正交法和度量矩阵法.
一、Schmidt正交法
二、直接正交法
当实对称矩阵A的某一特征根λ为t（t>1）重根时，我们可以求出属于λ的t个特征向量，要得到t个彼此正交的单位特征向量，可以直接从特征子空间中求出正交向量，然后单位化即可.且当特征根的重数较大时，能够大大减少计算量.
三、度量矩阵法
使用该方法时，需要对度量矩阵和合同变换有清晰的了解.利用正定矩阵合同于单位矩阵，求的原基与新基之间的“过渡矩阵”是该方法的关键.
参考文献：
[1]北京大学数学系.高等代数[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003.
[2]王萼芳，石生明.高等代数辅导与习题解答[M].北京：高等教育出版社，2007.。
线性代数 4-3实对称矩阵的相似对角化
(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵， 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向 量线性无关，但不一定是正交的； 量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1
14实对称矩阵的相似对角化
且与对角阵相似。
1
2
3
A
PP 1
1 3
7 0 2
1 2 2
P (1,2 ,3) 2 2 1
2 1 2
0 5 2
2 2 6
P 1
1 9
1 2 2
2 2 1
2 1 2
例2：设1，1，1是三阶实对称方阵 A的3个特征值，
1 （1，1，1）T ,2 （2，2，1）T 是A的属于特征值1的
m
征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m),由性质知 ri n. i 1
(iii) 用施密特正交化方法将每一个重特征值i所对应的 ri个线性无关的特征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m) 先正交化再单位化为i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m)， 它们仍为属于i的特征向量。
1 0 1
1 0 1
2
2
Q 0 1 0
1 2
0
1 2
A, P或Q及三者的互求
已知A，可以求出 A的特征值及特征向量，从而可以
判断A能否与对角阵相似，并在相似时求出对角阵及相
似变换矩阵P.
P1AP
1
, 1,
, n为A的特征值；
n
P (P1, , Pn ), P1, , Pn为A的特征向量。
2 (
2, 5
1 5
,0)T
，3
(2 35
,
4 35
,
5 35
)T
Q 1 2
1
3
3
2 3
2 3
2 5
1 5
0
2
3 5
4
35 5
35
Q
1
2
3
A
PP 1
1 3
7 0 2
1 2 2
P (1,2 ,3) 2 2 1
2 1 2
0 5 2
2 2 6
P 1
1 9
1 2 2
2 2 1
2 1 2
例2：设1，1，1是三阶实对称方阵 A的3个特征值，
1 （1，1，1）T ,2 （2，2，1）T 是A的属于特征值1的
m
征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m),由性质知 ri n. i 1
(iii) 用施密特正交化方法将每一个重特征值i所对应的 ri个线性无关的特征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m) 先正交化再单位化为i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m)， 它们仍为属于i的特征向量。
1 0 1
1 0 1
2
2
Q 0 1 0
1 2
0
1 2
A, P或Q及三者的互求
已知A，可以求出 A的特征值及特征向量，从而可以
判断A能否与对角阵相似，并在相似时求出对角阵及相
似变换矩阵P.
P1AP
1
, 1,
, n为A的特征值；
n
P (P1, , Pn ), P1, , Pn为A的特征向量。
2 (
2, 5
1 5
,0)T
，3
(2 35
,
4 35
,
5 35
)T
Q 1 2
1
3
3
2 3
2 3
2 5
1 5
0
2
3 5
4
35 5
35
Q
6-3实对称矩阵的相似对角化
1 = (2 λ )(4 λ ) , 3λ
2
0
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
0 对 λ1 = 2,由( A 2 E ) x = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 1 对 λ 2 = λ 3 = 4,由( A 4 E ) x = 0, 得基础解系
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
α Tα1 α Tα1 α Tα1 1 2 n T α 2 α Tα 2 α Tα 2 2 n α1 =E T α α α Tα α Tα 1 n 2 n n n
1, 当 i = j; α α i = δ ij = 0, 当i ≠ j
T j
( i , j = 1, 2, , n )
§6.3
实对称矩阵的相似 对角化
一,实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 定理1 的特征值为实数. 实对称矩阵 ( AT = A) 的特征值为实数.
证明 设复数 λ为对称矩阵 A的特征值 , 复向量 x为
对应的特征向量 , Ax = λx , x ≠ 0. 即
用 λ 表示λ的共轭复数, x表示x的共轭复向量, 表示 则 A x = A x = ( Ax ) = (λx ) = λ x .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
证明 λ1 p1 = Ap1 , λ2 p2 = Ap2 , λ1 ≠ λ2 ,
∵ A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
范正交化.
