平面向量的实际背景及其基本概念21
平面向量的实际背景及基本概念
主讲人:王海田老师
北
前言:
西
Ａ 南
东 Ｂ
位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表 示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置. 如图,如何由A点确定B点的位置? 一种常用的方法是,以A点为参照点,用B点与A点之间 的方位和距离确定B点的位置,如,B点在A点南偏东45度,30 千米处.这样在A点与B点之间,我们可以用有向线段AB表示 . A B , AB B点相对于A点的位置.有向线段AB就是A点与B点之间的 位移.位移简明地表示了位置之间的相对关系.像位移这种 既有大小又有方向的量,加以抽象,就是我们本章将要研究 的向量. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几 何背景,是解决几何问题的有力工具.向量是沟通代数、几 何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在 数学和物理学科中具有广泛的应用。 那么你能举出一些这样既有方向，又有大小的量吗？
练习
练习： 练习： （1）下列各量中是向量的是（ B ） ）下列各量中是向量的是（ A．动能 B．重力 ． ． C．质量 D．长度 ． ．
F （2）等腰梯形 ABCD ，对角线 AC BD相交于点腰 AD 、 上， 过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 确的是（ 确的是（ D ） A． AD = BC B．AC = BD ． ．
× ×
零向量 零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 ）若两个向量在同一直线上，
例
的中心， 例2．如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中 ．如图，
OB 、 相等的向量． OC 相等的向量． 与向量OA 、
解： = CB = DO OA OB = DC = EO
平面向量的实际背景及基本概念
（二）向量AB的大小(长度)称为向量的模，记作| AB |.
（三）两个特殊向量：零向量、单位向量： ①长度为0的向量叫零向量，记作0。0的方向是任意
的。零向量的模是零，记作 0 0
②长度为1个单位的向量，叫单位向量，记作e。
例 1 如图，试根据图中比例尺以及三地的位置, 在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么 这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A.
B.
C.
D.一个单位圆
4.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必
定
.
5.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c 与a共线,则c与b必定 .
6.在四边形ABCD中, AB=DC,且|AB|=|AD|,则四边形 ABCD是 .
么向量？（平行向量） 6．两个非零向量相等的充分必要条件是什么？
（长度相等且方向相同） 7．共线向量一定在同一直线上吗？（ 不一定 ）
2、下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
若向量a与b同向 且 a＞ b 则a＞b不正确
若向量a与b的模相等则a与b的长度相等且方向
相同或相反 不正确
对于任何两个向量 若模相等且方向相同，则两
向量相等
正确
由于零向量方向不确定，故0不与任何向量平行
不正确
向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点
一定在同一直线上 不正确
续上页：
• 若a、b都是单位向量，则a=b 不正确 • 起点不同，但方向相同且模相等的几个
向量是相等向量 正确 • 向量AB与向量BA的长度相等 正确 • 若AB= CD，则四边形ABCD是平行四边
21平面向量的实际背景及基本概念
向量 a与 b 相等，记作： a b
•向量不能比较大小，但可以说相等不相等
•向量可以自由平移
例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用 向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、 C两地的实际距离(精确到1km).
解： AB表示A地到B地的位移 AC表示A地到C地的位移
把所有单位向量的起点平移到同一起点P,向量的终点的集 合是什么图形?
是以P点为圆心，以1个单 位长为半径的圆。
练习：判断下列命题是否正确
(1)向量AB和向量BA长度相等; (2)向量就是有向线段;
(3)向量0 0;
(4)向量AB大于向量CD.
其中正确命题的个数是 B
A.0
B.1
C .2
D.3
(四）向量间的关系
(4)平 行 四 边 形ABCD中 ， 一 定 有AB DC;
(5)若m n, n k, 则m k;
(6)若a // b, b // c, 则a // c
其 中 不 正 确 命 题 的 个 数是 B
A.2
B.3
C .4
D.5
练习.下列说法是否正确 A.若 | a || b |,则a b B.若 | a | 0,则a 0 C.若 | a || b |,则a b或a b D.若a // b,则a b E.若a b,则 | a || b | F.若a b,则a与b不是共线向量 G.若a 0,则 a 0
（三）向量的模及两个特殊向量
向量 AB的模 (或长度) 就是向量 AB 的大小
记作： | AB |
注：向量的模是可以比较大小的
如：| CD | | EF | , 但CD EF无意义
2.1平面向量的实际背景及基本概念
（2）直角坐标平面内的x轴，y轴是向量。 （3）如果两个向量所在的直线互相平行，那么这 两个向量是平行向量。
（4）平行向量所在的直线一定互相平行。 （5）单位向量都相等。
二、课堂互动讲练
（6）不相等的向量一定不平行。 （7）若 | a | > | b | 则 a > b 。
二、课堂互动讲练
（三）解决问题
3、掌握平行向量、相等向量、共线向量的概念。 重、难点 重点：理解并掌握向量、向量的模、零向量、单
位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念。 难点：向量的方向、相等向量、共线向量。
一、课前自主探究 1、什么是位移？ 2、什么是向量？你还能从物理学中举 出一些这样的量吗？
3、什么是数量？生活中哪些量是数量
？ 4、什么是有向线段？怎样表示？它的 长度怎样表示？它由哪几个要素组成？
5、向量的大小（或称模），怎样表示?
