放缩法在导数压轴题中的应用郑州第四十四中学

恰当采用放缩法 巧证导数不等式

郑州市第四十四中学 苏明亮

放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到．由于近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩.下面试举几例，以供大家参考． 一、利用基本不等式放缩，化曲为直

例1（2012年高考辽宁卷理科第21题（Ⅱ））设()ln(1)1f x x =++

.证明：当

02x <<时，9()6

x

f x x <

+.

证明：由基本不等式，当0x >时，2x <+12

x

<

+.

()ln(1)1ln(1)2

x f x x x ∴=+<++

记9()ln(1)26

x x

h x x x =++

-

+， 则222

1154(1536)'()12(6)2(1)(6)x x x h x x x x x +-=+-=++++. 当02x <<时，'()0h x <，所以()h x 在(0,2)内是减函数.故又由()(0)0h x h <=，

所以9ln(1)26x x x x ++

<

+，即9ln(1)16

x

x x +<+， 故当02x <<时，9()6

x

f x x <+.

评注：本题第(Ⅱ)问若直接构造函数9()()6

x

h x f x x =-+，对()h x 进行求导，由于

'()h x 中既有根式又有分式，因此'()h x 的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对

进行放缩处理，使问题得到解决.上面的解法中，难点在用基本不等式证明

12

x <

+，亦即是将抛物线弧y =12x

y =+，而该线段正是

抛物线弧y =

(0,1)处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处

理函数问题的常用方法. 二、利用单调性放缩，化动为静

例2（2013年新课标全国Ⅱ卷第21题（Ⅱ））已知函数()ln()x

f x e x m =-+.当2m ≤时，证明()0f x >.

证法1：函数()f x 的定义域为(,)m -+∞，则1()1

'()x x

x m e f x e x m x m

+-=-=++. 设()()1x g x x m e =+-，因为'()(1)0x

g x x m e =++>， 所以()g x 在(,)m -+∞上单调递增. 又()10g m -=-<，2(2)212110m

g m e

--=->⨯->，

故()0g x =在(,)m -+∞上有唯一实根0x .

当0(,)x m x ∈-时，()0g x <，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >，从而当0x x =时，()f x 取得最小值为0()f x .

由方程()0g x =的根为0x ，得0

01

x e

x m

=

+，00ln()x m x +=-，

故0000011

()()2f x x x m m m x m x m

=

+=++-≥-++（当且仅当01x m +=取等号），

又因为2m ≤时，所以0()0f x ≥. 取等号的0()0f x ≥条件是01x m +=，0

01

x e x m

=

+及2m =同时成立，这是不可能

的，所以0()0f x >，故 ()0f x >.

证法2：因ln y x =在定义域上是增函数，而2m ≤，所以ln(2)ln()x x m +≥+， 故只需证明当2m =时，()0f x >即可.

当2m =时，1

'()2

x

f x e x =-

+在(2,)-+∞上单调递增. 又'(1)0,'(0)0f f -<>，故'()0f x =在(2,)-+∞上有唯一实根0x ，且0(1,0)x ∈-. 当0(2,)x x ∈-时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，从而当0x x =时，()f x 取得最小值.

由'()0f x =得0

01

2

x e

x =

+，00ln(2)x x +=-， 故200000(1)1

()()022

x f x f x x x x +≥=+=>++.

综上，当2m ≤时，()0f x >.

评注：借助导数取值研究函数单调性是证明初等不等式的重要方法.证法1直接求导证明，由于其含有参数m ，因而在判断()g x 的零点和求()f x 取得最小值0()f x 显得较为麻烦；证法2利用对数函数ln y x =的单调性化动为静，证法显得简单明了.此外，本题也是处理函数隐零点问题的一个经典范例. 三、活用函数不等式放缩，化繁为简

两个常用的函数不等式： 1x

e x ≥+()x R ∈

1(0)lnx x x ≤->

两个常用的函数不等式源于高中教材（人教A 版选修2-2，32P ）的一组习题，曾多次出现在高考试题中，笔者曾就此问题写过专题文章[1]

.

例3（2014年高考新课标Ⅰ卷理科第21题）设函数1

()ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线

()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+.

（I ）求,a b

（II ）证明：()1f x >.

分析：本题以曲线的切线为背景，考查导数的几何意义，用导数作工具研究函数的单调性，求函数最值以及不等式的证明.第（I ）问较容易，一般学生都能做出来，只需求出函数

()f x 的导数，易得1,2a b ==.第（II ）问难度较大，主要考查考生运用导数知识证明不

等式的能力及运算求解能力，是近年来高考压轴题的热点问题.本题第（II ）问证法较多，下面笔者利用函数不等式来进行证明.

证明：由1x

e x ≥+，得1

x e x -≥，即x e ex ≥，

故

1

x e ex

-≥（当且仅当1x =时取等号） ① 又由1

x e

x -≥，得11x e x -≥，故1

1ex e ex -≤，两边取自然对数得1ln()1ex ex

≥-， 即1ln 0x ex +

≥（当且仅当1

x e

=时取等号） ②