定理5 定理5 设 α1 , α 2 , L , α s 是一组线性无关的向 量,则可以找到一组正交的向量 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 使得向量组 α1 , α 2 , L , α s 与 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 证明 首先, 首先,令 β 1 = α1 再令 β2 = α2 + kβ1 及 β 1 , β 2 = 0 即 β 1 , α 2 + k β 1 , β 1 = 0 从而求出
高等数学 5-4实对称矩阵的相似对角形
1
1
2 2
0
1
3
2 2
注：P仅是可逆矩阵，而不是正交矩阵.
三、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的
特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，
且对角矩阵对角元素即为特征值．
两式相减，得 ( )xx 0.
但因为 x 0,
n
n
所以 xx xi xi xi 2 0, ( ) 0,
i 1
i 1
即 , 由此可得是实数.
由定理5.4.1可推出：
由于对称矩阵A的特征值i为实数, 所以齐次
线性方程组
(A i E )x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解
恰有r个线性无关的特征向量.
定理5.4.1 设A为n阶实对称矩阵,则有正交矩阵P, 使P1 AP ,其中是以A的n个特征值为对角元 素的对角矩阵. 证明 设A的的互不相等的特征值为1, 2 , , s ,
它们的重数依次为r1, r2 , , rs (r1 r2 rs n).
以它们为列向量构成正交矩阵P，则 P1AP P1P
其中对角矩阵的对角元素含 r1 个1,
是A的n个特征值.
二、实对称矩阵对角化的方法
, rs 个s , 恰
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1.求A的特征值
2.由( A i E)x 0,求出A的特征向量;
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
5.3 实对称矩阵的正交相似对角化
得 1 2 2(二重), 3 7.
第二步 由 A i E x 0, 求出A的特征向量
将 1 2 2代入 A 2E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
1 2 4 1 2 0 2
2
0
得 1 4, 2 1, 3 2.
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
对 1 4,由 A 4 E x 0, 得 2 x1 2 x2 0 2 2 x1 3 x2 2 x3 0 解之得基础解系 1 2 . 1 2x 4x 0 2 3 对 2 1,由 A E x 0, 得
值为 6 , 3 , 3, 且特征值 6 对应的一个特征向量为
p1 (1,1,1) .
T
解 设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵的不同的特征
值所对应的特征向量正交, 故
[ p1,x] x1 x2 x3 0,
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
二、实对称矩阵的性质
性质 1 对称矩阵的特征值为实数.
性质 2 设 1 , 2 是对称矩阵 A 的两个特征值
p1 , p2 是对应的特征向量, 若 1 2 , 则 p1 , p2
正交.
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
性质 3 设 A 为 n 阶对称矩阵, 是 A 的特征方
1 2 s
且 Q-1AQ = 其中
Λ diag( λ1,, λ1, λ2 ,, λ2 ,, λs ,, λs ).
线性代数—实对称矩阵的对角化
8 − 14 T T (0,−2,−1,3) = (1,1,−2,0)T . = (3,5,1,−1) − (1,1,1,1) − 4 14
T
9
1 − 1 4 例4 将向量组 α 1 = 2 , α 2 = 3 , α 3 = − 1 − 1 1 0 标准正交化. 标准正交化. 解 β1 = α1 , − 1 1 − 1 − 1 4 5 (α 2 , β 1 ) β2 = α2 − β1 = 3 − 2 = 1 , β2 = 1 , ′ ( β1 , β1 ) 1 6 − 1 3 1 1 ′ (α 3 , β 1 ) (α 3 , β 2 ) ′ β3 = α3 − β1 − β2 ′ ′ ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
6 1 4 1 − 1 2 − 5 1 ′ = − 1 − 2 − 1 = 0 , β3 = 0 , 1 0 6 − 1 3 1 3 6
10
1 − 1 1 β1 = 2 , β 2 = 1 , β 3 = 0 , ′ ′ − 1 1 1
再单位化, 再单位化
1 1 − 1 1 1 1 γ1 = 2 , γ2 = 0 . 1 , γ3 = 6 2 3 − 1 1 1
n维基本单位向量组 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n 是两两正交的。 是两两正交的。
ε 1 = (1, 0, ⋯ , 0)T , ε 2 = (0, 1, ⋯ , 0)T , ⋯ ,