一、课前自主探究 6、对比线段的表示方法，向量怎样表 示？ 7、你知道两个特殊向量吗？它们是？ 8、什么是平行向量？ 9、什么是相等向量？ 10、什么是共线向量?
二、课堂互动讲练
（一）选择
1、下列物理量不是向量的是（ ① ⑥ ⑦
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④
）
力
⑤
加速度 ⑥
路程
⑦
密度
2、下列说法中错误的是（ A ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为零 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任 意的
二、课堂互动讲练
（二）辨析
（1）温度含零上和零下温度，所以温度是向量。
（1）与零向量相等的向量必定是什么向量？
零向量 （2）与任意向量都平行的向量是什么向量？ 零向量
（3）平行向量是否一定方向相同？ 不一定
第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，…字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头[点睛]向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.(3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．[点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．向量的有关概念[典例]有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．[活学活用]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4向量的表示[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[活学活用]一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.共线向量或相等向量[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为() A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()A．AO＝BO B．AO＝BO或AO＝－BOC．AO＝1 D．|AO|＝|BO|6．已知|AB|＝1，|AC|＝2，若∠ABC＝90°，则|BC|＝________.7．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是() A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PF2．下列说法正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．终点相同的两个向量不共线C ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线D ．单位向量的长度为1 3．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式： ①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．③④D ．②③4．在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组5．四边形ABCD 满足AD ＝BC ，且|AC |＝|BD |，则四边形ABCD 是______(填四边形ABCD 的形状)．6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点． (1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量． (2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD 共线的向量．8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0； (2)x ，y 为何值时，AB 为单位向量．。
平面向量的实际背景及基本概念
向量的减法
要点一
性质
向量减法满足反交换律，即 $\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$。同时，向量减法不满 足结合律。
• 意义：数乘向量在实际问题中具有重要意义，如表示平行四边形和梯形的性质、求解物理问题中等。
向量的点乘
• 定义：两个向量之间的点乘运算称为内积或标量积。点乘结 果是一个实数，记作$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b}$。
向量的加法
• 性质：向量加法满足交换律和结合律，即$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$，$(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) + \overset{\longrightarrow}{c} = \overset{\longrightarrow}{a} + (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c})$。
向量的点乘
• 性质：点乘满足交换律和分配律，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$， $(\lambda\mu)\overset{\longrightarrow}{a} = \lambda(\mu\overset{\longrightarrow}{a})$。此外， 点乘还满足正交变换不变性和垂直性质。
平面向量的实际背景及基本概念
一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
提示：圆
P
相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 相等，记作：
b
a b.
A1
a
A3A2
在实数中，我们有：若
=
b
A4, =
，则 B=1
B2
B3
，在向量中，你能提出类似的问题吗？结论怎样？
c
向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量AB 或a 的大小,
记作：AB 或 a .
注：向量的模是可以比较大小的.
数量中有很特殊的数“0”，“1”，向量中有
没有类似的特殊向量？
零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
零向量的方向是任意的！
单位向量——长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
O
C
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C
F
OC AB ED FO
D
E
变式练习:
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个？
2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向
相反的向量？
3.与向量OA 共线的向量有哪些？
2.1平面向量的实际背景
及基本概念
向量的概念
向量：既有大小又有方向的量叫向量.
向量的两要素：大小、方向.
数量：只有大小没有方向的量.
数量可以比较大小,向量不能比较大小!
友情链接：物理中常把向量与数量分别叫做 矢量、标量.
