专题13 与圆的基本性质有关的计算与证明(原卷版)

九年级数学下册解法技巧思维培优

专题13 与圆的基本性质有关的计算与证明

考点一弧、弦、圆心角

̂、CD̂的度数【典例1】（2019•港南区四模）P是⊙O外一点，P A、PB分别交⊙O于C、D两点，已知AB

别为88°、32°，则∠P的度数为（）

A．26°B．28°C．30°D．32°

【典例2】（2019•福建模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD

于点E，DE＝1，则AE的长为（）

A．√3B．√5C．2√3D．2√5

【典例3】（2019•洛阳一模）如图，矩形ABCD、半圆O与直角三角形EOF分别是学生常用的直尺、量角

器与三角板的示意图．已知图中点M处的读数是145°，则∠FND的读数为．

【典例4】（2019•长白期末）如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝．

【典例5】（2019•句容市期中）如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD．

̂=CD̂．

（1）求证：BD

̂的度数为58°，求∠AOD的度数．

（2）若AC

考点二圆周角

【典例6】（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，

连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）

A．20°B．35°C．40°D．55°

̂所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为AB̂上一点，∠AOP 【典例7】（2020•望花区二模）如图，在⊙O中，AB

＝55°，则∠POB的度数为．

【典例8】（2019•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝．

【典例9】（2019•肇源期末）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且∠D＝∠E．

（1）求证：∠ADC＝∠CBE；

（2）求证：CB＝CE；

（3）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．

卡点三垂径定理

【典例10】（2019•渝中区校级三模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．2.5

【典例11】（2019•利川市一模）如图，CD 为⊙O 直径，CD ⊥AB 于点F ，AE ⊥BC 于E ，AE 过圆心O ，且AO ＝1．则四边形BEOF 的面积为（ ）

A ．√3

B ．√32

C ．√34

D ．√38

【典例12】（2019•海南模拟）如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为AB

̂的中点，若∠ABC ＝30°，则弦AB 的长为 ．

【典例13】（2019•金山区一模）如图，AB 是⊙O 的弦，∠OAB ＝30°．OC ⊥OA ，交AB 于点C ，若OC ＝6，则AB 的长等于 ．

【典例14】（2019•青州市期中）如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB＝8cm，CD＝2cm

（1）求⊙O的面积；

（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长．

【典例15】（2019•杨浦区三模）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH ＝5，CD=4√5，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．

（1）求圆O的半径；

（2）如果AE＝6，求EF的长．

巩固练习

1．（2019•南关区校级期末）如图，AB是直径，BĈ=CD̂=DÊ，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数为（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

2．（2019•鼓楼区校级月考）如图，在⊙O中，AĈ=2AB̂，则以下数量关系正确的是（）

A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB

3．（2019•成都校级月考）如图，⊙O中，∠AOB＝80°，点C、D是⊙O上任意两点，则∠C+∠D的度数是（）

A．80°B．90°C．100°D．110°

4．（2019•玄武区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB 的长为（）

A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm

5．（2019•南沙区一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（）

A．2√15B．8C．2√10D．2√13

6．（2019•余杭区期末）如图，点A，B，C都在⊙O上∠AOC＝130°，∠ACB＝40°，∠AOB＝，弧BC＝．

7．（2010•扬州）如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝度．

8．（2020•新宾二模）如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝4，则⊙O的半径为．

9．（2019•沙坪坝区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD ＝57°，则∠BCD等于．

10．（2019•海南一模）如图，AB是⊙O的直径，M、C为⊙O上的点，四边形POMN为矩形，BC＝4，AC ＝6，则AN＝．

11．（2019•海淀区校级月考）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，点F为⊙O上一点，且满足∠AFC＝22.5°，AB＝8，则CD的长为．

12．（2019•东城区校级期中）如图，点P是⊙O内一点，

（1）过点P画弦AB，使点P是AB的中点，并简述作图过程．

（2）连接OP并延长交⊙O于点C，若AB＝8，PC＝2，求⊙O的半径．