ε n = (0, 0, ⋯ , 1)T ,
T
9
1 − 1 4 例4 将向量组 α 1 = 2 , α 2 = 3 , α 3 = − 1 − 1 1 0 标准正交化. 标准正交化. 解 β1 = α1 , − 1 1 − 1 − 1 4 5 (α 2 , β 1 ) β2 = α2 − β1 = 3 − 2 = 1 , β2 = 1 , ′ ( β1 , β1 ) 1 6 − 1 3 1 1 ′ (α 3 , β 1 ) (α 3 , β 2 ) ′ β3 = α3 − β1 − β2 ′ ′ ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
6 1 4 1 − 1 2 − 5 1 ′ = − 1 − 2 − 1 = 0 , β3 = 0 , 1 0 6 − 1 3 1 3 6
10
1 − 1 1 β1 = 2 , β 2 = 1 , β 3 = 0 , ′ ′ − 1 1 1
再单位化, 再单位化
1 1 − 1 1 1 1 γ1 = 2 , γ2 = 0 . 1 , γ3 = 6 2 3 − 1 1 1
n维基本单位向量组 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n 是两两正交的。 是两两正交的。
ε 1 = (1, 0, ⋯ , 0)T , ε 2 = (0, 1, ⋯ , 0)T , ⋯ ,
ε n = (0, 0, ⋯ , 1)T ,
第二节实对称矩阵的相似对角化（精品）
−3 1
1 −3
⎥ ⎥ ⎦
⎢ ⎢ ⎣
x x
3 4
⎥ ⎥ ⎦
⎢0⎥
⎢⎣0
⎥ ⎦
解得基础解系
ζ1 = [1 −1 −1 1]′
当λ2 = λ3 = λ4 = 1时，有
⎡ 1 1 1 −1⎤⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ ⎢
1
1 −1
1⎥⎥
⎢⎢x
2
⎥ ⎥
=
⎢⎢0⎥⎥
⎢ 1 −1 ⎢⎣−1 1
1 1
1⎥ ⎥
⎢ ⎢
x
⎡ 2⎤
p2 =
ζ2 ζ2
⎢⎥
=
⎢ ⎢
⎢
2⎥
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡ 1⎤
p3 =
ζ3 ζ3
=
1 6
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥
,
⎢⎥
⎣ 0⎦
⎡− 1⎤
p4 =
ζ4 ζ4
=
1
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
2 3⎢1⎥
⎢⎥
⎣3⎦
令
P = [p1 p2 p3 p4 ]
则P是正交阵，且满足
⎡− 3
⎤
⎢ P−1AP = Λ = ⎢
ζ3
=
ξ2
−
[ξ2 , ζ2 [ζ 2 , ζ2
] ]ζ2
=
⎢⎢0⎥⎥ ⎢1⎥ ⎢⎥
−
1 2
⎢⎢1⎥⎥ ⎢0⎥ ⎢⎥
=
1 2
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎥
⎣0⎦ ⎣0⎦ ⎣ 0⎦
ζ4
=
ξ3
−
[ξ3 [ζ 3
, ,
ζ ζ
3 3
] ]
ζ
3
实对称矩阵和对角矩阵的关系
实对称矩阵和对角矩阵的关系1. 实对称矩阵的定义实对称矩阵是指矩阵的转置与其本身相等的矩阵。
也就是说，对于一个n × n 的实对称矩阵 A，满足 A^T = A，其中 A^T 表示 A 的转置。
2. 对角矩阵的定义对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
对于一个n × n 的对角矩阵 D，满足 D[i][j] = 0，当i ≠ j，其中 D[i][j] 表示 D 在第 i 行、第 j 列的元素。
3. 实对称矩阵与对角矩阵的关系实对称矩阵和对角矩阵之间存在一种特殊的关系。
这种关系体现在实对称矩阵必然可以通过正交矩阵相似变换成对角矩阵，即 A = P^T · D · P，其中 P 是正交矩阵，D 是对角矩阵。
证明这一关系可以分为两个方面：一是对于实对称矩阵 A，存在正交矩阵 P，使得A = P^T · D · P；二是对于任意满足 A = P^T · D · P 的实对称矩阵 A，P 是正交矩阵。
3.1 实对称矩阵通过正交矩阵相似变换成对角矩阵假设 A 是一个n × n 的实对称矩阵，那么根据线性代数的一般理论，可以推导出存在正交矩阵 P 和对角矩阵 D，使得 A = P^T · D · P。
首先，由于 P 是一个正交矩阵，因此满足P^T · P = I，其中 I 是单位矩阵。
所以，P 的每一列都是一个单位向量，并且 P 的列向量两两正交。
其次，我们定义一个矩阵 B = P^T · A · P，其中 B 是一个n × n 的矩阵。
我们观察 B 的对角线元素，即 B[i][i]，可以得出以下结论：•当i ≠ j 时，B[i][j] = (P^T · A · P)[i][j] =(P^T)[i][k] · A[k][l] · (P)[l][j] (其中，k 和 l 是由矩阵 A 定义的，可以是任意值)。
新5-3线性代数第三节相似矩阵及实对称阵的对角化
理6( 如上)可得：
对应特征值 i (i = 1,2, , s),恰有 r i 个线性无
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得 r i 个 单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs = n知, 这样的特征向量共可得 n个.