平面向量的实际背景及基本概念
数乘向量
• 数乘向量：一个实数与一个向量的乘积是一个向量，其模 等于该实数乘以原向量模，其方向与原向量方向相同或相 反（当实数为负时）。
03
平面向量的性质与运 算
向量的模
向量的模的性质
• 齐次性：对于任意实数λ和向量 a，有|λa|=|λ||a|。
向量的模定义：向量的大小或长 度称为向量的模。记作|a|，其中a 为向量。
速度与加速度的合成
总结词
平面向量在速度和加速度的计算中有着重要的应用， 通过速度和加速度的合成可以更好地分析物体的运动 状态。
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的重 要物理量，可以用向量表示其大小和方向。通过将速 度和加速度进行合成，可以更好地分析物体的运动状 态，例如，在曲线运动中，可以将速度分解为多个分 量，然后分别对每个分量进行分析，以确定物体在曲 线上的位置、速度和加速度。此外，在航天工程中， 也需要利用平面向量来计算卫星轨道和航天器姿态等 参数。
VS
向量的积分
向量的积分可以表示向量在某个区间内的 累积效果，其计算方法与函数的积分类似 。
THANK YOU
05
平面向量的扩展与延 伸
向量的空间几何意义
向量的长度
表示向量的大小，可以通过模长来衡 量。
向量的夹角
表示两个向量之间的角度，可以通过 向量的点积来计算。
向量的平行
当两个向量共线时，它们是平行的。
向量的垂直
当两个向量正交时，它们是垂直的。
向量的函数表示
向量的线性函数
向量的线性函数是指与向量成正比的函数， 可以表示为y=mx+b的形式。
向量的二次函数
向量的二次函数是指与向量平方成正比的函数，可 以表示为y=mx²+bx+c的形式。
平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念一、基本知识点归纳1、向量：既有大小，又有方向的量叫做向量数量：只有大小，没有方向的量称为数量有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
（有向线段的概念更接近物理中的矢量）2、向量的表示法(1)有向线段表示：以A 为起点，B 为终点的有向线段记作→AB(2)小写字母表示：→a3、向量的模：向量的大小叫做向量的模（或称长度），记作||→AB (||→a )4、特殊向量(1)长度为0的向量叫做零向量，记作→0，零向量的方向是任意的(2)长度等于1个单位的向量，叫做单位向量（单位向量是一类向量的统称，对于某一个固定的单位向量，它的方向是唯一的）5、平行向量或共线向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量），记作：→→b a // 规定：零向量与任一向量平行6、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作→→=b a二、概念辨析例1、已知以下物理量：(1)位移(2)路程(3)功(4)速率(5)密度(6)加速度(7)力(8)角度(9)温度，其中是向量的有________________例2、下列说法正确的有____________A 、向量→AB 与向量→BA 的长度相等 B 、零向量没有方向C 、两个有公共起点且长度相等的向量的终点相同D 、任意两个单位向量相等E 、相等向量是平行向量F 、共线向量是在同一条直线上的向量G 、→→b a //，→→c a //，则→→c b //H 、若ABCD 为平行四边形，则→→=CD ABI 、若→→=CD AB ，则A 、B 、C 、D 四个点一定可以围成一个平行四边形三、相等向量与共线向量例1、书本第76页例2变1：写出图中与→AB 共线的向量变2：写出图中与→AB 模相等的向量例2、在矩形ABCD 中，BC AB 2=，N M 、分别为AB 和CD 的中点，在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有多少对？四、作图以及向量的应用例1、一个人从A 点出发沿东北方向走了100m 到达B 点，然后改变方向，沿南偏东o 15方向又走了100m 到达C 点，求C 在A 的什么位置例2、在四边形ABCD 中，已知→→=DC AB ，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且→→=MA CN ，求证：MD BN =随堂练习：书本第77至78页A组如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
2.1平面向量的实际背景及基本概念
12.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标一、知识与技能1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示.2. 掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.3. 并会区分平行向量、相等向量和共线向量．二、过程与方法本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念．三、情感、态度与价值观1. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．2. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力．教学重点、难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教学关键：向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量概念的理解．教学突破方法：本节课内容简单，可让学生仔细阅读课本，并合作探究，得出结论．最后老师画龙点睛． 教法与学法导航教学方法：启发诱导，探究合作．学习方法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．教学准备教师准备：多媒体、投影仪.学生准备：练习本.教学过程一、创设情境，导入新课如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了．分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线B D 实际上都是有方向、有长短的量．引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 由此引出新课.二、主题探究，合作交流提出问题①在物理课中，我们学过力的概念．请回顾一下力的表示方式是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢？这些量的共同特征是什么？你能否给出准确的定义呢？②数量与向量的区别在哪里？师生互动：教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨论列举与位移一样的一些量．物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量．A B C D2至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量．显然数量和向量的区别就在于方向问题．提出问题1. 如何表示向量？2. 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？3. 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？4. 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？5. 有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？6. 如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？师生互动：教师指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论以上问题．1. 向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母a 、b （黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |．2. 有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度．向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．3. 零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0． 0的方向是任意的．注意0与0的含义与书写区别．②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量．说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小．4. 平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行．