数学建模第二次作业(3)

数学建模
任意两个城市之间的最廉价路线
参与人员信息：
2012年 6 月 6 日
一、问题提出
某公司在六个城市C1、C2、C3、C4、C5、C6中都有分公司，从Ci 到Cj 的直达航班票价由下述矩阵的第i 行、第j 列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间最廉价路线表，试做出这样的表来。

0 50 ∞ 40 25 10
50 0 15 20 ∞ 25
∞ 15 0 10 20 ∞
40 20 10 0 10 25
25 ∞ 20 10 0 55
10 25 ∞ 25 55 0
二 、问题分析
若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。

最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。

最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题、全局最短路径问题———求图中所有的最短路径。

题中要求算出一张任意城市间的最廉价路线表，属于全局最短路问题，并且使得该公司总经理能够与各个子公司之间自由往返。

（此两点为主要约束条件） Floyd 算法，具体原理如下：
（1） 我们确定本题为全局最短路问题，并采用求距离矩阵的方法
根据路线及票价表建立带权矩阵W ，并把带权邻接矩阵我w 作为距离矩阵的初始值，即(0)(0)()ij v v D d W ⨯==
（2）求路径矩阵的方法
在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R ，()ij v v R r ⨯=，ij r 的含义是从i v 到j v 的最短路径要经过点号为ij r 的点。

（3）查找最短路径的方法
若()1v ij r p =，则点1p 是点i 到j 的最短距离的中间点，然后用同样的方法再分头查找。

三、 模型假设：
1.各城市间的飞机线路固定不变
2.各城市间飞机线路的票价不改变
3.忽略乘客除票价以外的各项开销费用
4.不考虑雷雨云、低云、大风、雷暴、冰雹等主要天气因素对飞行的影响。

四、 模型建立
建立带权邻接矩阵：
根据飞机路线及票价表建立带权邻接矩阵， 在带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出 6 个矩阵。

采用floyd 算法步骤为:
,i j D :i 到j 的最短距离
,i j R ：i 到j 之间的插入点
输入带权邻接距阵 w
(1)赋初值：对所有,,,,,,, 1.i j i j i j i j w d j r k →→=
(2)更新,i j D ,,i j R :对所有i ,j 若,,,i k k j i j d d d +<，则
,,,i k k j i j d d d +→,,i j k r →.
(3)若k v =,停止；否则1k k +→，转（2）.
运行程序得：
D (1)
D (2)、 D(3)、
D (4)、 D（ 5）、
D（6），
使最后得到的矩阵 D ( 6 ) 为飞机的最廉价矩阵。

五、模型求解结果
根据模型求解，分析得出任意两个城市之间最廉价线路及票价为：
C1→C2: 1→6→2；35
C1→C3:1→5→3,1→6→4→3;45
C1→C4:1→6→4，1→5→4﹔35
C1→C5∶1→5﹔25
C1→C6:1→6﹔10
C2→C3∶2→3﹔15
C2→C4∶2→4﹔20
C2→C5∶2→4→5﹔30
C2→C6∶2→5﹔25
C3→C4∶3→4﹔10
C3→C5∶3→5∶3→4→5﹔20
C3→C6∶3→4→6﹔35
C4→C5∶4→5﹔10
C4→C6∶4→6﹔25
C5→C6∶5→4→6﹔35。