(2) A = - 5 3 - 3
1 0 2
2- -1
2
A - E = 5 - 3 - 3 = - 13
-1
0 -2-
所以A的特征值为1 = 2 = 3 = -1.
把 = -1代入A - E x = 0, 解之得基础解系
= (1,1,-1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例2
设A
=
4 -3
对应的特征向量,
即
Ax = x , x 0.
用 表示的共轭复数, x表示x的共轭复向量 ,
则 A x = A x = Ax = x = x.
于是有 xT Ax = xT Ax = xT x = xT x,
及 xT Ax = xT AT x = Ax T x = xT x= xT x.
1
1
0
,
1 0 1
则有
P -1 AP
=
-2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
例3
设矩阵A
=
1 4
1 1
0 t ,
0 0 3
(1)求A100的特征值 .
(2)确定t,使A相似于对角阵 ，并求出 及可逆阵 P，
使 P-1AP = .
2. P -1A1 A2 P = P -1 A1P P -1 A2 P .
3. 若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数.
对应特征值 i (i = 1,2, , s),恰有 r i 个线性无
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得 r i 个 单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs = n知, 这样的特征向量共可得 n个.
(2) A = - 5 3 - 3
1 0 2
2- -1
2
A - E = 5 - 3 - 3 = - 13
-1
0 -2-
所以A的特征值为1 = 2 = 3 = -1.
把 = -1代入A - E x = 0, 解之得基础解系
= (1,1,-1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例2
设A
=
4 -3
对应的特征向量,
即
Ax = x , x 0.
用 表示的共轭复数, x表示x的共轭复向量 ,
则 A x = A x = Ax = x = x.
于是有 xT Ax = xT Ax = xT x = xT x,
及 xT Ax = xT AT x = Ax T x = xT x= xT x.
1
1
0
,
1 0 1
则有
P -1 AP
=
-2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
例3
设矩阵A
=
1 4
1 1
0 t ,
0 0 3
(1)求A100的特征值 .
(2)确定t,使A相似于对角阵 ，并求出 及可逆阵 P，
使 P-1AP = .
2. P -1A1 A2 P = P -1 A1P P -1 A2 P .
3. 若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数.
实对称矩阵正交相似对角化的简便方法
下上三角形矩阵： Ｌ （ ） ＝ Ｉ Ｕ ． 。 Ｊ： 一 ：ｌ ， 且ｚ １ （ （ Ａ － ． （ ） ＝ ０
Ｉ ・ ・ ・ ・ ｌ
，
１
ｌ ０ ０ … （ ） Ｊ
的根为 Ａ 的全部特征值 。 由 定 理 １可 求 出 Ａ 的 全 部 特 征 值 】 ，＾ ２ ，…＾ 。 将
多 经 有 限次 互 换 行 变换 可 将 Ｌ （ ２ ， ） 化 为行 阶 梯 形矩 阵 Ｂ ， 则 Ｅ） ｘ一０与 ＝０是 同解 方 程组 。设 矩 阵 Ａ— Ｅ 的秩 为 ｒ ｛ 。
易得Ｂ ｘ ＝ ０ 的一 个非零解向 量ｚ １ ， 构造矩阵Ｂ ＝ Ｉ Ｉ ， 求Ｂ ｘ ＝ ０ 的
得 】 ＝ ２ ＝１， ３ ＝－５。
ｒ ２ — ２
一 ｌ ～ 、
ｆ ］ 正 交。 构 造 矩 阵Ｂ ＝ ｌ ｚ ｌ ， 求Ｂ ｘ ＝ ０ 的 一 个 非 零 解向 量３ ７ ３ ， 则 。
ｚ
仍为Ｂ ｘ＝Ｏ的解 向量 ， 且 ３ ＝Ｏ， ｚ ３ ＝０， 即 ｌ 与ｚ ２， ｚ ２ 与 ３ 正 交。依次 下去 ， 共 进行 ｎ— 次 ， 可求得 Ｂ ｘ＝０的 ｎ— 个两两 正交 的 解 向量 ， 再将其单位化 ， 即求得 了矩 阵 Ａ 的属 于特征值 的 —ｒ 个正
２ －２ —１
（ ｛ ： １ ， ２ ， … ， ） 带 人 矩 阵 Ｌ Ｏ ． ） ， 得 Ｌ （ ） ＝ Ｉ ｌ Ｉ ＝ Ｉ
一
：
０
： 一 ： Ｉ ， 至
．
］
例 Ａ＝ Ｉ ２ — １— ２ Ｉ ， 将矩阵Ａ正交相似对角化。
解 ： Ａ— Ｅ 经 初 等 行 变 换 化 为 上 三 角 形 矩 阵