说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a 、ｂ、ｃ平行，记作a ∥ｂ∥ｃ．5. 相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．说明：（1）向量a 与b 相等，记作a=b ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点．．．．．．．．无关．．． 6. 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．）．又如上图，a 、b 、c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分A(起点)B （终点）a3别作出OA ＝a ，OB =b ，OC =c ．这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．三、拓展创新，应用提高例1 如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用有向线段表示A 地至B 、C 两地的位移．（精确到1 k m ）分析：本例是一个简单的实际问题，要求画出有向线段表示位移，目的在于巩固向量概念及其几何表示． 解：AB 表示A 地至B 地的位移，且|AB |≈232 km ；（AB 长度×8 000 000÷100 000）AC 表示A 地至C 地的位移，且|AC |≈296 km ．（AC 长度×8 000 000÷100 000） 点评：位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如上图，由A 点确定B 点、C 点的位置．例2 如图，设O 是正六边形ABC D EF 的中心.分别写出图中所示向量与OA OB OC 、、相等的量． 解：OA =CB =DO ;OB =DC =EO ;OC =AB =ED =FO ．点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同．四、小结1. 本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手，利用类比的方法，介绍了向量的两种表示方法：几何表示和字母表示，几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示则利于向量的运算；2. 介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．五、课堂作业1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…，a n ，则这n 个向量 （ ）.A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等2．如右图所示，在△ABC 中，D E ∥BC ，则其中共线向量有（ ）.4A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组3．若命题p 为a =b ，命题q 为|a |=|b |，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要又不充分条件4．如下图所示，在四边形ABC D 中，若AB DC ，则下列各组向量相等的是（ ）.A ．AD 与CB B ．OA 与OC C ．AC 与DBD ．DO 与OB5．已知a ，b 是任意两个向量，有下列条件：①|a |=|b |；②a =b ；③a 与b 的方向相反；④a =0或b =0；⑤a 与b 都是单位向量．其中是向量a 与b 共线的充分不必要条件的为．_________（把你认为正确的序号全都填上）6．如图所示，四边形ABC D 和AB D E 都是平行四边形．（1）写出与ED 相等的向量；（2）若|AB |=3，求向量EC 的模．参考答案：1．D 2．C 3．A 4．D 5．②③④6．（1）与ED 相等的向量有DC 和AB ，因为四边形ABC D 和AB D E 都是平行四边形，故AB =ED =DC ．（2）向量EC 的模|EC |=6．。
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
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§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.2
向量的几何表示
判断题 1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b ） ）
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§2.1平面向量的实际背景及基本概念
课堂练习 <<教材>> P.5 书面作业 <<教材>> P.77 习题2.1 A组3.4.5.6 B组2 练习1.2.3.4.5
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( 2 ) 若 | a | | b |, 则 a b ; ( 3 ) 若 AB DC ， 则 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 AB DC ; ;
( 4 )平行四边形 ( 5 )若 m
ABCD 中 ， 一 定 有 k;
n, n k , 则 m
( 6 ) 若 a // b , b // c , 则 a // c 其中不正确命题的个数 A .2
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§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.3 相等向量与平行向量 1.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量。向量 a 与 b 相等，记作：a b
a b V4 c a=b=c
注：1.若向量 a , b
V1 V2 V3
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念
2．1 平面向量的实际背景及基本概念你昨天听天气预报了吗？今天白天的天气情况如何？温度15～32℃，东南风3～4级．天气情况中涉及两个量：一个是温度，另一个是风速．前者在选定单位后，用一个实数就可以确切地表示；而后者则不同，除说明它的大小外，同时还必须说明它的方向．回顾学习数的概念我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对力、位移……这些量进行抽象，形成一种新的量，即本节知识——向量．1．概念(1)向量：既有__大小__，又有__方向__的量叫做向量，如力、位移等．(2)数量：只有大小，没有__方向__的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．[知识点拨]向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．(3)有向线段：带有__方向__的线段叫做有向线段．其方向是由__起点__指向__终点__，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作 AB →(如图所示)，线段__AB __的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：__起点__、__方向__、__长度__.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的__终点__就唯一确定．[知识点拨]有向线段与向量的区别和联系区别从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的联系有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段2．向量的表示法(1)几何表示：用__有向线段__表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小就是向量的__长度__(或称模)，如果向量AB →的长度记作 |AB →| ．(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a 、b 、c 、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母a →、b →、c →，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A 为起点，以B 为终点的向量记为AB →．3．有关概念[知识点拨]1.理解向量概念应关注的三点(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．(2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量． 2．对平行向量、相等向量概念的理解(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a ，都有0∥a ，这里注意概念中提到的“非零向量”．(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的．(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量． 1．下列物理量中不是向量的有( A )(1)质量 (2)速度 (3)力 (4)加速度 (5)路程 (6)密度 (7)功 (8)电流强度 A ．5 B ．4 C ．3D ．2[解析] 看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，(2)(3)(4)既有大小也有方向，是向量，(1)(5)(6)(7)(8)只有大小没有方向，不是向量．2．单位向量的长度等于( B ) A ．0B ．1C ．2D ．不确定3．设O 是等边三角形ABC 的外心，则向量OA →，OB →，CO →是( D ) A ．相同起点的向量 B ．平行向量 C ．相等向量D ．模相等的向量[解析] 如图，易知A 、B 、C 均错误；由题意得点O 到△ABC 的三个顶点的距离相等，∴|OA →|＝|OB →|＝|CO →|，故选D ．4．如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，(1)图中与AB →共线的向量有 DC →、CD →、BE →、EB →、AE →、EA →、BA →； (2)图中与AB →相等的向量有 DC →、BE →；(3)图中与AB →模相等的向量有 DC →、CD →、BA →、BE →、EB →、DA →、AD →、CB →、BC →； (4)图中与EC →相等的向量有 BD →．[解析] 根据向量共线、相等和向量模的定义观察图形．命题方向1 ⇨向量相等、向量共线的概念 典例1 给出下列命题： (1)平面向量的方向一定相同； (2)向量的模一定是正数；(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 其中正确的序号是__(3)__．[思路分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．[解析] (1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．故填(3)．『规律总结』 对于判断命题正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．〔跟踪练习1〕给出下列几种说法： ①若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ； ②若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ． 其中错误的序号是__①②③④__．[解析] ①错误．共线向量指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．③错误．两向量可移到同一直线上，则表示两向量的有向线段在同一条直线上，但两向量的大小和方向不一定都相同．④错误 .当b ＝0时，则a 与c 就不一定平行了． 命题方向2 ⇨考查向量相等或共线典例2 如图所示，△ABC 中，三边长均不相等，E 、F 、D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →长度相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．[思路分析] (1)共线向量只需在图中找出与线段EF 平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段EF 长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF 平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与EF →的方向相同的向量．[解析] (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ， ∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →．(2)∵E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点，∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC ，∴EF ＝BD＝DC ．∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →． (3)与EF →相等的向量为DB →，CD →．〔跟踪练习2〕如图所示，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO →、BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？ [解析] (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →； (2)与AO →共线的向量为：BF →，CO →，DE →；(3)|AO →|＝|CO →|＝|DO →|＝|BO →|＝|BF →|＝|CF →|＝|AE →|＝|DE →|； 向量的几何表示用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形的知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量．典例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|．[解析] (1)向量AB →、BC →、CD →，如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中， AB 綊CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →.|AD →|＝|BC →|＝200 km ．『规律总结』 1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．2．要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日常学习中不断积累经验．〔跟踪练习3〕飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行1400km 到达B 地，再从B 地按东偏南15°的方向飞行1400km 到达C 地，那么C 地在A 地什么方向？C 地距A 地多远？[解析] 如图所示，AB →表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移，则|AB →|＝1400km ．BC →表示飞机从B 地按东偏南15° 方向飞行到C 地的位移，则|BC →|＝1400km ． 所以AC →为从A 地到C 地的位移．在△ABC 中，|AB |＝|BC |＝1400，且∠ABC ＝(90°－15°)－15°＝60°，所以∠BAC ＝60°，且|AC |＝1400．所以C 地在A 地北偏东60°－15°＝45°，距离A 地1400km ． 混淆向量的有关概念典例4 给出下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中，正确的命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[错解] D[错因分析] 对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆．[思路分析] ①忽略了0与0的区别，a ＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b ＝0时，a 、c 可以为任意向量，故a 不一定平行于c ．[点评] 明确向量及其相关概念的联系与区别：(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关．(2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的．零向量的方向是任意的．(3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量． 〔跟踪练习4〕下列说法正确的是( C ) A ．平行向量就是向量所在直线平行的向量 B ．长度相等的向量叫相等向量 C ．零向量的长度为0D ．共线向量是在一条直线上的向量[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A 错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B 错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D 错．故选C ．K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．