用相似变换将实对称阵的对角化
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对应特征值λ 根据定理 5 及定理 7 知，对应特征值 i ( i = 1, 2, …, s ) , 恰有 ri 个线性无关的实特征向量，把它们 个线性无关的实特征向量， 正交并单位化， 个单位正交的特征向量， 正交并单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量，由 ( r1+ r2 + … + rs = n ) , 知这样的特征向量共可得 n 个。 按定理 6 知，对应于不同的特征值的特征向量正 个单位特征向量两两正交。 交，故这 n 个单位特征向量两两正交。于是以它们为 是正交阵， 列向量构成的矩阵 P 是正交阵，并有
1 r r p 单位化后可得 2 = 0, p3 = 0 0 1 . 2 1 2
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1 0 r r r 1 于是得正交阵 P = ( p1 , p2 , p3 ) = 0 2 − 1 0 2
0 0 r r 1 p ξ 得基础解系 1 = 1 , 单位化后可得 1 = . − 1 2 − 1 2
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r r 当λ2 = λ3 = 4时, 解方程组 A − 4E) x = 0,由 ( 0 0 1 − 1 0 0 A − 4E = 0 − 1 1 ~ 0 0 0 , 0 1 − 1 0 0 0 1 0 r r r r , ξ ξ 得基础解系 2 = 0,ξ3 = 1, 此时 2与ξ3正好正交 0 1
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= λ3 (λ − 4a) = 0,
故得特征值 λ1 = 4a, λ2 = λ3 = λ4 = 0.
实对称矩阵的相似对角化
1
1
,
2
13 2 4
所以
A
U
1
U
1
1
1
9
2 4
10
2
.
2 13
基本概念 实对称矩阵 基本理论 ① 实对称矩阵有n个实特征值 ② k重特征值有k个线性无关的特征向量 ③ 不同特征值下特征向量正交
基本方法 ① 求正交阵使实对称阵相似对角化
② 由一组特征值下的特征向量， 求另外一个特征值下的特征向量， 进而求得未知矩阵
1/ 2
1/ 6
1/ 3
1
1
/ 0
2
，
2
1/ 2 /
6 6
，
3
1/ 1 /
3 3
第四步 令Q (1 2 3 ), 写出结果, 即
1/ 2 Q 1/ 2 0
1/ 6 1/ 6 2 / 6
1/ 1/ 1/
3
3 3
0
则 Q 1
AQ
0
0
0 0 0
0
0
3
归纳步骤
(1) 求全部特征值及所属的无关特征向量； (2) 将同一特征值下的无关特征向量正交化； (3) 将正交化后的特征向量单位化； (4) 构造Q，则 Q1 AQ ，注意特征向量与
Q-1 AQ= .
二、对于实对称矩阵A ，求正交矩阵Q，使得A相似对 角化 （ 即 Q1 AQ ） 的方法
1 1 1
例1
设
A
1
1
1 求正交阵Q，使 Q1 AQ 为对角阵.
1 1 1
解 第一步 求A的特征值与所属的无关特征向量
1 1 1
E A 1 1 1 2( 3) 0, Q 1 0(二重), 2 3 1 1 1
线性代数上23实对称矩阵的对角化
第二十四讲 矩阵的相似、实对称矩阵的对角化
一、相似矩阵 定义1 设 A, B 是两个 n 阶方阵, 如果存在一个 n 阶可逆矩阵 P, 使得 P-1AP = B, 则称矩阵 B 相似于矩阵 A, 记作 A ~ B. 相似作为 n 阶方阵之间的一种关系, 满足以下三条性质: (1) 自反性: A~A; (2) 对称性: 若A~B, 则B~A; (3) 传递性: 若A~B, B~C, 则A~C. 由于矩阵的相似关系有对称性, 如果 A 相似于 B, 则 B 也 相似于 A, 以后就简单称作 A 与 B 相似或 A, B 是相似矩阵. 下面我们介绍一下相似矩阵的性质： (1) 相似矩阵有相同特征多项式. 证明 如果 A ~ B, 那么存在可逆矩阵 P 使得 PAP-1 = B, 故 fB (λ) = | λI – PAP-1| = |P||λI – A||P-1| = |λI – A| = fA(λ). 1
( = (1,
−2
)
)
T
, 故 AX1 = 1 + −2 X1 ,
2
T
, 故 AX 2
( = (1 −
) −2 ) X ,