下列说法正确的是( C ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量[解析] A 中向量不能比较大小，B 中向量模相等，可能方向不同，D 中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A 、B 、D 都是错误的，C 显然正确．2．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，则下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ．其中正确的是( B ) A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤D ．②③⑤[解析] |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 与b 不一定平行，故②不正确.a|a |是a 方向上的单位向量，不一定平行于b ，故⑤不正确．3．如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则图中与OA →相等的向量是( D )A ．OC →B ．OD →C ．OB →D ．CO →[解析] OA →与CO →方向相同且长度相等，则OA →＝CO →．4．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 是( A ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．矩形D ．正方形[解析] ∵AB →∥CD →，∴AB ∥CD ． 又∵|AB →|≠|CD →|，∴AB ≠CD ．∴四边形ABCD 是梯形．5．在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则它们的终点组成__一个圆__． [解析] 模长相等的向量放在同一起点上，则各终点到该起点的距离相等，所以各终点应在同一个圆上．A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，正确的个数是( B ) ①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量；④向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量． A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．2．下列说法中，不正确的是( D ) A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同[解析] 很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．3．下列命题中正确的个数为( B )①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量AB →与CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ③若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ；④四边形ABCD 是平行四边形，则必有|AB →|＝|CD →|； ⑤a ∥b ，则a 、b 方向相同或相反． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①显然错误；②中AB →与CD →共线，只能说明AB 、CD 所在直线平行或在一条直线上，所以错；③a 与b 共线，说明a 与b 方向相同或相反，a 与b 不一定相等，所以③错； ④对；⑤a 可能为零向量，则a ∥b ，但零向量的方向为任意的，所以⑤错．4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是( C )A ．南偏东60°B ．南偏东45°C ．南偏东30°D ．南偏东15°[解析] 如图所示，此人从点A 出发，经由点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C ． 5．命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”( C ) A ．恒成立 B ．当a ≠0时成立 C ．当b ≠0时成立D ．当c ≠0时成立6．下列说法正确的是( C )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →C ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB →与CD →平行，则A 、B 、C 、D 四点共线[解析] A 不正确．|a |＝|b |，但a 与b 方向可任意．B 不正确，向量不能比较大小．C 正确．D 不正确.AB →与CD →平行，则直线AB 与CD 可能平行，可能重合，则A ，B ，C ，D 四点不一定共线，故选C ．二、填空题7．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”、“相等”、“无关”)． 8．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是 |AB →|＝|DC →| ． 三、解答题9．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量．[解析] (1)与AF →相等的向量为BE →、CD →，与AE →相等的向量为BD →． (2)DA →，CF →，FC →．10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB →相等的向量共有几个；(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？ (3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？[解析] (1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身)． (2)与向量AB →平行且模为2的向量共有24个． (3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个．B 级 素养提升一、选择题1．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( C ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形[解析] 由BA →＝CD →⇒BA ∥CD 且|BA →|＝|CD →|，又|AB →|＝|AD →|，故四边形ABCD 为菱形. 2．下列说法中错误的是( C )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等[解析] 长度相等方向相反的两个向量为相反向量，一定为共线向量，故C 错误． 3．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E ，点F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是( D )A ．AD →＝BC →B ．AC →＝BD → C ．PE →＝PF →D ．EP →＝PF →[解析] 由相等向量的定义，显然EP →＝PF →．4．已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是( B )A ．C AB ．A ∩B ＝{a }C ．C BD ．A ∩B{a }[解析] 因为A ∩B 中还含有a 方向相反的向量，所以B 错． 二、填空题5．如图ABCD 是菱形，则在向量AB →、BC →、CD →、DA →、DC →和AD →中，相等的有__2__对．[解析] AB →＝DC →，BC →＝AD →.其余不等．6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__3π__．[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π． 三、解答题7．如图所示，已知四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形． (1)与AB →相等的向量有哪些？(2)与AB →共线的向量有哪些？ (3)若|AB →|＝1.5，求|CE →|的大小．[解析] (1)与AB →相等的向量即与AB →同向且等长的向量，有ED →，DC →．(2)与AB →共线的向量即与AB →方向相同或相反的向量，有BA →，ED →，DC →，EC →，DE →，CD →，CE →．(3)若|AB →|＝1.5，则|CE →|＝|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝3．8．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？[解析] 如图所示，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC 为正三角形，∴AC ＝2000km ．又∵∠ACD ＝45°，CD ＝10002，∴△ACD 为直角三角形，即AD ＝10002km ，∠CAD ＝45°． 答：丁地在甲地的东南方向，距甲地10002km ．C 级 能力拔高如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是互相全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( C )A ．|AB →＝|EF →| B ．AB →与FH →共线 C ．BD →＝EH →D ．DC →与EF →共线[解析] A 一定成立，B 一定成立，D 因DC →与EF →一定不共线，故一定不成立，故选C ．。
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标1. 让学生理解平面向量的实际背景，了解向量在现实生活中的应用。
2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法、相等向量、相反向量等。
3. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘等。
4. 培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。
二、教学内容1. 向量的实际背景：介绍向量在物理学、工程学等领域的应用，如力的表示、位移的表示等。
2. 向量的定义：介绍向量的概念，强调向量是有大小和方向的量。
3. 向量的表示方法：介绍向量的表示方法，包括箭头表示法、坐标表示法等。
4. 相等向量、相反向量：介绍相等向量和相反向量的概念，强调它们的性质和运算规律。
5. 向量的线性运算：介绍向量的加法、减法和数乘运算，包括运算规则、运算性质等。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念和运算规律。
2. 利用多媒体辅助教学，通过动画、图片等形式展示向量的实际背景和运算过程。
3. 采用小组讨论、合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
4. 结合例题讲解，让学生通过实践操作理解和掌握向量的运算方法和技巧。
四、教学评估1. 通过课堂提问、作业批改等方式及时了解学生的学习情况，发现问题并及时解决。
2. 设计一些实际问题，让学生运用所学的向量知识解决，评估学生对知识的掌握程度。
3. 组织课堂讨论，评估学生的参与程度和团队协作能力。
五、教学资源1. 多媒体教学课件：包括向量的实际背景图片、向量运算的动画演示等。
2. 教材：提供相关章节的学习材料，供学生预习和复习使用。
3. 练习题库：提供丰富的练习题，包括填空题、选择题、解答题等，用于巩固所学知识。
4. 参考资料：提供一些相关的研究论文、书籍等，供有兴趣深入学习的学生参考。
六、教学安排1. 课时安排：本章节共需4课时，每课时45分钟。
2. 课堂活动安排：第一课时：向量的实际背景介绍，向量的定义和表示方法学习。
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§2.1平面向量的实际背景及基本概念一、教材分析㈠地位与作用向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用．向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念．经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的．本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用．本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力．㈡学情分析1．知识储备：学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中，已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识储备．2．能力储备：学生间通过一学期的共同学习，其合作探究的习惯和意识已然养成，这就为本节课的学习提供了认知储备．㈢教学目标1．知识与技能（1）通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；（2）学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；（3）理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，并会区分平行向量、相等向量和共线向量．2．过程与方法（1）培养用联系的观点，类比的方法研究向量；（2）获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维．3．情感态度与价值观（1）使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；（2）让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐．㈣教学重难点1．教学重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量、平行向量、共线向量的概念．2．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．二、教法学法分析㈠教法分析根据本节课的特点及课改要求，为了加深学生对向量内涵的理解，应精心选例设问，引导学生的思考置疑．通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移．㈡ 学法分析学生主动参与，自主探究，合作交流的学习方式．三、教学过程㈠课前1分钟1.tan 300,2.tan ,3.tan 90,4.tan 6ππ====㈡ 情境创设1．南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！”结果 离目的地越来越远 ，原因 方向错了 ；2．如图1，在同一时刻，老鼠由A 向西北方向的C 处逃窜，猫在B 处向正东方向的D 处追去，猫能否抓到老鼠？结果 无法抓到老鼠 ，原因 方向错了 ．思考：上述情景中，描绘了物理学中的哪些量？咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？这些量的共同特征是什么？㈢ 形成概念观察：如下图中的三个量有什么区别？姚明的身高h=2.26 m 拍球的力F=20 N 摩托车的速度v=80 km/h1．向量的物理背景与概念：力既有大小，又有方向.重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力就越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大，它受到到的浮力就越大；被拉长或压缩的弹簧的弹力也有方向和大小．在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量. 只有大小、没有方向的量（年龄、身高、长度、面积、体积、质量等），称为数量．2．向量的表示方法：①几何表示法：向量常用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．②字母表示法：以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB ，线段AB 的长度记作||AB （读为模）；也可用,,a b 表示为，大小记作:||,||,a b练习：如图4，小船由A 地向西北方向航行15海里到达B 地，小船的位移如何表示？ （用1cm 表示5海里）数量与向量有何区别？数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有大小，方向，不能比较大小，模是实数，可以比较大小的．说明：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置.所以数学中的向量也叫自由向量．有向线段与向量的区别：有向线段：有固定起点、大小、方向；向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．3．两个特殊的向量：①零向量——长度为零的向量，记作0，零向量模为0，方向任意；②单位向量——长度等于1个单位长度的向量，单位向量模为1，方向不一定相同． 思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？4．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． 规定：零向量与任一向量平行．记作：//a b e 与f 是平行向量吗？思考：两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？5．