⎡1 + −2 ∴ A ( X1 , X 2 ) = ( X1 , X 2 ) ⎢ ⎢ ⎣ 1 ⎤ ⎡ 1 (3) 令P = ( X1 , X 2 ) = ⎢ ⎥ , 则有 −2 ⎦ ⎣ − −2 ⎡1 ⎢ ⎡1 + −2 ⎤ −1 2 −1 A= P⎢ P , 这里 P = ⎢ ⎥ ⎢1 1 − −2 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ − ⎢ ⎣2
5
⎡1 −1⎤ 例2 设 A = ⎢ , 求 An. 2 1⎥ ⎣ ⎦ 解 (1) 求A的特征值 λ I − A = λ − 1 − −2 λ − 1 + −2 , 所以 A 的特征值为 λ1,2 = 1 ± −2
一、相似矩阵 定义1 设 A, B 是两个 n 阶方阵, 如果存在一个 n 阶可逆矩阵 P, 使得 P-1AP = B, 则称矩阵 B 相似于矩阵 A, 记作 A ~ B. 相似作为 n 阶方阵之间的一种关系, 满足以下三条性质: (1) 自反性: A~A; (2) 对称性: 若A~B, 则B~A; (3) 传递性: 若A~B, B~C, 则A~C. 由于矩阵的相似关系有对称性, 如果 A 相似于 B, 则 B 也 相似于 A, 以后就简单称作 A 与 B 相似或 A, B 是相似矩阵. 下面我们介绍一下相似矩阵的性质： (1) 相似矩阵有相同特征多项式. 证明 如果 A ~ B, 那么存在可逆矩阵 P 使得 PAP-1 = B, 故 fB (λ) = | λI – PAP-1| = |P||λI – A||P-1| = |λI – A| = fA(λ). 1
( = (1,
−2
)
)
T
, 故 AX1 = 1 + −2 X1 ,
2
T
, 故 AX 2
( = (1 −
) −2 ) X ,
⎡1 + −2 ∴ A ( X1 , X 2 ) = ( X1 , X 2 ) ⎢ ⎢ ⎣ 1 ⎤ ⎡ 1 (3) 令P = ( X1 , X 2 ) = ⎢ ⎥ , 则有 −2 ⎦ ⎣ − −2 ⎡1 ⎢ ⎡1 + −2 ⎤ −1 2 −1 A= P⎢ P , 这里 P = ⎢ ⎥ ⎢1 1 − −2 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ − ⎢ ⎣2
5
⎡1 −1⎤ 例2 设 A = ⎢ , 求 An. 2 1⎥ ⎣ ⎦ 解 (1) 求A的特征值 λ I − A = λ − 1 − −2 λ − 1 + −2 , 所以 A 的特征值为 λ1,2 = 1 ± −2
Ch5.4实对称矩阵的相似对角化
在物理和工程中的应用
量子力学中的哈密顿算子
在量子力学中，哈密顿算子是一个实对称矩阵，其相似对角 化在求解薛定谔方程等量子力学问题中具有重要作用。
结构动力学分析
在工程中，结构动力学分析需要考虑结构的振动和响应，通 过将质量矩阵和刚度矩阵相似对角化，可以简化计算过程并 提高计算精度。
04 实对称矩阵的相似对角化 方法
ch5.4实对称矩阵的相似对角化
目 录
• 引言 • 实对称矩阵的相似对角化 • 实对称矩阵相似对角化的应用 • 实对称矩阵的相似对角化方法 • 实对称矩阵的相似对角化实例
01 引言
实对称矩阵的定义
实对称矩阵
如果一个矩阵A的所有元素都是实数，且A的转置矩阵A'等于其本身，即$A'=A$，则称A为实对称矩阵。
三阶实对称矩阵的相似对角化实例
总结词
三阶实对称矩阵可以通过相似变换化为对角矩阵，需要找到三个线性无关的特征向量。
详细描述
对于三阶实对称矩阵，需要找到三个线性无关的特征向量，并构造一个可逆矩阵，使得 该矩阵与原矩阵相似。通过求解特征值和特征向量，可以找到这三个特征向量，并利用
它们构造可逆矩阵。
n阶实对称矩阵的相似对角化实例
实对称矩阵的相似对角化可以用于矩阵分解，如QR分解、SVD分解等，这些分 解在解决线性代数问题中具有广泛应用。
在微分方程中的应用
线性常微分方程组的求解
通过将微分方程组的系数矩阵相似对角化，可以将问题转化为求解一系列一阶常 微分方程组，简化求解过程。
稳定性分析
通过将线性时变微分方程组的系数矩阵相似对角化，可以分析系统的稳定性和动 态行为。
定义
如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{1}AP=B$，则称矩阵A与B相似。
实对称矩阵相似的充要条件
实对称矩阵相似的充要条件
实对称矩阵相似的充要条件有以下几点：
1.实对称矩阵的所有特征值都是实数。
实对称矩阵具有特殊的性质，即其特征值均为实数。
对于任何特征向量，其共轭复数也是一个特征向量，因此实对称矩阵的特征向量可以被选为实向量。
2.实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。
实对称矩阵的特殊性质也表现在其特征向量上，对于不同特征值所对应的特征向量，它们是正交的。
3.实对称矩阵可以正交对角化。
由于实对称矩阵的所有特征向量是正交的，因此可以通过正交变换将实对称矩阵对角化。
具体地，假设实对称矩阵为$A$，则可以找到一个正交矩阵$Q$，使得$Q^{-1}AQ=D$，其中$D$为对角矩阵，其对角线上的元素就是$A$的特征值。
4.相似矩阵有相同的特征值。
假设$A$和$B$是相似矩阵，即存在一个可逆矩阵$P$，使得$B=P^{-
1}AP$，则$A$和$B$具有相同的特征值。
证明如下：
设$\lambda$是$A$的一个特征值，$v$是其对应的特征向量，即
$Av=\lambd.v$。
则有
$$B(Pv)=PAP^{-1}(Pv)=PAv=\lambda(Pv)$$
即$\lambda$也是$B$的特征值，且对应的特征向量为$Pv$。
通过以上证明可以看出，如果$A$和$B$都是实对称矩阵，则它们的正交对角化结果相同，即存在一个正交矩阵$Q$，使得$Q^{-1}AQ=Q^{-1}BQ=D$，其中$D$为对角矩阵，其对角线上的元素就是$A$和$B$的特征值。
因此，我们可以通过比较它们的特征值是否相同来判断它们是否相似。
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§3 实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质:
(1) A + B = A + B ; (2) A = A , 其中是常数; (3) AB = AB ;
ξ Aξ1 = ξ ξ
T 2
T 1 2 1
而且
T T T T ξT A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ = ξ 2 1 2 1 2 1 2 2 ξ1
于是
(1 2 )ξ ξ = 0
T 2 1
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使 得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1,
=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.
对λ1=λ2=-1, 由于
2 2 4 1 1 2 -E-A 2 2 4 0 0 0 4 4 8 0 0 0
例6 设
1 2 4 A 2 1 4 4 4 7
求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解 先求A的所有特征值 det(E-A)
1 2 4 1 1 4 3 0 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 4 4 7 4 0 7 4 0 7
1 6
所以方程组(-E-A)x=0等价于x1+x2+2x3=0, 一基础解系为 1=(-1, 1, 0)T, 2=(-2, 0, 1)T, 将其正交化得: 1=1=(-1, 1, 0)T, 2=2-(2T 1/ 1T1)1=2-1=(-1, -1, 1)T, 再单位化得:
1 1 1 1 , = /| | 1 1= 1/| 1 | = , 0 2 2 2 = , , , 2 2 3 3 3
T T
对λ3=11, 由于
10 2 4 1 0 - 1 2 1 11E-A 2 10 4 0 1 - 2 4 4 4 0 0 0
所以方程组(11E-A)x=0的一个基础解系为3= (1, 1, 2)T,
T T T
T
____ T
于是有
( )ξ Tξ 0
由于0, 所以T0, 因此, 即是实数.
显然, 实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量.
定理6.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 是正交的. 证 设1, 2是实对称矩阵A的特征值, 1, 2分别是
属于它们的特征向量, 则有
1 0 Q1 1= 0 B B是n-1阶实对称矩阵, 由假设, 存在n-1阶正交矩阵P, 使得
-1AQ
2 P -1BP
3
n
取n阶正交矩阵
1 0 Q2 0 P则有Leabharlann 1 Q 0T 2
_____ ____
________
(4) A = AT ;
_____ T
定理6.7 实对称矩阵的特征值都是实数. 证 设λ为实对称矩阵A的特征值, 是属于λ的特征 向量, 则有
ξ T Aξ = ξ Tξ ξ Tξ ,
由于AT=A,A=A, 故有
ξ Aξ = (ξ A )ξ (Aξ) ξ ξ ξ
三. 实对称矩阵正交相似对角化的方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的步骤如下: (1) 求出A的全部特征值; (2) 对每个特征值, 若其重数为k, 求出其k个线性无 关的特征向量. (3) 将求出的k个线性无关的特征向量规范正交化. (4) 用求出的n个规范正交的特征向量构造正交矩阵. (5) 写出对角矩阵.