共线向量： ////a b c ，称a b c 、 、 为共线向量．任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，故平行向量又称共线向量．思考：两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？6．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 向量a 与b 相等，记作：a b =．注意：①零向量与零向量相等； ②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关． 思考：相反向量: a -(-)=？长度相等且方向相反的向量. AB -=? 向量a 与b 相反，记作：a b =-．㈣ 拓展应用例2．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、OB 、OC相a b e f a b c ab c等的向量．思考：①与向量OA 长度相等的向量有多少个？②是否有与向量OA 长度相等，方向相反的向量？③与向量OA 共线的向量有哪些？例3.在图中的34⨯方格纸中有一个向量AB 分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个？（AB 除外）（1）共有7个向量与与AB 相等；（2）共有15个向量与与AB 相等．例4．下列命题正确的是（ B ）A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；B ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；C ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；D ．有相同起点的两个非零向量不平行．㈤ 课堂精练1．下列说法正确的是（ C ）A ．共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；B ．若a 与b 都是单位向量，则a b =；C ．设O 是正ABC ∆的中心，则向量AO BO CO 、、是模相等的向量； D ．向量AB 与CD 是共线向量，则A B C D 、、、四点必在一直线上．2．判断下列说法是否正确： （1）（3） （1）若a b =，则||||a b =； 变题：若a b =，则a b =；（2）若//a b ，则a b =； 变题：若a b =，则//a b ；（3）若,a b b c ==，则a c =；（4）若//,//a b b c ，则//a c ．3．下列结论中正确的有 0 个（1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量相等；（3）大小相等，方向不同的向量互为相反向量；（4）零向量没有方向；（5）若a 的模比b 的模大，则a b >．2．平行向量不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，与长度无关；3．共线向量是指平行向量,与是否真的画在同一条直线上无关；4．向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性．㈦课后作业1．书P77-78 习题2.1 A组，B组2（做书上）；2．预习2.2.1；3．课时训练㈧课后反思。
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(二）向量的表示方法
1、几何表示法： 用有向线段表示 。
B（终点）
问：什么是有向线段？
A(起点)
答：有向线段——具有方向的线段
有向线段三要素：起点、方向、长度
2、字母表示法：AB或 a , b , c（印刷用黑体）等。
思考：有向线段就是向量，向量就是有 向线段？
有向线段只是一个几何图形，是 向量直观表示答案：不能，因为 没有给来自发射的方向.1200公里
1200公里
1200公里
1200公里
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
力：重力 ，浮力，弹力等
12N
5N f
1kg
5N f
许多物理量都有这样的性质．．．
抽 象 概 括
向量
（一）向量的概念
定义：既有大小又有方向的量叫向量。 注：1.向量两要素：大小，方向
1.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
向量 a 与 b相等，记作：a b
•向量不能比较大小，但可以说相等不相等
•向量可以自由平移
2.平行向量：方向 相同 或 相反 的非零向量如
下图：a , b , c 平行
a
b
c 记作：a // b //c
①规定：零向量与任一向量平行
②平行向量也叫共线向量
第二次龟兔赛跑：兔子因为贪玩而忘记了两点之间线段最 短，走了弯路。但聪明的乌龟由起点A向东南方向前进100米直 达终点B。乌龟再次获胜。
请用有向线段表示下列向量 （1）乌龟的位移 （用1cm表示50m) （2）1千克乌龟所受的重力。(用1cm长度表示5N)
解：
1cm
北
A
西
45
东
南
B
（三）向量的模及两个特殊向量
2.向量与数量的区别： ①数量只有大小 ，可以比较大小。 ②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能 比较大小的，因此向量不能比较大小。
友情链接：物理中向量与数量分别叫做 矢量、标量
判断题
1.身高是一个向量 （ ） 2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。( )
向量 AB的模 (或长度) 就是向量 AB 的大小 记作： | AB |
注：向量的模是可以比较大小的
如：| CD | | EF | , 但CD EF无意义
两个特殊向量
1.零向量: 长度（模）为0的向量，记作 0 规定：0 方向是任意的。
2.单位向量: 长度（模）为1个单位长度 的向量
把所有单位向量的起点平移到同一起点P,向量的终点的集 合是什么图形?
【例1】:如图，设O是正六边形的中心，分别写
出图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
C
O
F
D
E
解：
B
OA CB DO
OB DC EO C
OC AB ED FO
D
A
O F
E
变式训练
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个？ 11个
2.是否存在与向量OA长度相等、方向相
D
C
1.写出图中的各组共线向量
E
2.写出图中的各组相等向量
O
F
3.写出图中的各组同向向量 A
B
祝同学们学习进步
起点
哈哈! 我赢了!
终点
P
a
C
b c
O
BA
l
a
b
c
教学目标：
1. 知识与技能目标 了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及 几何表示。
2. 过程与方法目标： 通过解决实际问题，提高依据具体问题背景
分析问题、解决问题的能力。 3. 情感、态度与价值观目标：
体会数学在生活中重要作用，培养严谨的思 维习惯。
引例
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉 克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信 息导弹是否能击中目标？
AB 、BC 共线,则A、B、C、D四点
共线
a与b共线，b 与c 共线， 则a 与 c 共线。
练习：判断下列命题的真假，并注意体会它们之间的联系与 不同
⑴若a∥b，则a=b（×）
⑵若│a│=│b│则a=b（ ）× ⑶若│a│=│b│则a∥b（ ）× ⑷若a=b，则│a│=│b│（ √）
例题精析
北
A
东
南
(2)由题意,易知 AB 与 CD 方向相反,故 AB与 CD
共线,又 AB CD ,
所以在四边形ABCD中,AB∥CD且 AB=CD 所以四边形ABCD为平行四边形
所以 AD BC =200(公里)
小结
概念
向 量
向量
长度（或模）符 概号 念表示
特殊向量
零向量 单位向量
几何：有向线段
表示符号小 有写 向字 线母 段： 的a起点终点（大写字母）：AB
关系 相等 平行（共线）
作业
必做:
习题2.1 A组1, 5, 6
选做:
在等腰梯形ABCD中,对角线AC,BD交于O,EF为过O点且
平行于AB的线段.
是以P点为圆心，以1个单 位长为半径的圆。
例1 如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分 别用有向线段表示A地至B、C两地的位移,并求出A地至B、 C两地的距离（精确到1km).
解：AB 表示Ａ地至Ｂ地 的位移，且 AB 232km
AC 表示Ａ地至C地的 位移，且 AC 296k m
(四）向量间的关系
反向量？
FE
3.与向量OA共线的向量有哪些？
B
A
CB ，DO ，FE
O
C
F
D
E
例3．一辆汽车从A点出发向西行驶了100公 里到达B点,然后又改变方向向西偏北50度 走了200公里到达C点,最后又改变方向,
向东行驶了100公里到达D点
1.做出向量 AB、BC、CD
2.求 AD
(1)如图所示
C
西
D B