1 1 2 将其单位化得: 3= 3/| 3 | = , , 6 6 6
T
而且, QTAQ=diag(-1, -1, 11).
1 1 3 2 1 所以得正交矩阵: Q=(1, 2, 3) = 1 2 3 1 0 3
1 6 2 6
1 0 2 Q 2 B n
即, Q2-1 Q1-1AQ1Q2=Q2T Q1TAQ1Q2为对角矩阵. 只要取Q=Q1Q2是正交矩阵, 定理结论成立. 推论 设0是实对称矩阵A的k重特征值, 则属于0的 线性无关的特征向量恰有k个, 也即R(0E-A)=n-k.
(取1为单位向量).
再取2, 3,…, n 使 1, 2,…, n为Rn的一组规范正交基.
于是有
A(1, 2,…, n )=(11, A2,…, An)
0 1 C =(1, 2,…, n ) 0 B
记Q1=(1, 2,…, n) , 则Q1为正交矩阵, 且有
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质:
(1) A + B = A + B ; (2) A = A , 其中是常数; (3) AB = AB ;
ξ Aξ1 = ξ ξ
T 2
T 1 2 1
而且
T T T T ξT A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ = ξ 2 1 2 1 2 1 2 2 ξ1
于是
(1 2 )ξ ξ = 0
T 2 1
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使 得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1,
=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.
对λ1=λ2=-1, 由于
2 2 4 1 1 2 -E-A 2 2 4 0 0 0 4 4 8 0 0 0
例6 设
1 2 4 A 2 1 4 4 4 7
求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解 先求A的所有特征值 det(E-A)
1 2 4 1 1 4 3 0 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 4 4 7 4 0 7 4 0 7
1 6
所以方程组(-E-A)x=0等价于x1+x2+2x3=0, 一基础解系为 1=(-1, 1, 0)T, 2=(-2, 0, 1)T, 将其正交化得: 1=1=(-1, 1, 0)T, 2=2-(2T 1/ 1T1)1=2-1=(-1, -1, 1)T, 再单位化得:
1 1 1 1 , = /| | 1 1= 1/| 1 | = , 0 2 2 2 = , , , 2 2 3 3 3
T T
对λ3=11, 由于
10 2 4 1 0 - 1 2 1 11E-A 2 10 4 0 1 - 2 4 4 4 0 0 0
所以方程组(11E-A)x=0的一个基础解系为3= (1, 1, 2)T,
T T T
T
____ T
于是有
( )ξ Tξ 0
由于0, 所以T0, 因此, 即是实数.
显然, 实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量.
定理6.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 是正交的. 证 设1, 2是实对称矩阵A的特征值, 1, 2分别是
属于它们的特征向量, 则有
1 0 Q1 1= 0 B B是n-1阶实对称矩阵, 由假设, 存在n-1阶正交矩阵P, 使得
-1AQ
2 P -1BP
3
n
取n阶正交矩阵
1 0 Q2 0 P则有Leabharlann 1 Q 0T 2
_____ ____
________
(4) A = AT ;
_____ T
定理6.7 实对称矩阵的特征值都是实数. 证 设λ为实对称矩阵A的特征值, 是属于λ的特征 向量, 则有
ξ T Aξ = ξ Tξ ξ Tξ ,
由于AT=A,A=A, 故有
ξ Aξ = (ξ A )ξ (Aξ) ξ ξ ξ
三. 实对称矩阵正交相似对角化的方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的步骤如下: (1) 求出A的全部特征值; (2) 对每个特征值, 若其重数为k, 求出其k个线性无 关的特征向量. (3) 将求出的k个线性无关的特征向量规范正交化. (4) 用求出的n个规范正交的特征向量构造正交矩阵. (5) 写出对角矩阵.
1 1 2 将其单位化得: 3= 3/| 3 | = , , 6 6 6
T
而且, QTAQ=diag(-1, -1, 11).
1 1 3 2 1 所以得正交矩阵: Q=(1, 2, 3) = 1 2 3 1 0 3
1 6 2 6
1 0 2 Q 2 B n
即, Q2-1 Q1-1AQ1Q2=Q2T Q1TAQ1Q2为对角矩阵. 只要取Q=Q1Q2是正交矩阵, 定理结论成立. 推论 设0是实对称矩阵A的k重特征值, 则属于0的 线性无关的特征向量恰有k个, 也即R(0E-A)=n-k.
(取1为单位向量).
再取2, 3,…, n 使 1, 2,…, n为Rn的一组规范正交基.
于是有
A(1, 2,…, n )=(11, A2,…, An)
0 1 C =(1, 2,…, n ) 0 B
记Q1=(1, 2,…, n) , 则Q1为正交矩阵, 且有